期末学科核心素养03·模型意识与几何直观能力-2023-2024学年四年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

1 / 5 2023-2024 学年四年级数学下册典型例题系列 期末学科核心素养 03·模型意识与几何直观能力 一、填空题。 1．如图，已知四边形 ABCD是梯形， / /AD BC ， 90BAD BC BD CE BD   ，， ， 垂足为 E。 (1)若 50DBC  ，∠ABD＝( )°，∠BDA＝( )°。 (2)∠DCE＝( )°。 2．如图，线段 BD、AD、CD分别把∠ABC、∠BAC、∠ACB平均分成 2份。 已知∠1＝26°，∠2＝34°，则△BDC的内角和是( )°，∠DAC＝ ( )°。 3．下图中的∠1＝( )°，∠2＝( )°。 4．如图，三角形 ABC中，边 AB和 AC的长都是 6cm；直线 AD是这个三角形 的对称轴，它和底边 BC相交于点 E。已知∠C＝60°，那么 1  ( )°，BE ＝( )cm。 2 / 5 5．如图，将标号 A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为 P、Q、 M、N四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空。 A与( )对应；B与( )对应；C与( )对应；D与( ) 对应。 6．如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是 5厘米，那么得到的三角形的周长是( )厘米。 (3)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中， ∠3＋∠4＝( )°。 3 / 5 二、解答题。 7．盖房子时，在窗框未安装好之前，为了防止窗框变形，木工师傅常在窗框上 斜钉一根木条，如果你是木工师傅，这根木条该怎样钉？在下图中画出来并说明 理由。 8．下图△ABC与△ADE标注了 5个角，已知：∠2＝∠4，那么，∠3与∠5是 否也相等？为什么？ 9．数学课上，同学们在解决四边形的内角和的问题。下面是四位同学的不同方 法。 1个周角＝360  180 2 360   180 4 360 360     180 3 540   ①他们解答的方法正确吗？请你在方法正确的同学名字下画“√”。 ②根据乐乐同学的解答方法，说说她是怎么想的？ 4 / 5 10．小棒 AC长 14厘米，小明第一次将小棒从 B点剪开，得到两根小棒 AB、 BC，量得 AB长 6厘米。接着小明把其中一根小棒剪成两根，现在一共是 3根 小棒，可围成一个等腰三角形。 （1）请你在图中用“点 D”标出小明第二次剪的位置。 （2）小明用 3根小棒围成等腰三角形后，量得等腰三角形的顶角是 98°，求这 个三角形中一个底角的度数。 11．如图所示，将多边形分割成三角形。 （1）上图中四边形、五边形，六边形分别可分割出（ ）、（ ）、（ ）个 三角形。每个三角形的内角和是（ ）。 （2）先将下面的多边形分割成三角形，然后求这个图形的内角和。 12．按要求做题。 （1）画出上图三角形指定边上的高。 （2）如果在上图三角形 ABC中，∠B＝120°，∠A＝20°，那么∠C＝（ ）°。 （3）在计算∠C的度数时，你利用了三角形的内角和等于（ ）°。 如果让你验证“三角形的内角和等于 180°”，你会用什么方法？请简要描述。 _____________________________________________________________________ _______。 5 / 5 13．五角星“☆”具有“胜利”的含义，常出现在军衔标志上。 （1）观察如表，并将表格补充完整。 正多边形 多边形内角和 每个角的度数 正三角形 180° 60° 正方形 360° 90° 正五边形 （2）根据正五边形每个内角的度数，你能推导出图 1中∠1的度数吗？ （3）图 2是一个标准的五角星，那么∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（ ）°。 1 / 13 2023-2024 学年四年级数学下册典型例题系列 期末学科核心素养 03·模型意识与几何直观能力 一、填空题。 1．如图，已知四边形 ABCD是梯形， / /AD BC ， 90BAD BC BD CE BD   ，， ， 垂足为 E。 (1)若 50DBC  ，∠ABD＝( )°，∠BDA＝( )°。 (2)∠DCE＝( )°。 【答案】(1) 40 50 (2)25 【分析】（1）因为 / /AD BC ， 90BAD   ，所以 90ABC  ， 50DBC  ，用 CABC DB  ，可求出 ABD 的度数；再用 90°减去 ABD 的度数，即可求出 BDA 的度数。 （2）因为BC BD ， 50DBC  ，所以用 180°减去 DBC 的度数，再除以 2，即 可求出 BDC 的度数，又因为CE BD ，即 90DEC  o，即 BDC ＋ DCE ＝90°， 所以用 90°减去 BDC 的度数，即可求出∠DCE的度数。 【详解】（1） 90 50 40ABD ABC DBC         90 40 590 0BDA ABD         （2）（180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 90°－65°＝25° 即∠DCE＝25°。 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和。 2．如图，线段 BD、AD、CD分别把∠ABC、∠BAC、∠ACB平均分成 2份。 2 / 13 已知∠1＝26°，∠2＝34°，则△BDC的内角和是( )°，∠DAC＝ ( )°。 【答案】 180 30 【分析】任意一个三角形的内角和都是 180°，△BDC的内角和是 180°。 ∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，因为线段 BD、AD、CD分别把∠ABC、∠BAC、 ∠ACB平均分成 2份，所以∠1＋∠DAC＋∠2＝180°÷2＝90°， 即∠DAC＝90°－∠1－∠2 ＝90°－26°－34° ＝64°－34° ＝30° 【详解】如图，线段 BD、AD、CD分别把∠ABC、∠BAC、∠ACB平均分成 2 份。已知∠1＝26°，∠2＝34°，则△BDC的内角和是（180）°，∠DAC＝（30）°。 【点睛】熟练掌握三角形的内角和，是解答此题的关键。 3．下图中的∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 40 160 【分析】如下图，因为三角形内角和等于 180°，∠1等于 180°减去 90°与 50°的 和；∠4等于 180°减 50°；∠3等于 180°减∠4与 30°的和；∠2等于 180°减∠3， 据此即可解答。 3 / 13 【详解】∠1＝180°－（90°＋50°） ＝180°－140° ＝40° ∠4＝180°－50°＝130° ∠3＝180°－（∠4＋30°） ＝180°－（130°＋30°） ＝180°－160° ＝20° ∠2＝180°－∠3 ＝180°－20° ＝160° 【点睛】本题主要考查学生对三角形内角和知识的掌握和灵活运用。 4．如图，三角形 ABC中，边 AB和 AC的长都是 6cm；直线 AD是这个三角形 的对称轴，它和底边 BC相交于点 E。已知∠C＝60°，那么 1  ( )°， BE＝( )cm。 【答案】 30 3 【分析】根据题中的已知条件，两条边相等和其中一个角是 60°推断出这个三角 形是等边三角形，再利用对称的知识求出 1 的度数和线段 BE的长度。 【详解】因为边 AB和 AC的长都是 6cm，所以三角形 ABC是等腰三角形，又 4 / 13 因为∠C＝60°，所以∠B＝60°（等腰三角形的两底角相等）；因为三角形内角 和 180°，所以∠BAC＝180°－∠C－∠B＝180°－60°－60°＝120°－60°＝60°，所 以三角形 ABC是等边三角形。 因为直线 AD是这个三角形的对称轴，所以直线 AD平分∠BAC，平分线段 BC。 所以 1 60 2 30    ，BE＝6÷2＝3厘米。 【点睛】熟练掌握等边三角形的判定和性质，是解答此题的关键。 5．如图，将标号 A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为 P、Q、 M、N四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空。 A与( )对应；B与( )对应；C与( )对应；D与( ) 对应。 【答案】 M Q P N 【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，按照剪开前后各基本图形是重合 的原则进行逐个验证、排查，据此解答即可。 【详解】A．是三个三角形，与M对应； B．是一个三角形和两个直角梯形，与 Q对应； C．是一个三角形和两个四边形，与 P对应； D．是两个三角形和一个四边形，与 N对应 【点睛】本题考查的是全等形的识别，注意辨别组成图形的基础图形的形状。 6．如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)∠1＝( )°，∠2＝( )°。 