八年级期末数学模拟试卷01（测试范围：第十六章---第二十章）【好题汇编】-备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（天津专用）

2023-2024学年八年级下学期数学 期末测试卷01 （测试范围：第十六章---第二十章） （试卷满分： 120分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C．2x+2y＝2xy D．（x﹣y）2＝x2﹣y2 2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C对边是a、b、c，哪个条件不能判断△ABC是直角三角形（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．b2+a2＝c2 3．如图，△ABC的边AB，BC，AC的中点分别是D，E，F，且各边的长分别为AB＝5，BC＝4，AC＝6，则四边形ADEF的周长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 4．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|1﹣a|的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a 5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC，CD＝2，则BO的长为（　　） A．2 B．2 C． D． 6．为了解某小区居民用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表，则关于这10户家庭月用水量数据组的说法，错误的是（　　） 月用水量（吨） 4 5 6 户数 3 4 3 A．中位数是5 B．众数是5 C．方差是6 D．平均数是5 7．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知点E为正方形ABCD内一点，△ABE为等边三角形，连结ED，EC，则∠DEC的度数为（　　） A．120° B．150° C．108° D．135° 9．如图是一次函数y1＝kx﹣2k与y2＝x+a的图象，则下列选项正确的是（　　） A．k＞0 B．a＞0 C．当x＜2时，一次函数 y1＝kx﹣2k的值都为负数 D．方程kx﹣2k＝x+a的解是x＝3 10．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），随板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m 11．如图，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图，则△ABE的面积为（　　） A．30 B．25 C．24 D．20 12．如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，有下列结论：①ED平分∠AEC；②；③HE＝DF；④AB＝FH．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13．若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，BC＝12，DB＝13，点D到AB的距离为 　 　． 15．如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE＝　 　cm． 16．若点（﹣1，y1），（3，y2）都在一次函数y＝（k+2）x+1的图象上，且y1＞y2，则实数k的取值范围是 　 　． 17．已知x＝1，y＝1，则x2+3xy+y2的值为 　 　． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E为直线BC下方一点，且以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为 　 　． 三、解答题（本大题共7道小题，共66分） 19．（8分）计算： （1）； （2）． 20．（8分）如图，某县内连接三个乡镇A、B、C之间的公路分别是AB＝6km，AC＝8km，BC＝10km．鉴于三个乡镇之间地势平坦，为构建乡镇交通网络，方便群众出行，该县计划从A镇新修一条公路直达公路BC，该段公路造价为10万元/km． （1）判断公路AB和AC的位置关系，并说明理由； （2）求新修的公路的最低造价． 21．（10分）1996年，国家卫生部、国家教育部、团中央、中国残联等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，确定每年6月6日为“全国爱眼日”．2023年6月6日，某中学在全校七、八年级共1200名学生中开展“全国爱眼日”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩： 5，5，5，5，6，6，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，10，10，10． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 7.4 7.4 中位数 a b 众数 7 c 合格率 85% 80% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）估计该校七、八年级共1200名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，你认为两个年级“全国爱眼日”知识竞赛的学生成绩谁更优异．（一条理由即可） 22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝10，BD＝8，求OE的长． 23．（10分）“低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行、出游的交通工具．