第02讲 一元二次方程的解法（四大解法）（5大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（苏科版）

第02讲 一元二次方程的解法（四大解法）（5大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 直接开方法解一元二次方程的应用 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 配方法的应用 题型五 公式法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 根的判别式综合应用 题型九 因式分解解一元二次方程 题型十 换元法解一元二次方程 题型十一 一元二次方程的新定义解法 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点04 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【典型例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【例4】（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【例5】（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【例6】（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【典型例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】 【例1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【例3】（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 【例4】（2023·吉林长春·模拟预测）方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【例5】（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【例6】（23-24七年级上·重庆永川·阶段练习）提出问题： 我们把形如（其中a是常数且）这样的方程叫做x的完全平方方程． 如：，，…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路： 我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解． 如：解完全平方方程的思路是：由，，可得，． 解决问题： (1)填空：解方程：． 解题思路：我们只要把看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了． 解：根据乘方运算，得或_______． 分别解这两个一元一次方程，得_____，______． (2)解方程． 【典型例题三 配方法解一元二次方程】 【例1】（23-24九年级上·陕西延安·阶段练习）用配方法解方程：． 【例2】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）用配方法解方程． 【例3】（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得．① 二次项系数化为1，得．② 配方，得，．③ 由此可得，④ ，．⑤ 整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现错误，并写出正确的解答过程． 【例4】（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 【典型例题四 配方法的应用】 【例1】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·河北廊坊·期末）珍珍将方程化为的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（    ） A．正确 B．不正确，p的值应为 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4 【例3】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知代数式，则A的最小值为 ． 【例4】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则代数式的最小值等于 ． 【例5】（23-24八年级上·河南南阳·期末）阅读下列材料，回答问题： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数k= ． (2)已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再直接写出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【例6】（23-24九年级上·福建漳州·期中）读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则______，______． (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求c的值． 【典型例题五 公式法解一元二次方程】 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【例2】（22-23九年级上·陕西榆林·期中）用公式法解方程：． 【例3】（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【例4】（23-24九年级上·甘肃兰州·阶段练习）用公式法解方程：． 【例5】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【例6】（2024·浙江金华·二模）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 【典型例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（2024·山东滨州·二模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数 B．有两个相等的实数根 C．根有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【例2】（2024·河南洛阳·三模）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【例3】（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根． 【例4】（2024·山东菏泽·一模）已知一次函数的图像不过第三象限，则方程的根的个数为 ． 【例5】（23-24九年级下·广东湛江·开学考试）已知关于x的方程，．求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根 【例6】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于0，求的取值范围． 【典型例题七 根据一元二次方程跟的情况求参数】 【例1】（2024·河南南阳·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 【例2】（2024·云南昆明·三模）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【例3】（2024·广东深圳·模拟预测）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的正整数m的值为 ．（只需要填一个） 【例4】（2024·四川成都·二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【例5】（2024·陕西渭南·一模）若关于的一元二次方程没有实数根，求的取值范围． 【例6】（2024·浙江宁波·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程． (2)若这个方程无实数根，求a的取值范围． 【典型例题八 根的判别式综合应用】 【例1】（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的负实根 D．有两个不相等的正实根 【例2】（23-24九年级上·四川巴中·期末）对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【例3】（2024·山东临沂·模拟预测）已知关于x的方程有至少一个实数解，则a的取值范围是 ． 【例4】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为，令，则的取值范围为 ． 【例5】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)试说明无论k取何值时，这个方程一定有实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【例6】（23-24九年级上·江西吉安·期末）已知一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值． 【典型例题九 因式分解解一元二次方程】 【例1】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：（因式分解）． 【例2】（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【例3】（13-14七年级·浙江·课后作业）利用因式分解求解方程 （1）； (2)． 【例4】（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【例5】（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展： ①把代数式因式分解； ②若代数式为时（其中，），则的值为______． 