专题01 平面向量及其应用（思维导图+知识串讲+16题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第二册）

专题01 平面向量及其应用 一、知识聚焦 二、题型聚焦 知识点 1：平面向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 模的特点：（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． 将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 5、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量。规定：与任一向量共线． 知识点 2：平面向量的运算 1、向量的加法、减法、数乘 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， ； ； 知识点 3：向量共线与基本定理 1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2、三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点． 3、平面向量基本定理 （1）定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． （3）对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底， 则当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 知识点 4：向量的数量积与向量坐标运算 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角． （2）范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°. （3）共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直． 2、向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)， 记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即． （2）几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． （3）向量数量积的性质：设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 ①； ②； ③当与同向时，；当与反向时， 特别地，或； ④cos θ＝； ⑤ （4）向量数量积的运算律 ①； ②(λ为实数)； ③； ④两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． ⑤平面向量数量积运算的常用公式 知识点5 平面向量的坐标运算 1、向量的线性运算坐标表示 （1）已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． （2）若，则 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 2、向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是． 3、向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 4、线段的定比分点及λ （1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比． （2）点的位置与的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点． （3）若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则； 特别地为的中点． 题型归纳 【题型1 平面向量的概念辨析】 满分技法 在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件． 1．（22-23高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 2．（23-24高一下·山东泰安·月考）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（22-23高一下·吉林四平·月考）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线 C．单位向量是模为的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等 4．（23-24高一下·河南郑州·期中）（多选）下列结论不正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴，轴都是向量 C．若与是平行向量，则 D．海拔、温度、角度都不是向量 【题型2 向量相等与向量共线】 满分技法 1、向量共线或平行的定义：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)。 规定：与任一向量共线. 2、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 5．（23-24高一下·云南·月考）如图，在中，向量是（    ） A．有相同起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等的向量 6．（23-24高一下·湖北·月考）已知点是平行四边形的对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·重庆巴南·月考）如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 平面向量的线性运算】 满分技法 在平面几何中，利用三角形法则和四边形法则进行向量的加减运算，需注意向量的起点。 9．（23-24高一下·山西大同·月考）如图，在矩形中，（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·四川成都·月考）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知x、y是实数，向量不共线，若，则 ． 12．（23-24高一下·河北沧州·月考）已知，是两个不共线的向量，，若与共线，则 ． 【题型4 平面向量的基本定理应用】 满分技法 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 13．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知､是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 14．（23-24高一下·山东泰安·期中）如图，中，点为边的中点，点在边上，且，以为一组基底，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·吉林长春·期中）在矩形中，E，F分别为BC，CD的中点，若（m，），则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 16．（23-24高一下·江苏无锡·月考）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，. （1）若，求的值； （2）若()，()，求的最小值. 【题型5 向量运算的坐标表示】 满分技法 利用向量线性运算的坐标表示解决有关问题的基本思路 1.向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的,若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算,另外解题过程中要注意方程思想的运用. 2.