精品解析：山东省淄博第一中学特殊禀赋班2023-2024学年高一下学期期中检测数学试卷

2024特殊禀赋班期中检测 数学试题 2024.05 满分150分 一、单选择题（每题3分，只有—个答案正确，共27分） 1. 已知集合 ,则满足条件的集合C的个数为 A. 4 B. 5 C. 8 D. 7 2. 集合，，则（ ） A. B. C. R D. 3. 已知集合，，（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 6. ，是定义在R上的函数，，则“，均为奇函数”是“为奇函数”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分而不必要 C. 必要而不充分 D. 既不充分也不必要 7. 定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（ ） A 8080 B. 4040 C. 2020 D. 1010 9. 设是含数1有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ） A B. C. D. 0 二、多选题（全部选对得3分，共33分；部分选对得2分，有选错的不得分）： 10. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 11. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 12. 若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. C. 不等式的解集为 D. 设x的不等式的解集为N，则 13. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，”； B. 如果A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的必要不充分条件 C. 函数的图象恒在的图象上方，则a的范围是 D. 已知均不为零，不等式不等式和的解集分别为M和N，则“”是“”成立的既不充分也不必要条件 14. 下列命题正确的是（ ） A. 若函数定义域是，则的定义域是； B. 已知，，则取值范围是，的取值范围的取值范围是 C. 已知，则的最大值等于 D. 已知，，且，则的最小值为． 15. 以下命题正确的是（ ） A. 已知a，b，c，d均为实数，若，，则 B. 已知a为正数，则 C. 若a，b，c是正数，则 D. 已知，则 16. 已知，，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 17. 以下命题正确的是（ ） A. 函数的值域是 B. 函数为偶函数，且在上为增函数 C. 函数，均为定义在上的增函数，则为上的增函数 D. 已知，函数在上为减函数，则 18. 以下命题正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数，则 C. 已知函数，a，b，．若，则 D. 函数，为偶函数 19. 以下命题正确的是（ ） A. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，二者值域相同 B. 函数的图象与函数的图象有两个交点，则的范围是 C. 若幂函数经过点，则函数为奇函数，且在定义域上为减函数 D. 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 20. 定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（ ） A. B. 是增函数 C. 在，上有最大值 D. 的解集为 三、填空题（每题4分，共28分）： 21. 已知函数，满足，则______． 22. 函数图象的对称中心坐标是______；函数的值域是______． 23. （1）已知，则______； （2）若，，则______； （3）______． 24. 已知实数满足，则的最大值为___________． 25. 已知函数，则不等式的解集为______． 26. 已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则的范围是______． 27. 已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是______． 三、解答（共62分： 28. 已知，，若，求a的取值集合． 29. （1）已知，求证：； （2）求证：． 30. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并用定义法证明在上的单调性； （3）解关于x的不等式． 31. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 32. （1）解关于x的不等式； （2）求函数的定义域． 33. 已知a为实数，函数，． （1）设，，若函数的最大值等于2，求a的值； （2）若对任意，都存在，使得，求a的取值范围； （3）设，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024特殊禀赋班期中检测 数学试题 2024.05 满分150分 一、单选择题（每题3分，只有—个答案正确，共27分） 1. 已知集合 ,则满足条件的集合C的个数为 A. 4 B. 5 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先将化简，再由，从元素数由少到多写出即可. 【详解】 中含有元素1,2，可能含有3,4,5中的1个，2个，3个或一个也没有， 因此集合的个数为 故选：C 2. 集合，，则（ ） A. B. C. R D. 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式求出集合A，由二次函数的性质求出集合B，最后求并集. 【详解】根据题意，， ， 所以. 故选：B 3. 已知集合，，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析集合M、N，得到，从而得解. 【详解】， ， 因为表示奇数，列举为， 同样表示奇数，所以. 故选：A 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的零点个数可排除A；求出的定义域可排除C；根据时函数值的正负可排除D. 【详解】令，得，所以只有1个零点， 即函数的图象与轴只有1个交点，故A错误； 由，得， 所以的定义域为，故C错误； 当时，，故D错误. 故选：B. 5. 已知函数是R上减函数，则实数a的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数是R上的减函数可知：及时，递减，且，由此可求得参数的取值范围. 