精品解析：2024年河北省唐山市路南区中考二模数学试题

2023—2024学年度第二学期学业水平抽样评估（二） 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置，答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题各3分，7~16小题各2分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算﹣1▢1＝0，则“▢”表示的运算符号是（　　） A + B. ﹣ C. × D. ÷ 2. 如图，将折叠，使点C边落在边上，展开得到折痕m，则m是的（ ） A. 中线 B. 中位线 C. 角平分线 D. 高 3. 若代数式与的值相同，则m等于（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，有A，，C三地，地在A地北偏西36°方向上，，则地在C地的（ ） A. 北偏东44°方向 B. 北偏东54°方向 C. 南偏西54°方向 D. 南偏西90°方向 6. 如图所示的是琳琳作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为2，则破损处“0”的个数为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形： a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是：（ ） A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③ 8. 用7个大小相同的小正方体组成如图所示的几何体，其主视图、俯视图、左视图的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为（ ） A. S1＝S2＞S3 B. S1＝S2＜S3 C. S1＞S2＞S3 D. S1＞S2＝S3 9. 若，运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ） A. y－x B. y＋x C. 2x D. 10. 如图，正六边形中，M、N分别为边BC、EF上的动点，则空白部分面积和阴影部分面积的比值为（ ） A. 2：1 B. 3：1 C. 4：1 D. 5：1 11. 如图1是由一根细铁丝围成正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（ ） A. 1.5 B. 2.0 C. 2.5 D. 3.0 12. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象有交点，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 13. 若，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 在中，要判断和的大小关系（和均为锐角），同学们提供了许多方案，老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2）对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是（ ） 方案Ⅰ： ①以点A为圆心，长为半径作； ②观察点C与的位置关系即可． 图1 方案Ⅱ： ①作边的垂直平分线； ②观察与边是否有交点及交点位置即可． 图2 A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 15. 某轮滑队所有队员的年龄只有12、13、14、15、16（岁）五种情况，其中部分数据如图所示，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数m最小是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 16. 如图，在菱形中，，P为对角线上的一个动点，过点作的垂线，交或于点，交或于点，点从点出发以cm/s的速度向终点运动，设运动时间为，以为折线将菱形向右折叠，若重合部分面积为，求t的值，对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 甲、乙答案合在一起才完整 C. 甲、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才充整 二、填空题（本大题共3个小题，每空2分共10分） 17. 计算：＝_______ 18. 如图，中，，，，为直线上一动点，连接． （1）___________． （2）线段的最小值是___________ 19. 如图，、是双曲线上的两点，过点作轴，交于点，垂足为，连接，过点作轴，垂足为．若的面积为1，为的中点． （1）四边形的面积为___________； （2）若A、B两点的横坐标恰好是方程的两个不同实根，则点到直线的距离为___________． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 琪琪和佳佳计算算式“”． （1）琪琪不小心把运算符号“+”错看成了“－”，求此时的运算结果； （2）佳佳只将数字“11”抄错了，所得结果不超过7，求佳佳所抄数字的最小值． 21. 老师设计了一个数学实验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有已化为最简代数式卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则实验成功．甲、乙、丙的卡片如下，丙的卡片有一部分被遮挡了． （1）计算出甲减乙的结果，并判断甲减乙能否使实验成功； （2）小亮发现丙减甲可以使实验成功，请求出丙的代数式． 22. 某校组织学生参加多种社团活动，为了解学生参加社团情况，现选取一个班的社团活动情况进行调查，绘制了两幅统计图，其中条形图不完整． （1）所抽查的班级共有__________人参加课外活动，参加绘画课活动的学生人数为__________人． （2）请把条形统计图补充完整． （3）该班参加象棋活动的4位同学中，有2位男生（用A、B表示）和2位女生（用C，D表示），现准备从中选取两名同学去参加比赛，请用列表法求恰好选中一男一女的概率． 23. 