利用向量线性运算的坐标表示解题,主要根据相等向量的坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解. 3.利用坐标运算求向量的基底表示,先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数. 17．（23-24高一下·天津·开学考试）已知两点，，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·云南昆明·月考）已知向量，，，若，则 . 19．（23-24高一下·上海·期中）已知平面上两点的坐标分别是为直线上一点，且，则点的坐标为 . 20．（23-24高一下·重庆·期中）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线. （1）求实数的值； （2）若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标. 【题型6 向量数量积的计算】 满分技法 1、定义法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即 （2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角。 2、基底法求平面向量的数量积 （1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解。 （2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解。 3、坐标法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解， 即若，，则； （2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积。 21．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，，，，则等于（    ） A．12 B．6 C．－6 D．－12 22．（23-24高一下·江苏镇江·月考）在平行四边形中，已知，，，点在边上，满足，则（    ） A． B．0 C． D．1 23．（23-24高一下·江苏·月考）在中，满足，则 ． 24．（23-24高一下·辽宁·期中）如图，在四边形中，分别在边上，且，，，，与的夹角为，则 . 【题型7 投影向量问题】 满分技法 求向量的投影（或其数量）的关注点和计算方法： 1、关注点：注意在上的投影与在上的投影不投，审题时要看清； 2、向量在所在直线上的投影是一个向量，向量在所在直线上的投影的数量是一个实数； 25．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·广东广州·期中）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·江西·月考）已知向量，，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一下·山西·月考）已知是单位向量，，则向量在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【题型8 平面向量模有关的问题】 满分技法 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 29．（23-24高一下·广东河源·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一下·广西南宁·期中）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（    ） A． B． C． D．1 31．（23-24高一下·江苏·月考）已知向量 满足 ，则 （ ） A．13 B．7 C． D． 32．（23-24高一下·河南濮阳·月考）已知向量，的夹角为，，，在中，，，，则（    ） A．2 B． C． D．6 【题型9 平面向量的夹角问题】 满分技法 1、两向量的夹角其实就是从同一起点出发的表示两个非零向量的有向线段构成的不大于平角的角； 2、求两个向量夹角的方法：求两向量的夹角，关键是利用平移的方法使表示两个向量的有向线段的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角。过程简记为“一作、二证、三算”。 33．（23-24高一下·甘肃天水·期中）已知向量与是非零向量，且满足在上的投影为，，则与的夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一下·重庆沙坪坝·月考）已知，，且，则 ． 35．（23-24高一下·江苏盐城·期中）设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是 . 36．（23-24高一下·浙江·期中）已知，，且满足 （1）求实数的值； （2）设，求非零向量与的夹角的余弦值． 【题型10 向量平行与垂直计算】 满分技法 1、向量，共线的充要条件是； 2、已知两向量垂直，可利用其数量积为0列出方程，通过解方程求出其中的参数值。在计算数量积时可根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算转化为基本的向量数量积的计算。 37．（23-24高一下·浙江·月考）已知向量，，若与共线，则（    ） A． B．4 C． D．或4 38．（23-24高一下·福建宁德·月考）已知向量，，且，则（ ） A． B． C． D． 39．（23-24高一下·安徽·月考）已知，，，且与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高一下·云南·期中）已知向量，． （1）若与共线，求的值； （2）若与垂直，求的值． 【题型11 利用向量判断多边形形状】 满分技法 由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系是关键，利用移项、平方等手段，可以得出数量积及向量的长度的等信息，为得到边相等、变垂直指明方向。 41．（15-16高一下·河北石家庄·课后作业）在四边形中，，，，则四边形的形状是（ ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 42．（2011·黑龙江·三模）P是所在平面上一点，满足，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 43．（23-24高一下·山西临汾·月考）在四边形中，，下列对四边形形状描述最准确的是（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．正方形 44．（23-24高一下·四川攀枝花·月考）若非零向量与满足，，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【题型12 利用向量判断三角形四心】 满分技法 1、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，则一定经过三角形的重心 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 3、常用外心向量式：是的外心， ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. ④若，则是的外心. 4、常见内心向量式：是的内心， ①（或） 其中，，分别是的三边、、的长， ②，，则一定经过三角形的内心。 45．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．外心、重心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 46．