2023—2024学年北师大版七年级下册数学期末复习考点专训5.3-5.4简单的轴对称图形、利用轴对称进行设计

北师大版七年级下册数学期末复习考点专训 第五章《生活中的轴对称》 5.3 简单的轴对称图形 5.2 利用轴对称进行设计 考点：利用三角形全等测距离 一、知识清单 定义： 线段的垂直平分线 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 . 性质： 对称性 等腰三角形是轴对称图形 . 线段是轴对称图形 .垂直且平分线段的直线是它的一条对称轴 . 角是轴对称图形，角分线所在的直线是它的对称轴 . 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线底边上的高重合（也称“三线合一”）.它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴 . 底角相等 等腰三角形的底角相等 . 垂直平分线性质 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 . 角分线性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 . 2、 考点专训 一、单选题专训 1．榫卯是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分腰AB，交AC于点D，交AB于点E，若∠A＝50°，则∠DBC的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 3．如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点 4．如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 6．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝12，则△AOB的面积是（　　） A．9 B．18 C．24 D．30 7．如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝135°，则∠2的度数是（　　） A．75° B．95° C．105° D．135° 8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC＝4cm，AC＝5cm，则点O到边AB的距离为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 9．如图，在△ABC中AB、AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝78°，则∠OBC的度数为（　　） A．6° B．8° C．12° D．16° 10．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EAED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题专训 11．画轴对称图形，应该先确定　 　，再找出对称点，最后将对称点依次连接起来． 12．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长为 　 　． 13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝36°，则∠EBC＝　 　． 14．已知等腰三角形一边长为3，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长为 　 　． 15．如图，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC，垂足为E，点D在AE上，且CD平分∠ACB，若∠ABC＝52°，则∠ADC的度数为 　 　． 16．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若AC＝6，DE＝2，则△ACD的面积为 　 　． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是 　 　. 18．等腰三角形的两边长满足|a﹣4|+（b﹣9）2＝0．则这个等腰三角形的周长为　 　 19．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，若△ABC的面积是36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE的长为 　 　． 20．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均为等边三角形，若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为　 　 三、解答题专训 21．画出以AB为对称轴的轴对称图形．（不要求写出画法） 22．已知等腰三角形的周长为28cm，其中的一边长是另一边长的倍，求这个等腰三角形各边的长． 23．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，若△ABC的面积为36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，求DE的长． 24．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接AE，AG，若△AEG的周长为10，求线段BC的长． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F． （1）试说明：DE＝DF； （2）若∠BDE＝55°，求∠BAC的度数． 26．如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD． （1）若∠B＝40°，求∠ACD的度数； （2）判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 27．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）试说明：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 28．如图，已知在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AD＝AC，连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数． 29．