专题03 复数（思维导图+知识串讲+10题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第二册）

专题03 复数 一、知识聚焦 二、题型聚焦 知识点 1：复数的有关概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是，虚部是． 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数． （1） （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 5、复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d． 6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi． 知识点2：复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|． （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 知识点3：复数的运算 1、复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： （1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4）除法： 2、复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)； （2）·z＝|z|2＝||2. （3）若z为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i. （4）＝i；＝－i. 3、虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i． 4、复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 知识点4：复数的三角形式 1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连． 2、辅角主值 （1）辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角． （2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍． 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的． 3、复数乘、除法的三角表示：已知，， （1）乘法：，即模数相乘，辅角相加． （2）除法：，即模数相除，辅角相减． 题型归纳 【题型1 复数的相关概念应用】 满分技法 1、判断复数的实部、虚部的关键 （1）看形式：看复数的表示是否是的形式； （2）看属性：看，是否都是实数； （3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点. 2、复数的分类：对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 1．（23-24高一下·湖南常德·月考）复数的虚部是（ ） A．5 B． C． D． 2．（23-24高一下·甘肃白银·期中）复数的实部与虚部之和为（    ） A． B． C．8 D．6 3．（23-24高一下·四川成都·期中）若纯虚数，则 . 4．（23-24高一下·安徽·月考）复数，其中. （1）若复数z为实数，求a的值； （2）若复数z为虚数，求a的取值范围； （3）若复数z为纯虚数，求a的值 【题型2 复数相等及应用】 满分技法 求解复数相等问题的步骤：（1）等号两侧都写成复数的代数形式；（2）根据两个复数相等的充要条件列出方程（组）；（3）解方程(组). 5．（23-24高一下·浙江金华·期中）设，若，其中是虚数单位，则 6．（23-24高一下·安徽·月考）已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 7．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知复数，，并且，则 ． 8．（23-24高一下·云南保山·期中）（多选）已知a，，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 复数的几何意义及应用】 满分技法 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 9．（23-24高一下·四川眉山·月考）设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（23-24高一下·安徽·月考）复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第―象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（23-24高一下·山东泰安·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（23-24高一下·四川成都·期中）复平面内表示复数的点位于四象限时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 复数的模长相关计算】 满分技法 计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用复数的模的公式进行计算.两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 13．（23-24高一下·福建厦门·月考）复数，其中i为虚数单位，则（    ） A． B．2 C． D．5 14．（23-24高一下·湖北·期中）（多选）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数和满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 16．（23-24高一下·陕西西安·月考）若复数满足，且在复平面内对应的点位于第四象限，写出一个符合条件的复数 . 【题型5 复数四则混合运算】 满分技法 解决复数四则运算问题的思路： 1、复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部。把i看作字母，类比多项式加减法中的合并同类项； 2、复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成，并将实部、虚部分别合并. 多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，常用公式有，，. 2、复数的除法法则在实际操作中不方便适用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算． 17．（23-24高一下·河南濮阳·月考）设复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）设，，则a等于 . 20．（23-24高一下·河南郑州·期中）计算（1）；（2）；（3） 【题型6 复数高次幂的周期性应用】 满分技法 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i． 21．（23-24高一下·江西·月考）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 22．（23-24高一下·河南·期中）（    ） A．0 B． C．1 D． 23．（22-23高一下·广东广州·期中）已知i是虚数单位，则 ． 24．（23-24高一下·山东滨州·月考） ． 【题型7 共轭复数及辨析】 满分技法 共轭复数问题的求解技巧： 1、若复数的代数式已知，则根据共轭复数的定义，可以写出，再进行复数的四则运算． 2、已知关于和的方程，而复数的代数形式位置，求解. 解决此类问题的常规思路是：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解． 25．（23-24高一下·河南商丘·月考）设，则的虚部是（    ） A．1 B．-1 C． D． 26．（23-24高一下·天津河西·期中）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 27．（2024·福建莆田·三模）（多选）若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 28．