5 / 13 (2)如果正方形的边长是 5厘米，那么得到的三角形的周长是( )厘米。 (3)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中， ∠3＋∠4＝( )°。 【答案】(1) 30 60 (2)15 (3)240 【分析】（1）斜折上去的那条边就是正方形下面那条边，因为是对折，所以得 到的三角形三边相等，等边三角形三个角都是 60°，而 2个∠1＝∠2，所以∠1 是∠2度数的一半； （2）因为正方形的边长等于三角形边长，而三角形为等边三角形，三角形的周 长为三边之和； （3）等边三角形三个角都是 60°，四边形的内角和为 360°，所以∠3＋∠4＝360° －60°－60°；据此解答。 【详解】（1）60°÷2＝30°，所以∠1＝30°，∠2＝60°。 （2）5＋5＋5＝15（厘米），那么得到的三角形的周长是 15厘米。 （3）360°－60°－60°＝240°，所以∠3＋∠4＝240°。 【点睛】掌握等边三角形的概念，以及四边形的内角和是解答本题的关键。 二、解答题。 7．盖房子时，在窗框未安装好之前，为了防止窗框变形，木工师傅常在窗框上 斜钉一根木条，如果你是木工师傅，这根木条该怎样钉？在下图中画出来并说明 理由。 【答案】画图见详解；原来的窗框是长边形，容易变形，这样钉木条，利用了三 6 / 13 角形不容易变形的特性（稳定性）。 【分析】窗框为长方形，长方形容易变形，因此为了防止窗框变形，则应使窗框 更加稳定，而三角形具有稳定性，依此画图并解答即可。 【详解】根据分析可知，如果我是木工师傅，这根木条应该这样钉： 理由：原来的窗框是长边形，容易变形，这样钉木条，利用了三角形不容易变形 的特性（稳定性）。 【点睛】熟练掌握三角形的稳定性及应用是解答此题的关键。 8．下图△ABC与△ADE标注了 5个角，已知：∠2＝∠4，那么，∠3与∠5是 否也相等？为什么？ 【答案】相等；理由见详解 【分析】由图可知，∠1是△ABC与△ADE的公共角，∠2＝∠4，三角形的内 角和是 180°，根据△ABC与△ADE的内角和即可求得∠3与∠5的关系，据此 解答。 【详解】三角形的内角和是 180° 在△ABC中，∠1＋∠4＋∠5＝180° 在△ADE中，∠1＋∠2＋∠3＝180° 因为∠2＝∠4，则∠1＋∠4＝∠1＋∠2，∠1＋∠4＋∠5＝∠1＋∠2＋∠3，所以 ∠3＝∠5。 答：∠3与∠5也相等。 【点睛】本题主要考查三角形的内角和，求出∠1＋∠4与∠1＋∠2的相等关系 是解答题目的关键。 9．数学课上，同学们在解决四边形的内角和的问题。下面是四位同学的不同方 法。 7 / 13 1个周角＝360  180 2 360   180 4 360 360     180 3 540   ①他们解答的方法正确吗？请你在方法正确的同学名字下画“√”。 ②根据乐乐同学的解答方法，说说她是怎么想的？ 【答案】（1）见详解； （2）连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成 2个三角形，四边形 的内角和＝三角形的内角和×2。 【分析】（1）欢欢同学把四边形的 4个角剪下来，拼接成一个周角，适用于所 有的四边形，方法正确，但拼接的过程过于繁琐；玲玲同学把一个四边形剪拼成 4个三角形，这样四个三角形的内角和就比四边形的内角和多出一个周角的度数， 用 4个三角形内角度数的总和减去一个周角的度数，可以求出四边形的内角和， 适用于所有的四边形，方法正确，但这种方法过于繁琐；如图，小华把四边形剪 拼成三个三角形，这样四边形的内角和就等于三个三角形内角和的总和减去一个 平角的度数，错误；乐乐同学，连接四边形不相邻的两个顶点，把四边形分成 2 个三角形，四边形的内角和就等于 2个三角形内角和的总和，这种方法易操作， 适用于所有所有四边形，是正确的推导四边形内角和的方法。 （2）乐乐同学，连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成 2个三角 形，四边形的内角和就等于 2个三角形内角和的总和，即：四边形的内角和＝三 角形的内角和×2。 【详解】（1）根据分析可知，乐乐、欢欢、玲玲的方法正确。 8 / 13 （2）连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成 2个三角形，四边形 的内角和＝三角形的内角和×2。 【点睛】本题主要考查了四边形内角和的推导过程，从不同的角度不断尝试探索， 获取最简洁、正确的解题方法。 10．小棒 AC长 14厘米，小明第一次将小棒从 B点剪开，得到两根小棒 AB、 BC，量得 AB长 6厘米。