元旦假期，李明和姐姐在9：00同时从家出发骑自行车去绿博园，李明先以250m/min的速度骑行了一段时间，休息了5分钟后再以a m/min的速度到达绿博园，姐姐则始终以同一速度骑行，两人骑行的路程y（m）与时间x（min）的关系如图所示．请结合图象，解答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）若姐姐的速度是180m/min，求线段BC的函数表达式，和姐弟两人第二次相遇时距绿博园的距离； （3）在（2）的条件下，请直接写出李明自第二次出发至到达绿博园时，何时与姐姐相距200m？ 24．（10分）如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F． （1）求证：△ADF≌△DCE； （2）若△DEF的面积为，求AF的长； （3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长． 25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，直线AB：y＝kx与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和C（2，0）． （1）求直线AB和AC的表达式． （2）点P是y轴上一点，当PA+PC最小时，求点P的坐标． （3）如图2，点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F，若△DEF为直角三角形，求点D坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级下学期数学 期末测试卷01 （测试范围：第十六章---第二十章） （试卷满分： 120分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C．2x+2y＝2xy D．（x﹣y）2＝x2﹣y2 【分析】根据合并同类项法则，二次根式的乘法运算以及完全平方公式进行分析判断即可． 【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意． B、，计算正确，符合题意． C、2x与2y不是同类项，不能合并，不符合题意． D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，合并同类项以及完全平方公式，熟记计算法则即可作答． 2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C对边是a、b、c，哪个条件不能判断△ABC是直角三角形（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．b2+a2＝c2 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°90°， ∴△ABC是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故C符合题意； D、∵b2+a2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 3．如图，△ABC的边AB，BC，AC的中点分别是D，E，F，且各边的长分别为AB＝5，BC＝4，AC＝6，则四边形ADEF的周长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】根据三角形的中位线定理即可得到结论． 【解答】解：∵D，E，F分别是△ABC边AB，BC，AC上的中点， ∴EF＝ADAB，DE＝AFAC6＝3， ∴四边形ADEF的周长＝EF+AD+DE+AF＝5+6＝11， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、线段中点的概念，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 4．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|1﹣a|的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a 【分析】根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算． 【解答】解：由图知：1＜a＜2， ∴2﹣a＞0，1﹣a＜0， ∴原式＝|2﹣a|+（a﹣1） ＝2﹣a+a﹣1 ＝1． 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键． 5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC，CD＝2，则BO的长为（　　） A．2 B．2 C． D． 【分析】连接DE，由勾股定理求出DE，由等腰三角形的性质推出AE垂直平分BD，得到BE＝DE，OB，由勾股定理求出BD2，得到OB． 【解答】解：连接DE， ∵∠C＝90°，EC，CD＝2， ∴DE， ∵AB＝AD，AE平分∠BAD， ∴AE垂直平分BD， ∴BE＝DE，OB， ∴BC＝BE+CE＝4， ∴BD2， ∴OB． 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是由等腰三角形的性质推AE垂直平分BD，得到BE＝DE，OBBD． 6．为了解某小区居民用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表，则关于这10户家庭月用水量数据组的说法，错误的是（　　） 月用水量（吨） 4 5 6 户数 3 4 3 A．中位数是5 B．众数是5 C．方差是6 D．平均数是5 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，极差是数据中最大的与最小的数据的差，平均数是所有数据的和除以数据的个数，分别根据以上定义可分别求出众数，极差和平均数，然后根据方差的计算公式进行计算求出方差，即可得到答案． 