专题03 平行四边形（思维导图+2重点+10题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

专题03 平行四边形 知识点 1 ： 平行线的性质 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分； 4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 【解题技巧】 1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半． 2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题． 3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长． 4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE． 5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE． 6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD． 知识点2： 平行线的判定 平行四边形的判定定理： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【解题技巧】 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路： 1）当已知条件中有关于所证四边形的角时，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明； 2）当已知条件中有关于所证四边形的边时，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明； 3）当已知条件中有关于所证四边形的对角线时，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明． 题型归纳 【题型1 判断能否构成平行四边形】 1．（23-24八年级下·山东日照·期中）如图，能判定四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 3．（2024·河北沧州·二模）李明画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．（1）~（3）是其作图过程： （1）作； （2）作； （3）记射线与射线的交点为C，则四边形即为所求． 在李明的作法中，不可用来判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【题型2 添加一个条件证明平行四边形】 4．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，点、在的对角线上，连接、、、，添加一个条件使四边形是平行四边形，那么这个条件是 ．（只填一个即可）    6．（23-24八年级下·北京东城·期中）如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当 时，以为顶点的四边形是平行四边形． 【题型3 证明四边形是平行四边形】 7．（2024·江苏淮安·一模）如图，四边形中，，，垂足分别为点． (1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ． (2)添加了条件后，请证明四边形为平行四边形． 8．（22-23八年级上·山东烟台·期末）如图，四边形为平行四边形，E为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的度数． 9．（21-22八年级下·重庆丰都·期中）如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，．求证：四边形是平行四边形．    10．（22-23八年级下·广西桂林·期中）如图，在平行四边形中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 11．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为．    (1)画出关于点O对称的； (2)绕点O顺时针旋转后得到，则点的坐标为______； (3)若第一象限内存在点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______． 12．（22-23八年级下·浙江金华·期中）已知平面直角坐标系中，点，点 (1)直线AB的解析式：__________ (2)AB的中点C的坐标是__________ (3)点D是平面内的任意一点，若以O，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是__________. 【题型5 利用平行线的性质求解】 13．（21-22八年级下·湖北武汉·期中）如图，的对角线交于点O，且，则的周长为 ． 14．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，．点为边上任意一点，连结，以，为邻边作，连结，则的最小值为 ． 15．（19-20八年级下·江苏无锡·期中）如图，将沿对角线折叠，使点B落在处，，则 ． 16．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是 ． 【题型6 利用平行线的性质证明】 17．（22-23八年级下·广西河池·期末）如图，已知，是的角平分线，交于点．    (1)求证：； (2)若点是的中点，，求的度数． 18．（22-23八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，在中，过中点的直线分别交，的延长线于点，． (1)求证：； (2)连接，若，，的周长为，求的周长． 【题型7 利用平行线的性质与判定求解】 19．（22-23八年级下·四川成都·期末）已知，将沿对角线折得到． (1)如图1，当点E落在线段延长线上时，求证：； (2)如图2，当为锐角时，连接与线段相交于点F，试判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，连接，当为等腰三角形时，求的长． 20．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，在边长为2的等边中，点为的延长线上的一点，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接，过点作交直线于点． (1)猜想线段之间的数量关系，并说明理由； (2)求出的长度． 21．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，E是的中点，佳佳用无刻度直尺进行如下操作：连接；连接，交于点F；连接，交于点P；作射线，交于点H． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求四边形的面积． 22．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知 （1）如图①，已知点，和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在上任取一点，作点关于的对称点，与直线相交于点．连接，易知______，从而有．这样，在中，根据“_______”可知与的交点即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值． 23．（22-23八年级下·浙江·期中）在平行四边形中，，，∠BAD＝120°． (1)若，则______； (2)如图，求对角线的长（用含，的式子表示）； (3)如图，四边形也是平行四边形，连结并延长交于点，若AG⊥BE，，，，求的长． 【题型8 利用平行线的性质与判定证明】 24．（21-22八年级下·广东湛江·期中）如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若恰好平分，连接，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求平行四边形的面积． 25．（21-22九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过作，交直线于，垂足为，连接，    (1)求证：； (2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？ (3)若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？（直接写出答案） 26．（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，请判定四边形的形状，并证明． (2)当时，求t的值． (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求t的值，若不存在，说明理由． 27．（22-23八年级下·吉林长春·期末）【感知】如图①，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上的点处，得到折痕，点在边上，将纸片还原，连结，若，则四边形的周长为______． 