（23-24高一下·江苏南京·月考）已知虚数满足：为实数，则 . 【题型8 复数范围内的解方程】 满分技法 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 29．（23-24高一下·湖南岳阳·期中）在复数范围内，方程的解集为 ． 30．（23-24高一下·河南安阳·月考）已知p，q为实数，是关于x的方程的一个根，则的值为（   ） A．14 B．－14 C．38 D．－38 31．（23-24高一下·天津·期中）已知是关于的实系数方程的两个虚根，则 ． 32．（23-24高一下·吉林·期中）（多选）设方程在复数范围内的两根分别为，则下列关于的说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【题型9 与复数模有关的最值问题】 满分技法 1、求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状. 2、复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式， 若，则表示复平面内点与点之间的距离， 则表示以为圆心，以r为半径的圆上的点. 33．（23-24高一下·河北石家庄·期中）当复数z满足时，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 34．（23-24高一下·福建·期中）已知复数满足，则的最小值为 ． 35．（23-24高一下·浙江杭州·期中）复数满足，是虚数单位，则的最大值为 ． 36．（22-23高一下·广东广州·期中）已知，且，i为虚数单位，则的最小值是 . 【题型10 复数三角形式的应用】 满分技法 1、将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时， 2、每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。 37．（2023高三·全国·专题练习）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一下·全国·专题练习）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一下·河南安阳·月考）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 40．（23-24高一下·全国·专题练习）计算下列各式，并用三角形式表示： （1）； （2）； （3）. 过关检测 一、单选题 1．（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知复数，（，为虚数单位），且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江·期中）若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江·月考）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·安徽·月考）若复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数满足，则最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（23-24高一下·安徽安庆·月考）已知都是复数，其共轭复数分别为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．若，则 D． 二、多选题 7．（23-24高一下·河北沧州·期中）已知复数，则（    ） A．z的虚部为 B．z是纯虚 C．z的模是 D．z在复平面内对应的点位于第四象限 8．（23-24高一下·山西忻州·月考）关于复数z，下面是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（23-24高一下·湖南永州·月考）设是复数，则下列命题中是真命题的有（    ） A．若，则; B．若，则； C．若，则; D．若，则; 三、填空题 10．（23-24高一下·广东江门·期中）计算： . 11．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数 ． 12．（23-24高一下·吉林延边·期中）已知复数满足，则复数在复平面内对应点的集合所构成的图形面积为 四、解答题 13．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知复数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围． 14．（22-23高一下·河北邢台·月考）在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：，；，.已知复数z是方程的解. （1）若，且（a，，i是虚数单位），求； （2）若，复数，，且，，求t的取值范围. 15．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知复数， （1）求证：； （2）化简：； （3）若是方程的一个根，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 复数 一、知识聚焦 二、题型聚焦 知识点 1：复数的有关概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是，虚部是． 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数． （1） （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 5、复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d． 6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi． 知识点2：复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|． （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 知识点3：复数的运算 1、复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： （1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4）除法： 2、复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)； （2）·z＝|z|2＝||2. （3）若z为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i. （4）＝i；＝－i. 3、虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i． 4、复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 知识点4：复数的三角形式 1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连． 2、辅角主值 （1）辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角． （2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍． 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的． 3、复数乘、除法的三角表示：已知，， （1）乘法：，即模数相乘，辅角相加． （2）除法：，即模数相除，辅角相减． 题型归纳 【题型1 复数的相关概念应用】 满分技法 1、判断复数的实部、虚部的关键 （1）看形式：看复数的表示是否是的形式； （2）看属性：看，是否都是实数； （3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点. 2、复数的分类：对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 1．（23-24高一下·湖南常德·月考）复数的虚部是（ ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解析】复数的虚部为.