第03讲 比例线段（第2课时）（十一大题型）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第03讲 比例线段（第2课时）（十一大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（十一大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、学会自主运用一元二次方程的解法在比例线段中的应用推出黄金分割数； 2、会解有关黄金分割的题； 3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点。 一、知识引入 例题 如图24—9,已知线段AB的长度是l,点P是线段AB上的一点，,求线段AP的长 . 图24-9 解 设线段AP 的长为x, 那么线段PB的长为l-x.,得到关于x的方程 即 x²+lx-l²=0. 解得 因为 , (舍去), 所以，线段AP的长是 在比例式 中，两个内项都是线段AP, 这时线段 AP称为线段AB与PB的比例中项. 如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段(如图24 - 9),其中AP是AB和P的比例中项，那么称这种分割为黄金分割(golden section),点P称为线段AB的黄金分割点. AP与 AB的比值 称为黄金分割数(简称黄金数).黄金分割数是一个无理数，在应用时常取它的近似值0.618. 二、作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 温馨提示： 一条线段的黄金分割点有两个. 题型1：解黄金数（比）、证黄金分割点[学生自主利用一元二次方程的解法求黄金分割数] 1．如图，点是线段的黄金分割点，计算线段的黄金比的值．    2．已知线段，在上有一点A，如果，求证：点A是的黄金分割点. 题型2：已知全线段，求较长线段 3．已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么 . 4．如果P是线段的黄金分割点，，那么较长线段的长是 ． 5．点C是线段的黄金分割点（），若，则 题型3：已知全线段，求较短线段的长 6．已知点是线段的黄金分割点，且，，则 ． 题型4：已知较长线段，求较短线段的长 7．如图，C为线段的黄金分割点，，并且，则 ． 8．已知点P是线段AB上的黄金分割点，，，那么 ． 题型5：已知较长线段或较短线段，求全线段的长 9．已知点是线段上的黄金分割点，，，那么 ． 10．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果AP1，那么AB＝ ． 题型6：分类讨论较长线段和较短线段的长 11．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为 ． 题型7：由比例中项转化为黄金分割问题解决 12．已知点是线段上的一点，且，如果，那么的长是 ． 13．已知线段，点在线段上，且，那么线段的长 ． 题型8：两个黄金分割点问题 14．已知，点P、Q是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 ． 15．已知线段MN的长是20cm，点P、Q都是线段MN的黄金分割点，则点P、Q之间的距离是 cm． 16．已知线段是线段的黄金分割点，则 ． 题型9：黄金分割的实际应用 17．小智发现自己的数学辅导书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为，则它的宽约为 ．（精确到百分位） 18．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 题型10：有关黄金分割的式子综合辨析 19．已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 20．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则(  　　) A．AP2＝AB·PB ； B．AB2＝AP·PB ； C．PB2＝AP·AB ； D．AP2＋BP2＝AB2. 21．已知：点是线段的黄金分割点，且，那么下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 22．已知点P是线段AB的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是（    ） A． B． C． D． 23．如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（   ） A． B．是和的比例中项 C． D． 题型11：黄金分割的几何应用 24．如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，如果分别以点C、B为圆心，以AC的长为半径作弧相交于点D，那么∠B的度数是 ． 25．我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于 ． 26．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值． 如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数． 为简单起见，设，则． ∵，∴…… 任务： (1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． (2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设是已知线段，过点B作且使； ②连接，在上截取； ③在上截取； 则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ (3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　． 一、单选题 1．若线段，点P是线段的黄金分割点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，C为线段AB的黄金分割点（AC＜BC），且BC＝2，则AB的长为（    ） A．2＋2 B．2﹣2 C．＋1 D．﹣3 3．已知线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，线段PB的长是（    ） A． B．或 C． D． 4．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（    ） A． B． C． D． 5．如果点P把线段分割成和两段，下列数据能构成点P为线段黄金分割点的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列各式不正确的是（   ） A．AP：BP=AB：AP B． C． D． 