【解答】解：这组数据5出现了4次，最多，所以这组数据的众数为5吨； 这组数据的平均数（4×3+5×4+6×3）＝5吨； 这组数据的方差S2[3（4﹣5）2+4（5﹣6）2+3•（6﹣5）2]＝0.6； 中位数为：5吨 所以四个选项中，A、B、D正确，C错误． 故选：C． 【点评】本题考查了方差的定义、加权平均数、中位数及众数的定义，方差反映了一组数据在其平均数的左右的波动大小，方差越大，波动越大，越不稳定；方差越小，波动越小，越稳定． 7．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据一次函数y＝kx+b的图象判断出k，b的符号，进而可得出结论． 【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可知，k＜0，b＞0， ∴﹣b＜0， ∴一次函数y＝﹣bx+k的图象经过二、三、四象限． 故选：B． 【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 8．如图，已知点E为正方形ABCD内一点，△ABE为等边三角形，连结ED，EC，则∠DEC的度数为（　　） A．120° B．150° C．108° D．135° 【分析】由正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，由等边三角形的性质得出AB＝BE＝AE，∠ABE＝∠BEA＝∠BAE＝60°，从而得出BC＝BE，AD＝AE，∠CBE＝∠DAE＝30°，再分别求出∠BEC、∠AED的度数，即可求出∠DEC的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∵△ABE为等边三角形， ∴AB＝BE＝AE，∠ABE＝∠BEA＝∠BAE＝60°， ∴BC＝BE，AD＝AE，∠CBE＝∠DAE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BEC＝∠BCE75°， 同理∠AED＝75°， ∴∠DEC＝360°﹣∠BEC﹣∠BEA﹣∠AED＝360°﹣75°﹣60°﹣75°＝150°， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 9．如图是一次函数y1＝kx﹣2k与y2＝x+a的图象，则下列选项正确的是（　　） A．k＞0 B．a＞0 C．当x＜2时，一次函数 y1＝kx﹣2k的值都为负数 D．方程kx﹣2k＝x+a的解是x＝3 【分析】根据一次函数图象的性质逐项判断即可解答． 【解答】解：∵y1＝kx﹣2k的图象呈下降趋势， ∴k＜0， 故A项错误； ∵y2＝x+a的图象与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴a＜0， 故B项错误； ∵一次函数解析式为：y1＝kx﹣2k＝k（x﹣2）， ∴当x＝2时，y1＝0， ∴一次函数与x轴的交点坐标为（2，0）， ∴当x＞2时，一次函数 y1＝kx﹣2k的值大于0， 当x＜2时，一次函数 y1＝kx﹣2k的值小于0， 当x＝2时，一次函数 y1＝kx﹣2k的值等于0， 故C项错误； ∵由一次函数 y1＝kx﹣2k与 y2＝x+a的图象的交点可知 当x＝3时一次函数 y1＝kx﹣2k与一次函数 y2＝x+a的值相等， 故D项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 10．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），随板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m 【分析】设AC的长为x，则AB＝AC＝x m，故AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m．在直角△ADC中利用勾股定理即可求解． 【解答】解：由题意可知，CF＝2.5m，BE＝0.7m， ∴BD＝1.8m． 设AC的长为x m，则AB＝AC＝x m， 所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m． 在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2， 解得：x＝3.4， 即绳索AC的长是3.4米． 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理的实际应用，找到直角三角形并利用勾股定理构造方程是解题的关键． 11．如图，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图，则△ABE的面积为（　　） A．30 B．25 C．24 D．20 【分析】根据图象可以得到BC、ED的长度，再用当t＝5时△BPQ的面积为30求出CD的长，再用三角形的面积公式求出△ABE的面积． 【解答】解：由图象可知， BC＝BE＝5×2＝10（cm），ED＝2×（6﹣5）＝2（cm）， ∴AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝10﹣2＝8（cm）， 当t＝5时，y＝S△BPQ＝S△BECBC•CD10•CD＝30， ∴CD＝6＝AB， ∴S△ABEAE•AB8×6＝24（cm2）， 故选：C． 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件． 12．如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，有下列结论：①ED平分∠AEC；②；③HE＝DF；④AB＝FH．