故选：B. 2．（23-24高一下·甘肃白银·期中）复数的实部与虚部之和为（    ） A． B． C．8 D．6 【答案】B 【解析】因为，所以的实部与虚部之和为．故选：B. 3．（23-24高一下·四川成都·期中）若纯虚数，则 . 【答案】1 【解析】由题意可知，，得. 4．（23-24高一下·安徽·月考）复数，其中. （1）若复数z为实数，求a的值； （2）若复数z为虚数，求a的取值范围； （3）若复数z为纯虚数，求a的值 【答案】（1）或；（2）且；（3） 【解析】（1）由复数z为实数，得，解得或 （2）由复数z为虚数，得，解得且 （3）由复数z为纯虚数，得，解得. 【题型2 复数相等及应用】 满分技法 求解复数相等问题的步骤：（1）等号两侧都写成复数的代数形式；（2）根据两个复数相等的充要条件列出方程（组）；（3）解方程(组). 5．（23-24高一下·浙江金华·期中）设，若，其中是虚数单位，则 【答案】7 【解析】因为， 所以，即，所以， 6．（23-24高一下·安徽·月考）已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 【答案】1 【解析】由题意，得，解得， 7．（23-24高一下·河南郑州·期中）已知复数，，并且，则 ． 【答案】 【解析】由题意，所以， 从而， 注意到的取值范围是， 所以的取值范围是. 8．（23-24高一下·云南保山·期中）（多选）已知a，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A、B，由，解得，故A错误，B正确. 对于C，，，故C正确； 对于D，，故D错误.故选：BC． 【题型3 复数的几何意义及应用】 满分技法 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 9．（23-24高一下·四川眉山·月考）设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由复数的几何意义知，，故， 所以表示的复数所对应的点位于第四象限.故选：D 10．（23-24高一下·安徽·月考）复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第―象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B. 11．（23-24高一下·山东泰安·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D. 12．（23-24高一下·四川成都·期中）复平面内表示复数的点位于四象限时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知复平面内表示复数的点位于四象限， 则，即，即，故选：B. 【题型4 复数的模长相关计算】 满分技法 计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用复数的模的公式进行计算.两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 13．（23-24高一下·福建厦门·月考）复数，其中i为虚数单位，则（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【解析】因为，则故选：C 14．（23-24高一下·湖北·期中）（多选）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设复数，由，得， 所以解得 所以，则.故选：AC 15．（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数和满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】设 因为，所以，即，① 又，所以，即，② 又，所以，即，③ ②③可得，④ 把①代入④可得， 所以，故A正确；故选：A. 16．（23-24高一下·陕西西安·月考）若复数满足，且在复平面内对应的点位于第四象限，写出一个符合条件的复数 . 【答案】（不唯一，符合题意即可） 【解析】设，，因为，所以， 因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以可以为. 【题型5 复数四则混合运算】 满分技法 解决复数四则运算问题的思路： 1、复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部。把i看作字母，类比多项式加减法中的合并同类项； 2、复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成，并将实部、虚部分别合并. 多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，常用公式有，，. 2、复数的除法法则在实际操作中不方便适用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算． 17．（23-24高一下·河南濮阳·月考）设复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为复数在复平面内对应的点为，所以， 所以.故选：C. 18．（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，，则.故选：A 19．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）设，，则a等于 . 【答案】 【解析】因为， 又，，所以，解得. 20．（23-24高一下·河南郑州·期中）计算（1）；（2）；（3） 【答案】（1）13；（2）（3） 【解析】（1）； （2）； （3）. 【题型6 复数高次幂的周期性应用】 满分技法 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i． 21．（23-24高一下·江西·月考）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】，.故选：D. 22．（23-24高一下·河南·期中）（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】因为，，，，所以具有周期性，周期为， 所以，所以.故选：A 23．（22-23高一下·广东广州·期中）已知i是虚数单位，则 ． 【答案】 【解析】，故. 24．（23-24高一下·山东滨州·月考） ． 【答案】 【解析】因为，所以. 【题型7 共轭复数及辨析】 满分技法 共轭复数问题的求解技巧： 1、若复数的代数式已知，则根据共轭复数的定义，可以写出，再进行复数的四则运算． 2、已知关于和的方程，而复数的代数形式位置，求解. 解决此类问题的常规思路是：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解． 25．（23-24高一下·河南商丘·月考）设，则的虚部是（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】B 【解析】依题意，， 则，所以的虚部是.故选：B 26．（23-24高一下·天津河西·期中）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以复数的共轭复数是.故选：C 27．（2024·福建莆田·三模）（多选）若z是非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于A，由，得，则A错误. 对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确. 对于C，设（，且）， 则，所以，则C正确. 对于D，由，得. 设（，且），则， ，从而，则D正确.故选：BCD 28．（23-24高一下·江苏南京·月考）已知虚数满足：为实数，则 . 【答案】1 【解析】设，则， 为实数， 于是，即，故． 【题型8 复数范围内的解方程】 满分技法 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 29．（23-24高一下·湖南岳阳·期中）在复数范围内，方程的解集为 ． 【答案】 【解析】由，得或，即或． 30．（23-24高一下·河南安阳·月考）已知p，q为实数，是关于x的方程的一个根，则的值为（   ） A．14 B．－14 C．38 D．－38 【答案】C 【解析】由题意，即， ，解得，所以.故选：C 31．（23-24高一下·天津河西·期中）已知是关于的实系数方程的两个虚根，则 ． 