7．如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是(   ) A． B． C． D． 8．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（　　） A． B． C． D． 9．如图,线段,点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),..,依此类推,则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 10．如图，正五边形的几条对角线的交点分别为，它们分别是所在对角线的黄金分割点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知点是线段上的黄金分割点，且，，那么 ． 12．已知点P是线段上黄金分割点，且，如果，那么 ． 13．已知点是线段上的黄金分割点，且，，那么的长度是 ． 14．已知点P把线段分割成和（）两段，如果是和的比例中项，那么的值等于 ． 15．已知线段l的长度为，点A，B为线段l上两个不同的黄金分割点，则 ． 16．我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的边的长度为 ． 17．如图①，点在线段上，若满足（即），则称点为线段的黄金分割点，每条线段都有两个黄金分割点，如图②，已知点都是线段的黄金分割点，若，则的长是 ． 18．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分制”数．把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，D是边的“黄金分割”点，若，且，则的长度是 ． 三、解答题 19．已知线段AB=10cm，点C是AB上的黄金分割点，求AC的长是多少厘米？ 20．如图，在线段上有一点，若，则称点为的黄金分割点，现已知，点是线段的黄金分割点，求的长. 21．已知点是线段的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段的长． 22．一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．请计算黄金比． 23．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长与身高的比值是． (1)求该女士下半身长； (2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到） 24．如图，是五角星中线段的黄金分割点． （1）写出一个与相等的线段比； （2）若的长为，求的长． 25．材料一：如图①，点C把线段分成两部分，若，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．类似地，对于实数：，如果满足，则称为的黄金数． 材料二：如果一条直线把一个面积为S的图形分成面积为和两部分，且满足，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图②，在中，若线段所在的直线是的黄金分割线，过点C作一条直线交边于点E，过点D作交的一边于点F，连接，交于G． 问题： (1)若实数，a为0，1的黄金数，求a的值． (2) （填） (3)是的黄金分割线吗？为什么？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 比例线段（第2课时）（十一大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（十一大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、学会自主运用一元二次方程的解法在比例线段中的应用推出黄金分割数； 2、会解有关黄金分割的题； 3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点。 一、知识引入 例题 如图24—9,已知线段AB的长度是l,点P是线段AB上的一点，,求线段AP的长 . 图24-9 解 设线段AP 的长为x, 那么线段PB的长为l-x.,得到关于x的方程 即 x²+lx-l²=0. 解得 因为 , (舍去), 所以，线段AP的长是 在比例式 中，两个内项都是线段AP, 这时线段 AP称为线段AB与PB的比例中项. 如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段(如图24 - 9),其中AP是AB和P的比例中项，那么称这种分割为黄金分割(golden section),点P称为线段AB的黄金分割点. AP与 AB的比值 称为黄金分割数(简称黄金数).黄金分割数是一个无理数，在应用时常取它的近似值0.618. 二、作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 温馨提示： 一条线段的黄金分割点有两个. 题型1：解黄金数（比）、证黄金分割点[学生自主利用一元二次方程的解法求黄金分割数] 1．如图，点是线段的黄金分割点，计算线段的黄金比的值．    【答案】黄金比为． 【分析】本题考查的是黄金分割的含义，本题设线段，较长的线段的长为，结合图形可得，结合黄金分割点的含义建立方程求解即可. 【解析】解：设线段，较长的线段的长为，结合图形可得， 是线段的黄金分割点， ，即， 解得：（舍去负值）， ， 答：黄金比为． 2．已知线段，在上有一点A，如果，求证：点A是的黄金分割点. 【答案】见解析 【分析】先求得，即可得到，结论得证． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴点A是的黄金分割点． 【点睛】解答本题的关键是应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的． 题型2：已知全线段，求较长线段 3．已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么 . 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解析】解：∵点P是线段的一个黄金分割点，且， ∴， 故答案为： 4．如果P是线段的黄金分割点，，那么较长线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比． 根据黄金分割的定义解答． 【解析】解：设， 根据题意列方程得，， 即， 解得(负值舍去)． 故答案为：． 5．点C是线段的黄金分割点（），若，则 【答案】/ 【分析】此题考查黄金分割，根据黄金分割的概念把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 【解析】解：由题意得：， ∵，， ∴， 解得：，负值已舍去． 故答案为． 题型3：已知全线段，求较短线段的长 6．