中考重难点专题复习04--反比例函数的综合应用（三大题型）-2023-2024学年九年级数学下册备战2024年中考复习检测卷

中考重难点专题复习04------反比例函数的综合应用 题型一 反比例函数与一次函数的综合 1．（2024•南充模拟）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象在第二象限交于A（﹣6，1），B（m，6）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点M在线段AB上，过点M作MC⊥x轴于点C，交反比例函数的图象于点N，若△OMN的面积为2，求点M的坐标． 2．（2024•常州一模）如图，∠AOB＝90°，，反比例函数的图象过点B（﹣2，a），反比例函数经过点A． （1）求a和k的值． （2）过点B作BC∥x轴，与双曲线交于点C，求△OAC的面积． 3．（2024•槐荫区二模）如图，一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象交于点A（m，6），B（3，n），交x轴于C，交y轴于D． （1）求m、n的值及反比例函数的表达式； （2）求△OAB的面积； （3）将直线y＝﹣2x+8向下平移t个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求t的值． ． 4．（2024•上城区一模）如图，反比例函数的图象与直线y＝ax交于点D（1，4），点A是线段OD上的一个动点，过点A作y轴的垂线分别交反比例函数图象和y轴于点B和点C． （1）求k和a的值； （2）根据图象直接写出的自变量x的取值范围； （3）当AB长为时，求点A的坐标． 5．（2024•郑州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与直线y＝x+1交于点A（1，m）． （1）求k，m的值； （2）已知点P为直线y＝x+1在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，当PQ＝2时，求a的值； （3）观察图象，直接写出当PQ＞2时，a的取值范围． 6．（2024•梅州模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣2x+b与的图象相交于P，Q两点，已知点P的坐标为（1，4）． （1）求函数y＝﹣2x+b与的解析式； （2）求点Q的坐标； （3）求△OPQ的面积． 7．（2024•绵阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围； （3）在平面内存在一点P，且∠APB＝90°，请直接写出OP的最小值． 8．（2024•锦江区模拟）如图，已知一次函数y＝2x+3的图象与反比例函数的图象交于点A（1，a）和点B． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）连接AO，BO，点P为反比例函数图象第一象限上一点，连接AP，BP，若S△ABP＝2S△ABO，求点P的坐标； （3）已知T（t，0）为x轴上一点，作直线AB关于点T中心对称的直线CD，交反比例函数的图象于点E，F，若，求t的值． 题型二 反比例函数与三角形的综合 9．（2024•龙凤区二模）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（m，﹣4）． （1）求反比例函数与一次函数y＝ax+b的解析式． （2）结合图象，请直接写出不等式的解集． （3）在y轴上是否存在一点P，使得△PAC周长最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 10．（2024•章丘区一模）如图，点A，B是反比例函数y（x＞0）的图象上的点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，OD＝DC，连接AO，BO，AB，线段AO交BD于点E，OA，tan∠AOC． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△ABE的面积； （3）若将AB所在的直线向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象y（x＞0）有且只有一个公共点，求m的值． 11．（2024•平顶山二模）如图，直线y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（n，8），与x轴交于点B（﹣3，0），与y轴交于点C（0，6），点M（）为反比例函数图象上一动点（0＜a＜6），过点M作MN∥x轴交AB于点N，连接BM． （1）求反比例函数的表达式； （2）直线MN沿y轴方向平移，当△BMN的面积最大时，求点M的坐标． 12．（2024•常州一模）如图，∠AOB＝90°，，反比例函数的图象过点B（﹣2，a），反比例函数经过点A． （1）求a和k的值． （2）过点B作BC∥x轴，与双曲线交于点C，求△OAC的面积． 13．（2024•荔湾区一模）如图，已知A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0）． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出点B关于直线AC的对称点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若反比例函数的图象过点D，求此反比例函数的解析式； （3）在（2）的条件下，E是第一象限内的反比例函数图象上一动点，当△ACE的面积取最小值时，求点E的坐标． 14．（2024•张店区一模）如图1，已知反比例函数的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点C，且与直角边AB相交于点D，另一直角边OA在x轴上． （1）已知Rt△OAB的面积为8，请求出k的值； （2）如图2，直线y＝mx+b经过C，D两点，在（1）的条件下，当∠AOB＝45°时，请求出直线CD的表达式； （3）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集． 15．（2023秋•济南期末）如图，已知A（﹣3，2），B（n，﹣3）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是直角三角形？直接写出点P的坐标． 题型三 反比例函数与四边形的综合 16．（2024•潍坊一模）在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和BC的中点D，AB＝6，点A的坐标为（a，8）． （1）求a和k的值； （2）若点M是四边形OABC内部反比例函数图象上一动点（不含边界），当直线y＝x+m经过点M时，求m的取值范围． 17．（2024•金平区一模）如图，一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣1，a），与x轴交于点B． （1）求k的值； （2）把一次函数y＝kx+2向下平移m（m＞0）个单位长度后，与y轴交于点C，与x轴交于点D． ①若m＝4，求S△ACD的面积； ②若四边形ABCD为平行四边形，求m的值． 18．（2024春•汝阳县期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C的坐标分别为A（2，0），B（6，2），C（6，6）．反比例函数的函数图象经过点D，点P是反比例函数上一动点，直线PC的解析式为：y＝ax+b（a≠0）． （1）求反比例函数的解析式； （2）如果PC把四边形ABCD的面积分成1：3两部分，直接写出直线PC的解析式； （3）对于一次函数y＝ax+b（a≠0），当y随x的增大而增大时，直接写出点P的横坐标x的取值范围． 19．（2024•湖北模拟）如图，一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点C，D，与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，连接OC，AB．已知四边形ABCO是平行四边形，且其面积是8． （1）求点A的坐标及m和k的值． （2）①求点D的坐标； ②结合图象，直接写出不等式的解集． （3）若直线y＝x+t与四边形ABCO有交点时，直接写出t的取值范围． 20．