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠DAE＝45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，证出AE＝AD，证明△ABE≌△AHD，可得BE＝DH，求出∠ADE＝∠AED＝∠CED＝67.5°，从而判断出①正确；求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD＝OH，判断出②正确；求出∠EBH＝∠OHD＝22.5°，∠AEB＝∠HDF＝45°，证明△BEH≌△HDF，可得BH＝HF，判断出③正确；判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到④错误． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴AE＝AD， 在△ABE和△AHD中， ， ∴△ABE≌△AHD（AAS）， ∴B E＝D H， ∴AB＝BE＝AH＝HD， ∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠CED， ∴ED平分∠AEC，故①正确； ∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB， ∴∠OHE＝∠AED， ∴OE＝OH， ∵∠OHD＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∴∠OHD＝∠ODH， ∴OH＝OD， ∴OE＝OD＝OH， ，故②正确； ∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠EBH＝∠OHD， 又∵BE＝DH，∠AEB＝∠HDF＝45°， 在△BEH和△HDF中， ， ∴△BEH≌△HDF（ASA）， ∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确； ∵AB＝AH，∠BAE＝45°， ∴△ABH不是等边三角形， ∴AB≠BH， ∴即AB≠HF，故④错误； 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13．若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　． 【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，3x﹣2≥0， 解得x． 故答案为：x． 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，BC＝12，DB＝13，点D到AB的距离为 　 　． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则有CD＝DE，然后根据勾股定理可进行求解． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示： ∵∠ACB＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D， ∴CD＝DE， ∵BC＝12，DB＝13， ∴， ∴点D到AB的距离为5； 故答案为：5． 【点评】本题主要考查勾股定理及角平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及角平分线的性质定理是解题的关键． 15．如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE＝　　cm． 【分析】由▱ABCD和DE平分∠ADC，可证∠DEC＝∠CDE，从而可知△DCE为等腰三角形，则CE＝CD，由AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm即可求出BE． 【解答】解：∵▱ABCD， ∴∠ADE＝∠DEC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠DEC＝∠CDE， ∴CD＝CE， ∵CD＝AB＝6cm， ∴CE＝6cm， ∵BC＝AD＝8cm， ∴BE＝BC﹣EC＝8﹣6＝2（cm）． 故答案为2． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 16．若点（﹣1，y1），（3，y2）都在一次函数y＝（k+2）x+1的图象上，且y1＞y2，则实数k的取值范围是 　 　． 【分析】根据自变量的值和函数值的大小，来确定一次函数中k的值，即可求出答案． 【解答】解：∵﹣1＜3，且y1＞y2， ∴k＜0， 即k+2＜0， 解得k＜﹣2， 故答案为：k＜﹣2． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据函数图象的增减性来解答． 17．已知x＝1，y＝1，则x2+3xy+y2的值为 　 　． 【分析】根据二次根式的加法法则、乘法法则分别求出x+y、xy，根据完全平方公式把所求的式子变形，代入计算即可． 【解答】解：∵x＝1，y＝1， ∴x+y＝（1）+（1）＝2，xy＝（1）（1）＝1﹣2＝﹣1， 则x2+3xy+y2 ＝x2+2xy+y2+xy ＝（x+y）2+xy ＝22﹣1 ＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E为直线BC下方一点，且以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为 　 　． 【分析】取BC中点O，连接OE，OF，根据矩形的性质可求OC，CF的长，根据勾股定理可求OF的长，根据直角三角形的性质可求OE的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，EF有最大值，即EF＝OE+OF． 【解答】解：如图，取BC中点O，连接OE，OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠BCD＝90°， ∵点F是CD中点，点O是BC的中点， ∴CF＝3，CO＝4， ∴OF5， ∵点O是Rt△BCE的斜边BC的中点， ∴OE＝OC＝4， ∵根据三角形三边关系可得：OE+OF＞EF， ∴当点O，点E，点F共线时，EF最大值为OE+OF＝4+5＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，找到当点O，点E，点F共线时，EF有最大值是本题的关键． 三、解答题（本大题共7道小题，共66分） 19．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1） （1）+3 ＝﹣21+3 ＝1； （2） ＝4﹣3+3﹣22 ＝6﹣2． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用． 20．（10分）如图，某县内连接三个乡镇A、B、C之间的公路分别是AB＝6km，AC＝8km，BC＝10km．鉴于三个乡镇之间地势平坦，为构建乡镇交通网络，方便群众出行，该县计划从A镇新修一条公路直达公路BC，该段公路造价为10万元/km． （1）判断公路AB和AC的位置关系，并说明理由； （2）求新修的公路的最低造价． 【分析】（1）由勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，即可得出结论； （2）过点A作AD⊥BC于点D，AD最短，造价最低．由三角形面积求出AD的长，即可解决问题． 【解答】解：（1）AB⊥AC，理由如下： ∵AB＝6km，AC＝8km，BC＝10km， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°， ∴AB⊥AC； （2）如图，过点A作AD⊥BC于点D， 则AD最短，造价最低． ∵S△ABCAB•ACBC•AD， ∴AD4.8（km）， ∴4.8×10＝48（万元）， 答：新修的公路的最低造价为48万元． 【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 21．（10分）1996年，国家卫生部、国家教育部、团中央、中国残联等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，确定每年6月6日为“全国爱眼日”．2023年6月6日，某中学在全校七、八年级共1200名学生中开展“全国爱眼日”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩： 5，5，5，5，6，6，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，10，10，10． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 7.4 7.4 中位数 a b 众数 7 c 合格率 85% 80% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）估计该校七、八年级共1200名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，你认为两个年级“全国爱眼日”知识竞赛的学生成绩谁更优异．（一条理由即可） 【分析】（1）由图表可求解； （2）利用样本估计总体思想求解可得； （3）由七年级的合格率高于八年级的合格率，可得七年级“全国爱眼日”知识竞赛的学生成绩谁更优异． 【解答】解：（1）由图表可得：a7.5，b，c＝7． 故答案为：7.5，7，7； （2）1200330（人）， 答：该校七、八年级共1200名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数约为330人； （3）∵七年级的合格率高于八年级的合格率， ∴七年级“全国爱眼日”知识竞赛的学生成绩谁更优异（答案不唯一）． 【点评】本题考查用样本估计总体、中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝10，BD＝8，求OE的长． 【分析】（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB＝AD可得平行四边形ABCD是菱形； （2）根据菱形的性质得出OB的长以及∠AOB＝90°，利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出OE＝AC，即可解答． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠CAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠CAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∵AB＝AD， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC， ∵CE⊥AB， ∴OE＝OA＝OC， ∵BD＝8， ∴OBBD＝4， 在Rt△AOB 中，AB＝10，OB＝4， ∴OA， ∴OE＝OA． 【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 23．（10分）“低碳环保、绿色出行”的理念得到了广大群众的认可，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行、出游的交通工具．元旦假期，李明和姐姐在9：00同时从家出发骑自行车去绿博园，李明先以250m/min的速度骑行了一段时间，休息了5分钟后再以a m/min的速度到达绿博园，姐姐则始终以同一速度骑行，两人骑行的路程y（m）与时间x（min）的关系如图所示．请结合图象，解答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ； （2）若姐姐的速度是180m/min，求线段BC的函数表达式，和姐弟两人第二次相遇时距绿博园的距离； （3）在（2）的条件下，请直接写出李明自第二次出发至到达绿博园时，何时与姐姐相距200m？ 【分析】（1）利用速度，路程，时间的关系式和函数图象解答即可； （2）利用待定系数法求得线段BC，OD的解析式，联立组成方程组解答即可； （3）利用分类讨论的方法分别令180x﹣2500＝200或260x﹣1400﹣180x＝200，解方程求得x值，再结合题意解答即可． 