【详解】解：由题意得： 函数是R上的减函数 当时，函数要递减，则有； 当时，函数要递减，则有； 且 解得： 综上所述：实数a的取值范围可以是 故选 ：D 6. ，是定义在R上的函数，，则“，均为奇函数”是“为奇函数”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分而不必要 C. 必要而不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合函数奇偶性的性质逐一考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】若，均为奇函数，则有， 所以，所以“为奇函数”，故充分性成立， 若为奇函数，如，，而均不是奇函数，故必要性不成立. 综上可得：“，均为奇函数”是“为奇函数”的充分而不必要的条件. 故选：B． 7. 定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，结合题设，判断函数的单调性，继而分类讨论求解不等式，可得答案. 【详解】不妨令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递增， 又为定义在上的奇函数，则， 则在上单调递增，又，所以， ①当时，不等式等价于，等价于， 等价于，等价于，解得， ②当时，不等式等价于，等价于， 等价于，等价于，解得， 综上可得，不等式的解集为. 故选：C 8. 我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（ ） A. 8080 B. 4040 C. 2020 D. 1010 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称性的定义求出对称中心，再结合对称性进行分组计算函数值可得答案． 【详解】若的对称中心为，则，即 为奇函数的，必有且，解得， 则的对称中心为，所以， ，，， ，，所以 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的计算，解题关键是确定的对称中心，解题时根据定义，利用是奇函数得出对称中心，然后函数值配对求和． 9. 设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义，结合图象作出判断，得到答案. 【详解】A选项，若，将点依次旋转后可得到函数图像上的一些点， 由图可知，当、、0时，对应了两个y值，不符合函数定义， ∴. 同理，结合图像分析B、C、D选项，只有B选项符合函数定义， 故选：B 二、多选题（全部选对得3分，共33分；部分选对得2分，有选错的不得分）： 10. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且， 所以阴影部分可表示为，A对； 且，阴影部分可表示为，而，故C错误； 且，阴影部分可表示为，D对； 显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，B选项不合乎要求. 故选：AD. 11. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【解析】 【分析】结合同一函数的定义，判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】对A：对的定义域为，则， 故与不是同一函数，故A错误； 对B：，， 故与是同一函数，故B正确； 对C：定义域为，即，定义域为， 即或，故与不是同一函数，故C错误； 对D：与定义域与对应关系都相同， 故与是同一函数，故D正确. 故选：BD. 12. 若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. C. 不等式的解集为 D. 设x的不等式的解集为N，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用题给条件求得三者正负号和三者间的关系，进而判断选项A和选项B；化简不等式的解集，判断选项C；设，，根据图象判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为 则,且关于的方程的根为，， 则，解之得， 则不等式为，所以解集为， ，所以A、B都正确； 不等式可化为，即， 所以解集为，或，故C错误； 设，， 则函数的图象向上平移一个单位得的图象，如图， 所以不等式的解集为N，则，D正确. 故选：ABD 13. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，”； B. 如果A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的必要不充分条件 C. 函数的图象恒在的图象上方，则a的范围是 D. 已知均不为零，不等式不等式和的解集分别为M和N，则“”是“”成立的既不充分也不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】借助全称命题的否定的定义可得A；借助充分条件与必要条件的关系推导可得 B；借助作差法结合二次函数的性质计算可得C；结合充分条件与必要条件的定义，举出相应反例可得D. 【详解】对A：命题“，”的否定是“，”，故A错误； 对B：由A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件， 可得A是C的必要不充分条件，由D是C的充分不必要条件， 则A是D的必要不充分条件，故B正确； 对C：由题意可得恒成立， 即恒成立， 则当时，有恒成立，符合要求， 当时，，解得， 当时，不恒成立，故舍去， 综上所述，a的范围是，故C错误； 对D：若“”，则“”不成立， 若“”，则“”不恒成立， 故“”是“”成立的既不充分也不必要条件，故D正确. 故选：BD. 14. 下列命题正确的是（ ） A. 若函数定义域是，则的定义域是； B. 已知，，则的取值范围是，的取值范围的取值范围是 C. 已知，则的最大值等于 D. 已知，，且，则的最小值为． 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域求法判断A，根据不等式的性质判断B，根据对勾函数的性质判断C，利用基本不等式判断D. 【详解】对于A：因为函数定义域是，则， 令，解得，即的定义域是，故A正确； 对于B：因为，， 所以，，所以，即的取值范围是， 又，则，所以，所以， 所以的取值范围的取值范围是，故B正确； 对于C：因为，所以，， 又在上单调递增，所以当时取得最大值， 即，故C错误； 对于D：因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，，时取等号，故D正确. 故选：ABD 15. 以下命题正确的是（ ） A. 已知a，b，c，d均为实数，若，，则 B. 已知a为正数，则 C. 若a，b，c是正数，则 D. 已知，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用作差法和符号法则可判断A；利用分子有理化和不等式的加法性质比较大小，判断B；利用基本不等式判断C；利用作差法和符号法则可判断D. 