（2024•金东区二模）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点C（3，4），反比例函数y（k≠0）的图象经过菱形两条对角线AC，OB的交点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）将菱形OABC向左平移，当点B落在反比例函数y（k≠0）的图象上时，求平移的距离． 21．（2024•成华区模拟）如图，一次函数yx+2的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B． （1）求反比例函数的解析式； （2）若C为反比例函数y（x＞0）图象上一点，直线AC与x轴交于点D，且满足AD＝2AC，求点C的坐标． （3）若点P在反比例函数y（x＞0）图象上，点Q在x轴上，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标． 22．（2024•海陵区一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，k）是y轴正半轴上一点，点B是反比例函数图象上的一个动点，连接AB，以AB为一边作正方形ABCD，使点D在第一象限．设点B的横坐标为m（m＜0）． （1）若k＝2，，求点B和点D的坐标； （2）若k＝2，点D落在反比例函数图象上，求m的值； （3）若点D落在反比例函数图象上，设点D的横坐标为n（n＞0），试判断m+n是否为定值？并说明理由． 23．（2024•清镇市一模）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4）． （1）k＝　 　； （2）求点E的坐标； （3）正比例函数y＝ax的图象经过点E，作出函数y＝ax的图象，根据图象直接写出使正比例函数值大于反比例函数值的x的取值范围． 24．（2024•增城区一模）如图，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝4，OB＝2，反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点C． （1）求点C的坐标和反比例函数的解析式； （2）若点N为直线OD上的一动点（不与点O重合），在y轴上是否存在点M，使以点A、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2024•南充模拟）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象在第二象限交于A（﹣6，1），B（m，6）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点M在线段AB上，过点M作MC⊥x轴于点C，交反比例函数的图象于点N，若△OMN的面积为2，求点M的坐标． 2．（2024•槐荫区二模）如图，一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象交于点A（m，6），B（3，n），交x轴于C，交y轴于D． （1）求m、n的值及反比例函数的表达式； （2）求△OAB的面积； （3）将直线y＝﹣2x+8向下平移t个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求t的值． 3．（2024•澄海区一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，点A、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，点A（t，0），点B在第三象限内，点P（2，3）在函数的图象上． （1）求该反比例函数的解析式； （2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值． 4．（2024•义乌市模拟）如图，直线y＝mx+n与双曲线相交于A（﹣1，3）、B（3，b）两点，与y轴相交于点C． （1）求直线AB的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点D在y轴上，且，在x轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求点G的坐标，若不存在请说明理由． 5．（2023•赣榆区一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，a），与x轴交于C点，与y轴交于B点． （1）求出a，k的值； （2）若M（m，0）为x轴上的一动点，当△AMB的面积为时，求m的值． （3）在x轴上是否存在点D，使得∠BOA＝∠OAD，若存在请直接写出点D坐标，若不存在请说明理． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中考重难点专题复习04------反比例函数的综合应用 题型一 反比例函数与一次函数的综合 1．（2024•南充模拟）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象在第二象限交于A（﹣6，1），B（m，6）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点M在线段AB上，过点M作MC⊥x轴于点C，交反比例函数的图象于点N，若△OMN的面积为2，求点M的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）设M（m，m+7），﹣6≤m≤﹣1，则C（m，0），，利用三角形面积公式得到2，整理得：m2+7m+10＝0，解方程即可求得m的值，从而求得点M的坐标． 【解答】解：（1）∵点A（﹣6，1）在反比例函数的图象上， ∴k′＝﹣6×1＝﹣6， ∴反比例函数解析式为， ∵点B（m，6）在反比例函数 的图象上， ∴，则m＝﹣1， ∴B（﹣1，6）， 把 A（﹣6，1）B（﹣1，6）代入y＝kx+b 得， 解得， ∴一次函数解析式为：y＝x+7； （2）设M（m，m+7），﹣6≤m≤﹣1，则C（m，0），， ∴OC＝﹣m，， ∴， ∴，整理得：m2+7m+10＝0，解得m1＝﹣2，m2＝﹣5， ∴点M的坐标为（﹣2，5）或（﹣5，2）． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 2．（2024•常州一模）如图，∠AOB＝90°，，反比例函数的图象过点B（﹣2，a），反比例函数经过点A． （1）求a和k的值． （2）过点B作BC∥x轴，与双曲线交于点C，求△OAC的面积． 【分析】（1）根据条件可得a＝1，利用一线三垂在得到△BOD∽△OAE，利用相似比求出点A坐标即可解得k值； （2）根据BC∥x轴可得点C的坐标为（8，1），，可得AF，依据S△OAC＝S△ACF+S△OAF代入数据计算即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数 的图象过点B（﹣2，a）， ∴﹣2a＝﹣2，即a＝1， ∴BD＝1，OD＝2， 作BD⊥x轴，AE⊥x轴， ∵∠BOD＝∠OAE，∠BDO＝∠OEA， ∴△BOD∽△OAE， ∵， ∴， ∴OE＝2BD＝2，AE＝2OD＝4， ∴点A的坐标为（2，4）， ∴将点A坐标代入y得4， ∴k＝8． （2）∵BC∥x轴， yc＝yB＝1， 将yc＝1代入 中，得 xc＝8， ∴点C的坐标为（8，1）， ∴OC所在的直线为 ， 当x＝2时， 即 ， ， S△OAC＝S△ACF+S△OAF AF•OEAF•（xC﹣xF） 2（8﹣2） ＝15． 答：△OAC 的面积为15． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． 3．（2024•槐荫区二模）如图，一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象交于点A（m，6），B（3，n），交x轴于C，交y轴于D． （1）求m、n的值及反比例函数的表达式； （2）求△OAB的面积； （3）将直线y＝﹣2x+8向下平移t个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求t的值． 【分析】（1）将A（m，6），B（3，n）代入y＝﹣2x+8求出mn的值，再把A点坐标代入反比例函数，求出k的值即可； （2）先求出OC的长，再利用S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC即可得出结论； （3）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于x的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出t的值，再由x＞0即可得出结论． 