【例6】（23-24八年级上·山东烟台·期中）【探究发现】：八年级数学学习兴趣小组学完因式分解后探究发现： 因为， 所以多项式可因式分解为， 【方法归纳】：由此获得因式分解的一种方法，如： ， ， ， ． 【学以致用】：请你依据小组发现的方法尝试解决下面的问题： (1)若因式分解的结果有一个因式为，则实数p的值为 ； (2)因式分解： ①； ②． 【典型例题十 换元法解一元二次方程】 【例1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【例2】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【例3】（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ． 【例4】（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知，则的值为 【例5】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）阅读下面的解题过程： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为①，解得，．当时，，∴．∴．当时，，∴．∴．∴原方程的解为，，，． 回答下列问题： (1)由原方程得到方程①的过程中，利用_________法达到了降次的目的，这种方法体现了_______的数学思想； (2)解方程． 【例6】（23-24九年级上·湖北黄石·期中）（1）解方程： ； （2）解方程，这是一个一元四次方程， 根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么， 于是原方程可变为， 解得，． 当时，，． 当时，，． 原方程有四个根：，，，． 请参照例题解方程． 【典型例题十一 一元二次方程的新定义解法】 【例1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数a， b定义运算“⊗”为∶ 例如： 则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【例2】（2023·河南信阳·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“美妙方程”．已知是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例3】（23-24八年级下·山东济宁·期中）定义新运算“*”，规则：，如，．若的两根为，且，则 ． 【例4】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）定义：如果关于x 的一元二次方程有两个实数根为，且满足，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 (选填“是”或“不是”)“倍根方程”． （2）若是“倍根方程”，则 【例5】（23-24八年级下·广西梧州·期中）对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 【例6】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 【变式训练1 直接开方法解一元二次方程】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）解下列方程：（直接开方法） 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）用直接开方法解方程： 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 【变式训练2 直接开方法解一元二次方程的应用】 1．（2024·河南南阳·模拟预测）若一元二次方程的两个根分别是和，则的值是（   ） A．2 B．3 C． D． 2．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）对于实数m，n我们用符号表示m，n两数中较大的数，如，若则可列方程为 ，x的值为 ． 3．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根是1，且a，b满足，求关于y的方程的根． 【变式训练3 配方法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）用配方法解方程： 2．（2023九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程：． 3．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【变式训练4 配方法的应用】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若方程可配方成的形式，则方程可配方成（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 3．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子： [例]分解因式： ． ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ． (2)请你运用上述配方法分解因式 ． (3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值 【变式训练5 公式法解一元二次方程】 1．（23-24八年级下·山东淄博·期中）公式法解方程：． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）小明解方程的过程如下： 解：原方程可化为． ……第一步 配方，得，……第二步 即 ．……第三步 直接开平方，得 所以，．……第五步 (1)小明是用 （填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来解这个方程的；他的解题过程从第 步开始出现错误． (2)请你用不同于小明的方法解该方程． 3．（23-24九年级上·吉林四平·期中）用公式法解方程：． 【变式训练6 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 1．（2024·广东清远·三模）下列关于x的一元二次方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）关于的一元二次方程根的情况是 ． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有实数根； (2)若 是该方程的一个解，求n的值． 【变式训练7 根据一元二次方程跟的情况求参数】 1．（2024·四川达州·一模）对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（    ） A． B．且 C．且 D． 2．（2024·甘肃金昌·一模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为 ． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值． 【变式训练8 根的判别式综合应用】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）对于实数定义新运算：，若关于的方程没有实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 2．（23-24九年级下·山东青岛·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为 ． 3．（23-24九年级上·河北唐山·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大的整数时，求原方程的两个根． 【变式训练9 因式分解解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）解方程： (1)（因式分解） (2)（公式法） 2．（22-23九年级上·广东韶关·阶段练习）阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答． 分解因式：． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)． 3．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【变式训练10 换元法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）阅读材料：解方程时，我们可以将视为一个整体， 设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次转化为一元二次方程的目的．这一过程体现了数学整体思想和转化的思想． 类比应用：运用上述方法解方程：． 【变式训练11 一元二次方程的新定义解法】 1．（2023·河南新乡·一模）定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于实数a，b，定义一种运算“※”为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，则实数k的值为 ． 3．（23-24九年级上·山东济南·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程” (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则之间的关系为______． (4)若是“倍根方程”，求代数式的值． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏常州·一模）若一元二次方程有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏常州·模拟预测）方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 4．（23-24九年级上·江苏南京·期中）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程；②是倍根方程，则；③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，则必有． A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③ 6．（2024·江苏泰州·二模）若，则M的最小值为 ． 7．（2024·江苏南京·一模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 8．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为 ． 9．（23-24九年级上·江苏南通·期末）设a，b为整数，若关于x的一元二次方程的两个根为a，b，则b的值是 ． 10．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）若方程（为常数）的根是，，则方程的根是 ． 11．（2023·江苏盐城·模拟预测）解方程： (1) (2) 12．（2024·江苏常州·模拟预测）解下列方程： (1)； (2) 13．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）解方程： (1) (2) 14．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求m的值； (2)求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 15．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的两个根分别为，，其中，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一元二次方程的解法（四大解法）（5大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 直接开方法解一元二次方程的应用 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 配方法的应用 题型五 公式法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 根的判别式综合应用 题型九 因式分解解一元二次方程 题型十 换元法解一元二次方程 题型十一 一元二次方程的新定义解法 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点04 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【典型例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 【例4】（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】根据题意，将方程化为，再根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【例5】（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】将方程的两边同时开方即可求解． 【详解】解：两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 【例6】（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）， 移项，得， 两边同时除以49，得， 开方，得， 则方程的两个根为，． （2） 两边同时除以9，得， 开方，得， 即或， 则方程的两个根为，． 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 【典型例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】 【例1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程解的定义以及一元二次方程的定义及其解法，熟练掌握定义，根据定义要求得出方程及不等式求解是解决问题的关键．根据方程解的定义，将代入求解，再结合一元二次方程定义确定即可得出结论． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， ，解得， 关于x的一元二次方程有一个根是1， ， 化简得，解得， 综上所述：， 故选：A． 【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【例3】（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义下，根据新定义得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【例4】（2023·吉林长春·模拟预测）方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法，利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答，熟练掌握解一元二次方程−直接开平方法是解题的关键． 【详解】方程有实数根， ， ， 则的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【例5】（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题考查了解一元二次方程 （1）求出方程的根，得出方程，求出即可； （2）根据（1）中求出的得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即方程的两根互为相反数， 一元二次方程的两根分别为与． ， 解得：； （2）当时，，， ，一元二次方程的两根分别为与， ． 【例6】（23-24七年级上·重庆永川·阶段练习）提出问题： 我们把形如（其中a是常数且）这样的方程叫做x的完全平方方程． 如：，，…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路： 我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解． 如：解完全平方方程的思路是：由，，可得，． 解决问题： (1)填空：解方程：． 解题思路：我们只要把看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了． 解：根据乘方运算，得或_______． 分别解这两个一元一次方程，得_____，______． (2)解方程． 【答案】(1)－5，， (2)， 【分析】（1）根据乘方运算求解即可； （2）根据题中给出的解题思路求解即可． 【详解】（1）解：∵，， 又∵，解得 ，解得 故答案为：－5，，． （2）（2）解：两边同时除以3得：． 根据乘方运算，得：或 分别解这两个一元一次方程，得， 【点睛】考查一元二次方程的解法，解题的关键是正确理解题意． 【典型例题三 配方法解一元二次方程】 【例1】（23-24九年级上·陕西延安·阶段练习）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】原方程整理后配方成，再用开平方即可得到方程的答案． 【详解】解：原方程整理得． 二次项系数化1，得：， 配方，得：，即， 两边开平方，得， ． 【点睛】此题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法的过程是解题的关键． 【例2】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）用配方法解方程． 【答案】 【分析】先进行整理，再在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，再写成完全平方式，最后再开方求解． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， ∴. 【点睛】本题考查了解一元二次方程--配方法．解决本题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤． 【例3】（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 解：移项，得．① 二次项系数化为1，得．② 配方，得，．③ 由此可得，④ ，．⑤ 整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现错误，并写出正确的解答过程． 【答案】不正确，③，见解析 【分析】根据配方法的解题步骤即可得到答案． 【详解】解：不正确 从第③步开始出现错误 配方，得，．③ 由此可得，④ ，．⑤ 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的解题步骤是解题的关键． 【例4】（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先移项，然后再按照配方法即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴． 【典型例题四 配方法的应用】 【例1】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：， 故选：C． 【例2】（23-24九年级上·河北廊坊·期末）珍珍将方程化为的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（    ） A．正确 B．不正确，p的值应为 C．不正确，q的值应为2 D．不正确，q的值应为4 【答案】B 【分析】本题考查配方法的应用．按照一移，二配，三变形的方法，进行配方后，判断即可．