【答案】 【解析】因为，即， 所以，， 则，， 所以. 32．（23-24高一下·吉林·期中）（多选）设方程在复数范围内的两根分别为，则下列关于的说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对A，由实系数一元二次方程求根公式知， 则（与顺序无关），故A正确； 对B，因为，所以，故B正确； 对C，由A，，故C错误； 对D，由韦达定理可得，故D正确．故选：ABD 【题型9 与复数模有关的最值问题】 满分技法 1、求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状. 2、复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式， 若，则表示复平面内点与点之间的距离， 则表示以为圆心，以r为半径的圆上的点. 33．（23-24高一下·河北石家庄·期中）当复数z满足时，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】设，复数满足， 所以，表示到点的距离为1， 所以到原点的距离的最小值为，即的最小值是4.故选：B 34．（23-24高一下·福建·期中）已知复数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】根据复数模的几何意义可知，表示复数与复数对应两点间的距离为1， 所以复数对应的点是以点为圆心，1为半径的圆，如图， 表示圆上的点到原点的距离， 由图可知，的最小值为. 35．（23-24高一下·浙江杭州·期中）复数满足，是虚数单位，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】设复数， 因为，所以，即， 所以， 因为，所以， 当时，最大，即的最大值为. 36．（22-23高一下·广东广州·期中）已知，且，i为虚数单位，则的最小值是 . 【答案】 【解析】令，则， 所以，等价于坐标系中点到定点的距离恒为1， 即动点在以为圆心，半径为1的圆上，如下图： 又表示动点到定点的距离，而与的距离为， 所以， 在之间且共线，左侧等号成立；在之间且共线，右侧等号成立； 所以的最小值是. 【题型10 复数三角形式的应用】 满分技法 1、将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时， 2、每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。 37．（2023高三·全国·专题练习）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，令， 则，所以， 因为，所以， 所以的三角形式是.故选：D. 38．（23-24高一下·全国·专题练习）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以的辐角的主值为.故选：D. 39．（23-24高一下·河南安阳·月考）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 40．（23-24高一下·全国·专题练习）计算下列各式，并用三角形式表示： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）原式 （2）原式 （3）原式. 过关检测 一、单选题 1．（23-24高一下·河南驻马店·月考）已知复数，（，为虚数单位），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由复数，（，为虚数单位）， 因为，可得，则，解得.故选：D. 2．（23-24高一下·浙江·期中）若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 所以的虚部为.故选：B 3．（23-24高一下·浙江·月考）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以.故选：B. 4．（23-24高一下·安徽·月考）若复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 则.故选：D. 5．（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数满足，则最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】是复平面内复数对应点的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆， 是上述圆上的点到复数对应点的距离， 而，所以的最小值是.故选：A 6．（23-24高一下·安徽安庆·月考）已知都是复数，其共轭复数分别为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】C 【解析】对于A，设， 则，而， 故，故A正确； 对于B，， 则， 又，所以，故B正确； 对于C，令，则，所以， 但是，故C错误； 对于D，，又， 所以，故D正确.故选：C 二、多选题 7．（23-24高一下·河北沧州·期中）已知复数，则（    ） A．z的虚部为 B．z是纯虚 C．z的模是 D．z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】CD 【解析】对于A．由虚部定义知z的虚部为．故A错误； 对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确．故选：CD． 8．（23-24高一下·山西忻州·月考）关于复数z，下面是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【解析】设，则， 对于选项A：例如，则，符合题意，但，故A错误； 对于选项B：例如，则，符合题意，但，故B错误； 对于选项C：若，则， 可得，解得，可知，故C正确； 对于选项D：若，可知， 此时，故D正确；故选：CD. 9．（23-24高一下·湖南永州·月考）设是复数，则下列命题中是真命题的有（    ） A．若，则; B．若，则； C．若，则; D．若，则; 【答案】BC 【解析】对于A，举例，满足前提，由于虚数没有大小，所以选项A是错误的； 对于B，若，则和互为共轭复数，所以，故正确； 对于C，由于只有复数0的模才等于0，所以，即，所以选项C是正确的； 对于D，由于，不妨设， 此时，显然，所以选项D是错误的．故选：BC． 三、填空题 10．（23-24高一下·广东江门·期中）计算： . 【答案】 【解析】. 11．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数 ． 【答案】1 【解析】由题意可得解得．因为，所以． 12．（23-24高一下·吉林延边·期中）已知复数满足，则复数在复平面内对应点的集合所构成的图形面积为 【答案】 【解析】设，若，则， 则点在以坐标原点为圆心，大圆半径为，小圆半径为的圆环区域内（包括边界）， 则复数在复平面内对应点的集合所构成的图形的面积为. 四、解答题 13．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知复数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意得， 因为为纯虚数， 所以解得 （2）复数 它在复平面上对应的点在第三象限， 所以，解得或, 所以实数的取值范围为． 14．（22-23高一下·河北邢台·月考）在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：，；，.已知复数z是方程的解. （1）若，且（a，，i是虚数单位），求； （2）若，复数，，且，，求t的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为z是方程的根，解得， Im（），， ，， ，解得， ； （2）Im（），复数，，且Re（），Im（） ，又， ， Re（），Im（） ，解得. 所以t的取值范围为. 15．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知复数， （1）求证：； （2）化简：； （3）若是方程的一个根，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）.（3）2. 【解析】（1）由，得，所以. （2）由（1）知，，则， 所以. （3）依题意，，即， 即， 而，则，解得，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$