【解答】解：（1）将A（m，6），B（3，n）代入y＝﹣2x+8得， ﹣2m+8＝6，n＝﹣6+8， 解得m＝1，n＝2， 将A（1，6）代入，得k＝6，即； （2）y＝﹣2x+8，当y＝0时，x＝4， ∴C（4，0）即CO＝4， ， ， ∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝8； （3）∵直线y＝﹣2x+8向下平移t个单位得新直线y＝﹣2x+8﹣t， 与联立得， 消y得，化简得2x2﹣（8﹣t）x+6＝0， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴Δ＝（8﹣t）2﹣48＝0， 解得或， ∵， ∴（舍去）， 即． 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 4．（2024•上城区一模）如图，反比例函数的图象与直线y＝ax交于点D（1，4），点A是线段OD上的一个动点，过点A作y轴的垂线分别交反比例函数图象和y轴于点B和点C． （1）求k和a的值； （2）根据图象直接写出的自变量x的取值范围； （3）当AB长为时，求点A的坐标． 【分析】（1）将D点坐标代入两个解析式可得k、a值； （2）根据函数图象和点D横坐标可得不等式的解集； （3）先确定两个函数解析式，再设A（m，4m）则B（m，4m），根据点B在反比例函数图象上，列出关于m的方程解出m值即可知道点A坐标． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与直线y＝ax交于点D（1，4）， ∴k＝4，a＝4， （2）根据图像可知，的自变量x的取值范围为：0＜x＜1． （3）由（1）可知，反比例函数解析式为y，正比例函数解析式为：y＝4x， 设A（m，4m）则B（m，4m）， ∵点B在反比例函数图象上， ∴4m（m）＝4， 解得m或m＝﹣2（舍去）， ∴A（，2）． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 5．（2024•郑州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与直线y＝x+1交于点A（1，m）． （1）求k，m的值； （2）已知点P为直线y＝x+1在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，当PQ＝2时，求a的值； （3）观察图象，直接写出当PQ＞2时，a的取值范围． 【分析】（1）将点A（1，m）坐标代入y＝x+1求出m，将A（1，2）坐标代入反比例函数解析式求出k值即可； （2）由（1）可知，反比例函数解析式为y，设点P坐标为（a，a+1），则Q（a，），列出关于a的方程解答即可； （3）数形结合得到PQ＞2时，a的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵点A（1，m）在直线y＝x+1上， ∴m＝2， ∴A（1，2）， ∵A（1，2）在反比例函数图象上， ∴k＝2， ∴m＝2，k＝2． （2）由（1）可知，反比例函数解析式为y， 设点P坐标为（a，a+1），则Q（a，）， ∴PQ＝丨a+1丨＝2， ∴a+1±2， 解得：a＝2或﹣1（舍去）或或（舍去）， ∴a＝2或， （3）由图象可知，当PQ＞2时，a＞2或0＜a． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合是解答本题的关键． 6．（2024•梅州模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣2x+b与的图象相交于P，Q两点，已知点P的坐标为（1，4）． （1）求函数y＝﹣2x+b与的解析式； （2）求点Q的坐标； （3）求△OPQ的面积． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）联立两个函数解析式求出点Q坐标即可； （3）设直线PQ与y轴交于点A，则A（0，6）即OA＝6，利用S△POQ＝S△QAO﹣S△PAO代入数据计算即可． 【解答】解：（1）∵点P（1，4）是两个函数的交点， ∴4＝﹣2+b，即b＝6，k＝4， ∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+6，反比例函数解析式为y； （2）联立两个函数解析式得： ，解得，， ∴Q（2，2）， （3）设直线PQ与y轴交于点A，则A（0，6）即OA＝6， ∴S△POQ＝S△QAO﹣S△PAO3． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 7．（2024•绵阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围； （3）在平面内存在一点P，且∠APB＝90°，请直接写出OP的最小值． 【分析】（1）可先把A代入反比例函数解析式，求得m的值，进而求得n的值，把A，B两点分别代入一次函数解析式即可； （2）根据函数图象即可得到结论； （3）令x＝0求出y的值，确定出C坐标，得到OC的长，三角形ABP面积由三角形ACP面积与三角形BCP面积之和求出，由已知的面积求出PC的长，即可求出OP的长． 【解答】解：A（1，2）在反比例函数y2的图象上， ∴k＝1×2＝2， ∴反比例函数的解析式为y2， ∵B（﹣2，m）在反比例函数y2的图象上， ∴m1， ∴B（﹣2，﹣1）， 把A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y1＝ax+b得： ， 解得， ∴一次函数解析式为y1＝x+1； （2）由函数图象可知：y1＜y2时，x＜﹣2或0＜x＜1； （3）∵∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上运动， 设AB的中点为Q， 当P，O，Q三点共线且O，P在AB的同侧时OP有最小值， ∵A（1，2），B（﹣2，﹣1）， ∴AB3， ∴PQAB， ∵AB的中点为Q， ∴Q（，）， ∴OQ， ∴OP＝PQ﹣OQ， 故OP的最小值为． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、函数图象以及特殊角的三角函数值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）由两函数图象的上下位置关系，找出结论． 8．（2024•锦江区模拟）如图，已知一次函数y＝2x+3的图象与反比例函数的图象交于点A（1，a）和点B． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）连接AO，BO，点P为反比例函数图象第一象限上一点，连接AP，BP，若S△ABP＝2S△ABO，求点P的坐标； （3）已知T（t，0）为x轴上一点，作直线AB关于点T中心对称的直线CD，交反比例函数的图象于点E，F，若，求t的值． 【分析】（1）利用一次函数的解析式求得A的坐标，即可利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标； （2）延长BO，交反比例函数的图象于点C，则OB＝OC，则此时S△ABC＝2S△ABO，故P与C重合时，符合题意，作CD∥AB，交y轴于D，求得直线CD的解析式，求得D点的坐标，即可求得直线AB向下平移6个单位得到直线CD，关于AB向上平移6单位得到的直线与反比例函数图象第一象限上的交点也为P点； （3）设直线CD为y＝2x+b，则E（x1，2x2+b），F（x2，2x2+b），利用函数与方程的关系得到x1，x2是方程2x2+bx﹣5＝0的两个根，根据根与系数的关系求得EF，由，可知10＝16，求得b的值，进而求得直线CD与x轴的交点，即可求得T点的坐标，得到t的值． 