等边的边长为2，为内一点，连接，，延长到点，使． （1）如图1，延长到点，使，连接，． ①求证：； ②若，求度数； （2）如图2，连接，若，，则__________． 24. 如图1，电脑屏幕显示了甲、乙、丙在一条直线上，点A从甲出发，沿直线匀速经过乙到丙，点B从乙出发，沿直线匀速到甲，且A点每秒比B点少运动20个单位长度；图2表示A、B两点到乙的距离（单位长度）y与A点的运动时间t（s）的函数关系． （1）A的速度为__________单位长度/秒，B的速度为__________单位长度/秒，甲、丙两点的距离是__________单位长度． （2）求直线的函数关系式． （3）若A、B两点到乙的距离和为300个单位长度，求t的值． 25. 如图①，在矩形中，，，把绕点B顺时针旋转得到，连接，过B点作于E点，交矩形边于F点．（参考数据：，，） （1）面积的最大值是______； （2）当时，求点A运动的路径长； （3）当点落在的垂直平分线上时，点到直线的距离是______； （4）若，求的值． 26. 直线：，与轴，轴分别交于两点，抛物线:，经过点，且与轴的另一个交点为点． （1）若，求此时抛物线的解析式、顶点坐标及点坐标； （2）在直线与抛物线围成的封闭图形边界上，横、纵坐标均为整数的点称为“神秘点”，求出在（l）的条件下“神秘点”的个数； （3）①直线与轴的交点的坐标会变吗？说明理由； ②若抛物线与直线在的范围内有唯一公共点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期学业水平抽样评估（二） 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置，答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题各3分，7~16小题各2分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算﹣1▢1＝0，则“▢”表示的运算符号是（　　） A. + B. ﹣ C. × D. ÷ 【答案】A 【解析】 【分析】首先分析 和1的关系，发现它们是互为相反数的关系，而运算结果为0，结合互为相反数的和为零，可得填“+”． 【详解】∵ 和1互为相反数， ∴ ， ∴填“+”， 故选：A． 【点睛】本题考查互为相反数的概念，解题关键是掌握互为相反数的概念． 2. 如图，将折叠，使点C边落在边上，展开得到折痕m，则m是的（ ） A. 中线 B. 中位线 C. 角平分线 D. 高 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三线合一．根据折叠后使点边落在边上，，，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， 折叠后使点边落在边上点处， ，，三点共线，，， ， 即是的高线， 故选：D． 3. 若代数式与的值相同，则m等于（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出方程，再根据等式的性质求出方程的解即可. 【详解】解：∵代数式与的值相同， .∴.， 移项得， 合并同类项得， 系数化成1得： 故选：C 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键 4. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， ． 故选：C． 5. 如图，有A，，C三地，地在A地北偏西36°方向上，，则地在C地的（ ） A. 北偏东44°方向 B. 北偏东54°方向 C. 南偏西54°方向 D. 南偏西90°方向 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点B作BE//CD，根据方向角的概念及平行线的性质求出∠DCB的度数即可得答案． 【详解】如图，过点B作BE//CD， 根据题意得：CD//AF， ∴CD//BE//AF， ∴∠ABE=∠BAF=36°， ∵， ∴∠CBE=90°-∠ABE=54°， ∴∠DCB=∠CBE=54°， ∴地在C地的北偏东54°方向上， 故选：B． 【点睛】本题考查方向角的概念、平行线的性质及角度的计算，熟练掌握相关知识是解题关键． 6. 如图所示的是琳琳作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为2，则破损处“0”的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】∵本题答案为2， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴破损处“0”的个数为3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 7. 一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形： a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是：（ ） A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意及正方形的判定定理可直接进行排除选项． 【详解】解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意； ②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意； ③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意； ∴正确的有①②； 故选C． 【点睛】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 8. 用7个大小相同的小正方体组成如图所示的几何体，其主视图、俯视图、左视图的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为（ ） A. S1＝S2＞S3 B. S1＝S2＜S3 C. S1＞S2＞S3 D. S1＞S2＝S3 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的面积的大小关系求解即可． 