函数的单调性讲义-2025年沪教版暑假高三数学讲义

函数的单调性 一、函数单调性的定义 1.增函数：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,，当时，都有，那么就说函数在区间上是严格增函数． 或对于任意,且，则在上是严格增函数 2.减函数：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,，当时，都有，那么就说函数在区间上是严格减函数． 或对于任意,且，则在上是严格减函数 二、判断证明函数单调性的方法 1.证明单调性：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论 2. 性质法： 增 增 增 不确定 增 减 减 减 不确定 增 增 减 不确定 增 减 减 增 不确定 减 减 3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间 类型一：判断证明函数的单调性 例1已知函数，判断在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明 例2判断并证明函数在的单调性 类型二：根据函数单调性求参 ①导数与单调性 例已知函数在区间上是增函数，则的取值范围为_____ ②分段函数单调性 例1 已知函数，若对任意，则实数的取值范围为_______ 例2若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为_________ 【练习】已知函数其中，若在上是严格增函数，则的取值范围为___________. ③复合函数单调性 例1 已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为_______ 例2已知函数，其中，在区间上是增函数，则实数的取值范围为_______ 【练习】已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为_______ 类型三：函数唯一零点存在 例1若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为______ 例2已知函数,证明：函数在区间内存在唯一的零点 类型四：单调性与值域分析 例1已知，函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 例2设函数，，求函数的最小值(用表示). 【练习】若函数有最大值，且最大值不小于，则的取值范围是 ___ 【组】基础巩固 1.函数的严格减区间为___________ 2.已知函数，若，则实数的取值范围是 3.已知函数在区间上的最大值为3，最小值为2，那么实数的取值范围是 4.函数在上严格单调递增，则的取值范围是_______ 5.若函数的值域为，则的取值范围是_____ 【组】强化训练 1.已知函数在上有最大值，则的取值范围为__________ 2.已知函数是定义域为的奇函数，且当时，.若函数在上的最小值为，则实数的值为_______ 3. 已知函数在区间上的最大值是10，则实数的取值范围是_________ 【组】思维点睛 1.已知函数，试讨论的单调区间. 2.已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是___________ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的单调性 一、函数单调性的定义 1.增函数：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,，当时，都有，那么就说函数在区间上是严格增函数． 或对于任意,且，则在上是严格增函数 2.减函数：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,，当时，都有，那么就说函数在区间上是严格减函数． 或对于任意,且，则在上是严格减函数 二、判断证明函数单调性的方法 1.证明单调性：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论 2. 性质法： 增 增 增 不确定 增 减 减 减 不确定 增 增 减 不确定 增 减 减 增 不确定 减 减 3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间 类型一：判断证明函数的单调性 例1已知函数，判断在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明 【答案】增函数，函数的定义域是，任取，设，有 因为，所以，又，所以， 所以函数在其定义域上是增函数 例2判断并证明函数在的单调性 【答案】减函数， 设，则 ，即，所以函数在上是减函数 类型二：根据函数单调性求参 ①导数与单调性 例已知函数在区间上是增函数，则的取值范围为_____ 【答案】，故，则的取值范围为 ②分段函数单调性 例1 已知函数，若对任意，则实数的取值范围为_______ 【答案】分段函数先保证在每段上是单调的，再讨论分界处的大小 时，；时，是单调递增的；在处，需满足，解得；综上所述的取值范围为 例2若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为_________ 【答案】当时，；在处，需满足，解得，综上所述实数的取值范围为 【练习】已知函数其中，若在上是严格增函数，则的取值范围为___________. 【答案】当时，，同时，综上所述的取值范围为 ③复合函数单调性 例1 已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为_______ 【答案】令，，根据“同增异减”原则，只需在上是增函数，分类讨论：①若，在上是增函数；②若，飘带函数在上是增函数；③若，耐克函数最低点需；综上所述实数的取值范围为 例2已知函数，其中，在区间上是增函数，则实数的取值范围为_______ 【答案】既要保证在上是增函数，还要保证在上恒大于零，故 ，解得 【练习】已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为_______ 【答案】，需满足两个条件 ，解得 类型三：函数唯一零点存在 例1若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为______ 【答案】因为函数在区间上为增函数，所以，解得 例2已知函数,证明：函数在区间内存在唯一的零点 【答案】，所以在内存在零点.又当 时，，所以在上是单调递增的，故函数 在区间内存在唯一的零点 类型四：单调性与值域分析 例1已知，函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 【答案】分段函数先分析每段上的最小值，再取两者中更小的 令，，因为是减函数，，①若，满足题意；②若，则，得；③若，则，无解 综上所述：或 例2设函数，，求函数的最小值(用表示). 【答案】， 令， 当时，在上是增函数，， 当时，在上先减后增，， 因为，所以，所以函数的最小值为 【练习】若函数有最大值，且最大值不小于，则的取值范围是 ___ 【答案】需满足三个条件，解得 【组】基础巩固 1.函数的严格减区间为___________ 【答案】 2.已知函数，若，则实数的取值范围是 【答案】在上是增函数，由得： 3.已知函数在区间上的最大值为3，最小值为2，那么实数的取值范围是 【答案】 4.函数在上严格单调递增，则的取值范围是_______ 【答案】，由分式函数图像性质判断知：，解得 5.若函数的值域为，则的取值范围是_____ 【答案】 【组】强化训练 1.已知函数在上有最大值，则的取值范围为__________ 【答案】，若，在上是单调递增的，无最大值；若，令，得，则，解得 2.已知函数是定义域为的奇函数，且当时，.若函数在上的最小值为，则实数的值为_______ 【答案】由奇函数的对称性知：函数在上的最大值为，分类讨论： ①若，，不满足题意； ②若，，解得，舍 ③若，i.当，即，，解得 ii. 当，即，，解得，舍 综上所述 3. 已知函数在区间上的最大值是10，则实数的取值范围是_________ 【答案】，分析知 【组】思维点睛 1.已知函数，试讨论的单调区间. 【答案】 ①若，此时，在和上是单调递增，在上单调递减 ②若，在上是单调递增 ③若，在和上是单调递增，在上单调递减 2.已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是___________ 【答案】根据函数类型可能为耐克函数或者对勾函数，①若，在上是增函数，，即有解，，故；②若，(i),则，所以；(ii),则，所以，综上所述： 学科网（北京）股份有限公司 $$