掌握配方法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∴到p的值为，q的值为6， 故选B． 【例3】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知代数式，则A的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用； 先利用配方法把代数式配成完全平方式的形式，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴，即A的最小值为， 故答案为：． 【例4】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】11 【分析】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用；根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解：， ， 则原式化为：， ， 代数式的最小值等于， 故答案为：11． 【例5】（23-24八年级上·河南南阳·期末）阅读下列材料，回答问题： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数k= ． (2)已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再直接写出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)4 (2)见解析；时，的最小值是2 【分析】本题考查了配方法的运用、完全平方公式的应用，此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数积的2倍． （1）先根据两平方项确定出这两个数是x和2，再根据完全平方公式求解即可； （2）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4； （2）∵， ∴不论x取何值，这个代数式的值总是正数， 当时，的最小值是2． 【例6】（23-24九年级上·福建漳州·期中）读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则______，______． (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求c的值． 【答案】(1)6， (2) 【分析】本题主要考查配方法的应用及三角形三边关系，因此此题可： （1）根据题干所给方法可直接进行求解； （2）根据题干所给方法求出a、b的值，然后再根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴； 故答案为6，； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∵c是正整数， ∴． 【典型例题五 公式法解一元二次方程】 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2) (3)， 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴， 即，． （2）将原方程进行整理，得． ∵，，， ∴， ∴， 即． （3）将原方程进行整理，得． ∵，，， ∴， ∴， 即， 【例2】（22-23九年级上·陕西榆林·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】先移项，将方程化成标准形式，然后利用公式法求解． 【详解】解：原方程变形为：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记公式是解题的基础． 【例3】（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 【详解】（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 【例4】（23-24九年级上·甘肃兰州·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴ ∴，． 【例5】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 【例6】（2024·浙江金华·二模）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 【答案】若选①，则方程的解为；若选②，则方程的解为 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根据题意解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：①当，， ∴， ∴ 解得：； ②，； ∴ ∴ 解得：； ③，． ，原方程无解． 【典型例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（2024·山东滨州·二模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数 B．有两个相等的实数根 C．根有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系式解题的关键． 先把一元二次方程化为一般式，然后利用根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选． 【例2】（2024·河南洛阳·三模）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．先求出的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：， 有两个不相等的实数根． 故选：A． 【例3】（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程 实数根． 【答案】有两个不相等的 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的． 【例4】（2024·山东菏泽·一模）已知一次函数的图像不过第三象限，则方程的根的个数为 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查了一次函数的图像，一元二次方程根的情况，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 由一次函数的图像不过第三象限，得，分类讨论，当时，方程为一元一次方程，有1个根；当时，方程为一元二次方程，根据判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图像不过第三象限， ∴， 当时，，方程为一元一次方程，所以方程根的个数为1个； 当时，，由于， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1或2． 故答案为：1或2． 【例5】（23-24九年级下·广东湛江·开学考试）已知关于x的方程，．求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根 【答案】见解析 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式．把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出可知方程总有实数根． 【详解】证明： ， ， 无论k为任意实数值方程，总有实数根． 【例6】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于0，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）利用公式法解一元二次方程结合方程一根大于0，找出关于k的一元一次不等式． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出，，根据方程有一根大于0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【详解】（1）证明：∵在方程中， ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴ ∴，， ∵方程有一根大于0， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为． 【典型例题七 根据一元二次方程跟的情况求参数】 【例1】（2024·河南南阳·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，进而即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有A选项符合题意． 故选A． 【例2】（2024·云南昆明·三模）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 【例3】（2024·广东深圳·模拟预测）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的正整数m的值为 ．（只需要填一个） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根的的情况，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键． 由方程两个不相等的实数根，得到，再求不等式的解集即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 则满足条件的正整数m的值有：6，5，4，3，2，1， 填写一个即可， 故答案为：1（答案不唯一）． 【例4】（2024·四川成都·二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，进行计算即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 【例5】（2024·陕西渭南·一模）若关于的一元二次方程没有实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ∴的取值范围为． 