（23-24高一下·天津·月考）点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题： ①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中； ②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中； ③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中； ④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为 . 47．（23-24高一下·江苏苏州·月考）（多选）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 48．（23-24高一下·重庆·月考）（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点是的重心 B．若，则点是的内心 C．若，则点是的外心 D．若为三角形外心，且，则为的垂心 【题型13 奔驰定理及其应用】 满分技法 1、奔驰定理：是内的一点，且，则 2、奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”． 3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。 49．（23-24高一下·河南安阳·月考）设M为内一点，且，则与的面积之比为 ． 50．（2024高三下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 51．（20-21高一下·江苏常州·期末）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（    ） A．为的外心 B． C． D． 52．（23-24高一下·吉林通化·月考）（多选）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【题型14 平面向量极化恒等式应用】 满分技法 极化恒等式： 1、平行四边形模式：平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． 2、三角形模式：如上图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 53．（23-24高三下·湖南长沙·月考）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 54．（23-24高一下·福建泉州·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 55．（23-24高一下·云南昆明·期中）在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是 . 56．（22-23高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为 ． 【题型15 平面向量的最值范围问题】 满分技法 1、定义法：（1）利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；（2）运用基本不等式求其最值问题；（3）得出结论。 2、坐标法：（1）根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；（2）将平面向量的运算坐标化；（3）运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。 3、基底法：（1）利用基底转化向量；（2）根据向量运算化简目标；（3）运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论； 4、几何意义法：（1）结合条件进行向量关系推导；（2）利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；（3）结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。 57．（23-24高一下·山西·月考）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 58．（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角中，斜边，点在以BC为直径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B．8 C． D．12 59．（23-24高一下·上海·月考）已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．（23-24高一下·河南·月考）如图，在面积为的中，M，N分别为，的中点，点P在上，若，则的最小值是 ． 【题型16 平面向量在物理中的应用】 满分技法 向量在物理中的应用主要解题思路分四步 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 61．（23-24高一下·河北石家庄·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B． C．1 D．41 62．（23-24高一下·安徽宿州·期中）若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为（    ） A．37 B． C．13 D． 63．（22-23高一下·浙江嘉兴·月考）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（    ） （参考数据：取重力加速度大小为） A．63 B．69 C．75 D．81 64．（23-24高一下·江苏泰州·期中）（多选）长江某处的南北两岸平行，江面宽度为，一艘船从江南岸边的处出发到江北岸.已知如图，船在静水中的速度的大小为，水流方向自西向东，且速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则（    ） A．当船的航行距离最短时， B．当船的航行时间最短时， C．当时，船航行到达北岸的位置在的左侧 D．当时，船的航行距离为. 过关检测 一、单选题 1．（23-24高一下·广东广州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 2．（23-24高一下·广东广州·期中）已知向量，满足，，且，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（23-24高一下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·河北保定·月考）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·湖南常德·期中）在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 6．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·陕西西安·月考）设，，则（    ） A． B． C．若，则 D．向量，的夹角为 8．（23-24高一下·福建泉州·期中）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·河南安阳·月考）设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（    ） A．若点O是的重心，则 B．若点O是的垂心，则 C．若，则点O是的外心 D．若O为的外心，H为的垂心，则 三、填空题 10．（23-24高一下·四川南充·月考）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则 . 11．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，满足，，，则与的夹角为 . 12．（23-24高一下·陕西西安·月考）若为边长为等边三角形，动点满足，则的取值范围为 . 四、解答题 13．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知，，与的夹角为. （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）若，，，，求的值. 14．