【解答】解：（1）由题意得：b＝2500÷250＝10（分钟）， ∴c＝10+5＝15（分钟）． a＝（5100﹣2500）÷（25﹣15）＝260（m/min）． ∴a＝260，b＝10，c＝15； 故答案为：260；10；15； （2）设线段BC的函数表达式是y＝kx+b， 把点B（15，2500）和点C（25，5100）代入， 得：， 解得：， ∴线段BC的函数表达式是y＝260x﹣1400． 根据题意：线段OD的函数表达式是：y＝180x． 解方程组：，得：， ∴5100﹣3150＝1950（m）． ∴李明与姐姐第二次相遇时，距绿博园1950m． （3）由题意得：180x﹣200＝2500， ∴x＝15． （260x﹣1400）﹣180x＝200， ∴x＝20． ∵李明和姐姐在9：00同时从家出发骑自行车去绿博园， ∴李明自第二次出发至到达绿博园前，在9：15或9：20时，李明与姐姐 相距200m． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的图象的性质，熟练掌握一次函数的图象的性质和待定系数法是解题的关键． 24．（10分）如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F． （1）求证：△ADF≌△DCE； （2）若△DEF的面积为，求AF的长； （3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长． 【分析】（1）先证得∠AED＝∠AFB，很容易证明△ABF与△DAE全等，由此得出AF＝DE，又由互余可得出∠DAF＝∠CDE，进而可得结论； （2）根据三角形的面积求得AE，再根据勾股定理求得DE，根据（1）中AF＝DE即刻得出结论； （3）连接AM并延长交CD于点P，连接PF，可证明△DPM≌△EAM，所以PM＝AM，DP＝AE＝3或1，又MN是△APF的中位线，求出PF的长即可． 【解答】（1）证明：∵AF⊥DE，∠B＝90°， ∴∠AED＝∠AFB， 在△ABF与△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AF＝DE， ∵∠ADE+∠CDE＝∠ADE+∠DAG＝90°， ∴∠CDE＝∠DAF， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）． （2）解：∵△ABF≌△DAE， ∴AE＝BF＝x， ∴BE＝CF＝4﹣x， ∴△DEF的面积＝S正方形﹣S△ADE﹣S△EBF﹣S△DCF ＝4×44•x（4﹣x）•x4•（4﹣x） ＝8﹣2xx2， ∴yx2﹣2x+8， 解得，x1＝3，x2＝1， ∴AE＝3或AE＝1， ∴AF＝DE＝5或． （3）解：如图，连接AM并延长交CD于点P，连接PF， ∵点M是DE的中点， ∴DM＝ME， ∵AB∥CD， ∴∠PDM＝∠AEM，∠DPM＝∠EAM， ∴△DPM≌△EAM（AAS）， ∴PM＝AM，DP＝AE＝3或1， 当AE＝3时，BF＝DP＝3， ∴CF＝CP＝1， ∴PF， ∴MNPF； 当AE＝1时，BF＝EP＝1， ∴CF＝CP＝3， ∴PF＝3， ∴MNPF； 综上，MN的长度为或． 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，本题的关键是知道两线段之间的垂直关系． 25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，直线AB：y＝kx与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和C（2，0）． （1）求直线AB和AC的表达式． （2）点P是y轴上一点，当PA+PC最小时，求点P的坐标． （3）如图2，点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F，若△DEF为直角三角形，求点D坐标． 【分析】（1）把B（﹣6，0）代入kx+3，得k的值，可得直线AB解析式，把点C（4，0）代入y＝﹣2x+b，得b的值，即可求解； （2）由两点间直线距离最短可知：作A关于y轴的对称点A′，连接A′C与y轴的交点即为所求； （3）由对折得∠E＝∠ABD，可得△DEF为直角三角形，分两种情况讨论：当∠EDF＝90°时和当∠DFE＝90°时，分别计算即可． 【解答】解：（1）把B（﹣3，0）代入y＝kx， ∴﹣3k0， ∴k， ∴直线AB的函数表达式为：yx， 把点C（2，0）代入y＝﹣2x+b， ∴﹣4+b＝0， ∴b＝4， ∴直线AC的函数表达式为：y＝﹣2x+4； （2）作A关于y轴的对称点A′，连接A′C与y轴的交点即为P点， 如图： 当﹣2x+4x时， 解得x＝1， 将x＝1，代入y＝﹣2x+4， 解得：y＝2． 所以A的坐标为：A（1，2） 作A关于y轴的对称点A′，则A′坐标为：A′（﹣1，2）， ∵A′（﹣1，2），C（2，0）； ∴设A′C所在直线解析式为：y＝mx+n，将A′，C代入得： ， 解得：， 即解析式为：yx， 令x＝0，y， 即P点坐标为：P（0，）． （3）△DEF为直角三角形，分两种情况讨论： ①当∠EDF＝90°时， 如图，由对折可得，∠ADB＝∠ADE135°， ∴∠ADO＝135°﹣90°＝45°， 过点A作AG⊥BC于G， ∴AG＝DG＝2， ∵OG＝1， ∴OD＝1， ∴D（﹣1，0）； ②当∠ADE＝90°时，如图所示： 由图可知：BC＝OB+OG＝4，AF＝2，F（1，0），OG＝1， 由对折得，AE＝AB＝2，BD＝DE， ∴EF＝AE﹣AF＝22， 设DF＝a，BD＝4﹣a，则DE＝4﹣a， 由勾股定理可知： DF2+EF2＝DE2， a2（4﹣a）2， 解得：a1， ∴BD＝4﹣（1）＝5， ∴OD＝OB﹣BD＝3﹣（5）2， ∵D在x轴负半轴， ∴D（2，0）． 综上所述：D点坐标为：（﹣1，0）或（2，0）． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，构造出图形是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$