【详解】解：设小正方体的棱长为1， 主视图：底层是三个小正方形，上层的右边是两个小正方形，故主视图的面积为S1=5； 左视图：底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，故左视图的面积为S3=4； 俯视图：底层左边是一个小正方形，中层是三个小正方形，上层是一个小正方形，故俯视图的面积为S2=5． 所以S1=S2＞S3， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 9. 若，运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ） A. y－x B. y＋x C. 2x D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分式除法法则计算，再根据结果为整式，得出□中的式子可能是，即可得出答案． 【详解】解： ＝ =， ∵运算结果为整式， ∴□中的式子是含量有x因式的式子， ∴□中的式子可能是2x， 故选：C． 【点睛】本题考查分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则是解题的关键． 10. 如图，正六边形中，M、N分别为边BC、EF上的动点，则空白部分面积和阴影部分面积的比值为（ ） A. 2：1 B. 3：1 C. 4：1 D. 5：1 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是正多边形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 连接，由正六边形的性质可得，然后利用面积公式可得答案． 【详解】解：连接，由正六边形的性质可知，，，， ∴， ， 同理 空白部分面积和阴影部分面积的比值为：． 故选：A． 11. 如图1是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为1．现将该细铁丝围成一个三角形（如图2所示），则AB的长可能为（ ） A. 1.5 B. 2.0 C. 2.5 D. 3.0 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形三边关系判断即可． 【详解】解：铁丝的总长度为1+1+1+1＝4， 根据三角形的三边关系知，两边之和大于第三边， ∴AB边长度小于2， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，由三边关系得到AB边长度小于2是解题的关键． 12. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象有交点，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题进行解答即可．本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象有公共点， 、同号， ． 故选：B． 13. 若，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象和系数的关系分析即可． 详解】解：若，则，， 一次函数的图象不经过第三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，对于来说，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；当时，直线与轴交于正半轴；当时，直线与轴交于负半轴，熟知上述性质是解题的关键． 14. 在中，要判断和的大小关系（和均为锐角），同学们提供了许多方案，老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2）对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是（ ） 方案Ⅰ： ①以点A为圆心，长为半径作； ②观察点C与的位置关系即可． 图1 方案Ⅱ： ①作边的垂直平分线； ②观察与边是否有交点及交点位置即可． 图2 A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图得出，根等边对等角得出，根据即可判断方案Ⅰ；根据垂直平分线的性质可得，则，根据即可判断方案Ⅱ． 【详解】解：方案Ⅰ： 由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故方案Ⅰ可行，符合题意； 方案Ⅱ： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故方案Ⅱ可行，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角；垂直平分线上的点到两端距离相等． 15. 某轮滑队所有队员的年龄只有12、13、14、15、16（岁）五种情况，其中部分数据如图所示，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数m最小是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先由图中数据求出这组数据的中位数为14，再根据队员年龄的唯一的众数与中位数相等，求得众数是14，即年龄为14的人最多，所以14岁的队员最少有4人，即可得出这个轮滑队队员人数m最小值． 【详解】解：由图中数据可知小于14的4人，大于14的也是4人， ∴这组数据的中位数为14， ∵队员年龄的唯一的众数与中位数相等， ∴众数是14，即年龄为14的人最多 ∴14岁的队员最少有4人． ∴这个轮滑队队员人数m最小值=1+3+4+2+2=12， 故选：D． 【点睛】本题考查中位数，众数，条形统计图，根据条形统计图，求出中位数，进而求得众数是解题的关键， 16. 如图，在菱形中，，P为对角线上的一个动点，过点作的垂线，交或于点，交或于点，点从点出发以cm/s的速度向终点运动，设运动时间为，以为折线将菱形向右折叠，若重合部分面积为，求t的值，对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 甲、乙答案合在一起才完整 C. 甲、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才充整 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质推出的度数，通过分类讨论的方法得到含有特殊角的直角三角形、、以及等边三角形、，利用面积公式进而列出有关时间的一元二次方程，通过解方程求出. 