（23-24高一下·山东·期中）如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. （1）若，求和的值； （2）若，求的最小值. 15．（23-24高一下·广东潮州·月考）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. （1）若，求的面积； （2）若，求的值； （3）若为平面内一点，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量及其应用 一、知识聚焦 二、题型聚焦 知识点 1：平面向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 模的特点：（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． 将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 5、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量。规定：与任一向量共线． 知识点 2：平面向量的运算 1、向量的加法、减法、数乘 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， ； ； 知识点 3：向量共线与基本定理 1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2、三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点． 3、平面向量基本定理 （1）定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． （3）对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底， 则当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 知识点 4：向量的数量积与向量坐标运算 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角． （2）范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°. （3）共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直． 2、向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)， 记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即． （2）几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． （3）向量数量积的性质：设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 ①； ②； ③当与同向时，；当与反向时， 特别地，或； ④cos θ＝； ⑤ （4）向量数量积的运算律 ①； ②(λ为实数)； ③； ④两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． ⑤平面向量数量积运算的常用公式 知识点5 平面向量的坐标运算 1、向量的线性运算坐标表示 （1）已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． （2）若，则 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 2、向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是． 3、向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 4、线段的定比分点及λ （1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比． （2）点的位置与的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点． （3）若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则； 特别地为的中点． 题型归纳 【题型1 平面向量的概念辨析】 满分技法 在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件． 1．（22-23高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.故选：C. 2．（23-24高一下·山东泰安·月考）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误； 对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误； 对于C：若，则方向相同，C 正确； 对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误.故选：C. 3．（22-23高一下·吉林四平·月考）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线 C．单位向量是模为的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等 【答案】ACD 【解析】对于A，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故A项正确； 对于B，根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故B项错误； 对于C，根据单位向量的定义，可知C项正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量相等， 因此方向相反的两个非零向量一定不相等，D项正确．故选：ACD． 4．（23-24高一下·河南郑州·期中）（多选）下列结论不正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴，轴都是向量 C．若与是平行向量，则 D．海拔、温度、角度都不是向量 【答案】ABC 【解析】对于A，若与都是单位向量，则它们的模都是1， 但方向不一定相同，即与不一定相等，故A符合题意； 对于B，直角坐标平面上的轴，轴都有方向，但是没有长度， 即直角坐标平面上的轴，轴不是向量，故B符合题意； 对于C，若与是平行向量，则它们的方向可能相反，长度也不一定相等， 即与不一定相等，故C符合题意； 对于D，海拔、温度、角度只有大小没有方向，故它们都不是向量，故D不符合题意.故选：ABC. 【题型2 向量相等与向量共线】 满分技法 1、向量共线或平行的定义：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)。 规定：与任一向量共线. 2、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 5．（23-24高一下·云南·月考）如图，在中，向量是（    ） A．有相同起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等的向量 【答案】B 【解析】对于A，根据图形，可得向量，，不是相同起点的向量，∴A错误； 对于B，因为O是圆心，那么向量，，的模长是一样的，∴B正确； 对于C，共线向量知识点是方向相同或者相反的向量，∴C错误； 对于D，相等的向量指的是大小相等，方向相同的向量，∴D错误，故选：B． 6．（23-24高一下·湖北·月考）已知点是平行四边形的对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为相反向量，故A错误； 为相反向量，故B错误； 方向相反，故，C正确； 因为平行四边形不一定为矩形，所以对角线不一定相等，故D错误.