第02讲 比例线段（第1课时）（八大题型）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第02讲 比例线段（第1课时）（八大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（八大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、了解比例线段的概念及有关性质； 2、能运用线段比例的性质解决相关问题； 3、学会解线段比例性质的几何应用有关试题。 一、成比例、两条线段的比 一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作a:b(或),其中b≠0.a除以b所得的商叫做比值.如a:b的比值等于k,那么a=kb. 如果a:b=c:d（或),那么就说a、b、c、d成比例. 两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量.因为线段的长度是正量，所以两条线段的比值总是正数. 二、成比例线段（比例线段） 在图24-6中，DE是△ABC的中位线.线段DE与BC的比可记作(或DE:BC),于是得到 在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 例如图24-6中，根据DE是△ABC的中位线的条件，可得,则线段DE、BC、AD、AB是比例线段. 三、比例线段的性质 （1）如果a、b、c、d是比例线段，即(或a:b=c:d)，那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项. 我们知道，比例线段有以下基本性质：两个外项的积等于两个内项的积.即 如果，那么ad=bc. 还可以得到，，，............ （2）等比性质：如果 （3）合比性质：如果 如果 比例中项：若a:b=b:c ，则=ac，b称为a、c的比例中项.线段的比例中项是b为正数的情况. 四、比例线段的几何应用 教材P7-P8,例1-例2 例1 已知，如图24-7中，.求证：（1）;(2) 例2 已知，如图24-8中，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，S△AOD=S△BOC求证： 题型1：判断成比例线段 1．下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 2．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．，，， B．，，，； C．，．，； D．，，， 3．下列各组线段中，成比例的一组线段是（  ） A．2，3，4，6 B．2，3，4，7 C．2，3，4，8 D．2，3，4，9 4．已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果，，，那么d的值是（　　） A．8 B．6 C．4 D．1 题型2：比例的性质—外项之积等于内项之积、等比性质 5．已知，那么 ． 6．若，则 ． 7．已知，那么 ． 8．若，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．若（，，均不为0），则的值为 10．已知实数x，y，z满足，试求的值． 题型3：比例中项、线段的比例中项 11．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（    ） A．2 B．6 C．8 D．2 12．4和9的比例中项是（    ） A．6 B． C． D． 13．45与 的比例中项是8． 14．已知x是2和6的比例中项，则 ． 题型4：求其他比例项 15．已知则的第四比例项 ． 16．如果a=2，b=4，c=8，那么（    ） A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项 题型5：比例尺的应用 17．在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（　　） A．50cm B．500cm C． D． 18．在比例尺为的地图上，如果两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是（    ） A．50000米 B．5000米 C．500米 D．50米 19．在比例尺是的地图上，两地的距离是，那么这两地的实际距离为（    ） A． B． C． D．． 20．某两地的距离为3000米，画在地图上的距离是15厘米，则地图上的距离与实际距离之比是（    ） A．1∶200 B．1∶2000 C．1∶20000 D．1∶200000 题型6：已知三个数，求另一个数组成比例式 21．已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 22．若x与2、5、6这三个数可以组成比例式，则x可能是 ． 题型7：比例的合比性质 23．已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 24．下列结论不一定成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，（），那么 D．如果，那么 25．题目：“已知数x，y，z，m满足，求m的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ）． A．甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．甲、丙的答案合在一起才完整 26．我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 题型8：成比例线段的几何应用 27．已知、、是的三边长，且． (1)求的值． (2)若的周长为，求各边的长． 28．已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值； (2)若的周长为90，求的面积． 29．如图，中，，E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于D点，求证：； (2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点； (3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，则 （直接写出结果）． 一、单选题 1．下列各组线段中，成比例线段的组是（    ） A． B． C． D． 2．已知、是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如果，且是和的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 4．已知点C是线段AB延长线上一点，且AB：BC＝3：2，则AC：AB为（   ） A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5 5．若 ，且，则的值是（ ） A．14 B．42 C．7 D． 6．已知，则下列结论一定正确的是（ ） A．， B． C． D． 7．