已知点是线段的黄金分割点，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金分割的概念、黄金比值为是解题的关键．根据黄金比值为计算即可． 【解析】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 题型4：已知较长线段，求较短线段的长 7．如图，C为线段的黄金分割点，，并且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，先根据黄金分割的定义得出，然后求出，再求出结果即可． 【解析】解：∵点C为线段的黄金分割点，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．已知点P是线段AB上的黄金分割点，，，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可求解． 【解析】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且， 则，即， ∴ ∴ 故答案为 【点睛】本题考查黄金分割的概念，熟练掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割是解题的关键． 题型5：已知较长线段或较短线段，求全线段的长 9．已知点是线段上的黄金分割点，，，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值是计算即可． 【解析】解：点是线段上的黄金分割点，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割是解答本题的关键． 10．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果AP1，那么AB＝ ． 【答案】2 【分析】根据黄金分割的定义可得，进而即可求解． 【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP， ∴， ∵AP1， ∴AB=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，掌握黄金分割点与黄金比的关系是解题的关键． 题型6：分类讨论较长线段和较短线段的长 11．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意代入数据，分两种情况即可得出AP的长． 【解析】解：当AP＞BP时， ， 当AP＜BP时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段与全线段的比等于较短线段与较长线段的比，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；熟记黄金分割的公式：较长的线段=原线段的是解题关键．注意有两种情况． 题型7：由比例中项转化为黄金分割问题解决 12．已知点是线段上的一点，且，如果，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意，列出方程解题即可． 【解析】解：设的距离为，则， 根据题意列方式： ， ， 整理得： ， ， 根据求根公式， 解出，（舍去）． 故答案为：． 13．已知线段，点在线段上，且，那么线段的长 ． 【答案】/ 【解析】根据黄金分割的定义得到点是线段的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案． 【解答】解：∵， 点是线段的黄金分割点，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键． 题型8：两个黄金分割点问题 14．已知，点P、Q是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】先由黄金分割的比值求出，再由进行计算即可． 【解析】解：如图，点、是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键． 15．已知线段MN的长是20cm，点P、Q都是线段MN的黄金分割点，则点P、Q之间的距离是 cm． 【答案】/ 【分析】设 ，则 ，根据题意得： ，可求出 ，从而得到，同理可得，即可求解． 【解析】解：如图，设 ，则 ， 根据题意得： ，解得： ， 即 ， 则 ， 同理 ， 所以点P、Q之间的距离是 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了黄金分割的知识，属于基础题，熟练掌握黄金分割的定义：C是AB上一点，且AC：AB=BC：AC，那么C点就是AB黄金分割点是解题的关键． 16．已知线段是线段的黄金分割点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要是考查了黄金分割点的概念，根据黄金分割点的概念解答即可，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系是解题的关键． 【解析】根据黄金分割点的概念，可知， 则， 故答案为：． 题型9：黄金分割的实际应用 17．小智发现自己的数学辅导书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为，则它的宽约为 ．（精确到百分位） 【答案】/12.36厘米 【分析】根据黄金分割的定义即可得到宽与长的之比为，然后进行近似计算即可求出答案． 【解析】解： 小智发现自己的数学辅导书的宽与长之比为黄金比， 这本书的宽约为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金比的定义及其相关比值．黄金分割的定义：一个点把一条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就叫这条线段黄金分割点．解题的关键在于熟练掌握黄金分割相关比值． 18．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割的定义解答，即可得出答案． 【解析】解：为的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点． 题型10：有关黄金分割的式子综合辨析 19．已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割、解一元二次方程，把当作已知数求出，求出，再分别求出各个比值，根据结果判断即可． 【解析】解：令，，则， 可变形为， 整理，得， ， 解得， 边长为正数， ，， 即，， ，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选B． 20．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则(  　　) A．AP2＝AB·PB ； B．AB2＝AP·PB ； C．