故选：C 7．（23-24高一下·重庆巴南·月考）如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】四边形中，，则且， 所以四边形是平行四边形；则有，故A错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确； 由图可知，C错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误．故选：B． 8．（22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确. 对于B，因为，故，故B正确. 对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确. 对于D，因为交于，故不成立，故D错误，故选：D. 【题型3 平面向量的线性运算】 满分技法 在平面几何中，利用三角形法则和四边形法则进行向量的加减运算，需注意向量的起点。 9．（23-24高一下·山西大同·月考）如图，在矩形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在矩形中，.故选：B 10．（23-24高一下·四川成都·月考）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知，故选：C 11．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知x、y是实数，向量不共线，若，则 ． 【答案】3 【解析】因为向量不共线，由， 得，即，所以. 12．（23-24高一下·河北沧州·月考）已知，是两个不共线的向量，，若与共线，则 ． 【答案】/ 【解析】由已知，是两个不共线的向量，则， 又因为与共线，则， 即，解得. 【题型4 平面向量的基本定理应用】 满分技法 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 13．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知､是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】因为､是平面内所有向量的一组基底，则､不共线， 对于选项A：若、共线，则，可得，无解， 所以、不共线，可以作为基底向量，故A错误； 对于选项B：因为， 可知和共线，不能作为基底向量，故B正确； 对于选项C：若、共线，则，可得，无解， 所以、不共线，可以作为基底向量，故C错误； 对于选项D：若、共线，则，可得，无解， 所以、不共线，可以作为基底向量，故D错误；故选：B. 14．（23-24高一下·山东泰安·期中）如图，中，点为边的中点，点在边上，且，以为一组基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图形可知：.故选：C. 15．（23-24高一下·吉林长春·期中）在矩形中，E，F分别为BC，CD的中点，若（m，），则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由E，F分别为BC，CD的中点，得， 则，在矩形中，， 因此，即，而， 所以，.故选：B 16．（23-24高一下·江苏无锡·月考）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，. （1）若，求的值； （2）若()，()，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 又因为， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 所以，，所以. （2）因为，， 由（1）可知，，所以 因为三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【题型5 向量运算的坐标表示】 满分技法 利用向量线性运算的坐标表示解决有关问题的基本思路 1.向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的,若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算,另外解题过程中要注意方程思想的运用. 2.利用向量线性运算的坐标表示解题,主要根据相等向量的坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解. 3.利用坐标运算求向量的基底表示,先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数. 17．（23-24高一下·天津·开学考试）已知两点，，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，， 又，所以， 即，解得， 所以点的坐标是.故选：A 18．（23-24高一下·云南昆明·月考）已知向量，，，若，则 . 【答案】3 【解析】因为向量，，，且， 所以，解得，，所以. 19．（23-24高一下·上海·期中）已知平面上两点的坐标分别是为直线上一点，且，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】设，由，即，可得， 即，解得，即. 20．（23-24高一下·重庆·期中）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线. （1）求实数的值； （2）若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】（1） 则则； （2）（ⅰ），向量的坐标为； （ⅱ）设的坐标为， ∵，，，恰好为构成平行四边形 则，， 解得：，∴的坐标为 【题型6 向量数量积的计算】 满分技法 1、定义法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即 （2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角。 2、基底法求平面向量的数量积 （1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解。 （2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解。 3、坐标法求平面向量的数量积 （1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解， 即若，，则； （2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积。 21．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，，，，则等于（    ） A．12 B．6 C．－6 D．－12 【答案】B 【解析】，故选：B. 22．（23-24高一下·江苏镇江·月考）在平行四边形中，已知，，，点在边上，满足，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【解析】作出图形 设，由图可得：， 所以 因为在平行四边形中，已知，，， 所以，解得，则点在点， 所以， 则,故选：B 23．（23-24高一下·江苏·月考）在中，满足，则 ． 【答案】 【解析】在中，由， 可得，所以为直角三角形， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，可得， 所以. 24．（23-24高一下·辽宁·期中）如图，在四边形中，分别在边上，且，，，，与的夹角为，则 . 【答案】 【解析】由图形结合向量线性运算可得： ， 由，可得， 由可得， 由上面两式相加得：，即 又由，，与的夹角为， 可得， 所以. 【题型7 投影向量问题】 满分技法 求向量的投影（或其数量）的关注点和计算方法： 1、关注点：注意在上的投影与在上的投影不投，审题时要看清； 2、向量在所在直线上的投影是一个向量，向量在所在直线上的投影的数量是一个实数； 25．