【例6】（2024·浙江宁波·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程． (2)若这个方程无实数根，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，，（答案不唯一）； (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题关键是熟练掌握利用判别式判断一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程有实数根得到判别式大于等于0，从而列出关于的不等式，求出的取值范围，然后再从已知的三个数中选择符合条件的数，最后解方程即可； （2）根据一元二次方程无实数根得到判别式小于0，从而列出关于的不等式，求出的取值范围． 【详解】（1）解：若关于的一元二次方程有实数根， ∴， ， ， ， 当或1时，这个方程有实数根， 当时，原方程为：， ， 或， ∴，； 当时，原方程为：， ， 解得，． （2）解：若关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典型例题八 根的判别式综合应用】 【例1】（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的负实根 D．有两个不相等的正实根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，三角形三边的关系，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．先求出根的判别式，再由三角形三边关系确定出判别式的符号，最后由根与系数的关系确定根的符号即可． 【详解】解：在此方程中， ∵a，b，c是三条边的长， ∴，即， ∴， 故方程有两个不相等的实数根， 又∵两根的和是0，两根的积是0， ∴方程的根的情况是有两个不相等的负根． 故选：C． 【例2】（23-24九年级上·四川巴中·期末）对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，先利用新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解不等式即可． 【详解】， ， 方程化为一般式为， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 故选：A． 【例3】（2024·山东临沂·模拟预测）已知关于x的方程有至少一个实数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解的情况求字母系数取值范围．熟练掌握一元二次方程有解，则是银题的关键．注意分类讨论． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程是一元二次方程，则当时，方程有实数解，求解即可． 【详解】解：当时，原方程为：，则方程为一元一次方程，有一个实数解； 当时，方程是一元二次方程，则当时，方程有实数解， 解得：， 综上，关于x的方程有至少一个实数解，则a的取值范围是． 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为，令，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质．由一元二次方程根的判别式先求解，根据一元二次方程的解的定义得出代入代数式，进而即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：， 设此方程的一个实数根为， ， ， ， ，即． 故答案为：． 【例5】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)试说明无论k取何值时，这个方程一定有实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的性质． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到是非负数即可． （2）分两种情况讨论． 【详解】（1）证明：， ∴无论k取何值，方程总有实根； （2）解：①当时，则，即， ∴， 方程可化为， ∴， 而， ∴； ②当， ∵． ∴， ∴或， ∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根， ∴， ∴， ∵， ∴不满足三角形三边的关系，舍去； 综上所述，的周长为5． 【例6】（23-24九年级上·江西吉安·期末）已知一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】(1) (2)m的值为或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据根的判别式进行解答即可； （2）先根据题意得出，解方程，得出或，然后分别代入求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵有两个不相等的实数根 ∴， 解得：． （2）解：∵k是符合条件的最大整数， ∴， ∴， 解得：或， 当时，得：； 当时，得：； 综上分析可知m的值为或． 【典型例题九 因式分解解一元二次方程】 【例1】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：（因式分解）． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握利用因式分解的方法解方程是解题的关键． 【例2】（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可． 【详解】（1）解： ①② ∴． （2）解： ①② ∴． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键． 【例3】（13-14七年级·浙江·课后作业）利用因式分解求解方程 （1）； (2)． 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根； (2)利用提公因式法分解因式求出方程的根. 【详解】(1) ； y=0或4y-3=0 ∴， 故答案为：； (2) 或 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程时，给方程两边同除以y，解得，而丢掉y=0的情况． 【例4】（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 【例5】（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展： ①把代数式因式分解； ②若代数式为时（其中，），则的值为______． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式． （1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解； （2）①仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；②将方程左边因式分解后求出与的关系，求出结果即可． 【详解】（1）解： （2）解：① ， ， ， ， ②代数式为， 或， 所以的值为时，或． 【例6】（23-24八年级上·山东烟台·期中）【探究发现】：八年级数学学习兴趣小组学完因式分解后探究发现： 因为， 所以多项式可因式分解为， 【方法归纳】：由此获得因式分解的一种方法，如： ， ， ， ． 【学以致用】：请你依据小组发现的方法尝试解决下面的问题： (1)若因式分解的结果有一个因式为，则实数p的值为 ； (2)因式分解： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查因式分解， 根据因式分解的一个因式可知方程的一个解，代入即可求的未知数； ①利用题目给定的方法逐步分解即可求得答案；②将变形，利用题目给定的方法逐步分解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵分解因式的结果有一个因式为， ∴是的解， ∴， 解得． 故答案为：； （2）① ； ② ． 【典型例题十 换元法解一元二次方程】 【例1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】令可将方程化成可得或，由此即可得． 【详解】解：令， 则方程可化成为方程， ∵方程的两个实数根为1和， 方程的两个实数根为1和， 或， 解得或， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键． 【例2】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【答案】B 【分析】可以把方程看作关于的一元二次方程，从而，，即可求解． 【详解】解：根据题意得：方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是， ∴关于的一元二次方程的解为，， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出两方程之间的关系是解题的关键． 【例3】（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解， ∴的值为； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上所述，的值为， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知，则的值为 【答案】1 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元法化为一元二次方程是解题的关键；设，则原方程可化为，再利用因式分解法解方程即可得到答案； 【详解】解；设，则原方程可化为， 整理得， 解得（舍去）或， ， 故答案为：1． 