达州市真佛山风景区与重庆武隆风景区之间的直线距离约为，在一张比例尺为的旅游图上，它们之间的距离大约相当于（　　）的长度 A．一根火柴 B．一根筷子 C．一支钢笔 D．一支铅笔 8．已知，若，则（    ） A．12 B．15 C．16 D．1 9．若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 10．设，，均为非负实数，并且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如果（、都不等于零），那么= ． 12．若，则＝ ． 13．已知线段，，则，的比例中项线段长等于 ． 14．已知三角的三边a、b、c满足，且三角形的周长为26，则该三角形的最大边长为 ． 15．找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立，以下结论：①；②；③；④，则正确的结论有 ． 16．若，则的值为 ． 三、解答题 17．已知，求下列算式的值： (1)； (2)． 18．两地的实际距离是，在地图上量得这两地的距离为，这幅地图的比例尺是多少？ 19．已知，且2a+bc＝4，求a、b、c的值． 20．已知，，求的值． 21．已知三条线段长分别为1cm，cm，2cm，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段． 22．如图，线段AB、 BC 、AB 、BC 的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？． 23．已知a，b，c为的三边长，且，． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长． 24．如图，三角形内的线段、相交于点．，，设、、和四边形的面积分别为、、、． （1）已知的值； （2）如果，求的值． 25．已知a，b，c，d都是互不相等的正数. （1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）； （2）若请判断和的大小关系，并证明； （3）令若分式的值为3，求t的值. 26． 在矩形上有一个动点，点沿运动，并且不与点重合，连接，以为直角边作等腰直角三角形．    (1)当点沿运动时，求出等腰直角三角形面积的最大值； (2)当点在上运动时，的边与交于点，如图（1）所示，若，则等于__________________；若，则等于__________________； (3)如图（2）所示，当点（不与点重合）在上运动时，请你判断梯形的面积是否可以为面积的4倍，若可以，请求出的长度；若不可以，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 比例线段（第1课时）（八大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（八大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、了解比例线段的概念及有关性质； 2、能运用线段比例的性质解决相关问题； 3、学会解线段比例性质的几何应用有关试题。 一、成比例、两条线段的比 一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作a:b(或),其中b≠0.a除以b所得的商叫做比值.如a:b的比值等于k,那么a=kb. 如果a:b=c:d（或),那么就说a、b、c、d成比例. 两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量.因为线段的长度是正量，所以两条线段的比值总是正数. 二、成比例线段（比例线段） 在图24-6中，DE是△ABC的中位线.线段DE与BC的比可记作(或DE:BC),于是得到 在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 例如图24-6中，根据DE是△ABC的中位线的条件，可得,则线段DE、BC、AD、AB是比例线段. 三、比例线段的性质 （1）如果a、b、c、d是比例线段，即(或a:b=c:d)，那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项. 我们知道，比例线段有以下基本性质：两个外项的积等于两个内项的积.即 如果，那么ad=bc. 还可以得到，，，............ （2）等比性质：如果 （3）合比性质：如果 如果 比例中项：若a:b=b:c ，则=ac，b称为a、c的比例中项.线段的比例中项是b为正数的情况. 四、比例线段的几何应用 教材P7-P8,例1-例2 例1 已知，如图24-7中，.求证：（1）;(2) 例2 已知，如图24-8中，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，S△AOD=S△BOC求证： 题型1：判断成比例线段 1．下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如(即)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【解析】解：A．由于，则不成比例，所以A选项不符合题意； B．由于，则成比例，所以B选项符合题意； C．由于，则不成比例，所以C选项不符合题意； D．由于，则不成比例，所以D选项不符合题意． 故选：B． 2．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．，，， B．，，，； C．，．，； D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查的是成比例的线段的判定，先把每个选项的四条线段按照从小到大的顺序排列，再判断四条线段是否成比例即可． 【解析】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项符合题意； C． ，故该选项不符合题意； D．，故该选项不符合题意； 故选B． 3．下列各组线段中，成比例的一组线段是（  ） A．2，3，4，6 B．2，3，4，7 C．2，3，4，8 D．2，3，4，9 【答案】A 【分析】根据比例线段的定义，分别计算选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积，若相等，则四条线段成比例，反之不成比例． 【解析】解：A、，故选项A符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 4．已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果，，，那么d的值是（　　） A．8 B．6 C．4 D．1 【答案】B 【分析】利用成比例线段的定义得到，然后根据比例的性质求d的值． 【解析】解：根据题意得：， 即， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段． 题型2：比例的性质—外项之积等于内项之积、等比性质 5．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，表示出y是解题的关键．先用x表示出y，再代入比例式进行计算即可得解． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 利用比例的性质进行计算，即可解答． 【解析】解：∵， 故答案为：． 7．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答． 【解析】解：， 设，则， ， 故答案为：． 8．若，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可． 【解析】解：∵， ∴， A. ，则， 即，不一定成立，符合题意； B. ，则 即，故该选项成立，不符合题意； C. ，则， 即，故该选项成立，不符合题意； D. ，则 ∴ ∴ 即，故该选项成立，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了比例性质；根据比例的性质灵活变形是解题关键． 9．若（，，均不为0），则的值为 【答案】1 【分析】首先根据比例的等比性质与已知得出，，然后将化为：+-，再代入求值． 【解析】解：已知（，，均不为0），由比例的性质得： ； ； 则=+= 故答案为：1． 【点睛】此题考查的知识点是比例的性质，关键是准确掌握其性质进行运算． 10．已知实数x，y，z满足，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，然后把所求式子中的x、y、z分别用含k的式子替换，最后约分即可得到答案． 【解析】解：设， ∴， ∴ ． 题型3：比例中项、线段的比例中项 11．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（    ） A．2 B．6 C．8 D．2 【答案】C 【分析】根据比例线段的定义列式求解即可，在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a∶b=c∶d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段；如果三个数a，b，c满足比例式a∶b=b∶c，则b就叫做a，c的比例中项． 【解析】解：由题意，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查比例线段，理解比例线段的定义，找准对应关系是解题关键． 12．4和9的比例中项是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例中项的定义：如果存在a、b、c三个数，满足，那么b就交租ac的比例中项，进行求解即可． 【解析】解：设4和9的比例中项为x， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了求比例中项，熟知比例中项的定义是解题的关键． 13．45与 的比例中项是8． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义列式求解即可． 【解析】解：设45与的比例中项是8， 则， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了成比例线段，正确理解比例的基本性质是解本题的关键． 14．已知x是2和6的比例中项，则 ． 【答案】 【分析】根据比例中项的概念，得，则x可求出来． 【解析】是2和6的比例中项， ， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．求比例中项根据比例的基本性质进行计算． 题型4：求其他比例项 15．已知则的第四比例项 ． 【答案】6 【分析】根据第四比例项的概念，得，再根据比例的基本性质进行求解． 【解析】解：∵是、、的第四比例项 ∴ ∴ ∵，， ∴ 故答案为：6． 【点睛】熟悉第四比例项的概念，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 16．如果a=2，b=4，c=8，那么（    ） A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项 【答案】D 【分析】根据线段成比例进行判断即可． 【解析】A选项a、b、c的第四比例项是16，因为 ， B选项3a、2b和3c的第四比例项为32，因为， C选项c不是ab的比例中项，因为， D选项b是ac的比例中项，因为 故选：D 【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质解答． 题型5：比例尺的应用 17．在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（　　） A．50cm B．500cm C． D． 【答案】B 【分析】根据成比例线段的性质求解即可． 【解析】解：∵1：50=10:500， ∴长度为10cm的线段实际长为500cm， 故选B． 【点睛】本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键． 18．在比例尺为的地图上，如果两地的距离是10厘米，那么这两地的实际距离是（    ） A．50000米 B．5000米 C．500米 D．50米 【答案】C 【分析】根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【解析】解：根据题意，10÷（1： 5000）=50000厘米=500米． 即两地间的实际距离是500米． 故选C． 【点睛】考查了比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用． 19．在比例尺是的地图上，两地的距离是，那么这两地的实际距离为（    ） A． B． C． D．． 【答案】B 【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离． 【解析】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离， 得：两地的实际距离为6×200000＝1200000（cm）＝12（km）． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，解题关键是能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 20．某两地的距离为3000米，画在地图上的距离是15厘米，则地图上的距离与实际距离之比是（    ） A．1∶200 B．1∶2000 C．1∶20000 D．1∶200000 【答案】C 【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比． 【解析】解：因为3000米＝300000厘米，则15厘米：300000厘米＝1：20000． 故这幅地图的比例尺是1：20000． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一． 题型6：已知三个数，求另一个数组成比例式 21．已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据比例的概念，要组成一个比例式，最大的数与最小数的积等于另外两个数的积，据此解答即可． 