【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝2x+3中得，a＝2+3＝5， ∴点A（1，5）， 把点A（1，5）代入y得，k＝5， ∴反比例函数的表达式为y， 由，得或， ∴B（，﹣2）； （2）延长BO，交反比例函数的图象于点C，则OB＝OC， ∴S△ABC＝2S△ABO， ∵S△ABP＝2S△ABO， ∴P点与C点重合， ∵B（，﹣2）， ∴C（，2）， ∴P（，2）， 作CD∥AB，交y轴于D， 设直线CD为y＝2x+b， 把C（，2）代入得，2＝5+b，解得b＝﹣3， ∴直线CD为y＝2x﹣3， 由一次函数y＝2x+3可知E（0，3）， ∴DE＝6， 将直线y＝2x+3向上平移6个单位得到y＝2x+9， 由解得或， ∴P（，10）， 综上，点P的坐标为（，2）或（，10）； （3）设直线CD为y＝2x+b，则E（x1，2x2+b），F（x2，2x2+b）， 由消去y得，2x+b， 整理得2x2+bx﹣5＝0， ∴x1，x2是方程2x2+bx﹣5＝0的两个根， ∴x1+x2，x1x2， ∴EF ， ∵， ∴4， ∴10＝16， ∴b， ∴直线CD为y＝2x， 令y＝0，则x， 由y＝2x+3可知直线y＝2x+3与x轴的交点为（，0）， ∴T（±，0）， ∴t的值为或． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的对称性，一次函数图象与几何变换，函数与方程的关系，根与系数的关系，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 题型二 反比例函数与三角形的综合 9．（2024•龙凤区二模）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（m，﹣4）． （1）求反比例函数与一次函数y＝ax+b的解析式． （2）结合图象，请直接写出不等式的解集． （3）在y轴上是否存在一点P，使得△PAC周长最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）把A坐标代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；把B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，由A与B坐标，利用待定系数法确定出直线AB解析式即可； （2）根据题意得出不等式的解集即为直线在反比例函数下面的部分，结合图象即可得出结果； （3）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′C交y轴于点P，此时三角形PAC周长最小，求出直线A′C解析式即可知道点P的坐标． 【解答】解：（1）把A（2，1）代入反比例解析式得：，即k＝2， 则反比例解析式为； ∵点B的坐标为（m，﹣4）， ∴， 解得：， ∴， 把A与B坐标代入一次函数解析式得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝2x﹣3； （2）由（1）得A（2，1），， ∵ax+b，即为直线在反比例函数下面的部分， ∴x或0＜x≤2； （3）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′C交y轴于点P，此时三角形PAC周长最小， 根据题意和作图可知A′（﹣2，1），C（，0）， 设直线A′C解析式为y＝mx+n， ，解得， ∴直线A′C解析式为yx， ∴P（0，）． 【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及的知识有：待定系数法确定反比例解析式与一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 10．（2024•章丘区一模）如图，点A，B是反比例函数y（x＞0）的图象上的点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，OD＝DC，连接AO，BO，AB，线段AO交BD于点E，OA，tan∠AOC． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△ABE的面积； （3）若将AB所在的直线向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象y（x＞0）有且只有一个公共点，求m的值． 【分析】（1）先求求出AC，OC长，确定A点的坐标，代入反比例函数解析式即可； （2）求出DE的长，确定BE的长，根据三角形面积公式求得； （3）求出AB的函数解析式，再确定平移后的函数解析式，和反比例函数联立，转化为一元二次方程，根据Δ＝0求得． 【解答】解：（1）在Rt△AOC中， ∵tan∠AC， ∴可设AC＝k，OC＝2k， ∴k2+（2k）2＝（）2， ∴k＝1， ∴A（2，1）， ∴， ∴k＝2， ∴； （2）∵OC＝CD，OC＝2， ∴OD＝1， ∴y2， 即：B（1，2）， ∵AC⊥OC，BD⊥OC， ∴BD∥AC， ∴△ODE∽△OCA， ∴， ∴DE， ∴BE＝BD﹣DE＝2， BE•DC ； （3）设AB的解析式是：y＝mx+n， ∴， ∴， ∴y＝﹣x+3， ∴平移后的函数解析式是：y＝﹣x+（3﹣m）， 由﹣x+（3﹣m）得， x2﹣（3﹣m）x+2＝0， ∵Δ＝（3﹣m）2﹣4×1×2＝0 ∴m1＝3﹣2，m2＝3+2（舍去）， ∴． 【点评】本题考查了反比例函数、一次函数图象和性质，相似三角形性质以及一元二次方程根的判别式，解决问题的关键是熟练掌握基础知识．本题属于基础题． 11．（2024•平顶山二模）如图，直线y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（n，8），与x轴交于点B（﹣3，0），与y轴交于点C（0，6），点M（）为反比例函数图象上一动点（0＜a＜6），过点M作MN∥x轴交AB于点N，连接BM． （1）求反比例函数的表达式； （2）直线MN沿y轴方向平移，当△BMN的面积最大时，求点M的坐标． 【分析】（1）由题意可知OB＝3，OC＝6，OP＝n，AP＝8，得到BP＝n+3，通过证得△BOC∽△BPA，得到，求得A（1，8），然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）待定系数法求得直线AB的解析式，由M（a，），MN∥x轴，得到点N（，则MN，得到S△BMN（）•a（a﹣3）2，即可求得a＝3时，△BMN的面积最大，从而求得M（，3）． 【解答】解：（1）∵B（﹣3，0），C（0.6），A（n，8）， ∴OB＝3，OC＝6，OP＝n，AP＝8， ∴BP＝n+3， 过点A作AP⊥x轴于点P，则OC∥AP， ∴△BOC∽△BPA， ∴，即， 解得n＝1， ∴A（1，8）， ∵反比例函数的图象过点A， ∴m＝1×8＝8， ∴反比例函数的表达式为y； （2）∵C（0，6）在直线AB上， ∴直线AB的解析式为y＝kx+6， 将B（﹣3，0）代入得，﹣3k+6＝0， 解得k＝2， ∴直线AB的解析式y＝2x+6， ∵M（，a），MN∥x轴， ∴点N（， ∴MN， ∴S△BMN（）•a（a﹣3）2， ∴当a＝3时，△BMN的面积最大， ∴此时M（，3）． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了三角形相似的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．（2024•常州一模）如图，∠AOB＝90°，，反比例函数的图象过点B（﹣2，a），反比例函数经过点A． （1）求a和k的值． （2）过点B作BC∥x轴，与双曲线交于点C，求△OAC的面积． 【分析】（1）根据条件可得a＝1，利用一线三垂在得到△BOD∽△OAE，利用相似比求出点A坐标即可解得k值； （2）根据BC∥x轴可得点C的坐标为（8，1），，可得AF，依据S△OAC＝S△ACF+S△OAF代入数据计算即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数 的图象过点B（﹣2，a）， ∴﹣2a＝﹣2，即a＝1， ∴BD＝1，OD＝2， 作BD⊥x轴，AE⊥x轴， ∵∠BOD＝∠OAE，∠BDO＝∠OEA， ∴△BOD∽△OAE， ∵， ∴， ∴OE＝2BD＝2，AE＝2OD＝4， ∴点A的坐标为（2，4）， ∴将点A坐标代入y得4， ∴k＝8． （2）∵BC∥x轴， yc＝yB＝1， 将yc＝1代入 中，得 xc＝8， ∴点C的坐标为（8，1）， ∴OC所在的直线为 ， 当x＝2时， 即 ， ， S△OAC＝S△ACF+S△OAF AF•OEAF•（xC﹣xF） 2（8﹣2） ＝15． 答：△OAC 的面积为15． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． 13．（2024•荔湾区一模）如图，已知A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0）． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出点B关于直线AC的对称点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）若反比例函数的图象过点D，求此反比例函数的解析式； （3）在（2）的条件下，E是第一象限内的反比例函数图象上一动点，当△ACE的面积取最小值时，求点E的坐标． 【分析】（1）分别以点A、C为圆心以AB长为半径在线段AB左右画弧，两弧相交于点D，则点D即为所求； （2）根据条件可知，四边形ABCD为菱形，根据中点坐标公式求出点D坐标，即可得到反比例函数解析式； （3）点E在反比例函数y第一象限内的图象上，AC是定线段，若△ACE面积最小，只要点E在反比例函数图象的顶点处即可，继而求出点E坐标． 【解答】解：（1）分别以点A、C为圆心以AB长为半径在线段AB左右画弧，两弧相交于点D，则点D即为所求． （2）∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0）， ∴AB＝BC＝5， ∵BD与AC互相平分， ∴四边形ABCD是菱形，F（1，2）， 根据中点坐标公式得：1，xD＝5；2，yD＝4， ∴D（5，4）， ∵点D在反比例函数图象上， ∴k＝20， ∴反比例函数解析式为：y． （3）∵A（0，4），C（2，0）， ∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x+4， 将直线AC向上平移m个单位，当直线AC与反比例函数图象只有一个交点时，△ACF的面积最小， ∴，整理得：2x2﹣（m+4）x+20＝0， Δ＝（m+4）2﹣160＝0，解得m＝﹣4+4，或m＝﹣4﹣4（舍去）， ∴平移后直线解析式为：y＝﹣2x+4， ∴x2﹣2x+10＝0， ∴x， ∴点E（，2）． ∴E（，2）． 【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握均值不等式求最值是解答本题的关键． 14．（2024•张店区一模）如图1，已知反比例函数的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点C，且与直角边AB相交于点D，另一直角边OA在x轴上． （1）已知Rt△OAB的面积为8，请求出k的值； （2）如图2，直线y＝mx+b经过C，D两点，在（1）的条件下，当∠AOB＝45°时，请求出直线CD的表达式； （3）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集． 【分析】（1）由Rt△OAB的面积2m×2n＝8，即可求解； （2）当∠AOB＝45°时，则直线OB的表达式为：y＝x，故（1）中m＝n，进而求解； （3）观察函数图象即可求解． 【解答】解：（1）设点C（m，n）， 由中点坐标公式得，点B（2m，2n）， 则Rt△OAB的面积2m×2n＝8， 则mn＝4， 则k＝mn＝4； （2）当∠AOB＝45°时， 则直线OB的表达式为：y＝x， 故（1）中m＝n， 即mn＝m2＝4， 解得：m＝﹣2（舍去）或2， 即点C（2，2），则点B（4，4）， 由（1）知，反比例函数的表达式为：y， 当x＝4时，y＝1，即点D（4，1）， 由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：yx+3； （3）观察函数图象知，不等式的解集为：x＞4或0＜x＜2． 【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，解不等式等，数形结合是解题的关键． 15．（2023秋•济南期末）如图，已知A（﹣3，2），B（n，﹣3）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是直角三角形？直接写出点P的坐标． 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数求得m的值即可； （2）把点B的坐标为（n，﹣3）代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入y＝kx+b即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC即可求解； （3）存在，在x轴和y轴上分两种情况：①若∠OAP＝90°时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若∠APO＝90°时，如图所示，过点A作AP⊥x轴，垂足为点P，即可求解． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣3，2）在反比例函数y的图象上， ∴m＝xy＝﹣3×2＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为， （2）∵点B的坐标为（n，﹣3）也在上， ∴n＝2， ∵A的坐标为（﹣3，2），B的坐标为（2，﹣3）都在一次函数y＝kx+b的图象上，代入得： ， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1； ∵直线y＝﹣x﹣1与x轴交于点C，如图1， ∴C（﹣1，0）， ∴OC＝1， ∵A的坐标为（﹣3，2），B的坐标为（2，﹣3）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOCOC•|yA|OC•|yB|OC（|yA|+|yB|）1×（2+3）； （3）当点P在x轴上， 设点P（m，0），则OP＝﹣m， 若∠OPA＝90°时，如图2所示， ∵A的坐标为（﹣3，2）， ∴点P的坐标为（﹣3，0）； 当∠OAP＝90°时，如图3， ∴OA2＝32+22＝13，AP2＝（﹣3﹣m）2+（0﹣2）2， ∵△AOP是直角三角形， ∴OA2+AP2＝OP2，即13+（m﹣3）2+（0﹣2）2＝m2， 解得， ∴点P的坐标为； 当点P在y轴上时， 设点P（0，n），则OP＝n， 若∠OPA＝90°时，如图4所示， ∵A的坐标为（﹣3，2）， ∴点P的坐标为（0，2）； 当∠OAP＝90°时，如图5， ∴OA2＝32+22＝13，AP2＝（n﹣2）2+（0+3）2， ∵△AOP是直角三角形， ∴OA2+AP2＝OP2，即13+（n﹣2）2+（0+3）2＝n2， 解得， ∴点P的坐标为； 综上可得点P的坐标为（﹣3，0）、、（0，2）或． 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． 题型三 反比例函数与四边形的综合 16．（2024•潍坊一模）在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，反比例函数的图象经过点A和BC的中点D，AB＝6，点A的坐标为（a，8）． （1）求a和k的值； （2）若点M是四边形OABC内部反比例函数图象上一动点（不含边界），当直线y＝x+m经过点M时，求m的取值范围． 【分析】（1）根据题意求得C（6，0），点A，B的纵坐标是8，设A（a，8），则B（a+6，8），根据反比例函数系数k＝xy得出8a＝4，解得a＝4，即可求得A（4，8），D（8，4），利用待定系数法即可求得反比例函数的表达式； （2）分别求得直线y＝x+m经过点A和点D时的m的值，结合图象即可求得m的取值范围． 【解答】解：（1）∵AB＝6， ∴AB＝OC＝6，点A，B的纵坐标是8， ∴C（6，0）． 设A（a，8），则B（a+6，8）， ∵点D为BC的中点， ∴D（，4）． ∵反比例函数 的图象经过点A和点D， ∴8a＝4，解得a＝4， ∴点A，D的坐标分别是（4，8），（8，4）， ∴k＝4×8＝32； （2）把A（4，8）代入y＝x+m得，8＝4+m，解得m＝4， 把D（8，4）代入y＝x+m得，4＝8+m，解得m＝﹣4， ∴点M是四边形OABC内部反比例函数y＝（x＞0）图象上一动点（不含边界），当直线y＝x+m经过点M时，m的取值范围是﹣4＜m＜4． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 17．（2024•金平区一模）如图，一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣1，a），与x轴交于点B． （1）求k的值； （2）把一次函数y＝kx+2向下平移m（m＞0）个单位长度后，与y轴交于点C，与x轴交于点D． ①若m＝4，求S△ACD的面积； ②若四边形ABCD为平行四边形，求m的值． 