【详解】解 ：如图，连接交于点 四边形为菱形 ， 在中， 由题意可知， 如图所示，重合部分 在 中，， ， 为等边三角形 如图所示，重合部分 在中，， ， 为等边三角形 或，即甲、丙答案合在一起才完整. 故答案选 . 【点睛】本题考查的是菱形的性质和折叠问题，涉及到的知识点有利用特殊直角三角形求边长、求角度以及等边三角形的判定.是否能用分类讨论的方法解决本题折叠问题是这道题的难点.本题的综合能力较强. 二、填空题（本大题共3个小题，每空2分共10分） 17. 计算：＝_______ 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的求法是解答本题的关键． 18. 如图，中，，，，为直线上一动点，连接． （1）___________． （2）线段的最小值是___________ 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形、垂直线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据勾股定理可以求得的长，然后即可求得的值； （2）根据题意可知：当时，线段取得最小值，然后根据等面积法即可求得线段的最小值． 【详解】解：（1），，， ， ， 故答案：； （2）当时，线段取得最小值， ，，，， ， 即， 解得， 故答案为：． 19. 如图，、是双曲线上的两点，过点作轴，交于点，垂足为，连接，过点作轴，垂足为．若的面积为1，为的中点． （1）四边形的面积为___________； （2）若A、B两点的横坐标恰好是方程的两个不同实根，则点到直线的距离为___________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值几何意义，熟练掌握反比例函数值几何意义是关键． （1）根据反比例函数值几何意义解答即可； （2）利用，求出，继而求出反比例函数值，根据题意列出方程，求出点到直线的距离即可． 【详解】解：（1）点、在反比例函数图象上， ， ， 故答案为：1； （2）∵，且点为的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：， ， ，， ，， ， 连接，设点到的距离为， ， 解得，即点到直线的距离为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 琪琪和佳佳计算算式“”． （1）琪琪不小心把运算符号“+”错看成了“－”，求此时的运算结果； （2）佳佳只将数字“11”抄错了，所得结果不超过7，求佳佳所抄数字的最小值． 【答案】（1）-15 （2）1 【解析】 【分析】（1）由题意计算的结果即可； （2）设佳佳将数字“11”抄错了x，根据所得结果不超过7，列出不等式求解即可 【小问1详解】 解：由题意得：， 所以此时运算结果为-15； 【小问2详解】 解：设佳佳将数字“11”抄成了x，由题意得： ， 解得：， 所以佳佳所抄数字的最小值为1． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算及不等式的应用，解决本题的关键是准确找出题目中的不等关系列出不等式． 21. 老师设计了一个数学实验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有已化为最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则实验成功．甲、乙、丙的卡片如下，丙的卡片有一部分被遮挡了． （1）计算出甲减乙的结果，并判断甲减乙能否使实验成功； （2）小亮发现丙减甲可以使实验成功，请求出丙的代数式． 【答案】（1）甲-乙，不成功；（2） 【解析】 【分析】（1）化简甲-乙的整式，比较其常数项与丙的常数项即可做出判断； （2）由题意丙=甲+乙，化简整式即可解答． 【详解】解：（1）甲-乙， 因为常数项是-4，而乙的常数项为2，所以实验不成功； （2）由题意，丙-甲=乙，则丙=甲+乙=． 【点睛】本题考查整式的加减混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键． 22. 某校组织学生参加多种社团活动，为了解学生参加社团情况，现选取一个班的社团活动情况进行调查，绘制了两幅统计图，其中条形图不完整． （1）所抽查的班级共有__________人参加课外活动，参加绘画课活动的学生人数为__________人． （2）请把条形统计图补充完整． （3）该班参加象棋活动的4位同学中，有2位男生（用A、B表示）和2位女生（用C，D表示），现准备从中选取两名同学去参加比赛，请用列表法求恰好选中一男一女的概率． 【答案】（1）40，7 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了统计图和列表法与树状图法求概率；解题关键是从题目中得到准确的信息，熟练运用相关知识解题． （1）由五子棋人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以绘画对应百分比可得其人数； （2）根据五个类别人数之和等于总人数求出书法人数，继而补全图形； （3）根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：所抽查班级参加课外活动的人数为（人， 参加绘画课活动的学生人数为（人， 故答案为：40、7； 【小问2详解】 解：书法人数为（人， 补全图形如下： 【小问3详解】 解：列表如下： 由表知，共有12种等可能结果，其中恰好选中一男一女的有8种结果， 恰好选中一男一女概率为． 23. 等边的边长为2，为内一点，连接，，延长到点，使． （1）如图1，延长到点，使，连接，． ①求证：； ②若，求的度数； （2）如图2，连接，若，，则__________． 【答案】（1）①见解析；②； （2） 【解析】 【分析】（1）①证明全等得，再根据平行线的判定可得出结论； ②延长交的延长线于，根据等边三角形性质得，，进而可求出，再由①，得，由此得，据此可得的度数； （2）延长到是，连接，，先求出，，由勾股定理得，根据得，再根据，得，然后由勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 ①证明：在和中， ， ， ， ∴； ②解：延长交的延长线于，如图1所示： 为等边三角形， ，， 又， ， ， ， ， 由①可知：， ， ，即， 又， ， ； 【小问2详解】 解：延长到是，连接，，如图2所示： 由（1）②可知：， 为等边三角形，且边长为2， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由（1）①可知：， ， 又，， ， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 24. 