【详解】若，则，即， 又因为，所以，故A正确； 因为， ， 而，， 可得，所以， 所以，故B正确， 因为a，b，c是互不相等的正数，由基本不等式可得， ，，所以， 所以C错误； 因为， 因为，所以，所以上式大于0，故D正确. 故选：ABD 16. 已知，，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助基本不等式可求积的最大值，即可得A；借助基本不等式“1”的妙用可得B；结合A中所得可得C；借助作差法，结合所给条件可得D. 【详解】对A：，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对B：， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对C：由A知，，故， 即，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对D：由，故， 则， 由，，故，则， 即，故，故D正确. 故选：BCD. 17. 以下命题正确的是（ ） A. 函数的值域是 B. 函数为偶函数，且在上为增函数 C. 函数，均为定义在上的增函数，则为上的增函数 D. 已知，函数在上为减函数，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用换元法求出函数的值域即可判断A，根据奇偶性的定义及复合函数的单调性判断B，利用特殊值判断C，将函数化成分段函数，再根据函数的单调性得到不等式组，即可判断D. 【详解】对于A：令，则，， 令，， 显然，，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以函数的值域是，故A正确； 对于B：函数的定义域为， 且，所以为偶函数， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C：令，，显然函数，均为定义在上的增函数， 但是在上不单调，故C错误； 对于D：， 又函数在上为减函数，所以，解得，故D错误. 故选：AB 18. 以下命题正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数，则 C. 已知函数，a，b，．若，则 D. 函数，为偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】由定义域的对称性性质即可排除A；带特值或者用奇函数性质，即可得出B；为奇函数，利用对称性，即可得到C；非奇非偶函数乘以奇函数还是非奇非偶函数，即可排除D. 【详解】对于A，得定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故A错误. 对于B，令，则，，， 因为为奇函数，，则，所以，故B正确. 对于C，，易知为奇函数， 所以，，所以，故C正确. 对于D，令，，所以为奇函数； 令，显然为非奇非偶函数，即为非奇非偶函数，故D错误. 故选：BC. 19. 以下命题正确的是（ ） A. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，二者值域相同 B. 函数的图象与函数的图象有两个交点，则的范围是 C. 若幂函数经过点，则函数为奇函数，且在定义域上为减函数 D. 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的平移规则判断A，依题意可得，令，画出的图象，数形结合即可判断B，首先求出函数解析式，结合幂函数的性质判断C，由判断D. 【详解】对于A：将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象， 左右平移不改变函数的值域，故二者值域相同，故A正确； 对于B：令，即， 令， 所以的图象如下所示： 依题意与有两个交点，则或， 解得或，故B错误； 对于C：因为幂函数经过点，所以，解得， 所以，定义域为且， 所以为奇函数，且在，上单调递减， 当时，当时，所以在定义域不具有单调性，故C错误； 对于D：函数的图象与函数的图象关于直线对称， 则，故D正确. 故选：AD 20. 定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（ ） A. B. 是增函数 C. 在，上有最大值 D. 的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】用赋值法，令，可判断A正确；根据函数奇偶性与单调性的定义，判断函数奇偶性和单调性，可判断B，C错误；结合单调性解不等式，可得出D正确. 【详解】令，则，故.选项A正确； 令，则，则，即，故函数为奇函数，选项B正确； 设，则，由题意可得，，即， 即，故函数为上的减函数，在上的最大值为，选项B ，C错误； 等价于，又为上的减函数，故，解得，选项D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛： 本题考查抽象函数的奇偶性与单调性，解题方法是赋值法．赋值时注意函数性质的定义，如奇偶性中需要出现的关系，因此有令这个操作． 三、填空题（每题4分，共28分）： 21. 已知函数，满足，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】用替换,再解方程组求得，可得答案. 【详解】由①， 用替换，得②， ②×2－①，得，得. 所以，. 故答案为：2 22. 函数图象的对称中心坐标是______；函数的值域是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将函数解析式变形为，结合图象的平移得到其对称中心；又，结合不等式的性质求出函数的值域. 【详解】因为， 将奇函数图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象， 所以图象的对称中心为； ，因为，所以， 则，所以 故答案为：； 23. （1）已知，则______； （2）若，，则______； （3）______． 【答案】 ① ②. ③. 【解析】 【分析】（1）首先求出，即可求出，从而得解； （2）利用立方差公式将分子因式分解，再结合幂的运算法则计算可得； （3）根据幂的运算法则计算可得. 【详解】（1）因为，所以，则， 所以，所以； （2）因为，， 所以 ； （3） . 故答案为：；； 24. 已知实数满足，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】法八：利用基本不等式，即可求解. 【详解】[方法一]：（代换，用判别式法） 设，则，代入， 得，由得，因此. [方法二]：（代换，构造一元二次方程用判别式法） 设，则，则2x、y可看作关于m的方程的两个实根，由得，因此. [方法三]：（构造向量法） 令，. 则，即的最大值为. [方法四]：（待定系数法） 令 则解得故，化简得. ［方法五］：（代换消项结合放缩法） 令，则，则原题等价于：已知，求2a的最大值. 