【解析】解：添加6时，，故选项A不符合题意； 添加8时，，故选项B不符合题意； 添加10时，，故选项C不符合题意； 添加12时，，故选项D不符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 22．若x与2、5、6这三个数可以组成比例式，则x可能是 ． 【答案】或15或 【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，列式解答即可． 【解析】当x与6组成外项时，，； 当x与2组成外项时，，； 当x与5组成外项时，，. 故答案为：或15或 【点睛】此题考查了比例的基本性质，熟练掌握两外项之积等于两内项之积是解答此题的关键． 题型7：比例的合比性质 23．已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】 此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件得出，，，再代入，然后进行整理即可得出答案． 【解析】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2） ∵，且， ∴，，， ∵， 则， ∴的值为8． 24．下列结论不一定成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，（），那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】对于A、B选项，设，则，，分别代入验证左右两端是否相等即可；对于C、D选项，设，则，， ，分别代入计算，验证两边是否相等即可． 【解析】解：A：设， 则，， ∴，， ∴，故A不符合题意； B：利用A中的方法，同理可知也成立，故B不符合题意； C：设，则，， ， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D：设，则，， ， ∴，，， ∴，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握等比、合比的性质是解题的关键． 25．题目：“已知数x，y，z，m满足，求m的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ）． A．甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．甲、丙的答案合在一起才完整 【答案】D 【分析】分和两种情况求解即可． 【解析】解：当时， ∵ ∴； 当时，， ∴， 综上，m的值为2或， 故选：D 【点睛】本题主要考查了合比定理，熟练掌握合比定理是解答本题的关键． 26．我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2)如果，那么成立，详见解析 (3)或 【分析】（1）根据成比例线段的定义即四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段，解答即可． （2）根据等式的性质，或设比值k的方法求解即可． （3）分和两种情况求解． 【解析】（1）根据题意，得四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． 故答案为：． （2）解法1： 如果，那么成立．理由： ， ， ∴， ． 解法2： 如果，那么成立．理由： ， ， 即， ． （3）①当时， ，，， 为其中任何一个比值，即； ②时， ． 所以或． 【点睛】本题考查了比例的性质，等比的性质，熟练掌握性质并灵活运用解题是解题的关键． 题型8：成比例线段的几何应用 27．已知、、是的三边长，且． (1)求的值． (2)若的周长为，求各边的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查比例的性质，比例的应用等知识，设，从而用表示出是解题的关键． （1）设，从而用表示出，再代入化简即可得解； （2）根据的周长为，即，从而将（1）中的结论代入求出t即可得解． 【解析】（1）解：设， ，，， 代入，得； （2）由题意知，， 则， 解得， ，，． 28．已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值； (2)若的周长为90，求的面积． 【答案】(1)2 (2)的面积为270． 【分析】（1）利用已知的比例式，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案； （2）根据的周长为90得，，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案． 【解析】（1）解：设，则，，， ∴； （2）解：∵的周长为90， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∵， ∴，即是直角三角形 ∴的面积为． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理等，正确表示出各数是解题关键． 29．如图，中，，E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于D点，求证：； (2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点； (3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，则 （直接写出结果）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明：，通过全等三角形的对应边相等得到：，利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系即可得证； （2）过F点作交于D点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据得到，根据，即可解题； （3）过F作的延长线交于点D，易证 ，由（1）（2）可知，，可得，即可求得的值，即可解题． 【解析】（1）证明： 在和中， ， ， 即： （2）证明：如图2，过F点作交AC于D点， 在和中， ， ， ∴ 点为中点； （3）过F作的延长线交于点D，如 ， 由(1)(2)知∶ ， 【点睛】本题考查了比例线段的性质，全等三角形的判定和性质，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，通过已知条件证明三角形全等是解题的关键． 一、单选题 1．下列各组线段中，成比例线段的组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例线段的定义可各选项分别进行判断即可． 【解析】解：A、，是成比例线段，故本选项符合题意； B、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； C、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； D、，不是成比例线段，故本选项不符合题意． 故选：A 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 （即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2．