【分析】（1）把A（﹣1，a）分别代入y＝kx+2和，解方程组即可得到结论； （2）①根据题意得到直线CD的解析式为yx+2﹣m，把点A（﹣1，a）代入yx+2得到A（﹣1，），求得直线CD的解析式为yx﹣2，解方程得到C（0，﹣2），D（，0），设直线AC的解析式为y＝nx+b，根据三角形的面积公式即可得到结论； ②由直线CD的解析式为yx+2﹣m，解方程得到D（，0），C（0，2﹣m），由（1）知，k，求得B（，0），根据平行四边形的性质列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣1，a）， ∴， 解得k； （2）①∵一次函数y＝kx+2向下平移m（m＞0）个单位长度， ∴直线CD的解析式为yx+2﹣m， 把点A（﹣1，a）代入yx+2得a（﹣1）+2， ∴A（﹣1，）， ∵若m＝4， ∴直线CD的解析式为yx﹣2， ∴C（0，﹣2），D（，0）， 设直线AC的解析式为y＝nx+b， ∴， ∴， ∴直线AC的解析式为yx﹣2， 当y＝0时，x， ∴直线AC与x轴的交点为（，0）， ∴S△ACD的面积[（）]×[（﹣2）]； ②∵直线CD的解析式为yx+2﹣m， ∴D（，0），C（0，2﹣m）， 由（1）知，k， ∴直线AB的解析式为yx+2， 当y＝0时，x， ∴B（，0）， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD， ∴， 解得m（负值舍去）． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 18．（2024春•汝阳县期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C的坐标分别为A（2，0），B（6，2），C（6，6）．反比例函数的函数图象经过点D，点P是反比例函数上一动点，直线PC的解析式为：y＝ax+b（a≠0）． （1）求反比例函数的解析式； （2）如果PC把四边形ABCD的面积分成1：3两部分，直接写出直线PC的解析式； （3）对于一次函数y＝ax+b（a≠0），当y随x的增大而增大时，直接写出点P的横坐标x的取值范围． 【分析】（1）根据点B、C坐标求出线段BC长，根据平行四边形性质得到AD＝BC，求出点D坐标，可得反比例函数解析式； （2）分两种情况得到PC解析式，①当PC经过线段AD的中点时，PC把四边形ABCD的面积分成1：3两部分，②②当PC经过线段AB的中点时，PC把四边形ABCD的面积分成1：3两部分； （3）过C作x轴、y轴的平行线，交双曲线于点 P1、P2，分别求出 P1、P2坐标，即可得到一次函数y＝ax+b横坐标的取值范围． 【解答】解：（1）∵B（6，2），C（6，6）， ∴BC∥/y轴，BC＝6﹣2＝4， 又∵四边形ABCD是平行四边形，A（2，0）， ∴．D（2，4）， 又∵点D在反比例函数 的图象上， ∴k＝2×4＝8， ∴反比例函数的关系式为 ； （2）①当PC经过线段AD的中点时，PC把四边形ABCD的面积分成1：3两部分， 由（1）可知AD中点坐标为（2，2）， 设PC解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴PC解析式为：y＝x， ②当PC经过线段AB的中点时，PC把四边形ABCD的面积分成1：3两部分， 线段AB的中点坐标为（4，1），设PC解析式为y＝mx+n， ∴，解得， ∴直线PC的解析式为：y． 综上分析，直线PC的解析式为：y＝x 或 ． （3）如图，过C作x轴、y轴的平行线，交双曲线于点 P1、P2， ∵C（6，6）， ∴当x＝6时，，当 y＝6 时，， ∴P1（6，），， 当点P在 P1、P2 之间的双曲线上时，直线PC，即直线 y＝ax+b（a≠0），y随x的增大而增大， ∴点P的横坐标x的取值范围为 ． 【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握反比例函数性质是关键． 19．（2024•湖北模拟）如图，一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点C，D，与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，连接OC，AB．已知四边形ABCO是平行四边形，且其面积是8． （1）求点A的坐标及m和k的值． （2）①求点D的坐标； ②结合图象，直接写出不等式的解集． （3）若直线y＝x+t与四边形ABCO有交点时，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）令y＝0，则kx﹣2k＝0，所以x＝2，得到A（320），利用平行四边形的性质求出BC＝2，设C（﹣2，b），再利用平行四边形ABCO的面积是8，列出方程得到b＝4，即可求出答案； （2）①联立直线AC和双曲线的解析式求解，即可求出答案； ②利用图象直接得出答案； （3）当直线y＝x+t经过点C时，t取最大值，当直线y＝x+t经过点A时，t取最小值．据此解答． 【解答】解：（1）令y＝0，则kx﹣2k＝0， ∴x＝2， ∴A（2，0）， ∴OA＝2， ∵四边形ABCO为平行四边形， ∴BC＝OA＝2， ∵CB⊥y轴， ∴设C（﹣2，b）， ∵平行四边形ABCO的面积是8， ∴2b＝8， ∴b＝4， ∴C（﹣2，4），m＝﹣2×4＝﹣8， ∵点C在直线y＝kx﹣2k上， ∴4＝﹣2k﹣2k， ∴k＝﹣1， 即A（2，0），m＝﹣8，k＝﹣1； （2）①由（1）知，k＝﹣1， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2①， 由（1）知，m＝﹣8， ∴反比例函数的解析式为y②， 联立①②解得，（点C的坐标）或， ∴D点坐标为（4，﹣2）； ②由图可得，当﹣2＜x＜0或x＞4时，反比例函数 的图象在一次函数＝kx﹣2k（k≠0）的图象上方， ∴的解集为：﹣2≤x＜0或 x≥4； （3）如图所示，当直线y＝x+t经过点C时，t 取最大值，当直线y＝x+t经过点A时，t取最小值， 将点C（﹣2，4）代入y＝x+t，得4＝﹣2+t， 解得t＝6； 将点A（2，0）代入y＝x+t，得0＝2+t， 解得t＝﹣2， ∴若直线y＝x+t与四边形ABCO有交点时，t的取值范围为﹣2≤t≤6． 【点评】本题是反比例函数是综合题，考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及 一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性 质，待定系数法求函数解析式，图象法求不等式的 解集等，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 20．（2024•金东区二模）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点C（3，4），反比例函数y（k≠0）的图象经过菱形两条对角线AC，OB的交点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）将菱形OABC向左平移，当点B落在反比例函数y（k≠0）的图象上时，求平移的距离． 【分析】（1）延长BC交y轴于点E，交反比例函数于点F，根据勾股定理求出OC的长，再由菱形的性质得出OA的长，进而得出A点坐标，利用中点坐标公式得出D点坐标，代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）根据点C（3，4），BC＝OC，BC∥OA得出B点坐标，再求出F点的坐标，求出BF的长即可． 【解答】解：（1）如图，延长BC交y轴于点E，交反比例函数于点F， ∵菱形OABC的边OA在x轴上，点C（3，4）， ∴OC5， ∴OC＝OA＝BC＝5， ∴A（5，0）， ∴D（，），即（4，2）， ∵反比例函数y（k≠0）的图象经过菱形两条对角线AC，OB的交点D， ∴k＝xy＝4×2＝8， ∴反比例函数的解析式为：； （2）∵点C（3，4），BC＝OC＝5，BC∥OA， ∴B（8，4）， ∵反比例函数的解析式为y， ∴4， 解得x＝2， ∴F（2，4）， ∴BF＝8﹣2＝6， ∴当点B落在反比例函数y（k≠0）的图象上时，平移的距离是6． 【点评】本题考查的是利用待定系数法求反比例函数的解析式，菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 21．