【例5】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）阅读下面的解题过程： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为①，解得，．当时，，∴．∴．当时，，∴．∴．∴原方程的解为，，，． 回答下列问题： (1)由原方程得到方程①的过程中，利用_________法达到了降次的目的，这种方法体现了_______的数学思想； (2)解方程． 【答案】(1)换元；转化 (2)该方程的解为， 【分析】本题主要考查换元法解方程的方法，我们常用的是整体换元法，把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． （1）由换元的方法可知解题的思想是将复杂问题转化为简单问题解决的思想． （2）令，原方程化为，解得a得值，再分情况即可求解． 【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想， 故答案为：换元；转化． （2）解：令，原方程化为，    ∴， ∴或， ∴或； 当时，， ∴该方程无解； 当时， ， ， 综上，该方程的解为， ． 【例6】（23-24九年级上·湖北黄石·期中）（1）解方程： ； （2）解方程，这是一个一元四次方程， 根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么， 于是原方程可变为， 解得，． 当时，，． 当时，，． 原方程有四个根：，，，． 请参照例题解方程． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）设，那么，原方程可变为，解得，．再分别解关于x的方程即可． 【详解】解：（1） ∴， 两边都加上1得，， ∴， 开平方得，， ∴，； （2） 设，那么， 于是原方程可变为， 解得，． 当时，，即， ∵， ∴当时原方程没有实数根． 当时，，即，∴，． 原方程有两个根：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和换元法是解题的关键． 【典型例题十一 一元二次方程的新定义解法】 【例1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数a， b定义运算“⊗”为∶ 例如： 则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据新定义，转化得到一元二次方程，再根据方程的根的判别式判断即可． 本题考查了新定义，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【例2】（2023·河南信阳·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“美妙方程”．已知是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，理解“美妙方程”的定义是解答本题的关键．由“美妙方程”的定义得，根据方程有两个相等的实数根得，把代入即可求解． 【详解】∵是“美妙方程”， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选C． 【例3】（23-24八年级下·山东济宁·期中）定义新运算“*”，规则：，如，．若的两根为，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程得到，再根据新定义即可得到． 【详解】解：解方程得：， ∵， ∴， 故答案为：1． 【例4】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）定义：如果关于x 的一元二次方程有两个实数根为，且满足，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 (选填“是”或“不是”)“倍根方程”． （2）若是“倍根方程”，则 【答案】 是 或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义： （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）先解方程得到，再根据“倍根方程”的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得， ∴， ∴方程 是 “倍根方程”． 故答案为：是； （2）解方程得， ∵是“倍根方程”， ∴或， 故答案为：或． 【例5】（23-24八年级下·广西梧州·期中）对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 【例6】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义进行判断即可； （2）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义得其中一个根是另一个根的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 2是1的2倍， 方程是倍根方程； （2）解： 解得：， ， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查了倍根方程的定义，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式训练1 直接开方法解一元二次方程】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）解下列方程：（直接开方法） 【答案】 【分析】直接利用开方法进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）用直接开方法解方程： 【答案】， 【分析】两边直接开平方即可． 【详解】两边直接开平方得：或 解得：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），. 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的步骤求解即可. 【详解】解：（1）， ， ， ， ，； （2）， ， ， ，； （3）， ， ， ，； （4）， ， ，. 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 【变式训练2 直接开方法解一元二次方程的应用】 1．（2024·河南南阳·模拟预测）若一元二次方程的两个根分别是和，则的值是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键．根据题意，易得，，首先利用直接开平方法求得方程的根为；分析可得该方程的两根互为相反数，根据相反数的性质可得，解方程即可求出的值；将的值代入、，即可得到方程的根，由即可求解． 【详解】 解：由题意得，． 两边同时除以得， 直接开平方得． 方程的两个根互为相反数， ， ． 将代入与中，可得的两个根分别是2与． 又， ， ． 故选：A． 2．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）对于实数m，n我们用符号表示m，n两数中较大的数，如，若则可列方程为 ，x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程；先得出，进而根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴则可列方程为 解得： 故答案为：，． 3．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根是1，且a，b满足，求关于y的方程的根． 【答案】， 【分析】根据题意得，，计算得，即可得，根据关于x的一元二次方程的一个根是1得，计算得，则，进行计算即可得． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， ∴， ∵关于x的一元二次方程的一个根是1， ∴， ∴， ， 则， ， ， ，． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，方程的根，解一元二次方程，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 【变式训练3 配方法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方． 【详解】解：由原方程移项，得 ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 开方，得 ， 解得，． 2．（2023九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查配方法求解一元二次方程；把方程化为，开方化为一元一次方程，求解即可． 【详解】解： 移项得， 配方得，即， 开方得． ∴，． 3．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案； 【详解】（1） 解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2， 故答案为：二； （2）． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：或， 解得：． 【变式训练4 配方法的应用】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若方程可配方成的形式，则方程可配方成（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方的过程即可求解，熟练掌握配方过程是解题的关键． 【详解】解：可化为， ， 可化为， 即， 故选C． 2．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 【答案】 小 1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法把原代数式变形为，根据得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值1， ∴有最小值，最小值为1， 故答案为：小，1． 