PB2＝AP·AB ； D．AP2＋BP2＝AB2. 【答案】C 【解析】∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB， 根据黄金分割的定义得PB2=AP•AB． 故选C． 点睛：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比． 21．已知：点是线段的黄金分割点，且，那么下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．由黄金分割点的定义得，即可得出结论． 【解析】解：∵点C为线段的黄金分割点，且， ∴， 故选项D符合题意， 故选：D． 22．已知点P是线段AB的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的定义求解即可． 【解析】解：根据黄金分割定义可知： AP是AB和BP的比例中项， 即AP2=AB•BP， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义(把线段AB分成两条线段AP和BP（AP＞BP），且使AP是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点)． 23．如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（   ） A． B．是和的比例中项 C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可． 【解析】解：点是线段的黄金分割点且， 是和的比例中项，， ， 故选项A、、不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 题型11：黄金分割的几何应用 24．如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，如果分别以点C、B为圆心，以AC的长为半径作弧相交于点D，那么∠B的度数是 ． 【答案】72° 【分析】根据黄金分割的定义得到AC2=BC•AB，而AC=CD=BD，则BD2=BC•AB，根据相似三角形的判定得△BDC∽△BAD，则∠A=∠BDC，设∠A=x，则∠BDC=x，根据三角形外角性质得∠ADC=∠A=2x，然后根据三角形内角和定理得到x+2x+2x =180°，再解方程即可． 【解析】解：∵点C是线段AB的一个黄金分割点， ∴AC2=BC•AB， ∵CD=AC=BD， ∴BD2=BC•AB， 即BD：BC=AB：BD， 而∠ABD=∠DBC， ∴△BDC∽△BAD， ∴∠A=∠BDC， 设∠A=x，则∠ADC=x， ∴∠DCB=∠ADC+∠A=2x， 而CD=BD， ∴∠DCB=∠B=2x， ∴x+2x+2x=180°，解得x=36°， ∴ 故答案为：72°． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 25．我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质可证四边形ABEF是正方形，可得EF＝BE，进一步即可求出EF与CE的比值． 【解析】解：根据折叠，可知AB＝AF，BE＝FE，∠BAE＝∠FAE， 在矩形ABCD中，∠BAF＝∠B＝90°， ∴∠BAE＝∠FAE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴BA＝BE， ∴AB＝BE＝EF＝FA， 又∵∠B＝90°， ∴四边形ABEF是正方形， ∴EF＝BE＝AB， ∵矩形ABCD是黄金矩形， ∴＝， ∴＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 26．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值． 如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数． 为简单起见，设，则． ∵，∴…… 任务： (1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． (2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设是已知线段，过点B作且使； ②连接，在上截取； ③在上截取； 则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ (3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　． 【答案】(1)黄金分割数为 (2)能，道理见解析 (3) 【分析】（1）设，则．根据黄金分割的定义，构建方程求出x即可． （2）设，根据勾股定理求出，再证明即可． （3）利用黄金分割的定义求出，再根据求解即可． 【解析】（1）设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即黄金分割数为． （2）能，道理如下： 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C是线段的黄金分割点． （3）如图，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 一、单选题 1．若线段，点P是线段的黄金分割点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金分割的定义即可解答． 【解析】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了黄金分割，应该熟记黄金分割的公式：较长线段=原线段长的倍，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 2．如图，C为线段AB的黄金分割点（AC＜BC），且BC＝2，则AB的长为（    ） A．2＋2 B．2﹣2 C．＋1 D．﹣3 【答案】C 【分析】黄金分割比定理：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值为，叫黄金分割比，由此进行求解即可． 【解析】解：C为线段AB的黄金分割点，BC＝2 ，AC＜BC ∴ ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题考查黄金分割定理，理解黄金分割定理的概念，熟悉比值是解题的关键． 3．已知线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，线段PB的长是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割的定义和黄金比值，分PB为较长线段和PB为较短线段求解即可． 【解析】解：∵线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点， ∴PB= AB= ×2=， 或PB=2－（）=， 故选：B． 【点睛】本题考查黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和CB（AC＞BC），且AC为AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC= AB，熟记黄金比值是解答的关键． 4．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割的定义得到，然后把的长度代入可求出的长，即可求出的长度． 【解析】解：∵P为的黄金分割点， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，其中． 5．如果点P把线段分割成和两段，下列数据能构成点P为线段黄金分割点的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据黄金分割的定义判断即可． 【解析】∵点P把线段分割成和两段， ∴，即， ∴， A、∵，， ∴， 故A项错误； B、∵，， ∴，故B项错误； C、∵，， ∴，故C项错误； D、∵，， ∴，故D项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，记住定义是解题的关键． 6．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列各式不正确的是（   ） A．AP：BP=AB：AP B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据黄金分割的概念排除选项即可． 【解析】由题意得： AP：BP=AB：AP，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，，故D正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查黄金分割点，熟记黄金分割点的概念是解题的关键． 7．如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形和矩形的面积进行分析计算．据此即可求解． 【解析】解：∵， ∴ ∵ ∴ 故选：C． 8．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中黄金分割点定义，在图（1）中令，设，，即，解得，从而，得到黄金分割比由点分别是线段的黄金分割点，可知，，，则，，，根据，代入求解即可得到，，． 【解析】解：如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点， 令，设，则，则由，代值得，解得， ， ， 点分别是线段的黄金分割点， ，，， ，，， 将，代入求解即可得到，，， 故选：A． 【点睛】本题查处黄金分割点定义，涉及黄金分割比求解及利用黄金分割比求线段长，读懂题意，理解黄金分割点定义得到比例是解决问题的关键． 9．如图,线段,点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),..,依此类推,则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割的定义得到，则，同理得到，，根据此规律得到．据此可得答案． 【解析】解：线段，点是线段的黄金分割点， ， ， 点是线段的黄金分割点， ， ， ． 所以线段的长度是， 故选：． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点；其中，并且线段的黄金分割点有两个． 10．如图，正五边形的几条对角线的交点分别为，它们分别是所在对角线的黄金分割点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，平行四边形的性质及判定，首先根据正五边形的相关性质判定四边形为平行四边形，进而求出的长度，再根据黄金分割点进行计算即可得到的长黄金分割点等相关内容，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键 【解析】解：∵五边形为正五边形 ∴，, ∴ 同理可得 ∴ ∵ ∴ 同理可证明 ∴四边形为平行四边形 ∴,， 同理：， ∵、为的黄金分割点 ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 11．已知点是线段上的黄金分割点，且，，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 【解析】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键． 12．已知点P是线段上黄金分割点，且，如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义：把一条线段分割为两部分，使其中较大部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．可以得到，设 ，则有，解出即可得到答案． 【解析】解： ，设，则 解得： 或（舍去） 故答案为： ． 【点睛】本题考查黄金分割的概念，熟练掌握其定义是解题的关键． 13．已知点是线段上的黄金分割点，且，，那么的长度是 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割点定义，知是较长线段，则代入求出，再利用即可求出． 【解析】由于为线段的黄金分割点，且是较长线段， 则， ∴； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，准确求出较长线段的长度是解题的关键． 14．已知点P把线段分割成和（）两段，如果是和的比例中项，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可． 【解析】解：∵点把线段分割成和两段()，其中是与的比例中项， ∴点P是线段的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是黄金分割比，是与的比例中项即点P是线段AB的黄金分割点，理解并熟记黄金分割比是解本题的关键． 15．已知线段l的长度为，点A，B为线段l上两个不同的黄金分割点，则 ． 【答案】 【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，即可求解． 【解析】解：如图， ∵点A，B为线段l上两个不同的黄金分割点，， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系是解题的关键． 16．我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的边的长度为 ． 【答案】或2 【分析】分两种情况：①边为矩形的长时，②边为矩形的宽时，根据宽与长的比是分别求出矩形的长即可． 