（2024•成华区模拟）如图，一次函数yx+2的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B． （1）求反比例函数的解析式； （2）若C为反比例函数y（x＞0）图象上一点，直线AC与x轴交于点D，且满足AD＝2AC，求点C的坐标． （3）若点P在反比例函数y（x＞0）图象上，点Q在x轴上，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【分析】（1）先求出a值，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）分两种情况进行解答，①如图1当点C在A点下方时，②如图2当C在A点上方时解出点C坐标即可； （3）分两种情况进行解答，①当AB为平行四边形的边时，ABQ′P′是平行四边形，②当AB为平行四边形的对角线时，ABQP是平行四边形，分别求出点P坐标即可． 【解答】解：（1）∵点A（a，3）在直线yx+2的图象上， ∴，解得a＝2， ∴A（2，3）， ∵A（2，3）在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴k＝2×3＝6， ∴反比例函数的解析式为：y； （2）分两种情况，①如图1，当点C在A点下方时， ∵AD＝2AC，A（2，3）， ∴点C为AD中点， ∴点C纵坐标为， 当y时，x＝64， ∴C（4，）， ②如图2，当C在A点上方时， ∵AD＝2AC，A（2，3）， ∴，即，解得yC， 将yC代入反比例函数解析式得：x， ∴C（，）． 综上分析，点C坐标为（4，）或（，）． （3）∵直线AB解析式为yx+2， ∴B（0，2），A（2，3），分两种情况讨论： 如图3： ①当AB为平行四边形的边时，ABQ′P′是平行四边形， yQ′﹣yB＝yP′﹣yA，即0﹣2＝yP′﹣3，解得yP′＝1， ∵P′在反比例函数y图象上， ∴当y＝1时，x＝6， ∴P′（6，1）， ②当AB为平行四边形的对角线时，APBQ是平行四边形， ∵B（0，2），A（2，3），又Q点纵坐标为0， ∴yP＝2+3﹣0＝5， ∵点P在反比例函数y图象上， 当y＝5时，x， ∴P（，5）． 综上分析，P（，5）或P（6，1）． 【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． 22．（2024•海陵区一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，k）是y轴正半轴上一点，点B是反比例函数图象上的一个动点，连接AB，以AB为一边作正方形ABCD，使点D在第一象限．设点B的横坐标为m（m＜0）． （1）若k＝2，，求点B和点D的坐标； （2）若k＝2，点D落在反比例函数图象上，求m的值； （3）若点D落在反比例函数图象上，设点D的横坐标为n（n＞0），试判断m+n是否为定值？并说明理由． 【分析】（1）证明△BMA≌△ADN（AAS），则AN＝BM＝2，DN＝AM，即可求解； （2）设点B（m，），得到点D（2，2+m），即可求解； （3）设点B（m，），得到点D（k，k+m），即可求解． 【解答】解：（1）若k＝2，， 则点B（，）， 过点A作x轴的平行线交过点B和y轴的平行线于点M，交过点D和y轴的平行线于点N， ∵∠MAB+∠NAD＝90°，∠NAD+∠ADN＝90°， ∴∠MAB＝∠ADN， ∵∠BMA＝∠AND＝90°，AB＝AD， ∴△BMA≌△ADN（AAS）， ∴AN＝BM＝2，DN＝AM． 则点D（，）； （2）由题意得，点B（m，）， 由（1）知：AN＝BM＝2，DN＝AM＝﹣m． 则点D（2，2+m）， 将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝（2）×（2+m）， 解得：m（不合题意的值已舍去）； （3）m+n为定值，理由： 由题意得，点B（m，）， 由（1）知：AN＝BM＝k，DN＝AM＝﹣m． 则点D（k，k+m）， 将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝（k）×（k+m）， 解得：k+m2， 而n＝k， 则m+n＝k+m2，为定值． 【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形全等、线段长度的表示方法等，运算能力是本题的难点． 23．（2024•清镇市一模）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4）． （1）k＝　 　； （2）求点E的坐标； （3）正比例函数y＝ax的图象经过点E，作出函数y＝ax的图象，根据图象直接写出使正比例函数值大于反比例函数值的x的取值范围． 【分析】（1）将B点坐标代入反比例函数解析式求出k即可； （2）设AD＝a，则DE＝a．则点E坐标为（a+2，a）代入反比例函数解析式求出a值即可得到点E坐标； （3）根据图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值的x的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵点B的坐标为（2，4）．且点B在反比例函数图象上， ∴k＝2×4＝8， 故答案为：8． （2）∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝DE． 设AD＝a，则DE＝a． ∵点B坐标为（2，4）， ∴点E坐标为（a+2，a）． ∵k＝8， ∴反比例函数的表达式为y． ∵点E在反比例函数y的图象上， ∴a（a+2）＝8． 解得，a1＝2，a2＝﹣4（舍去）． ∴点E坐标为（4，2）． （3）∵正比例函数y＝ax的图象经过点E， ∴正比例函数解析式为y， 根据图象正比例函数值大于反比例函数值的x的取值范围为：﹣4＜x＜0或x＞4． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． 24．（2024•增城区一模）如图，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝4，OB＝2，反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点C． （1）求点C的坐标和反比例函数的解析式； （2）若点N为直线OD上的一动点（不与点O重合），在y轴上是否存在点M，使以点A、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用三角形全等求出点C坐标，由点C坐标求出反比例函数解析式即可； （2）根据点AC为定点，分两种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时存在一个M点；②当AC为平行四边形的边时存在一个M点，求出点M坐标即可． 【解答】解：（1）如图1，作CE⊥x轴，垂足为E， ∵ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， 在△AOB和△BEC中， ， ∴△AOB≌△BEC（AAS）， ∴AO＝BE＝4，OB＝CE＝2， ∴OE＝OB+BE＝2+4＝6， ∴C（6，2）， ∵C（6，2）在反比例函数图象上， ∴k＝6×2＝12， ∴反比例函数解析式为：y． （2）在y轴上存在点M，使以点A、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 根据（1）中求C点坐标，同理可得点D坐标（4，6），设直线OD解析式为y＝kx，代入点D坐标得：6＝4k，解得k， ∴直线OD解析式为：y， 当AC为平行四边形的对角线时，在yx中，令x＝6，得y＝9， ∴N（6，9）， ∴NC＝9﹣2＝7， ∵AMCN是平行四边形， ∴AM＝7， ∵OA＝4， ∴OM＝3， ∴M（0，﹣3）； 当AC为平行四边形的边时， 点A向上移动7个单位得到平行四边形MACN， 此时点M的坐标为（0，11）． 当点M、N在x轴下方时，M（0，﹣11）． 综上所述，符合条件的点M有3个，坐标为（0，﹣3）或（0，11）或（0，﹣11）． 【点评】本题考查了反比例函数综合应用，熟练掌握平行四边形的存在性是解答本题的关键． 1．