【探究】如图②，点、分别是平行四边形纸片的边、上的点，将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，点恰好落在边上的点处，将纸片还原，连结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，，，则的面积为______． 【题型9 利用平行线的性质与判定解决实际问题】 28．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是 ．    29．（22-23八年级下·浙江金华·期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为 cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．    30．（22-23八年级下·江苏·阶段练习）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 【题型10 平行四边形与函数综合】 31．（22-23八年级下·四川南充·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交点，，以线段为腰在第二象限作等腰，，，直线交轴于点．    (1)求a的值． (2)求直线的函数解析式． (3)若点为线段上一点，且的面积为3，点在轴上，点在轴上，是否存在以点，，，为顶点的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．（22-23八年级下·山西长治·期末）（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，点的纵坐标为4，直线与轴，轴分别交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)若点是直角边上的一个动点，当时，求点的坐标； (3)已知点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为为轴上的动点．问直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（22-23八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，且与直线交于点．    (1)求出点，，的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数解析式； (3)在平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（22-23八年级下·河南新乡·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点， 两点，与y轴交于点C．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若点P是y轴正半轴上一点，以为对角线构造平行四边形，顶点Q恰好在反比例函数的图象上； ①直接写出：点P的坐标为________； ②直接写出平行四边形的面积． 35．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两个顶点A，点B分别在x轴，y轴上，已知点A为，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，直线的解析式为．点M在反比例函数图象上，过点M作x轴的垂线交直线于点N．    (1)求反比例函数的解析式和直线的解析式； (2)连接，是否存在点M，使得以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 过关检测 一、单选题 1．（20-21八年级下·浙江宁波·期中）在平行四边形中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·四川达州·期末）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C的右侧）在x轴上移动，y轴上的点A、B坐标分别为、，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于点E．下列结论不一定正确的是（   ） A． B．是直角三角形 C． D． 5．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点，，则的值为（　　） A． B．2 C． D．3 6．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，在平行四边形中，是的平分线，F是的中点，，，则为（    ）    A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，是对角线上一点，连接.若，的面积分别为，则下列关于的等量关系中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（21-22八年级下·辽宁本溪·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（　　）． A． B． C． D． 9．（2023·广东深圳·二模）如图，在中，，，，D，E分别是的中点，连接．以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交于点M，N；以点D为圆心，长为半径作弧交于点P；以点P为圆心，长为半径作弧，交前面的弧于点Q；作射线交于点F．则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，图、图、图分别表示甲、乙、丙三人由地到地的路线图箭头表示行进的方向其中为的中点，，判断三人行进路线长度的大小关系为（   ） A．甲乙丙 B．乙丙甲 C．丙乙甲 D．甲乙丙 二、填空题 11．（22-23八年级下·浙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是 12．（22-23八年级下·山东临沂·期中）在中，点D，E分别是上的点，且，点F是延长线上一点，连接．添加下列条件：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是 （填上所有符合要求的条件的序号）． 13．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的处，C点落在E处，连接，．若恰有，则 ． 14．（21-22八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，、分别是平行四边形的边、上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则阴影部分的面积为 ．      15．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接，则的最小值是 三、解答题 16．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，在四边形中，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)__________，__________（分别用含有t的式子表示）； (2)当四边形的面积与四边形面积相等时，求出t的值； (3)当点P、Q与四边形的任意两个顶点所组成的四边形是平行四边形时，请直接写出t的值． 17．（22-23八年级下·广东河源·期末）如图，平行四边形，对角线交于点O，点E在上，点F在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 18．（2023·贵州贵阳·一模）如图，在中，点是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)以上方案能得到四边形为平行四边形的是______，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由； (2)若，，求的面积． 19．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，且． (1)写出A，C，D三点的坐标． (2)点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点O运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． ①求t为多少时，． ②如图2，当时，点E为的中点，点F在上，，求点F的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 知识点 1 ： 平行线的性质 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分； 4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 【解题技巧】 1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半． 2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题． 3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长． 4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE． 5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE． 6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD． 知识点2： 平行线的判定 平行四边形的判定定理： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【解题技巧】 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路： 1）当已知条件中有关于所证四边形的角时，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明； 2）当已知条件中有关于所证四边形的边时，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明； 3）当已知条件中有关于所证四边形的对角线时，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明． 题型归纳 【题型1 判断能否构成平行四边形】 1．（23-24八年级下·山东日照·期中）如图，能判定四边形是平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、由，不能判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形符合此条件，不符合题意； C、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，符合题意； D、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A. ，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B. ，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C. ，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D. ，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 3．（2024·河北沧州·二模）李明画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．（1）~（3）是其作图过程： （1）作； （2）作； （3）记射线与射线的交点为C，则四边形即为所求． 在李明的作法中，不可用来判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，关键在于平行四边形的判定定理的运用. 根据做出的角相等，可得，，以及可证明，进而运用平行四边形的判定定理进行判定. 【详解】解：根据李明的做法，可知：，， 可得,. 又∵， ∴， ∴,. A选项：，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形. B选项：,，两组对边分别相等的四边形是平行四边形. D选项：，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 故答案选：C. 【题型2 添加一个条件证明平行四边形】 4．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 【详解】、由可得，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 故选：． 5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，点、在的对角线上，连接、、、，添加一个条件使四边形是平行四边形，那么这个条件是 ．（只填一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：添加：，理由如下： 连接交于点，如图，   四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 6．（23-24八年级下·北京东城·期中）如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当 时，以为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定、一元一次方程的应用，分两种情况：当点在的右侧时；当点在的左侧时；由当时，四边形是平行四边形，建立一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：当点在的右侧时， 由题意得：，，则， ， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得：； 当点在的左侧时， 由题意得：，，则， ， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得：； 综上所述，当或时，以为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：或． 【题型3 证明四边形是平行四边形】 7．（2024·江苏淮安·一模）如图，四边形中，，，垂足分别为点． (1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ． (2)添加了条件后，请证明四边形为平行四边形． 【答案】(1)；(答案不唯一) (2)证明见解析． 【分析】（）根据平行四边形的判定添加条件即可； （）证明，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； 本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：（）可添加的条件是， 故答案为： (答案不唯一)； （2）（）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 8．（22-23八年级上·山东烟台·期末）如图，四边形为平行四边形，E为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出；证明是的中位线，得出，证出，由平行四边形的判定方法即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出，再由等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵H为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 9．（21-22八年级下·重庆丰都·期中）如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，．求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是牢记平行四边形的判定定理．已知是的角平分线， ，易证；又由，可得，即可证得四边形是平行四边形． 【详解】证明：是的角平分线，   ，   ，   ，   ，   ；   ，   ， ∵，   四边形是平行四边形． 10．（22-23八年级下·广西桂林·期中）如图，在平行四边形中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)平行四边形，详见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，根据即可判定； （2）由可得，再由，可得四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：平行四边形． 如图， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 11．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为．    (1)画出关于点O对称的； (2)绕点O顺时针旋转后得到，则点的坐标为______； (3)若第一象限内存在点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】（1）作出的顶点A，B，C关于点O的对称点，，，依次连接即可得到； （2）作出绕点O顺时针旋转后得到，即可得到点的坐标； （3）分情况讨论：①以为平行四边形的对角线；②以为平行四边形的对角线；③以为平行四边形的对角线，分别求出点D的坐标，再根据点D在第一象限进行取舍即可解答． 【详解】（1）如图，为所求图形；    （2）如图，为绕点O顺时针旋转后得到的，则点的坐标为；    故答案为： （3）分情况讨论： ①以为平行四边形的对角线，则点D的坐标为； ②以为平行四边形的对角线，则点D的坐标为； ③以为平行四边形的对角线，则点D的坐标为． ∵点D在第一象限， ∴点D的坐标为．    【点睛】本题考查坐标与图形的变化，中心对称，旋转，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特点，旋转的性质，平行四边形的判定． 12．（22-23八年级下·浙江金华·期中）已知平面直角坐标系中，点，点 (1)直线AB的解析式：__________ (2)AB的中点C的坐标是__________ (3)点D是平面内的任意一点，若以O，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是__________. 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）设直线的解析式为，把点，点代入，得到二元一次方程组，解方程组即得； （2）根据，，运用中点坐标公式得到线段的中点； （3）设，当为平行四边形的边时，，根据，得到，根据，得到，或，得到，；当为平行四边形的对角线时，根据，，得到线段的中点为，根据，得到． 【详解】（1）设直线的解析式为：， 把点，点代入， 得，， 解得，， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴，， ∴； 故答案为：； （3）设， ∵， ∴， 当为平行四边形的边时，也为平行四边形的边，，， ∵， ∴，或， ∴，； 当为平行四边形的对角线时，也为对角线，且互相平分， ∵，， ∴的中点为， ∵， ∴，， ∴． 综上，，． 故答案为：、、． 【点睛】本题主要考查了一次函数，线段的中点，平行四边形的存在性，解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，线段的中点坐标公式，平行四边形的性质，分类讨论． 【题型5 利用平行线的性质求解】 13．（21-22八年级下·湖北武汉·期中）如图，的对角线交于点O，且，则的周长为 ． 【答案】29 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的对角线互相平分以及平行四边形的对边相等，即可求出的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长， 故答案为：29． 14．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，．点为边上任意一点，连结，以，为邻边作，连结，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质．以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：，，， ，， ，， 设，交于点，过点作， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 当与重合时，的值才是最小， 则的最小值为， 故答案为：． 15．（19-20八年级下·江苏无锡·期中）如图，将沿对角线折叠，使点B落在处，，则 ． 【答案】/117度 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质以及折叠的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据平行四边形性质可得，从而得出，再根据翻折得出，再根据三角形内角和即可求解； 【详解】解：∵四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∵将沿对角线折叠使点B落在处， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，求出的值，进而求出的值，根据证明，得到，即可推出四边形周长，当的值最小时，即可得到四边形周长的最小值，利用垂线段最短即时，求出最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为， ，，， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形周长， 当的值最小时，四边形的周长最小，此时，即为最小值， 四边形的周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，线段的最值问题，全等三角形的判定与性质，解题关键是利用三角形全等的性质转换线段之间的关系表达出周长． 【题型6 利用平行线的性质证明】 17．（22-23八年级下·广西河池·期末）如图，已知，是的角平分线，交于点．    (1)求证：； (2)若点是的中点，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据平行四边形的性质和平行线的性质证得，进而利用角平分线的定义证得，再利用等腰三角形的等角对等边证得结论； （2）先根据平行四边形的性质和平行线的性质求得，再等量代换可得到，然后根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵平分， ∴． ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴，又， ∴． ∴． 18．（22-23八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，在中，过中点的直线分别交，的延长线于点，． (1)求证：； (2)连接，若，，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）依据平行四边形的性质，即可得出≌，依据全等三角形的性质，可得，即可得到； （2）依据垂直平分，即可得出，再根据的周长为，即可得到，则，进而得到的周长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ； （2）解：连接， ，， 垂直平分， ， 的周长为， ，即， ， 的周长为． 【题型7 利用平行线的性质与判定求解】 19．（22-23八年级下·四川成都·期末）已知，将沿对角线折得到． (1)如图1，当点E落在线段延长线上时，求证：； (2)如图2，当为锐角时，连接与线段相交于点F，试判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，连接，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)5或 【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得和，进而得，再由翻折的性质得，据此可依据“”判定和全等； （2）过点D作于点H，先证和全等得，，再证四边形为矩形，进而可得出，，之间的数量关系； （3）由翻折的性质得：，，因此当为等腰三角形，有以下两种情况：①当时，过点D作于点H，由（2）可知，四边形为矩形，设，则，，在和中由勾股定理构造关于x的方程，解方程求得x，进而可求出的长；②时，延长交于点F，过点C作于M，由（2）可知，四边形为矩形，设，则，，在和中由勾股定理构造关于x的方程，解方程求得x，进而可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点E在线段延长线上， ∴， 由翻折的性质得：， 在和中， ∴； （2），，之间的数量关系是：． 理由如下： 过点D作于点H，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 由翻折的性质得：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 即：． （3）由翻折的性质得：，， ∵为等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①当时，过点D作于点H，如图所示： 由（2）可知：，四边形为矩形， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴； ②时，延长交于点F，过点C作于M，如图所示： 由（2）可知：，四边形为矩形，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴； 综上所述：的长为：5或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉折叠的性质和矩形的相关知识． 20．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，在边长为2的等边中，点为的延长线上的一点，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接，过点作交直线于点． (1)猜想线段之间的数量关系，并说明理由； (2)求出的长度． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形，旋转．熟练掌握等边三角形性质，旋转性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，是解题的关键． （1）由等边三角形性质以及旋转的性质得出，进而利用全等三角形的判定与性质即可得出； （2）由（1）中可得，利用等边三角形得出，根据平行四边形的判定与性质进行分析求解即可． 【详解】（1），理由： ∵是等边三角形， ∴， ∵绕点A逆时针旋转到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， 在等边中，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴． 21．（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，E是的中点，佳佳用无刻度直尺进行如下操作：连接；连接，交于点F；连接，交于点P；作射线，交于点H． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形三线合一，三角形面积的计算，关键是看出三角形的重心和平行四边形对角线分成的四个三角形面积相等． （1）先证明再根据即可得出结论； （2）利用三角形中线交于一点和等腰三角形三线合一； （3）将四边形分割成、、，分别求出面积． 【详解】（1） 解：四边形是平行四边形，理由如下： ，E为的中点， ． ， 四边形是平行四边形； （2） 证明：由（1）知四边形是平行四边形， F为中点， 是的中线， 是的中线， 是的中线， ， ； （3） 解：E是的中点，F为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，． 22．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知 （1）如图①，已知点，和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在上任取一点，作点关于的对称点，与直线相交于点．连接，易知______，从而有．这样，在中，根据“_______”可知与的交点即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；两点之间，线段最短；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形综合、勾股定理以及对称的性质，通过全等将目标线段集中在同一个三角形中是解题关键. （1）根据对称的性质，三角形三边关系即可求解； （2）作，使得，连接交于点，连接，可得四边形为平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出的长，故，据此即可求解； （3）作，使得，作，连接，证得，推出，即可求解； 【详解】解：（1）由对称可知：， 在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求， 故答案为：；两点之间，线段最短； （2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示； 则四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）作，使得，作，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 23．（22-23八年级下·浙江·期中）在平行四边形中，，，∠BAD＝120°． (1)若，则______； (2)如图，求对角线的长（用含，的式子表示）； (3)如图，四边形也是平行四边形，连结并延长交于点，若AG⊥BE，，，，求的长． 【答案】(1) (2)对角线的长为 (3)的长为 【分析】（1）延长，过点作的延长线于点，根据勾股定理和直角三角形的性质得出及的长，根据勾股定理即可得出结论； （2）延长，过点作的延长线于点，根据得出，再由得出，，故，根据勾股定理即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，连接、，先根据平行四边形的性质得出，，在中求出和，再用勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质求出且，然后用勾股定理求即可． 【详解】（1）解：如图1，延长，过点作的延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，． ， ， ． 故答案为：； （2）解：如图1，延长，过点作的延长线于点， ， ． ， ，． ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，连接、，如图所示： 四边形是平行四边形，，， ，， ， ， 在中， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质和勾股定理，直角三角形的性质，二次根式的混合运算．根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 【题型8 利用平行线的性质与判定证明】 24．（21-22八年级下·广东湛江·期中）如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若恰好平分，连接，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，根据等腰三角形的判定即可得证； （2）根据证明得，根据平行四边形判定定理可得证； （3）先证是等边三角形，根据等边三角形的性质，结合勾股定理和平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：由（1）知， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， ∴平行四边形的面积＝的面积． 25．（21-22九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过作，交直线于，垂足为，连接，    (1)求证：； (2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？ (3)若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？（直接写出答案） 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形是菱形，理由见解析； (3)当时，四边形是正方形． 【分析】（）证明四边形是平行四边形即可求证； （）四边形是菱形．证明即可求证； （）当时，四边形是正方形．证明即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，菱形的判定，等腰三角形的性质，正方形的判定，掌握以上定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵为中点， ∴， 由()得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，为中点， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形． 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵ 四边形是菱形， ∴四边形是正方形， 即当时，四边形是正方形． 26．（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，请判定四边形的形状，并证明． (2)当时，求t的值． (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求t的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形．理由见解析 (2)或时， (3)存在，当为4或者或者时，为等腰三角形 【分析】（1）根据题意有：，，进而有，，当时，可得，结合，即可作答； （2）分四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况，结合题意计算，得到答案； （3）分三种情况讨论：当为等腰三角形，且时，过D点于H；当为等腰三角形，且时；当为等腰三角形，且时，根据等腰三角形的性质结合勾股定理列出关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：结论：四边形是平行四边形．理由：根据题意有：，， ∵，， ∴，， 当时，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）当，四边形PQCD是平行四边形时， 即有：，则，解得，； 当时，四边形PQCD是等腰梯形时， 过P点作于M，过D点于N，如图， 根据，，，可得四边形是矩形， 则，， 即，， ∵梯形为等腰梯形，于M， ∴，， 根据（1）有，，，， ∴， ∴，解得， 综上所述：或时，． （3）存在，理由如下： 根据（1）有，，，， 根据（2）有， 当为等腰三角形，且时，过D点于H，如图， 根据（2）可知：时， ∵为等腰三角形，∴， ∴，解得，即此时； 当为等腰三角形，且时，如图， ∴，解得，即此时； 当为等腰三角形，且时， 过D点于P，过Q点于G，如图， 根据（2）同理可知四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，∴， 在中，， ∴，解得：， 综上所述：当为4或者或者时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰梯形，勾股定理，等腰三角形的性质以及利用开平方解方程的知识，掌握平行四边形的性质、梯形的性质以及等腰三角形的性质是解答本题的关键． 27．（22-23八年级下·吉林长春·期末）【感知】如图①，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上的点处，得到折痕，点在边上，将纸片还原，连结，若，则四边形的周长为______． 【探究】如图②，点、分别是平行四边形纸片的边、上的点，将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，点恰好落在边上的点处，将纸片还原，连结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，，，则的面积为______． 【答案】【感知】16；【探究】（1）见解析；（2）． 【感知】由四边形是平行四边形得，则，求得，即可得到答案； 【探究】【感知】由平行四边形的性质和折叠的性质可得，进而进而即可求解； 【探究】（1）四边形是平行四边形，，，由折叠的性质得到，，，则，，，即可得到结论； （2）过点作交于点，则，进步得到，，求得、的长，由折叠可知，，，设，则，由勾股定理列式解得，得到的长，可求得结论． 【详解】【感知】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠可知，，，， ， ， ， 四边形的周长为； 故答案为：． 【探究】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，点恰好落在边上， ，，， ， ， ， 四边形为菱形． （2）解：过点作交于点，则， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ∴， ， 由折叠可知，，， 设，则， 由勾股定理得， ， 解得， 即， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理、菱形的判定等知识，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【题型9 利用平行线的性质与判定解决实际问题】 28．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是 ．    【答案】①④/④① 【分析】根据平行四边形的判定和性质即可判断． 【详解】解：两组对边的长度分别相等， 四边形是平行四边形，故①正确， 向右扭动框架， 的长度变大，故②错误， 平行四边形的底不变，高变小了， 平行四边形的面积变小，故③错误， 平行四边形的四条边不变， 四边形的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故答案为：①④ 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用平行四边形的性质． 29．（22-23八年级下·浙江金华·期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为 cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．    【答案】 12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：（1），， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型． 30．（22-23八年级下·江苏·阶段练习）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得的长即可； （2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，然后说明的长度为长支杆的一半即可． 【详解】（1）解：过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即在地面上影子的长为2米； 故答案为：2； （2）解：由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点， 当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即的长度为长支杆的一半， ∵为长支杆的长度，为短支杆的长度．∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 【题型10 平行四边形与函数综合】 31．（22-23八年级下·四川南充·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交点，，以线段为腰在第二象限作等腰，，，直线交轴于点．    (1)求a的值． (2)求直线的函数解析式． (3)若点为线段上一点，且的面积为3，点在轴上，点在轴上，是否存在以点，，，为顶点的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，或，或， 【分析】（1）先求出点坐标，再由，求出点坐标，将点坐标代入中即可求的值； （2）过点作轴交于点，利用证明，求出点坐标为，再由待定系数法求直线的解析式即可； （3）先求出点坐标，再根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，分别求出点坐标即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， ， ， 将点代入中，， 解得； （2）过点作轴交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解答， 直线的解析式为； （3）存在，理由如下： 由（2）可得， ， ， ， ，， 设，， ①当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ，； ②当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ，； ③当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ，； 综上所述：点坐标为，或，或，．    【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 32．（22-23八年级下·山西长治·期末）（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，点的纵坐标为4，直线与轴，轴分别交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)若点是直角边上的一个动点，当时，求点的坐标； (3)已知点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为为轴上的动点．问直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）由点先求反比例函数的解析式，然后求出点的坐标即可求解； （2）分类讨论在上和点在上，即可求解； （3）分类讨论作为平行四边形的边和对角线，画出对应图形即可求解． 【详解】（1）解：将点代入中，得， ；                                 令，解得， .                                  设直线的函数表达式为， 将代入得： 解得 . （2）解：在中， 令，得， 令，得， ， .                      ①当点在上时，设， 则， ， 即， 解得：， .                      ②当点在上时，设， 则， ， 即， 解得：， . （3）解：∵点是点关于轴的对称点，是点关于轴的对称点 ∴ 设点， ①当作为平行四边形的一边时 如图所示：    ，解得 故点为    ，解得 故点为 ②当作为平行四边形的对角线时 如图所示：    ，解得 故点为 综上：. 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合问题．掌握“分类讨论”的数学思想是解题关键． 33．（22-23八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，且与直线交于点．    (1)求出点，，的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数解析式； (3)在平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)存在，或或． 【分析】（1）先求一次函数与坐标轴交点，坐标，然后构建方程组即可求出点坐标； （2）通过面积可以求出点坐标，然后用待定系数法求解析式即可； （3）进行分类讨论结合平行四边形的性质即可求出点坐标． 【详解】（1）由得： 当时，，∴点， 当时，，∴点， 由，解得：， ∴点， （2）如图，由(1)得：，，则，    ∵点在线段上， ∴设 ∴， ， ， ， 解得：， ∴点， 设直线的函数解析式为，则： ，解得：， ∴直线的函数解析式为， （3）如图，由(1)可知，，设点，   当为对角线时，则有：，， ∴，， 解得：，， ∴， 当为对角线时，则有：，， ∴，， 解得：，， ∴， 当为对角线时，则有：，， ∴，， 解得：，， ∴， 综上可知：或或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何图形的相关问题，利用图形的面积求点的坐标，以及用分类讨论法求特殊四边形中点的坐标，解题的关键是要学会分类讨论及数形结合法，正确的画出图形，不要漏解． 34．（22-23八年级下·河南新乡·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点， 两点，与y轴交于点C．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若点P是y轴正半轴上一点，以为对角线构造平行四边形，顶点Q恰好在反比例函数的图象上； ①直接写出：点P的坐标为________； ②直接写出平行四边形的面积． 【答案】(1)， (2)3 (3)①；②10 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由（1）可知，一次函数解析式为，，，令，求得，即，再利用即可求解； （3）①设点，根据平行四边形的性质可得，即，求得，利用待定系数法分别求得线段的解析式为，线段的解析式为，即可求解； ②根据平行四边形的性质可得，从而即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴，， ∴， ∴反比例函数解析式为，， 又∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图，由（1）可知，一次函数解析式为，，， 当时，，解得， ∴，即， ∴；    （3）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， 设点， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设线段的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴线段的解析式为， 设线段的解析式为， 把点代入得，， 解得， ∴线段的解析式为， 当时，， ∴， 故答案为：； ②∵、， ∴， ∴．    【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 35．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两个顶点A，点B分别在x轴，y轴上，已知点A为，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，直线的解析式为．点M在反比例函数图象上，过点M作x轴的垂线交直线于点N．    (1)求反比例函数的解析式和直线的解析式； (2)连接，是否存在点M，使得以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出点，再根据点D是边的中点，求出点，得出，求出反比例函数，求出点，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据轴，轴，得出，求出，设点，则，，解得或，求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点A为，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴反比例函数， ∵点E在上， ∴E点的纵坐标为4， 把代入得：， ∴， 把，代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为． （2）解：∵轴，轴， ∴， ∴当以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，， 设点，则，， ∴， ∴或， 当时，此方程无解， 当时，解得：或， ∴点M的坐标为或． 过关检测 一、单选题 1．（20-21八年级下·浙江宁波·期中）在平行四边形中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．根据平行四边形对角相等即可求出，进而可求出． 【详解】解：在中有：，， ， ， ， 故选：A 2．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、，根据“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意； B、，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C、，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此不选项符合题意； D、，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（22-23八年级下·四川达州·期末）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C的右侧）在x轴上移动，y轴上的点A、B坐标分别为、，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最短路径问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质，坐标与图形的性质，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质，勾股定理． 作关于轴的对称点，再过作轴且，连接交轴于点，过作交轴于点，得到四边形为平行四边形，故可知最短等于的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】作关于轴的对称点， 过作轴且，则， 连接交轴与点, 过作交轴于点， 四边形为平行四边形， 此时最短等于的长， 即 故选：C． 4．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于点E．下列结论不一定正确的是（   ） A． B．是直角三角形 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，由菱形的性质可得通过证明四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴是直角三角形， ∴， ∴，故选项A、B、C都正确， 故选：D． 5．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点，，则的值为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】过点作于，过点作轴于，根据平行四边形的性质及矩形的判定证明四边形为矩形，得，再证（），得，利用三线合一得，从而有，于是根据反比例函数的意义即可得解． 【详解】解：过点作于，过点作轴于， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴在和中， ， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质，反比例函数的意义以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握反比例函数的意义以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 6．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，在平行四边形中，是的平分线，F是的中点，，，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，由角平分线与平行四边形的对边平行得出，得到，进而求出，，的长，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：A 7．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，是对角线上一点，连接.若，的面积分别为，则下列关于的等量关系中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积公式，由平行四边形的性质得出，，即可判断B、C，作于，于，则，证明得出，从而得出，，即可判断A，只有当时，，即可判断D． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，, ，故B 正确，不符合题意， ，， ， ，故C正确，不符合题意； 如图，作于，于，则， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，，，， ，， ，故A正确，不符合题意； 只有当时，，故D错误，符合题意； 故选：D． 8．（21-22八年级下·辽宁本溪·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的对称性，将阴影部分的面积进行合理的转化是解题的关键． 根据轴对称的性质可得和关于点O中心对称，即可，再根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴和关于点O中心对称， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积与的面积比值是． 故选：C． 9．（2023·广东深圳·二模）如图，在中，，，，D，E分别是的中点，连接．以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交于点M，N；以点D为圆心，长为半径作弧交于点P；以点P为圆心，长为半径作弧，交前面的弧于点Q；作射线交于点F．则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】首先根据勾股定理求出，根据三角形中位线的性质得出，，根据作图可得，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，可得． 【详解】解：在中，，，， ， D，E分别是的中点， ，， ， 由作图知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的中位线定理、基本尺规作图-作角等于已知角，平行四边形的性质和判定，解题关键是根据中位线定理得出，． 10．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，图、图、图分别表示甲、乙、丙三人由地到地的路线图箭头表示行进的方向其中为的中点，，判断三人行进路线长度的大小关系为（   ） A．甲乙丙 B．乙丙甲 C．丙乙甲 D．甲乙丙 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，延长和交于，如图，延长和交于，根据平行四边形的性质和判定求出即可； 【详解】解：图中，甲走的路线长是的长度； 延长和交于，如图， ， ， 同理， 四边形是平行四边形， ，， 即乙走的路线长是的长； 延长和交于，如图， 与以上证明过程类似，， 即丙走的路线长是的长； 即甲乙丙， 故选：D． 二、填空题 11．（22-23八年级下·浙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、平行四边形对称中心的性质，熟知“过平行四边形对称中心的直线平分平行四边形的面积”是解题的关键． 根据将的面积分成相等的两部分，知直线经过平行四边形的对称中心，根据线段的中点坐标公式，得到平行四边形对称中心坐标为，然后把代入求解得出的值即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，直线将的面积分成相等的两部分， ∴直线经过平行四边形的对称中心，即的中点， ∵，， ∴平行四边形的对称中心坐标为，即， ∴把代入得：， 解得：． 故答案为：． 12．（22-23八年级下·山东临沂·期中）在中，点D，E分别是上的点，且，点F是延长线上一点，连接．添加下列条件：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是 （填上所有符合要求的条件的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握常见的平行四边形的判定定理成为解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：①∵， ∴四边形为平行四边形；故选项①符合题意； ②∵， ∴四边形为平行四边形；故选项②符合题意； ③由，不能判定四边形为平行四边形；故选项③不符合题意； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形；故选项④符合题意； 综上所述：能使四边形是平行四边形的是①②④． 故答案为：①②④． 13．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的处，C点落在E处，连接，．若恰有，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，跟进中河底得出，，，求出，，根据，，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（21-22八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，、分别是平行四边形的边、上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则阴影部分的面积为 ．    【答案】44 【分析】作出辅助线，利用同底等高的两个三角形面积相等，阴影图形的面积即可求解． 本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的面积，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【详解】解：如图，连接， 与同底等高， ， 即， 即， 同理可得， 阴影部分的面积为． 故答案为：44．    15．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接，则的最小值是 【答案】/ 【分析】由条件可先证得是等边三角形，过点作于点，当点，，在一条直线上，此时最短，可求得和的长，进而得出的最小值． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 是等边三角形， ，， ∵在平行四边形中，，，， ， 是等边三角形，， ，是等边三角形， 为中点， ，为中点， ， ， ， 当点在线段上时，此时最短，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，判断出当点，，在一条直线上，最短是解题的关键． 三、解答题 16．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，在四边形中，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)__________，__________（分别用含有t的式子表示）； (2)当四边形的面积与四边形面积相等时，求出t的值； (3)当点P、Q与四边形的任意两个顶点所组成的四边形是平行四边形时，请直接写出t的值． 【答案】(1)， (2) (3)t的值为或3或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，平行四边形的性质．熟练掌握列代数式，一元一次方程的应用，平行四边形的性质并分类讨论是解题的关键． （1）由题意知，，，然后作答即可； （2）由题意知，，，设点A到的距离为，由题意知，，即，计算求解即可； （3）由题意知，分四边形，，，是平行四边形4种情况，根据平行四边形对边相等的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：，． （2）解：∵，，， ∴，， 设点A到的距离为， 由题意知，，即， 解得，； （3）解：由题意知，分四边形，，，是平行四边形4种情况求解； ①当四边形是平行四边形，则， ∴， 解得，； ②当四边形是平行四边形，则， ∴． 解得，； ③当四边形是平行四边形，则， ∴， 解得（舍去）； ④当四边形是平行四边形，则， ∴． ∴； 综上所述：当t的值为或3或时，点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形． 17．（22-23八年级下·广东河源·期末）如图，平行四边形，对角线交于点O，点E在上，点F在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各定理是解题的关键： （1）证明，推出，即可得到结论； （2）利用勾股定理求出，在中，由勾股定理得，由此得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即的长为． 18．（2023·贵州贵阳·一模）如图，在中，点是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)以上方案能得到四边形为平行四边形的是______，选择其中一种并证明，若不能，请说明理由； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)甲、乙两种方案，证明见解析 (2)48 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定等知识点，熟练地掌握平行四边形的判定方法和性质是解题的关键． （1）根据题意结合平行四边形的判定和全等三角形的性质与判定证明即可，甲方案：两条对角线相互平分的四边形为平行四边形；乙方案：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形； （2）根据，结合四边形为平行四边形的性质可得到，，即，已知，可求得，故． 【详解】（1）证明：甲方案：如图，连接，    ∵在中，点是对角线的中点， ∴，， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 乙方案： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：甲方案和乙方案； （2）∵四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：的面积为． 19．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，且． (1)写出A，C，D三点的坐标． (2)点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点O运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为． ①求t为多少时，． ②如图2，当时，点E为的中点，点F在上，，求点F的坐标． 【答案】(1)，， (2)①或时，；② 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质等，解题关键是熟练运用平行四边形的性质与判定得出线段之间的关系，列出方程． （1）根据非负数的性质求出字母的值，写出坐标即可； （2）①分和两种情况，根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质列出方程即可； ②延长交于点M，过Q作于H，证明，设，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴A，C，D三点的坐标为，，； （2）解：①∵，， ∴轴． 当时，四边形为平行四边形，此时， ∴，解得． 当时，过C作交于E， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，过C作于H，则， ∵，， ∴， ∵． ∴，解得． 综上：或时，．   ②当时四边形为平行四边形． 由①可知此时， ∴，，则， 延长，交于点M，过Q作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，即：， ∴， ∴． 设，则，，，， ∵， 即， 解得：， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$