（23-24高一下·福建莆田·期中）已知向量在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，所以.故选：D. 26．（23-24高一下·广东广州·期中）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：，则， 所以向量在向量方向上的投影向量为.故选：D. 27．（23-24高一下·江西·月考）已知向量，，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 两边平方解得，或，易知，故舍去， ，， 故在上的投影向量为.故选：C. 28．（23-24高一下·山西·月考）已知是单位向量，，则向量在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意以及投影向量定义得向量在上的投影向量是： .故选：B. 【题型8 平面向量模有关的问题】 满分技法 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 29．（23-24高一下·广东河源·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 又，所以， 故.故选：D. 30．（23-24高一下·广西南宁·期中）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】由已知可得，在上的投影向量为， 又在上的投影向量，所以. 所以，D正确．故选：D. 31．（23-24高一下·江苏·月考）已知向量 满足 ，则 （ ） A．13 B．7 C． D． 【答案】C 【解析】由得，即，得， 所以，.故选：C. 32．（23-24高一下·河南濮阳·月考）已知向量，的夹角为，，，在中，，，，则（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】A 【解析】因为向量，的夹角为，，， 所以， 又因为 ， 所以.故选：A 【题型9 平面向量的夹角问题】 满分技法 1、两向量的夹角其实就是从同一起点出发的表示两个非零向量的有向线段构成的不大于平角的角； 2、求两个向量夹角的方法：求两向量的夹角，关键是利用平移的方法使表示两个向量的有向线段的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角。过程简记为“一作、二证、三算”。 33．（23-24高一下·甘肃天水·期中）已知向量与是非零向量，且满足在上的投影为，，则与的夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设与的夹角为， 因为在上的投影为，， 所以，则， 即，所以.故选：A. 34．（23-24高一下·重庆沙坪坝·月考）已知，，且，则 ． 【答案】 【解析】，即，，解得； 故，又，故. 35．（23-24高一下·江苏盐城·期中）设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为的夹角为钝角，则且不共线， 可得，解得且， 所以实数的取值范围是. 36．（23-24高一下·浙江·期中）已知，，且满足 （1）求实数的值； （2）设，求非零向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），，，， （2）设，，，所以都不等于0， 设与的夹角为，， 则. 【题型10 向量平行与垂直计算】 满分技法 1、向量，共线的充要条件是； 2、已知两向量垂直，可利用其数量积为0列出方程，通过解方程求出其中的参数值。在计算数量积时可根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算转化为基本的向量数量积的计算。 37．（23-24高一下·浙江·月考）已知向量，，若与共线，则（    ） A． B．4 C． D．或4 【答案】D 【解析】由两向量共线可知，即，解得或.故选：D. 38．（23-24高一下·福建宁德·月考）已知向量，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量，，所以， 又，所以，解得.故选：C 39．（23-24高一下·安徽·月考）已知，，，且与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，因为与垂直， 所以，得， 得，解得.故选：A. 40．（23-24高一下·云南·期中）已知向量，． （1）若与共线，求的值； （2）若与垂直，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为向量，，则，． 又因为与共线，则，解得． （2）由题意可知：， 因为与垂直，则，解得． 【题型11 利用向量判断多边形形状】 满分技法 由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系是关键，利用移项、平方等手段，可以得出数量积及向量的长度的等信息，为得到边相等、变垂直指明方向。 41．（15-16高一下·河北石家庄·课后作业）在四边形中，，，，则四边形的形状是（ ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【解析】因为，，， 所以. 所以，所以且， 所以四边形为梯形..故选：A 42．（2011·黑龙江·三模）P是所在平面上一点，满足，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】由，可得， 即，即， 将等式两边平方，化简得，∴， 即，因此，是直角三角形，故选：B． 43．（23-24高一下·山西临汾·月考）在四边形中，，下列对四边形形状描述最准确的是（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【解析】因为为四边形，且，故，//，则四边形为平行四边形； 又，即，即，四边形的对角线垂直； 综上所述，四边形为菱形.故选：C. 44．（23-24高一下·四川攀枝花·月考）若非零向量与满足，，则为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】显然是与分别同向的单位向量，由， 得的角平分线与BC垂直，于是， 而，即， 又，因此，所以是等边三角形.故选：D 【题型12 利用向量判断三角形四心】 满分技法 1、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，则一定经过三角形的重心 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 3、常用外心向量式：是的外心， ① ② ③动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心. ④若，则是的外心. 4、常见内心向量式：是的内心， ①（或） 其中，，分别是的三边、、的长， ②，，则一定经过三角形的内心。 45．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．外心、重心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 【答案】B 【解析】因为，所以到顶点的距离相等， 所以点为的外心； 由，则，取的中点， 则，所以，所以点是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心.故选：B. 46．（23-24高一下·天津·月考）点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题： ①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中； ②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中； ③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中； ④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为 . 