（2024•南充模拟）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象在第二象限交于A（﹣6，1），B（m，6）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点M在线段AB上，过点M作MC⊥x轴于点C，交反比例函数的图象于点N，若△OMN的面积为2，求点M的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）设M（m，m+7），﹣6≤m≤﹣1，则C（m，0），，利用三角形面积公式得到2，整理得：m2+7m+10＝0，解方程即可求得m的值，从而求得点M的坐标． 【解答】解：（1）∵点A（﹣6，1）在反比例函数的图象上， ∴k′＝﹣6×1＝﹣6， ∴反比例函数解析式为， ∵点B（m，6）在反比例函数 的图象上， ∴，则m＝﹣1， ∴B（﹣1，6）， 把 A（﹣6，1）B（﹣1，6）代入y＝kx+b 得， 解得， ∴一次函数解析式为：y＝x+7； （2）设M（m，m+7），﹣6≤m≤﹣1，则C（m，0），， ∴OC＝﹣m，， ∴， ∴，整理得：m2+7m+10＝0，解得m1＝﹣2，m2＝﹣5， ∴点M的坐标为（﹣2，5）或（﹣5，2）． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 2．（2024•槐荫区二模）如图，一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象交于点A（m，6），B（3，n），交x轴于C，交y轴于D． （1）求m、n的值及反比例函数的表达式； （2）求△OAB的面积； （3）将直线y＝﹣2x+8向下平移t个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求t的值． 【分析】（1）将A（m，6），B（3，n）代入y＝﹣2x+8求出mn的值，再把A点坐标代入反比例函数，求出k的值即可； （2）先求出OC的长，再利用S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC即可得出结论； （3）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于x的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出t的值，再由x＞0即可得出结论． 【解答】解：（1）将A（m，6），B（3，n）代入y＝﹣2x+8得， ﹣2m+8＝6，n＝﹣6+8， 解得m＝1，n＝2， 将A（1，6）代入，得k＝6，即； （2）y＝﹣2x+8，当y＝0时，x＝4， ∴C（4，0）即CO＝4， ， ， ∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝8； （3）∵直线y＝﹣2x+8向下平移t个单位得新直线y＝﹣2x+8﹣t， 与联立得， 消y得，化简得2x2﹣（8﹣t）x+6＝0， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴Δ＝（8﹣t）2﹣48＝0， 解得或， ∵， ∴（舍去）， 即． 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 3．（2024•澄海区一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，点A、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，点A（t，0），点B在第三象限内，点P（2，3）在函数的图象上． （1）求该反比例函数的解析式； （2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值． 【分析】（1）把P（2，3）代入y得k＝6，故反比例函数的解析式为y； （2）由四边形OABC为正方形，点A（t，0），知C（0，t），BC＝﹣t，故St2t，T＝2S﹣2t2＝2（t2t）﹣2t2＝﹣t2﹣3t＝﹣（t）2，根据二次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）把P（2，3）代入y得： 3， 解得k＝6， ∴反比例函数的解析式为y； （2）∵四边形OABC为正方形，点A（t，0）， ∴C（0，t），BC＝﹣t， ∴S（﹣t）×（3﹣t）t2t， ∴T＝2S﹣2t2＝2（t2t）﹣2t2＝﹣t2﹣3t＝﹣（t）2， ∵﹣1＜0， ∴当t时，T的最大值为． 【点评】本题考查用待定系数法求反比例函数的解析式，涉及三角形面积，二次函数最值，解题的关键是用含t的代数式表示T． 4．（2024•义乌市模拟）如图，直线y＝mx+n与双曲线相交于A（﹣1，3）、B（3，b）两点，与y轴相交于点C． （1）求直线AB的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点D在y轴上，且，在x轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求点G的坐标，若不存在请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）作点B关于x轴的对称点N（3，1），连接DN交x轴于点G，则此时GD+GB的值最小，即可求解． 【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝﹣1×3＝﹣3， 则反比例函数的表达式为：y， 将点B的坐标代入上式得：b1， 即点B的坐标为：（3，﹣1）， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+2； （2）观察函数图象知，不等式的解集为：x＞3或﹣1＜x＜0； （3）存在，理由： 由直线AB的表达式知点C（0，2）， ∵，则OD＝3， 则点D（0，﹣3）， 作点B关于x轴的对称点N（3，1），连接DN交x轴于点G，则此时GD+GB的值最小， 理由：GD+GB＝GD+GN＝ND为最小， 由点D、N的坐标得，直线DN的表达式为：yx﹣3， 令y＝0，则x， 即点G（，0）． 【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到求函数表达式、线段和最小值的确定等，有一定的综合性，难度适中． 5．（2023•赣榆区一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，a），与x轴交于C点，与y轴交于B点． （1）求出a，k的值； （2）若M（m，0）为x轴上的一动点，当△AMB的面积为时，求m的值． （3）在x轴上是否存在点D，使得∠BOA＝∠OAD，若存在请直接写出点D坐标，若不存在请说明理． 【分析】（1）将点A（2，a）代入yx+2，即可求出a的值，从而得到A（2，3）．再将A（2，3）代入y，即可求出k的值； （2）根据一次函数解析式可求出C（﹣4，0），B（0，2）．结合M（m，0）为x正轴上的一动点，可求出CM＝m+4．最后根据S△AMB＝S△ACM﹣S△BCM，结合三角形面积公式，即可列出关于m的等式，解出m的值即可． （3）过A作AD⊥x轴于D，作OA的垂直平分线交y轴于E，交OA于F，连接AE，并延长AE交x轴于D'，分两种情况，利用一次函数的解析式解答即可． 【解答】解：（1）由题意可知点A（2，a）在一次函数yx+2的图象上， ∴a， ∴A（2，3）． ∵一次函数yx+2的图象与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象相交于点A， ∴3， ∴k＝6； （2）对于yx+2，令y＝0，则0x+2， 解得：x＝﹣4， ∴C（﹣4，0）． 令x＝0，则y＝2， ∴B（0，2）． ∵M（m，0）为x轴的一动点， ∴CM＝|m|﹣（﹣4）＝|m|+4， ∴S△ACMCM•yA（|m|+4）×3（|m|+4）， S△BCMCM•yB（|m|+4）×2＝（|m|+4）， ∵S△AMB＝S△ACM﹣S△BCM，， ∴， 解得：m＝3或﹣11． （3）过A作AD⊥x轴于D， ∴AD∥y轴， ∴∠AOB＝∠OAD， ∵A（2，a），k＝6， ∴y， 把x＝2，代入a3， ∴D（2，0）， 作OA的垂直平分线交y轴于E，交OA于F，连接AE，并延长AE交x轴于D'， ∴△EOA是等腰三角形， ∴∠AOB＝∠OAD'， ∵A（2，3）， ∴OA， ∵tan∠AOB， ∴EF， ∴OE， 设直线AE的解析式为：y＝mx+n， 把A（2，3），E（0，）代入解析式可得：， 解得：， ∴直线AE的解析式为：yx， 把y＝0代入yx， 解得：x， ∴D'（，0）， 综上所述，D的坐标为（2，0）或（，0）． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$