分式型函数的图像和性质讲义-2025年沪教版暑假高三数学讲义

分式型函数图像和性质 一次分式函数 一次分式函数借助于“分离常数”法，解析式可以化为 (过程比结果重要) 因此一次分式函数的图像可以看作是反比例函数图像经过平移得来 解析式 图像 定义域 值域 单调性 在定义域内是减函数 在定义域内是增函数 渐近线 ， 对称性 既是中心对称，又是轴对称 对称中心 类型一：一次分式函数 例1 若函数的值域是，则此函数的定义域为________ 例2函数的大致图像如图，若函数图像经过和两点，且和是其两条渐近线，则 【练习】函数的图像可以由反比例函数_______经过_______________________平移的顺序得到. 类型二：一次分式函数图像的应用 例1 试讨论方程解的个数 例2定义在上的函数满足，且，则 函数在区间上的所有零点之和为（ ） 4 5 7 8. 【练习】已知函数，若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是________ 耐克函数 耐克函数图像和性质 图像 性质 解析式：，其中， 定义域： 值域： 奇偶性：奇函数 单调性：和 和 【注】：①，坐标由来，在时，由基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时， ②直线和耐克函数在第一象限的两个交点，,有，这是因为，由韦达定理可得 ③耐克函数图像无限地靠近直线 例1已知函数..，若存在使得 ，则正整数的最大值是 例2函数在内单调递增，则实数的取值范围是_______ 【练习】函数的最大值与最小值之差为______ 二次分式函数值域 例1 已知，则函数的最大值是_______ 例2 的值域为_______ 【练习】 设实数,满足，则的最小值是_______ 【组】基础巩固 1.函数的对称中心为__________ 2.函数的值域为_________ 3.函数的值域为_______ 4.已知函数在区间上是单调减函数，则的取值范围为____ 5.若函数()在上的最大值为，则的值为_____ 【组】强化训练 1.数列满足，，则的最小值为_______ 2.若一元二次不等式在区间上有解，则的取值范围是________ 3.已知函数是偶函数，且，当时，，则方 程在区间上的解的个数是_______ 【组】思维点睛 1.已知函数，， 且，给出以下结论: ① 恒成立；②恒成立.则（ ） (A) ①正确，②正确 (B) ①正确，②错误 (C) ①错误，②正确 (D) ①错误，②错误 2.函数的最小值为_______ 3.不等式对于任意的,恒成立，则实数的取值范围为___ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 分式型函数图像和性质 一次分式函数 一次分式函数借助于“分离常数”法，解析式可以化为 (过程比结果重要) 因此一次分式函数的图像可以看作是反比例函数图像经过平移得来 解析式 图像 定义域 值域 单调性 在定义域内是减函数 在定义域内是增函数 渐近线 ， 对称性 既是中心对称，又是轴对称 对称中心 类型一：一次分式函数 例1 若函数的值域是，则此函数的定义域为________ 【答案】法一：画图象看定义域， 法二：解不等式或 例2函数的大致图像如图，若函数图像经过和两点，且和是其两条渐近线，则 【答案】渐近线，渐近线，又， 故 【练习】函数的图像可以由反比例函数_______经过_______________________平移的顺序得到. 【答案】，故由反比例函数向右平移单位，向下平移单位 类型二：一次分式函数图像的应用 例1 试讨论方程解的个数 【答案】画出函数的图像，看其与直线的交点个数 由图像可知：①若，方程无解；②若，方程1解；③若，方程2解；④若，方程4解 例2定义在上的函数满足，且，则 函数在区间上的所有零点之和为（ ） 4 5 7 8. 【答案】看函数和的图像的交点的横坐标之和 【练习】已知函数，若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是________ 【答案】画出图像，观察其与直线的交点 由图像知求出临界状态切线，当部分的函数解析式为， 和直线联立，，令，得 或，故实数的取值范围是 耐克函数 耐克函数图像和性质 图像 性质 解析式：，其中， 定义域： 值域： 奇偶性：奇函数 单调性：和 和 【注】：①，坐标由来，在时，由基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时， ②直线和耐克函数在第一象限的两个交点，,有，这是因为，由韦达定理可得 ③耐克函数图像无限地靠近直线 例1已知函数..，若存在使得 ，则正整数的最大值是 【答案】分析知函数在上的最大值，最小值，因此中取，，此时最大为5 例2函数在内单调递增，则实数的取值范围是_______ 【答案】先换元，令，，则问题转化为函数在 内单调递增，由于的取值不同会影响函数的类型，故要分类讨论 ①若，一次函数在上单调增，满足题意；②若，飘带函数在上是单调递增的，满足题意；③若，此时耐克函数在第一象限的最低点要在2的左边，即；综上所述：实数的取值范围是 【练习】函数的最大值与最小值之差为______ 【答案】 令，，， 二次分式函数值域 例1 已知，则函数的最大值是_______ 【答案】二次/一次的分式函数，我们采用换元法，对一次式整体换元 令，其中，则，结合耐克函数图像知：当时，取得最大值 例2 的值域为_______ 【答案】，由于存在这样的关系，换元令，当时， ，故 【练习】 设实数,满足，则的最小值是_______ 【答案】因为，所以可以用表示，即，则 【组】基础巩固 1.函数的对称中心为__________【答案】 2.函数的值域为_________ 【答案】令,，，值域为 3.函数的值域为_______ 【答案】换元法，令，，则，①若，；②若，，，结合①和②，故函数的值域为 4.已知函数在区间上是单调减函数，则的取值范围为____ 【答案】，故 5.若函数()在上的最大值为，则的值为_____ 【答案】，令，则在上的最小值为 分类讨论：①若，即时，，可得；②若，即时，，可得，不满足舍去 【组】强化训练 1.数列满足，，则的最小值为_______ 【答案】先累加法求通项， … … ， 故，由于，判断知当时，取最小值 2.若一元二次不等式在区间上有解，则的取值范围是________ 【答案】原不等式有解问题等价于不等式在上有解，令，，故要有解则 3.已知函数是偶函数，且，当时，，则方 程在区间上的解的个数是_______ 【答案】9个 画出函数和在上的图像，看交点个数即可 【组】思维点睛 1.已知函数，， 且，给出以下结论: ① 恒成立；②恒成立.则（ ） (A) ①正确，②正确 (B) ①正确，②错误 (C) ①错误，②正确 (D) ①错误，②错误 【答案】由耐克函数图像性质知：，故基本不等式有；从图像可以看出，故，而在是增函数，故，选 2.函数的最小值为_______ 【答案】 ，当时，，故当，即时，取得最小值 3.不等式对于任意的,恒成立，则实数的取值范围为___ 【答案】，换元令，，则令，故 学科网（北京）股份有限公司 $$