【答案】2 【解析】①当动点P满足时， 则点P是的重心，所以①不正确； ②显然在的角平分线上，而与的平分线所在向量共线， 所以的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确； ③变形为， 而，表示点A到边的距离，设为， 所以，而表示边的中线向量， 所以表示边的中线向量， 因此的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确； ④当时，的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确； 47．（23-24高一下·江苏苏州·月考）（多选）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 【答案】ABD 【解析】选项A：如图，点O为的重心时，，故A正确； 选项B：若点O为的外心，如图，为线段的垂直平分线， 则，同理， ，故B正确； 选项C：当时，则为的垂心，，重合，此时，故C错误； 选项D：若点O为的内心，在的平分线上， 则，故D正确.故选：ABD 48．（23-24高一下·重庆·月考）（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点是的重心 B．若，则点是的内心 C．若，则点是的外心 D．若为三角形外心，且，则为的垂心 【答案】BCD 【解析】对于A，在AB，AC上分别取点D，E，使得， 则，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图， 则四边形ADFE是菱形，且，所以平分， 因为即， 所以，即， 所以， 所以三点共线，即在的平分线上， 同理可得O在其它两角的平分线上，所以O为的内心，错误； 对于B，在AB，AC上分别取点D，E，使得，如图， 则，且， 因为，即，又知，平分， 同理，可得平分，故O为的内心，正确； 对于C，取的中点分别为，如图， 因为，所以， 即，所以O是的外心，正确； 对于D，因为，所以，即O为AC中点，又为三角形外心， 所以，则为的垂心，正确.故选：BCD 【题型13 奔驰定理及其应用】 满分技法 1、奔驰定理：是内的一点，且，则 2、奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”． 3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。 49．（23-24高一下·河南安阳·月考）设M为内一点，且，则与的面积之比为 ． 【答案】/0.25 【解析】在取中点， 则， 可知点为的中点， 可得，即， 所以与的面积之比为. 50．（2024高三下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以，故选：A 51．（20-21高一下·江苏常州·期末）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（    ） A．为的外心 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为， 同理，，故为的垂心，故A错误； ，所以， 又，所以， 又，所以，故B正确； 故，同理， 延长交与点， 则， 同理可得，所以，故C正确； ， 同理可得，所以， 又， 所以，故D正确．故选：BCD． 52．（23-24高一下·吉林通化·月考）（多选）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ABC 【解析】对A：如图： 取边中点，连接，由， 所以，所以、、三点共线，且， 所以为的重心，故A正确； 对B：如图： 因为则为内心，可设内切圆半径为， 则有，，， 所以，故B正确； 对C：如图： 因为为的外心，设外接圆半径为，有，， 所以，，故， 所以. 故C正确； 对D：由为的垂心，，所以. 如图： 则，. 设，，则，， 所以. 所以.故D错误.故选：ABC 【题型14 平面向量极化恒等式应用】 满分技法 极化恒等式： 1、平行四边形模式：平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． 2、三角形模式：如上图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 53．（23-24高三下·湖南长沙·月考）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【解析】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得．故选：A． 54．（23-24高一下·福建泉州·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题， 所以由点P在斜边BC的中线AD上得， 故，故选：A. 55．（23-24高一下·云南昆明·期中）在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图，设外接圆的圆心为，半径为， 可得 因为为三边上的动点，可知的最大值为到三角形顶点的距离，即为半径， 且的最小值为到边的距离， 过作，垂足为，则， 所以的最大值为，最小值为， 故的取值范围是. 56．（22-23高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，，，P，Q是BC边上的两个动点，且，则的最大值为 ． 【答案】3 【解析】如图，取中点，连接， ， ， 两式相减得， 要使有最大值，则最小， 当时，， 所以的最大值为. 【题型15 平面向量的最值范围问题】 满分技法 1、定义法：（1）利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；（2）运用基本不等式求其最值问题；（3）得出结论。 2、坐标法：（1）根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；（2）将平面向量的运算坐标化；（3）运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。 3、基底法：（1）利用基底转化向量；（2）根据向量运算化简目标；（3）运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论； 4、几何意义法：（1）结合条件进行向量关系推导；（2）利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；（3）结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。 57．（23-24高一下·山西·月考）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【解析】由题可设， 则由题意得， 因为、、三点共线，故，所以， 所以， 又、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为.故选：B. 58．（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角中，斜边，点在以BC为直径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B．8 C． D．12 【答案】D 【解析】如图：以为原点，建立平面直角坐标系. 则，，可设， 则， 所以 所以. 又因为，所以.故选：D 59．（23-24高一下·上海·月考）已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以中点为原点，建立如图所示坐标系， 则， 设， 则， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是.故选：B. 60．（23-24高一下·河南·月考）如图，在面积为的中，M，N分别为，的中点，点P在上，若，则的最小值是 ． 【答案】3 【解析】取边上的中点Q，设P到的距离为h， 由，所以， ， . （当且仅当，即时等号成立）． 则的最小值为3． 【题型16 平面向量在物理中的应用】 满分技法 向量在物理中的应用主要解题思路分四步 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 61．