第一章 一元二次方程 单元检测卷-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（苏科版）

第一章 一元二次方程 单元检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 3．（2023·江苏盐城·模拟预测）某地区2017年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·江苏南通·期中）对于一次函数，其自变量和函数的两组对应值如表所示，则的值为（    ） x 4 k y c A． B． C．2 D．7 5．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 6．（2024·江苏扬州·模拟预测）根据下表可知，方程的一个解的范围为（    ） …… …… …… …… A． B． C． D． 7．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）    A． B． C． D． 8．（2024·江苏淮安·三模）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（      ） A． B． C．且 D．且 9．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； 其中正确的（  ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（    ） A．0 B． C． D． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·江苏泰州·二模）关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 ． 12．（2024·江苏南京·二模）若关于的方程有一个根为2，则的值为 ． 13．（2024·四川内江·二模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 14．（2024·江苏泰州·二模）已知一元二次方程有两个实数根，两根之和为负数，则m的值可以是 ．（填一个值即可）． 15．（2023·江苏常州·模拟预测）若是方程的解，则的值为 ． 16．（2024·江苏盐城·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ． 17．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，是边上一点，若，则的长为 ． 18．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）方程的负整数解为 ． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（2024九年级下·江苏·专题练习）解方程： (1)； (2)． 20．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中是方程的根． 21．（2024·江苏盐城·二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 22．（2024·江苏徐州·一模）如图，有一块矩形纸板，长为，宽为，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周沿虚线折起就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么在矩形纸板四角切去的正方形边长是多少？ 23．（22-23九年级上·江苏常州·期中）某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元．设该口罩售价为每盒元． (1)用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______盒； (2)现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？ 24．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是：　　，　　； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解； (3)应用：如图，已知矩形草坪的长m，宽m，点P在上（），小华把一根长为m的绳子一段固定在点B，把长绳段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求的长．    25．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点，分别从点、同时出发，点以厘米秒的速度向终点移动，点以厘米秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为秒，问： (1)当为何值时，点和点距离是？ (2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形． 26．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 27．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）定义：在直角梯形中，如果有两条邻边相等，那么称这个梯形为邻等梯形，相等两邻边的夹角称为邻等角．    (1)如图，在梯形中，，，对角线平分．请判断梯形是否为邻等梯形并说明相应理由． (2)如图2，在的方格纸中，，，三点均在格点上，若四边形是邻等梯形，请在答题卷的网格图中画出三个不同的格点，并用标明． (3)如图，四边形是邻等梯形，，为邻等角，连结，过点作，交的延长线于点若，，求四边形的周长． 28．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． (1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． (2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 一元二次方程 单元检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项错误，不符合题意； B．是分式方程，故选项错误，不符合题意； C．是一元二次方程，故选项正确，符合题意； D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握“任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式（）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项”是解题的关键． 【详解】解：∵可化为， ∴它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，，7， 故选：C． 3．（2023·江苏盐城·模拟预测）某地区2017年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键． 等量关系为：2017年贫困人口（1−下降率）＝2019年贫困人口，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得： ， 故选：B． 4．（23-24八年级下·江苏南通·期中）对于一次函数，其自变量和函数的两组对应值如表所示，则的值为（    ） x 4 k y c A． B． C．2 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法得到，据此求出，进而可得． 【详解】解：由题意得，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，，进而即可求解． 【详解】解：对于一元二次方程，即， 设， ， 而关于的一元二次方程有一根为， 有一个根为， 则， ， 必有一根为， 故选：D． 6．