接着小明把其中一根小棒剪成两根，现在一共是 3根 小棒，可围成一个等腰三角形。 （1）请你在图中用“点 D”标出小明第二次剪的位置。 （2）小明用 3根小棒围成等腰三角形后，量得等腰三角形的顶角是 98°，求这 个三角形中一个底角的度数。 【答案】（1）见详解； （2）41° 【分析】（1）根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小 于第三边；等腰三角形是两个腰长相等，两个底角相等。由此解答即可。 （2）因为等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是 180°，所以底角的度 数＝（180°－顶角度数）÷2；代数计算即可。 【详解】（1）如图： 因为 AB长 6cm，可以把 BC分成 6厘米和 2厘米或 4厘米和 4厘米。 9 / 13 （2）（180°－98°）÷2 ＝82°÷2 ＝41° 答：底角是 41°。 【点睛】此题解答关键是根据在三角形中，任意两边之和大于第三边的特征及等 腰三角形的特征解决问题。 11．如图所示，将多边形分割成三角形。 （1）上图中四边形、五边形，六边形分别可分割出（ ）、（ ）、（ ）个 三角形。每个三角形的内角和是（ ）。 （2）先将下面的多边形分割成三角形，然后求这个图形的内角和。 【答案】（1）2；3；4；180° （2）图见详解过程；900° 【分析】（1）根据图示按要求先数数再填空；根据三角形内角和定理：三角形 的内角和是 180°进行解答即可； （2）一个顶点的所有对角线把七边形分成 5个三角形，然后用三角形的内角和 乘 5即可求解。 【详解】（1）上图中四边形、五边形，六边形分别可分割出 2、3、4个三角形。 每个三角形的内角和是 180°。 （2）如图所示： 10 / 13 180°×5＝900° 这个图形的内角和是 900°。 【点睛】本题主要考查了多边形和三角形的内角和，解题的关键是灵活运用三角 形的内角和。 12．按要求做题。 （1）画出上图三角形指定边上的高。 （2）如果在上图三角形 ABC中，∠B＝120°，∠A＝20°，那么∠C＝（ ）°。 （3）在计算∠C的度数时，你利用了三角形的内角和等于（ ）°。 如果让你验证“三角形的内角和等于 180°”，你会用什么方法？请简要描述。 _____________________________________________________________________ _______。 【答案】（1）见详解； （2）40； （3）180；见详解 【分析】（1）作线段 CB的延长线，从 A点向 CB的延长线作垂线，标记为点 D， AD即为三角形 ABC底边上的高，据此作答； （2）根据三角形的内角和＝180°，在三角形 ABC中，∠B＝120°，∠A＝20°， 那么∠C＝180°－120°－20°，据此作答。 （3）验证三角形的内角和等于 180°，可以用拼接法，先把三角形的三个角剪下 来，再拼一拼，看看是否能拼成一个平角，据此作答。 【详解】（1）作图如下： 11 / 13 （2）180°－120°－20° ＝60°－20° ＝40° 所以∠C＝40°。 （3）理由如下： 如图，拼接成了一个平角，所以可以证明三角形的内角和是 180°。 13．五角星“☆”具有“胜利”的含义，常出现在军衔标志上。 （1）观察如表，并将表格补充完整。 正多边形 多边形内角和 每个角的度数 正三角形 180° 60° 正方形 360° 90° 正五边形 （2）根据正五边形每个内角的度数，你能推导出图 1中∠1的度数吗？ （3）图 2是一个标准的五角星，那么∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（ ）°。 12 / 13 【答案】（1）540°；108°； （2）36°；（3）180°； 【分析】（1）多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，正五边形有 5条 边，5条边的长度相等，且 5个内角也相等，依此计算。 （2）标准的五角星中，每条边的长度都相等，因此∠1所在的小三角形是等腰 三角形，等腰三角形的两个底角相等，1平角是 180°，因此用 180°减正五边形其 中一个内角的度数，即可计算出∠6的度数，三角形的内角和是 180°，因此用 180°减 2个∠6的度数即可，依此计算。 （3）由（2）可知，一个标准的五角星的每个角都是 36°，所以∠1＋∠2＋∠3 ＋∠4＋∠5的和为 5个 36°，依此计算。 【详解】（1）（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 540°÷5＝108°，即填表如下： 正多边形 多边形内角和 每个角的度数 正三角形 180° 60° 正方形 360° 90° 正五边形 540° 108° （2）180°－108°＝72° 180°－72°－72°＝36° 答：图 1中∠1的度数是 36°。 13 / 13 （3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝36°＋36°＋36°＋36°＋36°＝180°。 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握多边形的内角和的计算方法，以及应掌握 平角的特点。 2023-2024学年四年级数学下册典型例题系列 期末学科核心素养03·模型意识与几何直观能力 一、填空题。 1．如图，已知四边形ABCD是梯形，，，垂足为E。 (1)若，∠ABD＝( )°，∠BDA＝( )°。 (2)∠DCE＝( )°。 2．如图，线段BD、AD、CD分别把∠ABC、∠BAC、∠ACB平均分成2份。已知∠1＝26°，∠2＝34°，则△BDC的内角和是( )°，∠DAC＝( )°。 3．下图中的∠1＝( )°，∠2＝( )°。 4．如图，三角形ABC中，边AB和AC的长都是6cm；直线AD是这个三角形的对称轴，它和底边BC相交于点E。已知∠C＝60°，那么( )°，BE＝( )cm。 5．如图，将标号A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P、Q、M、N四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空。 A与( )对应；B与( )对应；C与( )对应；D与( )对应。 6．如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是( )厘米。 (3)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中，∠3＋∠4＝( )°。 二、解答题。 7．盖房子时，在窗框未安装好之前，为了防止窗框变形，木工师傅常在窗框上斜钉一根木条，如果你是木工师傅，这根木条该怎样钉？在下图中画出来并说明理由。 8．下图△ABC与△ADE标注了5个角，已知：∠2＝∠4，那么，∠3与∠5是否也相等？为什么？ 9．数学课上，同学们在解决四边形的内角和的问题。下面是四位同学的不同方法。 1个周角＝360                                                                    ①他们解答的方法正确吗？请你在方法正确的同学名字下画“√”。 ②根据乐乐同学的解答方法，说说她是怎么想的？ 10．小棒AC长14厘米，小明第一次将小棒从B点剪开，得到两根小棒AB、BC，量得AB长6厘米。接着小明把其中一根小棒剪成两根，现在一共是3根小棒，可围成一个等腰三角形。 （1）请你在图中用“点D”标出小明第二次剪的位置。 （2）小明用3根小棒围成等腰三角形后，量得等腰三角形的顶角是98°，求这个三角形中一个底角的度数。 11．如图所示，将多边形分割成三角形。 （1）上图中四边形、五边形，六边形分别可分割出（    ）、（    ）、（    ）个三角形。每个三角形的内角和是（    ）。 （2）先将下面的多边形分割成三角形，然后求这个图形的内角和。 12．按要求做题。 （1）画出上图三角形指定边上的高。 （2）如果在上图三角形ABC中，∠B＝120°，∠A＝20°，那么∠C＝（    ）°。 （3）在计算∠C的度数时，你利用了三角形的内角和等于（    ）°。 如果让你验证“三角形的内角和等于180°”，你会用什么方法？请简要描述。 ____________________________________________________________________________。 13．五角星“☆”具有“胜利”的含义，常出现在军衔标志上。 （1）观察如表，并将表格补充完整。 正多边形 多边形内角和 每个角的度数 正三角形    180° 60° 正方形      360° 90° 正五边形       （2）根据正五边形每个内角的度数，你能推导出图1中∠1的度数吗？ （3）图2是一个标准的五角星，那么∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（    ）°。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年四年级数学下册典型例题系列 期末学科核心素养03·模型意识与几何直观能力 一、填空题。 1．如图，已知四边形ABCD是梯形，，，垂足为E。 (1)若，∠ABD＝( )°，∠BDA＝( )°。 (2)∠DCE＝( )°。 【答案】(1) 40 50 (2)25 【分析】（1）因为，，所以，，用，可求出的度数；再用90°减去的度数，即可求出的度数。 （2）因为，，所以用180°减去的度数，再除以2，即可求出的度数，又因为，即，即＋＝90°，所以用90°减去的度数，即可求出∠DCE的度数。 【详解】（1） （2）（180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 90°－65°＝25° 即∠DCE＝25°。 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和。 2．如图，线段BD、AD、CD分别把∠ABC、∠BAC、∠ACB平均分成2份。已知∠1＝26°，∠2＝34°，则△BDC的内角和是( )°，∠DAC＝( )°。 【答案】 180 30 【分析】任意一个三角形的内角和都是180°，△BDC的内角和是180°。 ∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，因为线段BD、AD、CD分别把∠ABC、∠BAC、∠ACB平均分成2份，所以∠1＋∠DAC＋∠2＝180°÷2＝90°， 即∠DAC＝90°－∠1－∠2 ＝90°－26°－34° ＝64°－34° ＝30° 【详解】如图，线段BD、AD、CD分别把∠ABC、∠BAC、∠ACB平均分成2份。已知∠1＝26°，∠2＝34°，则△BDC的内角和是（180）°，∠DAC＝（30）°。 【点睛】熟练掌握三角形的内角和，是解答此题的关键。 3．下图中的∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 40 160 【分析】如下图，因为三角形内角和等于180°，∠1等于180°减去90°与50°的和；∠4等于180°减50°；∠3等于180°减∠4与30°的和；∠2等于180°减∠3，据此即可解答。 【详解】∠1＝180°－（90°＋50°） ＝180°－140° ＝40° ∠4＝180°－50°＝130° ∠3＝180°－（∠4＋30°） ＝180°－（130°＋30°） ＝180°－160° ＝20° ∠2＝180°－∠3 ＝180°－20° ＝160° 【点睛】本题主要考查学生对三角形内角和知识的掌握和灵活运用。 4．如图，三角形ABC中，边AB和AC的长都是6cm；直线AD是这个三角形的对称轴，它和底边BC相交于点E。已知∠C＝60°，那么( )°，BE＝( )cm。 【答案】 30 3 【分析】根据题中的已知条件，两条边相等和其中一个角是60°推断出这个三角形是等边三角形，再利用对称的知识求出的度数和线段BE的长度。 【详解】因为边AB和AC的长都是6cm，所以三角形ABC是等腰三角形，又因为∠C＝60°，所以∠B＝60°（等腰三角形的两底角相等）；因为三角形内角和180°，所以∠BAC＝180°－∠C－∠B＝180°－60°－60°＝120°－60°＝60°，所以三角形ABC是等边三角形。 因为直线AD是这个三角形的对称轴，所以直线AD平分∠BAC，平分线段BC。 所以，BE＝6÷2＝3厘米。 【点睛】熟练掌握等边三角形的判定和性质，是解答此题的关键。 5．如图，将标号A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P、Q、M、N四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空。 A与( )对应；B与( )对应；C与( )对应；D与( )对应。 【答案】 M Q P N 【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，按照剪开前后各基本图形是重合的原则进行逐个验证、排查，据此解答即可。 【详解】A．是三个三角形，与M对应； B．是一个三角形和两个直角梯形，与Q对应； C．是一个三角形和两个四边形，与P对应； D．是两个三角形和一个四边形，与N对应 【点睛】本题考查的是全等形的识别，注意辨别组成图形的基础图形的形状。 6．如图，把正方形剪成一个特殊的三角形。 (1)∠1＝( )°，∠2＝( )°。 (2)如果正方形的边长是5厘米，那么得到的三角形的周长是( )厘米。 (3)如果把这个特殊的三角形沿虚线剪去一个角（如图），在剩下的四边形中，∠3＋∠4＝( )°。 【答案】(1) 30 60 (2)15 (3)240 【分析】（1）斜折上去的那条边就是正方形下面那条边，因为是对折，所以得到的三角形三边相等，等边三角形三个角都是60°，而2个∠1＝∠2，所以∠1是∠2度数的一半； （2）因为正方形的边长等于三角形边长，而三角形为等边三角形，三角形的周长为三边之和； （3）等边三角形三个角都是60°，四边形的内角和为360°，所以∠3＋∠4＝360°－60°－60°；据此解答。 【详解】（1）60°÷2＝30°，所以∠1＝30°，∠2＝60°。 （2）5＋5＋5＝15（厘米），那么得到的三角形的周长是15厘米。 （3）360°－60°－60°＝240°，所以∠3＋∠4＝240°。 【点睛】掌握等边三角形的概念，以及四边形的内角和是解答本题的关键。 二、解答题。 7．盖房子时，在窗框未安装好之前，为了防止窗框变形，木工师傅常在窗框上斜钉一根木条，如果你是木工师傅，这根木条该怎样钉？在下图中画出来并说明理由。 【答案】画图见详解；原来的窗框是长边形，容易变形，这样钉木条，利用了三角形不容易变形的特性（稳定性）。 【分析】窗框为长方形，长方形容易变形，因此为了防止窗框变形，则应使窗框更加稳定，而三角形具有稳定性，依此画图并解答即可。 【详解】根据分析可知，如果我是木工师傅，这根木条应该这样钉： 理由：原来的窗框是长边形，容易变形，这样钉木条，利用了三角形不容易变形的特性（稳定性）。 【点睛】熟练掌握三角形的稳定性及应用是解答此题的关键。 8．下图△ABC与△ADE标注了5个角，已知：∠2＝∠4，那么，∠3与∠5是否也相等？为什么？ 【答案】相等；理由见详解 【分析】由图可知，∠1是△ABC与△ADE的公共角，∠2＝∠4，三角形的内角和是180°，根据△ABC与△ADE的内角和即可求得∠3与∠5的关系，据此解答。 【详解】三角形的内角和是180° 在△ABC中，∠1＋∠4＋∠5＝180° 在△ADE中，∠1＋∠2＋∠3＝180° 因为∠2＝∠4，则∠1＋∠4＝∠1＋∠2，∠1＋∠4＋∠5＝∠1＋∠2＋∠3，所以∠3＝∠5。 答：∠3与∠5也相等。 【点睛】本题主要考查三角形的内角和，求出∠1＋∠4与∠1＋∠2的相等关系是解答题目的关键。 9．数学课上，同学们在解决四边形的内角和的问题。下面是四位同学的不同方法。 1个周角＝360                                                                    ①他们解答的方法正确吗？请你在方法正确的同学名字下画“√”。 ②根据乐乐同学的解答方法，说说她是怎么想的？ 【答案】（1）见详解； （2）连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成2个三角形，四边形的内角和＝三角形的内角和×2。 【分析】（1）欢欢同学把四边形的4个角剪下来，拼接成一个周角，适用于所有的四边形，方法正确，但拼接的过程过于繁琐；玲玲同学把一个四边形剪拼成4个三角形，这样四个三角形的内角和就比四边形的内角和多出一个周角的度数，用4个三角形内角度数的总和减去一个周角的度数，可以求出四边形的内角和，适用于所有的四边形，方法正确，但这种方法过于繁琐；如图，小华把四边形剪拼成三个三角形，这样四边形的内角和就等于三个三角形内角和的总和减去一个平角的度数，错误；乐乐同学，连接四边形不相邻的两个顶点，把四边形分成2个三角形，四边形的内角和就等于2个三角形内角和的总和，这种方法易操作，适用于所有所有四边形，是正确的推导四边形内角和的方法。 （2）乐乐同学，连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成2个三角形，四边形的内角和就等于2个三角形内角和的总和，即：四边形的内角和＝三角形的内角和×2。 【详解】（1）根据分析可知，乐乐、欢欢、玲玲的方法正确。 （2）连接四边形不相邻的两个顶点，任意四边形就被分成2个三角形，四边形的内角和＝三角形的内角和×2。 【点睛】本题主要考查了四边形内角和的推导过程，从不同的角度不断尝试探索，获取最简洁、正确的解题方法。 10．小棒AC长14厘米，小明第一次将小棒从B点剪开，得到两根小棒AB、BC，量得AB长6厘米。接着小明把其中一根小棒剪成两根，现在一共是3根小棒，可围成一个等腰三角形。 （1）请你在图中用“点D”标出小明第二次剪的位置。 （2）小明用3根小棒围成等腰三角形后，量得等腰三角形的顶角是98°，求这个三角形中一个底角的度数。 【答案】（1）见详解； （2）41° 【分析】（1）根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；等腰三角形是两个腰长相等，两个底角相等。由此解答即可。 （2）因为等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，所以底角的度数＝（180°－顶角度数）÷2；代数计算即可。 【详解】（1）如图： 因为AB长6cm，可以把BC分成6厘米和2厘米或4厘米和4厘米。 （2）（180°－98°）÷2 ＝82°÷2 ＝41° 答：底角是41°。 【点睛】此题解答关键是根据在三角形中，任意两边之和大于第三边的特征及等腰三角形的特征解决问题。 11．如图所示，将多边形分割成三角形。 （1）上图中四边形、五边形，六边形分别可分割出（    ）、（    ）、（    ）个三角形。每个三角形的内角和是（    ）。 （2）先将下面的多边形分割成三角形，然后求这个图形的内角和。 【答案】（1）2；3；4；180° （2）图见详解过程；900° 【分析】（1）根据图示按要求先数数再填空；根据三角形内角和定理：三角形的内角和是180°进行解答即可； （2）一个顶点的所有对角线把七边形分成5个三角形，然后用三角形的内角和乘5即可求解。 【详解】（1）上图中四边形、五边形，六边形分别可分割出2、3、4个三角形。每个三角形的内角和是180°。 （2）如图所示： 180°×5＝900° 这个图形的内角和是900°。 【点睛】本题主要考查了多边形和三角形的内角和，解题的关键是灵活运用三角形的内角和。 12．按要求做题。 （1）画出上图三角形指定边上的高。 （2）如果在上图三角形ABC中，∠B＝120°，∠A＝20°，那么∠C＝（    ）°。 （3）在计算∠C的度数时，你利用了三角形的内角和等于（    ）°。 如果让你验证“三角形的内角和等于180°”，你会用什么方法？请简要描述。 ____________________________________________________________________________。 【答案】（1）见详解； （2）40； （3）180；见详解 【分析】（1）作线段CB的延长线，从A点向CB的延长线作垂线，标记为点D， AD即为三角形ABC底边上的高，据此作答； （2）根据三角形的内角和＝180°，在三角形ABC中，∠B＝120°，∠A＝20°，那么∠C＝180°－120°－20°，据此作答。 （3）验证三角形的内角和等于180°，可以用拼接法，先把三角形的三个角剪下来，再拼一拼，看看是否能拼成一个平角，据此作答。 【详解】（1）作图如下： （2）180°－120°－20° ＝60°－20° ＝40° 所以∠C＝40°。 （3）理由如下： 如图，拼接成了一个平角，所以可以证明三角形的内角和是180°。 13．五角星“☆”具有“胜利”的含义，常出现在军衔标志上。 （1）观察如表，并将表格补充完整。 正多边形 多边形内角和 每个角的度数 正三角形    180° 60° 正方形      360° 90° 正五边形       （2）根据正五边形每个内角的度数，你能推导出图1中∠1的度数吗？ （3）图2是一个标准的五角星，那么∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝（    ）°。 【答案】（1）540°；108°； （2）36°；（3）180°； 【分析】（1）多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，正五边形有5条边，5条边的长度相等，且5个内角也相等，依此计算。 （2）标准的五角星中，每条边的长度都相等，因此∠1所在的小三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等，1平角是180°，因此用180°减正五边形其中一个内角的度数，即可计算出∠6的度数，三角形的内角和是180°，因此用180°减2个∠6的度数即可，依此计算。 （3）由（2）可知，一个标准的五角星的每个角都是36°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的和为5个36°，依此计算。      【详解】（1）（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 540°÷5＝108°，即填表如下： 正多边形 多边形内角和 每个角的度数 正三角形 180° 60° 正方形 360° 90° 正五边形 540° 108° （2）180°－108°＝72° 180°－72°－72°＝36° 答：图1中∠1的度数是36°。 （3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝36°＋36°＋36°＋36°＋36°＝180°。 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握多边形的内角和的计算方法，以及应掌握平角的特点。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$