函数奇偶性讲义-2025年沪教版暑假高三数学讲义

函数的奇偶性 一、函数奇偶性的定义和性质 奇函数 偶函数 定义 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图像特征 奇函数的图像关于原点对称 偶函数的图像关于轴对称 单调性 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 常用结论 如果函数是奇函数且在处有定义，则一定有 如果函数是偶函数，那么 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 若函数是奇函数，则 是偶函数 若函数是偶函数，则 是奇函数 二、判断函数奇偶性的方法 1.定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证或其等价形式是否成立． 2.图象法： 3.性质法：设的定义域分别是，，那么在它们的公共定义域上： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 奇 偶 奇 4.常见的奇函数结构类型有：，，，，； 常见的偶函数结构类型有：， 类型一：判断函数的奇偶性 例1 （1）；（2）； （3） 例2 已知函数，讨论函数的奇偶性，并说明理由． 【练习】根据的不同取值，讨论函数的奇偶性 类型二：奇偶性的应用 ①求值或值域 例1 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则__________ 例2若函数的最大值为，最小值为，则_______ 【练习】对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为_______ ②求解析式 例1 已知的定义域均为，是偶函数，是奇函数，且，则 ， 例2若定义域为的函数是奇函数，则_________ 【练习】函数为上奇函数，当时，，则的解集是 ③求参数 例1.1若函数为奇函数，则的值为_______ 例1.2若函数是偶函数，则的值为_______ 例2已知函数是奇函数，则________ 【练习】已知函数是偶函数，则_____ ④解不等式 例1 已知函数是上奇函数，且在上是增函数，若，则的取值范围是________ 例2已知函数是上偶函数，且在上是增函数，若，则的取值范围是________ 【练习】已知函数，若满足恒成立，则实数的取值范围是_________ 类型三：奇偶性与对称性、周期性 例1已知函数为上的奇函数，且，当时， ，则______ 例2设是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，，当时，的解析式为_________ 【练习】若函数，则图像上关于原点对称的点共有 _________对 【组】基础巩固 1.设，是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“是偶函数”的______________条件 2.若函数是定义在区间上的偶函数，则__ 3.若函数的图像关于原点对称，则_____ 4.若是周期为2的奇函数，当时，，则________ 5.已知函数是奇函数，则 【组】强化训练 1.已知函数，若任意的正数，满足.则的最大值_____ 2.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，如果对于任意，恒成立，则实数的取值范围是________ 3.设是定义在上的以2为周期的偶函数，在区间上单调递减，且满足，，则不等式组的解集为 【组】思维点睛 1.设，若函数为奇函数，则_______ 2. 已知函数，实数，，满足 ，则的值（ ） 一定大于30 一定小于30 等于30 大于30、小于30都有可能 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的定义和性质 奇函数 偶函数 定义 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图像特征 奇函数的图像关于原点对称 偶函数的图像关于轴对称 单调性 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 常用结论 如果函数是奇函数且在处有定义，则一定有 如果函数是偶函数，那么 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 若函数是奇函数，则 是偶函数 若函数是偶函数，则 是奇函数 二、判断函数奇偶性的方法 1.定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证或其等价形式是否成立． 2.图象法： 3.性质法：设的定义域分别是，，那么在它们的公共定义域上： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 奇 偶 奇 4.常见的奇函数结构类型有：，，，，； 常见的偶函数结构类型有：， 类型一：判断函数的奇偶性 例1 （1）；（2）； （3） 【答案】(1)定义域为， ，所以为奇函数 （2）定义域为， ，所以为奇函数 （3）令，先考察的奇偶性，其定义域为 ，所以为奇函数，故是偶函数 例2 已知函数，讨论函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】定义域为， 若函数为奇函数，，若对任意均成立，则； 若函数为偶函数，，若对任意均成立，则； 所以当时，是奇函数；当时，函数是偶函数；当时，函数既不是奇函数也不是偶函数 【练习】根据的不同取值，讨论函数的奇偶性 【答案】定义域为， 若函数为奇函数， ，无解 若函数为偶函数， ，若对任意均成立，则 ；故当函数为非奇非偶 类型二：奇偶性的应用 ①求值或值域 例1 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则__________ 【答案】 例2若函数的最大值为，最小值为，则_______ 【答案】，令，显然为奇函数，则 ，则，故 【总结】设为奇函数，，则 【练习】对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为_______ 【答案】时，令，，，根据奇函数值域对称，则当时，，而当时，，综上所述：该函数的值域为 ②求解析式 例1 已知的定义域均为，是偶函数，是奇函数，且，则 ， 【答案】因为①对任意均成立，给赋予，可得 ，由于是偶函数，是奇函数，则 ②，利用①②解不等式组得： ， 例2若定义域为的函数是奇函数，则_________ 【答案】 【练习】函数为上奇函数，当时，，则的解集是 【答案】当，；当，， 则，解得；当，，所以解集为 ③求参数 例1.1若函数为奇函数，则的值为_______ 【答案】由奇函数定义得： 【注意】此题若用解题会漏解，什么情况下可以用呢？在能够明确定义域内含有 例1.2若函数是偶函数，则的值为_______ 【答案】法一：利用化简；法二：在定义域内取特殊值，如 解得 例2已知函数是奇函数，则________ 【答案】，解得，很显然 不成立，舍去，故 【练习】已知函数是偶函数，则_____ 【答案】取，得 ④解不等式 例1 已知函数是上奇函数，且在上是增函数，若，则的取值范围是________ 【答案】，因为函数是上奇函数，且在上是增函数，所以在上是增函数，故有 例2已知函数是上偶函数，且在上是增函数，若，则的取值范围是________ 【答案】，解得 【练习】已知函数，若满足恒成立，则实数的取值范围是_________ 【答案】由判断知为奇函数且为增函数，则， 恒成立， 类型三：奇偶性与对称性、周期性 例1已知函数为上的奇函数，且，当时， ，则______ 【答案】，函数的周期为2 ， 例2设是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，，当时，的解析式为_________ 【答案】求解析式可以理解为求值，只不过求的是的值，想办法利用对称性和奇偶性转移到区间上去求即可，当，先利用偶函数性质，再利用关于对称，则 【练习】若函数，则图像上关于原点对称的点共有 _________对 【答案】作（）部分的图像，看与图像的交点，故有4对 【组】基础巩固 1.设，是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“是偶函数”的______________条件 【答案】充分不必要条件 反例：， 2.若函数是定义在区间上的偶函数，则__ 【答案】，，所以 3.若函数的图像关于原点对称，则_____ 【答案】取，解得 4.若是周期为2的奇函数，当时，，则________ 【答案】, 5.已知函数是奇函数，则 【答案】取，则，则 【组】强化训练 1.已知函数，若任意的正数，满足.则的最大值_____ 【答案】由奇偶性定义可判断为奇函数，则， ，得，基本不等式 2.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，如果对于任意，恒成立，则实数的取值范围是________ 【答案】，又在上是增函数，故，当，，整理得：，故实数 3.设是定义在上的以2为周期的偶函数，在区间上单调递减，且满足，，则不等式组的解集为 【答案】，，故不等式组的解集为 【组】思维点睛 1.设，若函数为奇函数，则_______ 【答案】首先，根据奇函数定义域对称的性质，也不在其定义域内，故，得，则，由可得 2. 已知函数，实数，，满足 ，则的值（ ） 一定大于30 一定小于30 等于30 大于30、小于30都有可能 【答案】令，则在上是奇函数，也是增函数， 若,则,故 ，同理可得：，，故选 学科网（北京）股份有限公司 $$