如图1，电脑屏幕显示了甲、乙、丙在一条直线上，点A从甲出发，沿直线匀速经过乙到丙，点B从乙出发，沿直线匀速到甲，且A点每秒比B点少运动20个单位长度；图2表示A、B两点到乙的距离（单位长度）y与A点的运动时间t（s）的函数关系． （1）A的速度为__________单位长度/秒，B的速度为__________单位长度/秒，甲、丙两点的距离是__________单位长度． （2）求直线的函数关系式． （3）若A、B两点到乙的距离和为300个单位长度，求t的值． 【答案】（1）60，80，600 （2）直线的函数关系式为； （3）当秒或7秒时，、两点到乙的距离和为300个单位长度． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、掌握待定系数法求函数表达式及时间、速度、路程之间的数量关系是解题的关键． （1）根据“速度路程时间”求出的速度，根据、的速度关系求出的速度，再根据“甲、丙两点的距离的速度从甲到丙所用的时间”求出甲、丙两点的距离即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）由路程、时间、速度之间的关系，求出点到乙的距离与点的运动时间的函数关系式，根据、两点到乙的距离和为300个单位长度，按照不同的取值范围分别列方程并求解即可． 【小问1详解】 解：根据图象，的速度为（单位长度， 的速度为（单位长度， 甲、丙两点的距离是（单位长度）． 故答案为：60，80，600； 【小问2详解】 解：设直线的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 直线的函数关系式为； 【小问3详解】 解：当点从甲到乙的过程中，根据“点与乙的距离甲乙之间的距离点运动的路程”，得点到乙的距离与点的运动时间的函数关系式为； 当点从乙到丙的过程中，根据“路程速度时间”，得点到乙的距离与点的运动时间的函数关系式为； 点到乙的距离与点的运动时间的函数关系式为． 当时，得，解得； 当时，得，解得； 当时，得，解得（舍去）． 综上，当秒或7秒时，、两点到乙的距离和为300个单位长度． 25. 如图①，在矩形中，，，把绕点B顺时针旋转得到，连接，过B点作于E点，交矩形边于F点．（参考数据：，，） （1）面积的最大值是______； （2）当时，求点A运动的路径长； （3）当点落在的垂直平分线上时，点到直线的距离是______； （4）若，求的值． 【答案】（1）18 （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）当落在边上时，面积最大，此时是等腰直角三角形，即可求解； （2）先求出，即可求出，用弧长公式求解即可； （3）根据题意画出图形，用勾股定理求出即可求解； （4）分两种情况讨论：当点F在上；点F在上． 【小问1详解】 解：如图所示，的运动轨迹，过点作， 由图可知，当落在边上时，最长，即面积最大，此时， ∵， 由旋转性质可得：， ∴此时是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：当时，点F在边上， ∵是矩形， ∴ ∴ ， ∴， ∴， ∴点A运动的路径长是：； 【小问3详解】 解：点落在的垂直平分线上，如图所示， ∵， 由旋转性质可得：， ∵点落在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 即点到直线的距离是； 【小问4详解】 解：①当点F在上时，如图所示， ， ∵，，， ∴， 由旋转性质可得：， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， 过E作于H点， ∴，， ∴； ②当点F在上时， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 过E作于H点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； ∴的值为或． 【点睛】本题考查了旋转几何问题，涉及到相似三角形的判定与性质、作辅助线、勾股定理等，熟练掌握知识点是解题关键． 26. 直线：，与轴，轴分别交于两点，抛物线:，经过点，且与轴的另一个交点为点． （1）若，求此时抛物线的解析式、顶点坐标及点坐标； （2）在直线与抛物线围成的封闭图形边界上，横、纵坐标均为整数的点称为“神秘点”，求出在（l）的条件下“神秘点”的个数； （3）①直线与轴的交点的坐标会变吗？说明理由； ②若抛物线与直线在范围内有唯一公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），顶点为，；（2）①不会变，理由见解析；②，， 【解析】 【分析】（1）将a=1代入一次函数解析式求得点A的坐标，然后将a的值及 A点坐标代入二次函数解析式求得b的值，然后利用配方法和二次函数的性质求二次函数顶点坐标及点C的坐标； （2）通过联立方程组求得直线与抛物线的交点坐标，从而确定“神秘点”的个数； （3）①将一次函数变形为，然后分析无论取何非零实数，恒为0，从而求解； ②结合点A坐标求得抛物线的解析式及对称轴，然后分a＞0，a＜0时结合函数图像讨论求得a的取值范围． 【详解】解：（1）若，，当时， ∴， 将代入，可得 ∴ ∴顶点为 ∵点，点关于对称 ∴ （2）设直线与抛物线的另一个交点为， ， 解得，，所以交点为和， 所以，直线上神秘点为，，，，，共6个， 抛物线上神秘点为，，，共4个， 综上，神秘点个数为10； （1）①不会变，， 当时，无论取何非零实数，恒为0， 所以，直线永远经过点，所以点坐标不会改变； ②，， 由①知恒过 ∴过∴∴ ∴ ∴与轴恒交于， 对称轴为不变 ∵与在有唯一公共点 ∴当时过 解得 ∵开口越小，越大 ∴ 当时 ①顶点在上，顶点为 ∴ ②抛物线恰好过 ∴ ∴ 综上，，时抛物线与在有唯一公共点 【点睛】此题是二次函数的综合题，涉及到函数图象与坐标轴交点坐标的求法、二次函数解析式的确定、二次函数性质的应用，利用数形结合思想解题是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$