由的几何意义得，即得.即. ［方法六］：（换元法，转化为三角函数求解） 令则. 即，即，则. . 故. ［方法七］：（三角换元结合均值不等式求解） 令代入条件方程得. 则. 故. 故答案为：． ［方法八］：【最优解】基本不等式 ， 即，(当且仅当，即时，取等号) 故答案为：． 【整体点评】法一：换元利用判别式法求出； 法二：代换构造一元二次方程根据判别式法求出； 法三：构造向量利用求出； 法四：构造平方和，利用平方数自身的范围求出； 法五：代换利用椭圆的几何性质求出； 法六：利用三角代换求出，是该类型题的常用方式； 法七：利用三角代换结合基本不等式求出； 法八：直接利用基本不等式，是该题的通性通法，也是最优解． 25. 已知函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】分，和进行不等式求解. 【详解】当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以无解； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为： 26. 已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数的单调性和奇偶性得到函数的单调性和奇偶性，再由得到，解不等式即可得到答案. 【详解】因为为偶函数，所以，即，则关于对称， 因为在上为增函数，且时，， 所以在上为增函数，在上为减函数， 由得，即， 则，解得或， 所以的取值范围为， 故答案为：. 27. 已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】对，都，使得成立，等价于恒成立，对的取值进行分类讨论，利用单调性求出和，列出关于的不等式组求得答案. 【详解】函数，在上单调递增，所以， 当时，在区间上单调递增，， 所以，解得， 又因为，所以，解得； 当时，在区间上单调递增，其最小值为， 所以有，解得， 当时，在区间上单调减，在上单调增， 其最小值为， 所以有，解得， 当时，在区间上单调减，， 此时，无解； 所以的取值范围是， 故答案为：. 三、解答（共62分： 28. 已知，，若，求a的取值集合． 【答案】或. 【解析】 【分析】解方程求得集合，由题意可得，分和两种情况，分别求出实数的取值范围，再取并集即得所求. 【详解】， 若，则有， 当时，，解得. 当，若B中仅有一个元素，则， ，解得或， 当时，，不满足条件；当时，，满足条件. 当中有两个元素时，，解得或 当时，，无解. 当时，，解得：. 当时，，无解. 综上可得，实数的取值集合为或. 29. （1）已知，求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据重要不等式可得，从而得到，同理得到其余两式，再将三式相加即可得证； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1）因为（当且仅当时取等号），， 所以①； 同理可得②；③； ①、②、③相加得， 所以， 又，所以， 所以，当且仅当时取等号． （2）因为 ，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 即， 又，当时取等号， 所以，当且时取等号． 30. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并用定义法证明在上的单调性； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）借助奇函数的性质计算可得、，借助可得，即可得解； （2）借助单调性的定义，令后计算的正负即可得； （3）结合函数定义域，奇函数的性质与函数的单调性计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得， 即，即，故，， 又，故，即； 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 设， 则 ， 由，则，，， 故， 故在上单调递增； 【小问3详解】 由函数为奇函数，故， 又函数在上单调递增，故有， 解得. 所以不等式的解集为. 31. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】（1）当时，甲工程队的报价最低 （2） 【解析】 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由（1）可知，转化为不等式恒成立，参变分离后，转化为求最值的问题. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 则 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； 【小问2详解】 由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， ， 当，，即时，的最小值为12， 即， 所以的取值范围是. 32. （1）解关于x的不等式； （2）求函数的定义域． 【答案】（1）答案见详解 （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）原不等式可化，分类讨论解集； （2）令，分类讨论求定义域. 【详解】（1）原不等式可化为， 讨论与的大小． ①当，即时，不等式的解为，或； ②当，即时，不等式的解为； ③当，即时，不等式的解为，或； 综上：当时，不等式的解集为，或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，或； （2）当时，，定义域为， 当时，函数， 令，， 当时，， 不等式的解为， 当时， ，即时， 不等式的解集为， 当时，，不等式的解为，或， 综上可知，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为，或. 33. 已知a为实数，函数，． （1）设，，若函数的最大值等于2，求a的值； （2）若对任意，都存在，使得，求a的取值范围； （3）设，求的最小值． 【答案】（1）或. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为,的最大值等于2,只能在或处取到，分别讨论和的情况，即可求得结果； （2）因为对任意，都存在，使，由此可得，解不等式组即可； （3）先去绝对值，得到，对a的范围进行分类讨论，从而得出的单调性，即可求出的最小值． 【小问1详解】 因为， 当时，，即，解得：（舍）或. 当时，，即，解得：（舍）或. 综上，或. 【小问2详解】 设在区间上的值域为A，在区间上的值域为B， 则，． 因为对任意，都存在，使， 所以得， 所以a的取值范围是 【小问3详解】 ①当时，在上单调递减，上单调递增， ； ②当时，在上单调递减，上单调递增， ； ③当时，在上单调递减，上单调递增， ； 综上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $