专题1.3 有理数（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题1.3 有理数（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的概念 整数和分数统称有理数. 知识拓展：有限小数和无限循环小数都可以化为分数；反过来，分数都可以化为有限小数和无限循环小数. 【例1】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）下列各数：中，有理数有 个． 【知识点二】有理数的分类 知识拓展：（1）小数包括无限不循环小数，故小数不能等同于分数，但除了.无限不循环小数，其他小数都属于分数； (2）圆周率是无限不循环小数，它不能化为分数，是将来要学的无理数。 【例2】（22-23七年级上·山东济南·期中）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，，． 整数集合：{                                        …} 正分数集合：{                                      …} 负分数集合：{                                      …} 【知识点三】0的意义 （1） 既不是正数也不是负数，正负数以0为界；（2）为了表示没有而产生一个数0； （3）0还可以表示为一个事件的起点；（4）与0对应的是非零，非零表示正数或负数，总之，一个圈，表示的意义有无穷无尽的地方。 【例3】下列说法错误的是（   ） A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数 C．是零上温度和零下温度的分界线 D．海拔高度是0米表示没有高度 【知识点四】带“非”字的有理数 带“非”字的有理数“非负数”“非正数”“非负整数”“非正整数”“非零”“非小数”等等，如“非负数”表示不是负数，就是正数或0，在理解“非负整数”，表示的含义有两层意义：首先它是整数，其次它才是正负整数，所以“非负整数”表示的是不是负整数，就是0和正整数，这是学生易错的地方。 【例4】（23-24七年级上·湖北恩施·阶段练习）把下列各数分别填在相应的横线上： 1，，，325，，0，，0.618，，π，0.1010010001…． 负数有： ； 非正数有： ； 负整数有： ； 非负数有： ； 负分数有： ； 非负整数有： ． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有理数的概念理解 【例1】简答： （1）-1和0之间还有负数吗？如有，请列举． （2）-3和-1之间有负整数吗？-2和2之间有哪些整数？ （3）有比-1大的负整数吗？有比1小的正整数吗？ （4）写出三个大于-105小于-100的有理数． （5）如果把一个物体向右移动5m记作移动-5m，那么这个物体又移动+5m是什么意思？这时物体离它两次移动前的位置多远？ 【举一反三】 【变式1】（22-23七年级上·全国·课后作业）在数 ，，，，，，（每两个 中依次多一个 ）中，有理数有（    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【变式2】（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）在“”中有理数有 个． 【题型2】0的意义的认识 【例2】在下表适当的空格里打“√”号. 有理数 整数 分数 正整数 负分数 非负整数 2 －3.14 0 －1 【举一反三】 【变式1】关于“0”的说法，正确的是（    ） A．是整数，也是正数 B．是整数，但不是正数 C．不是整数，是正数 D．是整数，但不是有理数 【变式2】0既不是 ，也不是 ．0是 和 的分界点． 【题型3】有理数分类的判断 【例3】“不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数”的说法对吗？为什么？ 【举一反三】 【变式1】（23-24七年级上·广东汕头·期末）在，，0，，中分数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）在中，正整数有个，负数有个，则的值为 . 【题型4】带“非”字有理数识别 【例4】我们用字母表示一个有理数，试判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例． （1）一定表示正数，一定表示负数； （2）如果是零，那么就是负数； （3）若是正数，则一定为非正数． 【举一反三】 【变式1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）下列选项中，大括号中所填的数正确的是（    ） A．正数集合： B．非负数集合： C．分数集合： D．整数集合： 【变式2】（22-23七年级上·湖北黄石·期中）在下列数，，，，，，，，中，属于非负有理数的有 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·江西·中考真题）下列各数中，正整数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·江苏盐城·中考真题）下列数中，属于负数的是（    ） A．2023 B． C． D．0 2、拓展延伸 【例1】（2024七年级·全国·竞赛）若为整数，则整数可取的值有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】把下列各数分别填在相应的横线上： 1，-0.20，，325，-789，0，-23.13，0.618，-2014，π，0.1010010001…． 正数有： ； 分数有： ； 负数有： ； 正整数有： ； 非正数有： ； 负整数有： ； 非负数有： ； 负分数有： ； 非负整数有： ． 【例3】（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的3个数分别 是 ， ， ； （2）有一列数：，，，，…．那么接下来的第7个数是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 有理数（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的概念 整数和分数统称有理数. 知识拓展：有限小数和无限循环小数都可以化为分数；反过来，分数都可以化为有限小数和无限循环小数. 【例1】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）下列各数：中，有理数有 个． 【答案】5 【分析】本题考查负有理数的识别，熟练掌握整数和分数统称有理数是解题的关键．根据有理数的定义进行判断即可． 解：这5个数是有理数． 故答案为：5 【点拨】此处特别注意是无理数，0.1010010001是有规律排列的有理数； 【知识点二】有理数的分类 知识拓展：（1）小数包括无限不循环小数，故小数不能等同于分数，但除了.无限不循环小数，其他小数都属于分数； (2）圆周率是无限不循环小数，它不能化为分数，是将来要学的无理数。 【例2】（22-23七年级上·山东济南·期中）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，，． 整数集合：{                                        …} 正分数集合：{                                      …} 负分数集合：{                                      …} 【答案】，，，；，，；，，． 【分析】本题考查了有理数的概念及分类，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉整数、正分数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 解：整数集合：{，，，，…}； 正分数集合：{，，，…}； 负分数集合：{，，，…}； 故答案为：，，，；，，；，，． 【点拨】有理数分类要遵循“不重不小漏”的原则 【知识点三】0的意义 （1） 既不是正数也不是负数，正负数以0为界；（2）为了表示没有而产生一个数0； （3）0还可以表示为一个事件的起点；（4）与0对应的是非零，非零表示正数或负数，总之，一个圈，表示的意义有无穷无尽的地方。 【例3】下列说法错误的是（   ） A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数 C．是零上温度和零下温度的分界线 D．海拔高度是0米表示没有高度 【答案】D 【分析】根据有理数0的特殊性质解答． 解：A、0是最小的自然数，正确，故本选项不符合题意， B、0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意； C、0℃是零上温度和零下温度的分界线，正确，故本选项不符合题意， D、海拔高度为0米表示高度和参考高度相等，故本选项符合题意， 故选：D． 【知识点四】带“非”字的有理数 带“非”字的有理数“非负数”“非正数”“非负整数”“非正整数”“非零”“非小数”等等，如“非负数”表示不是负数，就是正数或0，在理解“非负整数”，表示的含义有两层意义：首先它是整数，其次它才是正负整数，所以“非负整数”表示的是不是负整数，就是0和正整数，这是学生易错的地方。 【例4】（23-24七年级上·湖北恩施·阶段练习）把下列各数分别填在相应的横线上： 1，，，325，，0，，0.618，，π，0.1010010001…． 负数有： ； 非正数有： ； 负整数有： ； 非负数有： ； 负分数有： ； 非负整数有： ． 【分析】根据负数是比0小的数，非负数包括正数和0，非负整数包括正整数和0，以及负整数和负分数的定义，对各个数进行判断，进行解答即可． 解：负数有：，，，； 非正数有：，，，0，； 负整数有：，； 非负数有：1，，325，0，π，3.1010010001…； 负分数有：，； 非负整数有：1，325，0． 【点拨】特别注意带“非”的理解，如“非负整数”表示的前提是整数，在整数中不是负整数就是正整数和0； 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有理数的概念理解 【例1】简答： （1）-1和0之间还有负数吗？如有，请列举． （2）-3和-1之间有负整数吗？-2和2之间有哪些整数？ （3）有比-1大的负整数吗？有比1小的正整数吗？ （4）写出三个大于-105小于-100的有理数． （5）如果把一个物体向右移动5m记作移动-5m，那么这个物体又移动+5m是什么意思？这时物体离它两次移动前的位置多远？ 【答案】（1）有，；（2）-3与-1之间有负整数，-2；-2与2之间有整数为-1,0,1；（3）没有，没有；（4）-104，-103，-102；（5）表示把一个物体向左移动5m；0m． 【分析】 （1）根据-1和0之间有无数个负数，即可得答案； （2）根据整数的定义直接可得答案； （3）根据-1是最大的负整数，1是最小的正整数直接可得答案； （4）在-105和-100的有理数有无数个，所以可直接写出答案； （5）根据有理数相反意义的概念可直接得出答案． 答：（1）-1和0之间有负数，如，，等等； （2）-3和-1之间有负整数，如-2；-2和2之间有3个整数，分别为：-1,0,1； （3）没有比-1大的负整数，也没有比1小的正整数，因为-1就是最大的负整数，1就是最小的正整数； （4）大于-105小于-100的有理数有无数个，所以可任意写出三个，如：-104，-103，-102； （5）因为把一个物体向右移动5m记作移动-5m，所以根据有理数相反意义的关系可得移动+5m表示把一个物体向左移动5m，这时物体离它两次移动前的位置为0m． 【举一反三】 【变式1】（22-23七年级上·全国·课后作业）在数 ，，，，，，（每两个 中依次多一个 ）中，有理数有（    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【分析】根据有理数的定义，即可求解．有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称． 解：在数 ，，，，，，（每两个 中依次多一个 ）中，有理数有，，，，，，共6个 故选C． 【点拨】本题考查了有理数的定义，掌握有理数的定义是解题的关键．其中“（每两个 中依次多一个 ）”是有规律排列有无限不循环小数，它和 一样都是无理数 【变式2】（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）在“”中有理数有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查有理数的有关概念，解答本题的关键在于熟练掌握有理数的概念． 解：分数和整数统称为有理数， ∴有理数有：． 故答案为：3． 【题型2】0的意义的认识 【例2】在下表适当的空格里打“√”号. 有理数 整数 分数 正整数 负分数 非负整数 2 －3.14 0 －1 【分析】有理数是整数和分数的统称, 整数就是像-3,-2,-1,0,1,2,3，等这样的数，整数包括：负整数，0，正整数； 分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例.把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数，分数分为：正分数和负分数；非负整数是指0和正整数，根据有理数的定义和分类进行解答. 解：如下表所示： 有理数 整数 分数 正整数 负分数 非负整数 2 √ √ √ √ －3.14 √ √ √ 0 √ √ √ －1 √ √ √ 【点拨】本题主要考查有理数的定义和有理数的分类，解决本题的关键是要熟练掌握有理数的定义和有理数的分类. 【举一反三】 【变式1】关于“0”的说法，正确的是（    ） A．是整数，也是正数 B．是整数，但不是正数 C．不是整数，是正数 D．是整数，但不是有理数 【答案】B 【分析】根据0既不是正数也不是负数，0是有理数也是整数，据此对各选项逐一判断即可． 解：A．0是整数，不是正数，则A选项错误，故A选项不符合题意； B．0是整数，不是正数，则B选项正确，故B选项符合题意； C．0是整数，不是正数，则C选项错误，故C选项不符合题意； D．0是整数，也是有理数，则D选项错误，故D选项不符合题意， 故选B． 【点拨】本题主要考查了有理数的概念，0的特殊规定：0既不是正数也不是负数，0是有理数也是整数．熟练记忆是解决本题的关键． 【变式2】0既不是 ，也不是 ．0是 和 的分界点． 【答案】 正数/负数 负数/正数 正数/负数 负数/正数 【分析】根据0的意义求解即可． 解：0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界点， 故答案为：正数；负数；正数；负数． 【点拨】本题主要考查了0的意义，熟知0的意义是解题的关键． 【题型3】有理数分类的判断 【例3】“不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数”的说法对吗？为什么？ 【答案】不对，因为0既不是正数也不是负数． 【分析】举反例进行说明即可． 解答：不对．因为0既不是正数也不是负数． 【点拨】本题主要考查了0的意义，掌握“0既不是正数也不是负数”是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（23-24七年级上·广东汕头·期末）在，，0，，中分数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查有理数，根据分数的定义进行判断即可． 解：在，，0，，中，分数有， ，，共3个， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）在中，正整数有个，负数有个，则的值为 . 【答案】5 【分析】根据正整数，负分数的定义得出它们的个数，再代入计算即可． 解：在中， 正整数有2020，，共2个； 负数有，共3个； ∴m=2，n=3，m+n=2+3=5． 故答案为：5． 【点拨】本题考查了有理数的分类，代数式求值，掌握有理数的分类是解题的关键． 【题型4】带“非”字有理数识别 【例4】我们用字母表示一个有理数，试判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例． （1）一定表示正数，一定表示负数； （2）如果是零，那么就是负数； （3）若是正数，则一定为非正数． 【答案】(1)错误．若，则；(2)错误．若，则；(3)正确； 【分析】（1）根据有理数的分类分析小题即可判断；（2）根据有理数的分类分析小题即可判断； （3）根据有理数的分类分析小题即可判断； （1）解：错误．举例：若，则； （2）解：错误．举例：若，则； （3）解：正确． 【点拨】本题考查有理数的分类，解题时需要掌握整数和分数，正数和负数以及0的定义和特点，理解0既不是正数也不是负数． 【举一反三】 【变式1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）下列选项中，大括号中所填的数正确的是（    ） A．正数集合： B．非负数集合： C．分数集合： D．整数集合： 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的分类，理解有理数的相关定义是解题的关键．先根据正数的定义判断A的正误，再根据非负数是正数或0判断B的正误；再根据有理数也可分成整数和分数判断C，D的正误即可解答． 解：A．由是正数，故正确，符合题意； B．由为负数，故错误，不符合题意； C．1为整数，故错误，不符合题意； D．因为是分数，故错误，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（22-23七年级上·湖北黄石·期中）在下列数，，，，，，，，中，属于非负有理数的有 ． 【答案】，，， 【分析】根据非负有理数即大于等于的有理数，逐一判断即可． 解：数，，，，，，，，中， 非负有理数即大于等于的有理数有：，，，， 故答案为：，，，． 【点拨】本题考查了有理数的分类，理解非负有理数即大于等于的有理数是解题的关键． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·江西·中考真题）下列各数中，正整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数的分类即可求解． 解：是正整数，是小数，不是整数，不是正数，不是正数， 故选：A． 【点拨】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 【例2】（2023·江苏盐城·中考真题）下列数中，属于负数的是（    ） A．2023 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据小于0的数即为负数解答可得． 解：是负数，和是正数，0既不是正数也不是负数 故选：B． 【点拨】本题主要考查正数和负数，熟练掌握负数的概念是解题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（2024七年级·全国·竞赛）若为整数，则整数可取的值有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整数的定义，理解整数的定义是解题的关键． 分别用列举法确定为整数的的值，然后取公共部分即可解答． 解：∵为整数时， ∴可取； ∵为整数时， ∴可取， ∴当为整数时，可取值为共两个． 故选C． 【例2】把下列各数分别填在相应的横线上： 1，-0.20，，325，-789，0，-23.13，0.618，-2014，π，0.1010010001…． 正数有： ； 分数有： ； 负数有： ； 正整数有： ； 非正数有： ； 负整数有： ； 非负数有： ； 负分数有： ； 非负整数有： ． 【答案】 1，，325，0.618，π，0.1010010001…； -0.20，，-23.13，0.618； -0.20，-789，-23.13，-2014； 1，325； -0.20，-789，0，-23.13，-2014； -789，-2014； 1，，325，0，0.618，π，0.1010010001…； -0.20，-23.13； 1，325，0. 解答：按照本题中给出的分类，结合各类型数的定义依次分析各个数的特征，得 (1) 1是正数；1是正整数；1是非负数；1是非负整数. (2) -0.20是分数；-0.20是负数；-0.20是非正数；-0.20是负分数. (3) 是正数；是分数；是非负数. (4) 325是正数；325是正整数；325是非负数；325是非负整数. (5) -789是负数；-789是非正数；-789是负整数. (6) 0是非正数；0是非负数；0是非负整数. (7) -23.13是分数；-23.13是负数；-23.13是非正数；-23.13是负分数. (8) 0.618是正数；0.618是分数；0.618是非负数. (9) -2014是负数；-2014是非正数；-2014是负整数. (10) π是正数；π是非负数. (11) 0.1010010001…是正数；0.1010010001…是非负数. 故本题应进行如下填写： (正数) 1，，325，0.618，π，0.1010010001…； (分数) -0.20，，-23.13，0.618； (负数) -0.20，-789，-23.13，-2014； (正整数) 1，325； (非正数) -0.20，-789，0，-23.13，-2014； (负整数) -789，-2014； (非负数) 1，，325，0，0.618，π，0.1010010001…； (负分数) -0.20，-23.13； (非负整数) 1，325，0. 【例3】（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的3个数分别 是 ， ， ； （2）有一列数：，，，，…．那么接下来的第7个数是 ． 【答案】 -9, 10, -11; 解答：(1) 这一列数可以看作是先将正整数从小到大逐个排列起来再从第二个数开始每隔一个数在原数前面添加负号而得到的. 根据这一规律，接下来的3个数分别为：-9，10，-11. (2) 对这一列数的分子与分母的规律分别进行讨论. ①这一列数的分子可以看作是将正整数从小到大逐个排列起来而得到的. ②观察这列数的分母可以看出，，，，，… 因此，这列数的分母可以看作是该分数的分子与其自身之积再加上1而得到的. 根据上述规律，第7个数的分子应为7，第7个数的分母应为，即第7个数应为. 故本题应依次填写：-9，10，-11；. 【点拨】本题的难点在于第(2)小题，而第(2)小题的难点在于确定分数分母的变化规律. 在寻找这一规律时要特别注意这些分数的分母与相应的分数在整列数中的位置序数(在本题中相当于相应的分子的数值)的关系. 另外，在探索规律时，一般需要对各个数字进行一定的运算，要特别注意根据已知数的位置序数构造算式的形式，这常常是解决问题的突破口. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$