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE＝45°． （1）试说明：BF平分∠ABE； （2）连接CF交AD于点G，若S△ABF＝S△CBF，求证：∠AFC＝90°； （3）在（2）的条件下，当BE＝3，AG＝4.5时，求线段AB的长． 30．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　； （2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　 　． 参考答案 一、单选题专训 1-5．CACDA 6-10．BCACB． 二、填空题专训 11．　对称轴　 12． 　6　． 13．　36°　． 14． 　17　． 15．　128°　． 16． 　6　． 17． 　5　. 18．　22　 19． 　cm　． 20．　128　 三、解答题专训 21．解：如图， 22．解：设等腰三角形的一边长为xcm，则另一边长为xcm， 则等腰三角形的三边有两种情况：xcm，xcm，xcm或xcm，xcm，xcm， 则有：①x+xx＝28，得x＝8cm， 所以三边为：8cm、8cm、12cm； ②xxx＝28，得x＝7cm， 所以三边为7cm、10.5cm、10.5cm． 因此等腰三角形的三边的长为：8cm，8cm，12cm或7cm，10.5cm，10.5cm． 23．解：∵如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥BC，垂足为F， ∴DE＝DF． ∵S△ABC＝36，AB＝18，BC＝12， ∴S△ABD+S△BCDAB•DEBC•DF＝36，即18DE12DE＝36， 解得DE． 24．解：∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC， ∴EA＝EB，GA＝GC， ∵△AEG的周长为10， ∴AE+EG+AG＝10， ∴BC＝BE+EG+GC＝AE+EG+GC＝10， ∴线段BC的长为10． 25．解：（1）连接AD， ∵D是BC的中点，AB＝AC， ∴AD平分∠BAC， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF； （2）∵DE⊥AB， ∴∠BED＝90°， ∵∠BDE＝55°， ∴∠B＝35°， ∴∠C＝35°， ∴∠BAC＝110°． 26．解：（1）连接BD并延长，交AC于H， ∵DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线， ∴DA＝DB，DC＝DB， ∴∠DAB＝∠DBA，∠DCB＝∠DBC， ∴∠ADH＝∠DAB+∠DBA＝2∠DBA，∠CDH＝∠DCB+∠DBC＝2∠DBC， ∴∠ADC＝2∠ABC＝80°， ∵DA＝DB，DC＝DB， ∴DA＝DC， ∴∠ACD＝∠CAD（180°﹣80°）＝50°； （2）∠B+∠ACD＝90°， 理由如下：∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°， ∴2∠ACD+2∠ABC＝180°， ∴∠ACD+∠ABC＝90°． 27．解：（1）连接AE， ∵EF垂直平分AB ∴AE＝BE ∵BE＝AC ∴AE＝AC ∵D是EC的中点 ∴AD⊥BC （2）设∠B＝x° ∵AE＝BE ∴∠BAE＝∠B＝x° ∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x° ∵AE＝AC ∴∠C＝∠AEC＝2x° 在三角形ABC中，3x°+75°＝180° x°＝35° ∴∠B＝35° 28．解：∵在等边三角形ABC中， ∴AB＝AC（等边三角形的意义），AD⊥BC（已知）， ∴∠CAD∠BAC（等腰三角形三线合一）， ∵∠BAC＝60°（等边三角形的性质）， ∴∠CAD＝30°（等量代换）， ∵AD＝AC（已知）， ∴∠ACD＝∠ADC（等边对等角）， ∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD＝180°（三角形的内角和等于180度）， ∴∠ACD＝75°（等式的性质）， ∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E＝180°（三角形的内角和等于180度）， ∴∠E＝45°（等式的性质）． 29．解：（1）∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠BAD＝2∠BAF， ∵∠BFE＝45°， ∴∠FBA+∠BAF＝45°， ∴2∠FBA+2∠BAF＝90°， ∵AD为BC边上的高， ∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF＝90°， ∴2∠FBA＝∠EBA+∠FBA， ∴∠EBF＝∠FBA， ∴BF平分∠ABE； （2）过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N， ∵BF平分∠ABE，FM⊥BC，FN⊥AB， ∴FM＝FN， ∵S△ABF＝S△CBF， 即AB•FNBC•FM， ∴AB＝BC， 在△ABF和△CBF中， ， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴∠AFB＝∠CFB， ∵∠BFE＝45° ∴∠AFB＝135°， ∴∠CFB＝135°， ∴∠CFE＝∠CFB﹣∠BFE＝135°﹣45°＝90°， ∴∠AFC＝90°； （3）∵△ABF≌△CBF， ∴AF＝FC， ∵∠AFC＝∠ADC＝90°，∠AGF＝∠CGD， ∴∠FAG＝∠FCE， 在△AFG和△CFE中， ， ∴△AFG≌△CFE（ASA）， ∴AG＝EC＝4.5， ∵BE＝3， ∴BC＝BE+EC＝7.5， ∵△ABF≌△CBF， ∴AB＝BC＝7.5． 30．解：（1） 过A作AE⊥BC于E， ∵点D是BC边上的中点， ∴BD＝DC， ∴SABD：S△ACD＝（BD×AE）：（CD×AE）＝1：1， 故答案为：1：1； （2） 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴DE＝DF， ∵AB＝m，AC＝n， ∴SABD：S△ACD＝（AB×DE）：（AC×DF）＝m：n； （3） ∵AD＝DE， ∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1， ∵S△BDE＝6， ∴S△ABD＝6， ∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB， ∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1， ∴S△ACD＝3， ∴S△ABC＝3+6＝9， 故答案为：9． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$