已知、是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例的性质进行求解即可． 【解析】解；∵， ∴， ∴，， ∴四个选项中只有B选项正确， 故选B． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键． 3．如果，且是和的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例中项的概念（如果a、b、c三个量成连比例即，b叫做a和c的比例中项）可得，则可求得的值． 【解析】解：∵，b是a和c的比例中项， 即， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了比例中项的概念，理解比例中项的定义是解题关键． 4．已知点C是线段AB延长线上一点，且AB：BC＝3：2，则AC：AB为（   ） A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5 【答案】B 【分析】设AB＝3k，BC＝2k，则AC＝5k，计算求解． 【解析】设AB＝3k，BC＝2k，则AC＝5k， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了比例线段，设出BC＝2k，用含k的代数式表示出AC与AB是解题的关键． 5．若 ，且，则的值是（ ） A．14 B．42 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，解一元一次方程，求代数式的值，由比例系数表示是解题的关键．将用表示出来，得到，再将求出的结果与联立求出的值 ，最后把所求的代入所求的代数式即可求解． 【解析】解：， ， ， ， 解得， ， 故选：D． 6．已知，则下列结论一定正确的是（ ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质“内项之积等于外项之积”是解题的关键． 【解析】解：A.由，可知不一定是，不一定是，故本选项不符合题意； B.由，得，故本选项不符合题意； C.由，得，故本选项符合题意； D.由，得，故本选项不符合题意． 故选：C． 7．达州市真佛山风景区与重庆武隆风景区之间的直线距离约为，在一张比例尺为的旅游图上，它们之间的距离大约相当于（　　）的长度 A．一根火柴 B．一根筷子 C．一支钢笔 D．一支铅笔 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，首先能够根据比例尺的概念进行正确计算，然后能够结合实际物体进行估计其大小．比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出式子，根据比例的基本性质即可得出图上的距离． 【解析】解：∵， 根据比例尺＝图上距离：实际距离， 得它们之间的图上距离是：． 大约相当于一支铅笔的长度． 故选：D． 8．已知，若，则（    ） A．12 B．15 C．16 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了等比性质，熟练掌握性质是解题的关键．利用等比性质计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9．若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设x=2a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可． 【解析】解：∵，设x=2a，y=7a，z=5a， ∴=， ==1， ==2． ∴A＜B＜C． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键． 10．设，，均为非负实数，并且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知等式变形，分别求得的值，进而即可求解． 【解析】∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，分式求值，根据已知等式变形是解题的关键． 二、填空题 11．如果（、都不等于零），那么= ． 【答案】// 【分析】直接利用已知把，用同一未知数表示，进而计算得出答案； 【解析】解：（都不等于零）， ∴设，则， 那么； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出，的值是解题关键． 12．若，则＝ ． 【答案】 【分析】设，得出x＝2k，y＝5k，z＝4k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【解析】解：设，则x＝2k，y＝5k，z＝4k， 则＝＝； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 13．已知线段，，则，的比例中项线段长等于 ． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 【解析】解：设a，b的比例中项为c， 根据比例中项的定义得：比例中项的平方等于两条线段的乘积， ∴c2＝ab＝4×8＝32， 解得：c＝或c＝−（不合题意，舍去） 故答案为：． 【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数． 14．已知三角的三边a、b、c满足，且三角形的周长为26，则该三角形的最大边长为 ． 【答案】12 【分析】设，根据三角形的周长列出方程即可求出k的值，从而求出结论． 【解析】解：设 ∴，，， ∵三角形的周长为26， ∴， ∴， 解得：， ∴该三角形的最大边长为， 故答案为：12． 【点睛】此题考查的是比例的性质，设是解题的关键． 15．找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立，以下结论：①；②；③；④，则正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个参，把题目中的几个量用所设的参数表示出来，然后消掉所设的参数，即可求得所给代数式的值． 【解析】解：∵， ∴， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 设， ∴， ∴，， ∴，故④正确． 故答案为：①②③④． 16．若，则的值为 ． 【答案】-1或8 【分析】设=k，根据比例的性质可得a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，根据等式的性质可得2（a+b+c）=k（a+b+c），分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况，分别求出k值，根据=k3即可得答案． 【解析】设=k， ∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk， ∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c）， ∴（a+b+c）(2-k)=0， 当a+b+c=0时，即a+b=-c， ∴k===-1， ∴==k3=-1， 当a+b+c≠0时，则2-k=0， 解得：k=2， ∴==k3=8， 故答案为：-1或8 【点睛】本题考查比例的性质，分情况讨论，注意整体代入思想的运用是解题关键． 