（2024·江苏扬州·模拟预测）根据下表可知，方程的一个解的范围为（    ） …… …… …… …… A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的的解的概念是解题的关键．由时，，时，，可知在和之间有一个值能使的值为0，于是判断方程的一个解x的范围为． 【详解】时，，时，， 方程的一个解x的范围为． 故选C． 7．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键． 设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2． 则，，， 则． ∵，，点P的运动速度为，点Q的运动速度为， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为 故选：C． 8．（2024·江苏淮安·三模）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（      ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于0，结合一元二次方程的二次项的系数不等于0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选C． 9．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； 其中正确的（  ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．①根据，可用，表示，进而得出的正负，②利用根的判别式即可解决问题，③将代入讨论即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故①正确． 方程有两个不相等的实根， ， 即． 又，且， ， 则方程有两个不相等的实根． 故②正确． 是方程的一个根， ， 即， 或． 故③错误． 故选：A． 10．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，进而推出，则，，即可推出，然后代入，得到，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个相等的实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴不符合题意， ∴ ∴符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·江苏泰州·二模）关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系．根据一元二次方程根与判别式的关系可得，，求解即可． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， 故答案为：． 12．（2024·江苏南京·二模）若关于的方程有一个根为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．先把方程的一个根代入方程中，得到关于的一元一次方程，再求出的值即可． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得， 故答案为：． 13．（2024·四川内江·二模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，解题的关键是掌握，．把代入原方程得 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，整理，即可求解． 【详解】解：把代入原方程得：， ∴， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ； 故答案为：4049． 14．（2024·江苏泰州·二模）已知一元二次方程有两个实数根，两根之和为负数，则m的值可以是 ．（填一个值即可）． 【答案】1（即可） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，恒成立， ∵两根之和为负数， ∴， ∴， ∴m的值可以是1， 故答案为：1（即可） 15．（2023·江苏常州·模拟预测）若是方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及求代数式的值，先把代入得，然后利用整体代入求值即可，正确理解一元二次方程的解，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴原式， 故答案为：． 16．（2024·江苏盐城·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴ ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 17．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，是边上一点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理求线段长，设，在中，由勾股定理得到，过作，如图所示，根据等腰直角三角形的判定与性质，结合勾股定理求出，再由等面积法求出线段，在中由勾股定理列方程求解即可得到答案，设出未知数，灵活运用勾股定理求解是解决问题的关键． 【详解】解：设， 在中，，则， 过作，如图所示： ，， ，则， 设， 在中，，即， 解得，则， ，则，解得， 在中，，即， 即， 解得， 则（负值舍去）， ， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）方程的负整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查换元法在解一元二次方程中的应用，设，，则，则可得，可得，即可得到或，再解方程即可，仔细观察得到是解题的关键． 【详解】解：设，，则， 可得， 解得， 或， 解得， 故方程的负整数解为， 故答案为：． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（2024九年级下·江苏·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和直接开方法是解题的关键． （1）将方程的常数项移到右边，方程两边同时除以2，开方后即可得到方程的解； （2）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解： 移项得，， 系数化为1得，， 直接开平方得，， ； （2） ， 或， ． 20．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】；4 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程，先对分式通分，并利用完全平方公式运算并化简，利用式子相乘法解一元二次方程得出m的值，最后代入化简后的分式求值即可． 【详解】解： ， 即， 解得：，， ∵m是的一个根，且 ∴， ∴原式． 21．（2024·江苏盐城·二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系可得，，再将所求代数式变形，最后代入求解即可； （2）根据题意可得，，推出，再将所求式子变形，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：，是方程有两个实数根， ，， ； （2），是方程有两个实数根， ， ， 22．（2024·江苏徐州·一模）如图，有一块矩形纸板，长为，宽为，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周沿虚线折起就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么在矩形纸板四角切去的正方形边长是多少？ 【答案】在矩形纸板四角切去的正方形边长是 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设在矩形纸板四角切去的正方形边长是，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设在矩形纸板四角切去的正方形边长是，根据题意得， 解得：（舍去） 答：在矩形纸板四角切去的正方形边长是． 