3．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子： [例]分解因式： ． ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ． (2)请你运用上述配方法分解因式 ． (3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质，三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式的形式是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、的值，再利用三角形的三边关系，得到的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）， ， ， ， ， ． 又 为正整数， 时，的周长最大，最大值为 ． 答： 长的最大值为13． 【变式训练5 公式法解一元二次方程】 1．（23-24八年级下·山东淄博·期中）公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先求出，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 解得． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）小明解方程的过程如下： 解：原方程可化为． ……第一步 配方，得，……第二步 即 ．……第三步 直接开平方，得 所以，．……第五步 (1)小明是用 （填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来解这个方程的；他的解题过程从第 步开始出现错误． (2)请你用不同于小明的方法解该方程． 【答案】(1)配方法，二 (2)求解过程见解析，， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】（1）由小明的解答过程可知，他采用的是配方法解方程， ∴ 解得，， ∴他的解题过程从第二步开始出现错误， 故答案为：配方法，二； （2） ，， ∴ ∴ 解得，． 3．（23-24九年级上·吉林四平·期中）用公式法解方程：． 【答案】，． 【分析】先确定a、b、c及判别式的值，然后再利用求根公式求解即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，利用公式法解一元二次方程的条件是，一元二次方程的求根公式为：． 【变式训练6 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 1．（2024·广东清远·三模）下列关于x的一元二次方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，∴有两个不相等的实数根，不符合题意； B．原方程可化为，，∴有两个不相等的实数根，不符合题意； C．原方程可化为，，∴有两个不相等的实数根，不符合题意； D．，∴有两个相等的实数根，符合题意． 故选：D． 2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）关于的一元二次方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，非负数的性质，解题关键是掌握方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．．利用根的判别式，得到，再结合偶次方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：， ，，， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有实数根； (2)若 是该方程的一个解，求n的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系, 一元二次方程的根的定义以及一元一次方程的解法． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得，由此可证明无论取何值，该方程总有实数根； （2）把代入方程即可求出． 【详解】（1）证明：由题意得： ， ∴该方程总有实数根； （2）解：把代入方程，得：， 解得：， ∴的值为3． 【变式训练7 根据一元二次方程跟的情况求参数】 1．（2024·四川达州·一模）对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题属于新定义题目，考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当方程没有实数根．利用新运算得到，根据一元二次方程的定义和即可求解． 【详解】解： ， ，即， 关于的方程，即有两个不相等的实数根， ，且， 解得，且． 故选：B． 2．（2024·甘肃金昌·一模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解为本题的关䋖． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据求解即可． 【详解】解：∵没有实数根， ， ， 故为案为：． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1或2或3 (3)8 【分析】本题考查了一元二次方程及根的判别式、求根公式，等腰三角形定义及三角形三边关系． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到，则，从而得到正整数m的值． （2）分4为腰与4为底两种情况，求出方程的解，再验证是否能构成三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：， ∴， ∵方程有一个根是负整数， ∴， ∴正整数m的值为1或2或3． （3）解：由（2）知，， ①当4为底边时，， ∵， ∴等腰三角形不存在，舍去； ②当4为腰时，，即， ∵， ∴等腰三角形存在， 综上所述，m的值为8． 【变式训练8 根的判别式综合应用】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）对于实数定义新运算：，若关于的方程没有实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题中所给新定义运算可得方程，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由题意可得方程：， 即， ∵该方程没有实数根， ∴， 解得：； 故选：A． 2．（23-24九年级下·山东青岛·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，整体代入求代数式的值．根据一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式为0，从而可得关于a的等式，把此等式变形后整体代入即可求得代数式的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴， 则，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·河北唐山·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大的整数时，求原方程的两个根． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可； （2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等实数根 ∴ 即， ∴， 解得：； （2）解：∵，且取最大的整数， ∴， ∴原方程为：， ∴， 即， 解得：；． 【变式训练9 因式分解解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）解方程： (1)（因式分解） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法． 2．（22-23九年级上·广东韶关·阶段练习）阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答． 分解因式：． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程－因式分解法．仿照例题的方法，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得或． 所以原方程的解为，； （2）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得或． 所以原方程的解为，； （3）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得，或． 所以原方程的解为，． 3．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)过程见解析 【分析】（1）根据等式的性质作答即可； （2）先移项，然后用因式分解法求解． 【详解】（1）解：∵可能为0， ∴不能除以， ∴第②步出现了错误 故答案为②． （2）解：方程两边因式分解，得， 移项，得， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 【变式训练10 换元法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出和是解此题的关键． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程中或， 解得：，， 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设，则原方程为，利用因式分解法解得或（舍去），则． 