三、解答题 17．已知，求下列算式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】设，则，，把a、b的值代入整式进行计算即可． 【解析】（1）解：设（），则，， ∴； （2）解：设（），则，， ∴． 【点睛】本题考查比例的性质及整式代入求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 18．两地的实际距离是，在地图上量得这两地的距离为，这幅地图的比例尺是多少？ 【答案】 【分析】根据比例尺的定义，求图上距离与实际距离的比即可． 【解析】两地的实际距离是，在地图上量得这两地的距离为， 这幅地图的比例尺为：2:200000=1:100000． 【点睛】本题考查了成比例线段，解题关键是掌握比例尺的定义，注意单位要一致． 19．已知，且2a+bc＝4，求a、b、c的值． 【答案】a＝4，b＝6，c＝10 【分析】设，得出a＝2k，b＝3k，c＝5k，代入2a+bc＝4即可求出k． 【解析】解：设， 则a＝2k，b＝3k，c＝5k， 代入2a+bc＝4得：4k+3k5k＝4， 解得：k＝2， 即a＝4，b＝6，c＝10． 【点睛】本题考查了比例的性质和解一元一次方程，能得出关于k的方程是解此题的关键． 20．已知，，求的值． 【答案】 【分析】利用可得出，，再代入求值即可． 【解析】∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查代数式求值和比例的性质．用a表示出b和c是解题关键． 21．已知三条线段长分别为1cm，cm，2cm，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段． 【答案】cm、cm、cm 【分析】根据添加的线段长度，进行分情况讨论． 【解析】解：设这条线段长xcm， ①若四条线段的长度大小为：x，1，，2时，，解得：； ②若四条线段的长度大小为： 1，x，，2时，，解得：； ③若四条线段的长度大小为： 1，，x，2时，，解得：； ④若四条线段的长度大小为： 1，，2 ，x时，，解得：； 综上所述，线段长度为cm、cm或cm． 【点睛】本题考查成比例线段的求法，分类讨论是关键． 22．如图，线段AB、 BC 、AB 、BC 的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？． 【答案】见解析 【解析】试题分析：分别计算出这四条线段的长度，然后判断即可． 试题解析：解：成比例．理由如下： A1B1==，B1C1==； A2B2==，B2C2==． ∵A2B2：B2C2=：=1：，A1B1：B1C1=：=1：，∴A2B2：B2C2= A1B1：B1C1，∴A2B2，B2C2， A1B1，B1C1成比例． 23．已知a，b，c为的三边长，且，． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长； （2）由题意可直接得出，解出x的值（舍去负值）即可． 【解析】（1）由题意可设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）∵， ∴， 整理，得：， 解得：（舍去负值）． 【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键． 24．如图，三角形内的线段、相交于点．，，设、、和四边形的面积分别为、、、． （1）已知的值； （2）如果，求的值． 【答案】（1）；（2）7. 【分析】(1)根据高相等的三角形的面积之比等于底边之比即可求出答案; (2)连接OA,由(1)可知、设,则,观察图形中面积之间的关系，即可解答此题 【解析】（1）根据高相等的三角形的面积之比等于底边之比， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴，． 连接，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形面积之间的相互转换,解答此题的关键是熟悉“高相等的三角形的面积之比等于底边之比”.此外,求给定几何图形面积,往往有三种考虑方式: (1)各部分面积和等于该图形面积; (2)该图形面积减去几部分面积等于剩余部分面积; (3)不规则图形通过辅助线分割成已学过的特殊几何图形来求面积. 25．已知a，b，c，d都是互不相等的正数. （1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）； （2）若请判断和的大小关系，并证明； （3）令若分式的值为3，求t的值. 【答案】（1）=；=；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由，，得到a=2b，c=2d，代入化简即可得到结论； （2）设，则，得到a=bt，c=dt，代入化简即可得到结论； （3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论. 【解析】（1）∵，， ∴a=2b，c=2d， ∴，. 故答案为：==； （2）=.理由如下： 设，则， ∴a=bt，c=dt， ∴， ， ∴=； （3）∵， ∴a=ct，b=dt. ∵2=3， ∴. 解得：t=. 经检验：t=是原方程的解. 【点睛】本题考查了比例的性质以及解分式方程.设参法是解答本题的关键. 26．在矩形上有一个动点，点沿运动，并且不与点重合，连接，以为直角边作等腰直角三角形．    (1)当点沿运动时，求出等腰直角三角形面积的最大值； (2)当点在上运动时，的边与交于点，如图（1）所示，若，则等于__________________；若，则等于__________________； (3)如图（2）所示，当点（不与点重合）在上运动时，请你判断梯形的面积是否可以为面积的4倍，若可以，请求出的长度；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)26 (2)， (3)不可以，理由见解析 【分析】（1）由题意可知，当点运动到点时，的面积最大，根据勾股定理求得，即可获得答案； （2）根据题意解得，，即可获得答案；根据题意解得，，即可获得答案； （3）设的长度为，则，在中，由勾股定理可得，易得，再解得，可知当时，可有，此方程无解，即不存在梯形的面积为面积的4倍． 【解析】（1）解：根据题意，点沿运动， 则当点运动到点时，的面积最大， ∵，为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）若， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， 则， ∴， ∴． 故答案为：，； （3）设的长度为，则， ∵， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 当时，可得， 整理，得， ∵， ∴此方程无解，即不存在梯形的面积为面积的4倍． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用以及比例等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 学科网（北京）股份有限公司 $$