23．（22-23九年级上·江苏常州·期中）某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元．设该口罩售价为每盒元． (1)用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______盒； (2)现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？ 【答案】(1) (2)要获得1200元利润，应按每盒70元销售 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量提高的价格，即可用含的代数式表示出提价后平均每天的销售量； （2）根据每天的销售利润每箱的销售利润销售数量，即可列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，在结合每盒售价不得高于72元，即可确定的值． 【详解】（1） 解：根据题意，提价后平均每天的销售量为：（盒． 故答案为：； （2） 解：根据题意得：， 整理得：． 解得：，， 该款口罩的每盒售价不得高于72元， 不合题意，舍去． 答：要获得1200元利润，应按每盒70元销售． 24．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是：　　，　　； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解； (3)应用：如图，已知矩形草坪的长m，宽m，点P在上（），小华把一根长为m的绳子一段固定在点B，把长绳段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求的长．    【答案】(1)， (2) (3)9m 【分析】本题考查了无理方程、一元二次方程的解法，看懂题例理解转化的思想方法是解决本题的关键． （1）利用因式分解法，求解即可； （2）两边平方，把无理方程转化为一元二次方程，求解即可； （3）设的长为xm，通过勾股定理用含x的代数式表示出，根据绳长列出方程，利用转化的思想把无理方程转化为整式方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴或或． ∴， 故答案为：， （2）解：方程，两边平方得， ∴． ∴． ∴． 经检验，是原方程的根，不是原方程的根． 所以原方程的解为 （3）解：设的长为xm，则的长为m． 由题意得： 整理得 两边平方得， 即． 整理得． ∴． ∴ 经检验是原方程的根． 由于， ∴m． 25．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点，分别从点、同时出发，点以厘米秒的速度向终点移动，点以厘米秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为秒，问： (1)当为何值时，点和点距离是？ (2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)，； (2)，，． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质； （1）作于E，则四边形是矩形，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解； （2）当时，作于E，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解．当时，作于E，可得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，作于E， ∴，∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， 在中，由勾股定理，得， 解得：，， 当时，图（1）满足， 当时，图（2）满足， 综上所述：，； （2）如图3，当时，作于E， ∴∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得：，， 如图4，当时，作于E， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴． ∴，解得：； 综上所述：，，． 26．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识． （1）计算一元二次方程根的判别式，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）利用公式法求出方程的解为或，根据得到，把变形为，根据为整数， m为整数即可得到或，即可求出m的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：， ∵， ∴方程都有两个不相等的实数根， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴也为整数， ∵m为整数， ∴或， ∴整数m所有可能的值为，，，． 27．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）定义：在直角梯形中，如果有两条邻边相等，那么称这个梯形为邻等梯形，相等两邻边的夹角称为邻等角．    (1)如图，在梯形中，，，对角线平分．请判断梯形是否为邻等梯形并说明相应理由． (2)如图2，在的方格纸中，，，三点均在格点上，若四边形是邻等梯形，请在答题卷的网格图中画出三个不同的格点，并用标明． (3)如图，四边形是邻等梯形，，为邻等角，连结，过点作，交的延长线于点若，，求四边形的周长． 【答案】(1)梯形为邻等梯形，理由见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）先证明，，再证明，即可得到结论； （2）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①，结合图形再确定满足或的格点；②，结合图形再确定满足的格点； （3）如图，过作于，可得四边形是矩形，，，证明四边形为平行四边形，可得，，设，而，，，由新定义可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵对角线平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为邻等四边形． （2）解：，，即为所求；    （3）解：如图，过作于，        ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 设，而， ∴，， 由新定义可得， 由勾股定理可得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 28．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． (1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． (2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，点P为该一元二次方程的“友好点”的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题． （1）解方程后，根据定义即可求P点坐标； （2）求出方程的解为或，再分情况讨论：当时，此时；当时，此时，当时，；再由题意分别求出m的值即可； （3）由直线经过定点，则方程的友好点P为，即可求． 【详解】（1）解：解方程得，， ∴该方程的“友好点”P的坐标为， 故答案为：； （2）的解为或， 当时，， 此时， 由题意可得， 解得； 当时，， 此时， ∴， ∴； 当时，， 此时， 解得；综上所述：m的值为或； （3）存在b，c满足条件，理由如下： ∵， ∴直线经过定点， ∴方程的友好点为， ∴方程为 ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$