本题考查了黄金分割，读懂题意，掌握黄金矩形的定义是解题的关键． 【解析】分两种情况： ①边为矩形的长时，则边为矩形的宽， 则； ②边为矩形的宽时，则边为矩形的长， 则； 综上所述，该矩形的的长度为或2， 故答案为：或2． 17．如图①，点在线段上，若满足（即），则称点为线段的黄金分割点，每条线段都有两个黄金分割点，如图②，已知点都是线段的黄金分割点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段成比例的运算，黄金分割点的计算方法，掌握线段成比例的运算方法是解题的关键． 根据点都是线段的黄金分割点，可得，根据线段的和差运算即可求解． 【解析】解：已知点为线段的黄金分割点，则（即）， ∵点都是线段的黄金分割点， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分制”数．把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，D是边的“黄金分割”点，若，且，则的长度是 ． 【答案】/ 【分析】如图，过作于 再根据黄金分割点的含义求解结合等腰三角形的性质求解再利用勾股定理进行计算即可． 【解析】解：如图，过作于 ∵为的黄金分割点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 而 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是黄金分割点的含义，等腰三角形的性质，勾股定理分应用，二次根式的混合运算，熟练的利用勾股定理进行计算是解本题的关键． 三、解答题 19．已知线段AB=10cm，点C是AB上的黄金分割点，求AC的长是多少厘米？ 【答案】（）cm或（15−）cm 【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段；则AC＝或AC＝10−（）＝15−． 【解析】解：根据黄金分割点的概念，应有两种情况， 当AC是较长线段时，AC＝； 当AC是较短线段时，则AC＝10−（）＝15−． 故答案为：（）cm或（15−）cm． 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键． 20．如图，在线段上有一点，若，则称点为的黄金分割点，现已知，点是线段的黄金分割点，求的长. 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义，知为较长线段；则，代入数据即可得出的值． 【解析】解：为线段的黄金分割点，且，为较长线段， 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中是需要熟记的内容． 21．已知点是线段的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段的长． 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割比，分母有理化，解题关键是掌握黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．分两种情况讨论：①当时；②当时，利用黄金比分别列式求解，即可求出线段的长． 【解析】解：分两种情况讨论： ①当时，则， ， ； ②当时，则， ， ； 综上可知，线段的长为或 22．一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．请计算黄金比． 【答案】 【分析】设AB=1，AC=x，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案． 【解析】解：设，，则， 由，得， 则， 整理得；， 解得：，（不合题意，舍去）． 故黄金比为：． 【点睛】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，注意方程思想的正确运用． 23．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长与身高的比值是． (1)求该女士下半身长； (2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到） 【答案】(1)该女士下半身x为； (2)她应穿的高跟鞋的高度为． 【分析】（1）列式计算即可求解； （2）设需要穿的高跟鞋是，列方程求解即可． 【解析】（1）解：； 答：该女士下半身x为； （2）解：设需要穿的高跟鞋是，则 ， 解得：， 答：她应穿的高跟鞋的高度为． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用．明确黄金分割所涉及的线段的比是解题关键． 24．如图，是五角星中线段的黄金分割点． （1）写出一个与相等的线段比； （2）若的长为，求的长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由黄金分割点的定义即可得出答案； （2）设，则，由黄金分割的定义代入数值即可求出的长． 【解析】解：（1）∵是五角星中线段的黄金分割点， ∴； （2）设，则， ∵是五角星中线段的黄金分割点， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴的长为：． 【点评】本题考查了黄金分割点的定义，熟记黄金分割的定义是解题的关键． 25．材料一：如图①，点C把线段分成两部分，若，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．类似地，对于实数：，如果满足，则称为的黄金数． 材料二：如果一条直线把一个面积为S的图形分成面积为和两部分，且满足，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图②，在中，若线段所在的直线是的黄金分割线，过点C作一条直线交边于点E，过点D作交的一边于点F，连接，交于G． 问题： (1)若实数，a为0，1的黄金数，求a的值． (2) （填） (3)是的黄金分割线吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)是，理由见解析 【分析】（1）根据黄金数的定义，即可求解； （2）根据平行线间的距离处处相等，可得，即可求解； （3）根据，可得，，从而得到，再由线段所在的直线是的黄金分割线，可得，即可求解． 【解析】（1）解：∵a为0，1的黄金数，且实数， ∴，即， 解得： （舍确），； （2）解：设点F到的距离为h， ∵， ∴， 即， ∴； 故答案为： （3）解：是 理由如下： ∵， ∴，， ∴， 又∵线段所在的直线是的黄金分割线， ∴， ∴， ∴是的黄金分割线． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，平行线的性质，黄金分割点，黄金分割线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$