（23-24高一下·河北石家庄·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B． C．1 D．41 【答案】A 【解析】由题意可知，，， 所以对该物体所做的功为．故选：A． 62．（23-24高一下·安徽宿州·期中）若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为（    ） A．37 B． C．13 D． 【答案】D 【解析】由题意可知，所以 所以 故，则力的大小为.故选：D. 63．（22-23高一下·浙江嘉兴·月考）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（    ） （参考数据：取重力加速度大小为） A．63 B．69 C．75 D．81 【答案】B 【解析】如图，设该学生的体重为,则. 由余弦定理得. 所以.故选：B 64．（23-24高一下·江苏泰州·期中）（多选）长江某处的南北两岸平行，江面宽度为，一艘船从江南岸边的处出发到江北岸.已知如图，船在静水中的速度的大小为，水流方向自西向东，且速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则（    ） A．当船的航行距离最短时， B．当船的航行时间最短时， C．当时，船航行到达北岸的位置在的左侧 D．当时，船的航行距离为. 【答案】BD 【解析】对于A，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直， 从而，故A错误； 对于B，船的航行时间为（），若要船的航行时间最短时，则最大， 也就是说当且仅当时，船的航行时间最短时，故B正确； 对于C，当时，游船水平方向的速度大小为，方向水平向右， 故最终到达北岸时游船在点的右侧，故C错误； 对于D，由题意设位移分量为，位移为， 则，其中， 所以（km/h），故D正确. 故选：BD. 过关检测 一、单选题 1．（23-24高一下·广东广州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】C 【解析】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误.故选：C 2．（23-24高一下·广东广州·期中）已知向量，满足，，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则，解得.故选：B. 3．（23-24高一下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A：由题意知，E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同， 则，故A正确； 对B：由图可知，，，所以，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误.故选：D. 4．（23-24高一下·河北保定·月考）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：， 因为，则， 即，可得， 所以向量在向量方向上的投影向量为.故选：C. 5．（23-24高一下·湖南常德·期中）在中，，，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形 【答案】A 【解析】因为，即，即， 所以，即，则， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，又，所以， 所以，所以是等腰直角三角形．故选：A 6．（23-24高一下·四川成都·期中）如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 由， 又由， 所以，解得，可得， 因为，所以，所以.故选：D. 二、多选题 7．（23-24高一下·陕西西安·月考）设，，则（    ） A． B． C．若，则 D．向量，的夹角为 【答案】BCD 【解析】因为，，所以， 则，故A错误； ，所以，故B正确； ， 又，所以，解得，故C正确； 又，，， 所以， 又，所以，故D正确.故选：BCD 8．（23-24高一下·福建泉州·期中）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确.故选：AD 9．（23-24高一下·河南安阳·月考）设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（    ） A．若点O是的重心，则 B．若点O是的垂心，则 C．若，则点O是的外心 D．若O为的外心，H为的垂心，则 【答案】ACD 【解析】取中点，如图， 因为点O是的重心，所以，故A正确； 因为点O是的垂心，所以， 故，故B错误； 因为，所以， 同理可得，所以，即为外心，故C正确； 如图， 因为 ， 所以， 两式相减可得， 同理可得，若， 该平面向量同时垂直于，，显然不可能，所以， 即，故D正确.故选：ACD 三、填空题 10．（23-24高一下·四川南充·月考）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则 . 【答案】2 【解析】因为， 所以，所以， 取的中点，则， 所以为的中点，如图所示， 则的面积为，的面积为， ,所以. 11．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，满足，，，则与的夹角为 . 【答案】 【解析】因为，，， 所以，解得， 因为，所以， 又因为，所以. 12．（23-24高一下·陕西西安·月考）若为边长为等边三角形，动点满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】在同一平面内动点满足，则在以为圆心，为半径的圆上， ，， ， ， ，， ， ，， 是边长为的等边三角形， 向量是与垂直且方向向上，长度为的一个向量， 由此可得，点在圆上运动， 当与共线同向时，取最大值，且这个最大值为， 当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为， 故的最大值为，最小值为．即的取值范围是. 四、解答题 13．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知，，与的夹角为. （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）若，，，，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）因为，，与的夹角为， 所以， 所以. （2）因为， ， ， 设与的夹角为， 则， 即与夹角的余弦值为； （3）因为与不共线，若，则， 所以，解得， 又，所以， 即，即，解得， 所以. 14．（23-24高一下·山东·期中）如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点. （1）若，求和的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，所以， 所以， 又是线段的中点，所以， 又，且不共线，所以. （2）因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即 又，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 15．（23-24高一下·广东潮州·月考）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. （1）若，求的面积； （2）若，求的值； （3）若为平面内一点，求的最小值. 【答案】（1）10；（2）240；（3）-32. 【解析】（1）因为，所以， 即，所以， 又，所以， 所以； （2）因为，， 由极化恒等式得， 所以， 又，所以， 由极化恒等式得； （3）连接，，取的中点，连接， 由，， 则， 所以当点与重合时， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$