【详解】解：设，则原方程为， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）阅读材料：解方程时，我们可以将视为一个整体， 设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次转化为一元二次方程的目的．这一过程体现了数学整体思想和转化的思想． 类比应用：运用上述方法解方程：． 【答案】，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程化为：，得出方程的解，当时，当时，代入原方程即可求解，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的一般步骤． 【详解】解：设，则：， 原方程化为：， 解得：，， 当时，，即：， 解得：，， 当时，，即：（舍去）， ∴原方程的解为，． 【变式训练11 一元二次方程的新定义解法】 1．（2023·河南新乡·一模）定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于实数a，b，定义一种运算“※”为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算以及根据根得情况求参数，根据新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解方程即可． 【详解】解：， 整理得：， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，且， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·山东济南·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程” (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则之间的关系为______． (4)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2)2 (3) (4)0 【分析】（1）求解一元二次方程即可进行判断； （2）设方程的两个根分别为：，将根代入方程积累二元一次方程组即可求解； （3）设方程的两个根分别为：，根据根与系数的关系消去即可求解； （4）方程的两个根为：，根据题意可得或，分类讨论即可． 【详解】（1）解： 解得： ∵ ∴该方程不是“倍根方程” 故答案为：不是 （2）解：设方程的两个根分别为： ∴ 解得： 故答案为：2 （3）解：设方程的两个根分别为： 则由根与系数的关系可得： 消去得： 故答案为： （4）解：方程的两个根为： ∴或 当时，； 当时， 故： 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解题关键． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程转换为两个一元一次方程求解即可 【详解】解：∵， ∴或， ∴， 故选C 2．（2024·江苏常州·一模）若一元二次方程有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是记住时，一元二次方程有实数解．根据一元二次方程有实数解可知，解不等式即可． 【详解】解：一元二次方程有实数解， ， 解得， 故选B． 3．（2024·江苏常州·模拟预测）方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解题的关键． 根据题意求出的值，进而可得出结论． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 4．（23-24九年级上·江苏南京·期中）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先根据根的判别式的意义得到，再把代入得，所以，则或，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴或， 故选：C． 5．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程；②是倍根方程，则；③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，则必有． A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③ 【答案】B 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；③当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程 ， ∴或， 解得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③∵，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则， 即， ， ， ， ， ． 若时，则，， 则， ， ， ， ， ． 故④正确， 正确的有：②③④． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 6．（2024·江苏泰州·二模）若，则M的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解和配方法，将原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式进行进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 当时，原式取最小值2， 故答案为：2． 7．（2024·江苏南京·一模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，将方程整理后，根据，构建不等式求解． 【详解】解：， 整理得，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，将看成一个整体计算即可． 【详解】解：设， 原方程为：， 解得， ， ． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·江苏南通·期末）设a，b为整数，若关于x的一元二次方程的两个根为a，b，则b的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，由于、为整数，，，则可判断为的整数，设，，变形得到，利用整数的整除性可判断当时，为整数，然后计算出的值即可． 【详解】解：根据题意得， 因为、为整数，，， 所以为的整数，设， 则， 所以， 当时，为整数， 所以． 故答案为4． 10．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）若方程（为常数）的根是，，则方程的根是 ． 【答案】或 【分析】利用直接开平方法解一元二次方程，根据方程的根是和得到，，再利用直接开平方法解一元二次方程，得到它的根与前面的关系式转化即可得到答案． 【详解】由，得， ∴， ∴， ∵方程（为常数）的根是，， ∴，， 由，可得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程的根是，， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，熟练运用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 11．（2023·江苏盐城·模拟预测）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴或 解得，； （2） ∴或 解得，． 12．（2024·江苏常州·模拟预测）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法、因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法解一元二次方程，即可作答． （2）先移项，再提取公因式，运用因式分解法解一元二次方程，即可作答． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：， ∴， ∴， 则， 解得． 13．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】（1） ∴或 解得，； （2） ，， ∴ ∴ 解得，． 14．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求m的值； (2)求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根的判别式： （1）根据一元二次方程解的定义把代入原方程求出m的值即可； （2）求出即可证明结论． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得； （2）证明：由题意得，， ∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 15．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的两个根分别为，，其中，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式，求出此方程的判别式得：，即可得到答案， （2）利用公式法求得方程的两个根，利用“方程的两个根分别为，，其中，若”，得到关于的一元一次方程，解之即可 本题考查了根与系数的关系和根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握一元二次方程根的判别式，（2）正确找出等量关系，列出一元一次方程． 【详解】（1）证明：根据题意得： ， 此方程有两个不等的实数根， （2） 解：方程的两个根分别为，，其中，若， 由（1）知，， ， ，， ， 解得：， 即的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$