精品解析：江西省宜春市丰城中学2023-2024学年高一下学期第三次段考（5月月考）数学试题

丰城中学2023-2024学年下学期高一年级段考试卷 数学 一、选择题（本大题共11小题，1-8每小题5分，9-11每小题6分，共58分1-8在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，9-11题为多选题，请将答案填写在答卷纸上） 1. 已知数列各项均为正数，首项，且数列是以为公差的等差数列，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 2. 已知数列和数列的通项公式分别为和，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列，则满足不等式的最大的整数（ ） A. 134 B. 135 C. 136 D. 137 3. 已知定义域为的函数满足，给出以下结论：①；②；③是奇函数；④存在函数以及，使得的值为.所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②④ 4. 函数（ ） A. 是偶函数，且在区间上单调递增 B. 是偶函数，且在区间上单调递㺂 C. 是奇函数，且在区间上单调递增 D. 既不是奇函数，也不是偶函数 5. 已知函数，若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足：，且，则下列说法错误的是（ ） A. 存在，使得数列为等差数列 B. 当时， C. 当时， D. 当时，数列是等比数列 7. 已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知直线与函数的图象相切（），则（e为自然对数的底数）的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. e 9. 已知数列是公差为的等差数列，若它的前项的和，则下列结论正确的是（ ） A. 若，使的最大的值为 B. 是的最小值 C. D. 10. 函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，在处的切线的斜率为1 B. 当时，在上单调递增 C. 对任意，在上均存在零点 D. 存在，在上有唯一零点 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在二个不同的零点 B. 函数的极大值为，极小值为 C. 若时，，则的最大值为2 D. 若方程有两个实根，则 二、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 数列定义如下：，且当时，，已知，则正整数的值为________. 13. 已知函数在处的切线方程为，则_________． 14. 若，则的解集为______． 三、解答题（本大题共2小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，点均在轴的正半轴上，，，…，分别是以为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上． （1）求第个等边三角形的边长； （2）求数列的前项和． 16. 函数． （1）当时，证明：； （2）讨论函数的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城中学2023-2024学年下学期高一年级段考试卷 数学 一、选择题（本大题共11小题，1-8每小题5分，9-11每小题6分，共58分1-8在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，9-11题为多选题，请将答案填写在答卷纸上） 1. 已知数列各项均为正数，首项，且数列是以为公差的等差数列，则（ ） A. B. C. 1 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为数列各项均为正数，首项，则， 又数列是以为公差的等差数列， 则，故 故选：A 2. 已知数列和数列的通项公式分别为和，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列，则满足不等式的最大的整数（ ） A. 134 B. 135 C. 136 D. 137 【答案】A 【解析】 【分析】求出数列的通项公式，再解不等式即得. 【详解】依题意，令，则，即有，显然是5的正整数倍， 令，因此，由，解得， 所以最大的整数. 故选：A 3. 已知定义域为的函数满足，给出以下结论：①；②；③是奇函数；④存在函数以及，使得的值为.所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】对于①②：根据题意赋值即可得结果；对于③：结合奇函数的定义分析判断；对于④：举特例，求导，代入检验即可. 【详解】因为， 对于①：令，可得，故①正确； 对于②：令，可得，解得； 令，可得，解得，故②错误； 对于③：令，可得， 且的定义域为，所以是奇函数，故③正确； 对于④：当时，， 两边同时除以得， 当时，令，则， 当时，，则， 所以，故④正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对抽象问题，要紧扣题中抽象函数的性质，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用赋值法或特殊值法进行验证． 4. 函数（ ） A. 是偶函数，且在区间上单调递增 B. 是偶函数，且在区间上单调递㺂 C. 是奇函数，且在区间上单调递增 D. 既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性. 【详解】的定义域为，， 为偶函数； 当时，在区间上单调递增. 故选：A. 5. 已知函数，若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到关于直线对称，并根据复合函数单调性得到其单调性，再构造相关函数的单调性得到，则比较出大小关系. 【详解】因为， 则， 则关于直线对称， 当时，， 根据复合函数单调性知在上单调递减， 且在上也单调递减， 则在上单调递减，再结合其对称性知在上单调递增. 令，则，， 所以在上单调递增，且，所以即. 令，则， 设，， 所以单调递减且，因此， 所以单调递减且，所以，即. 由得，所以. 又因为，且， 所以. 设，，则， 则在上单调递增，则， 即，即在上恒成立， 即，所以. 所以，则， 故，而， 即. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到的对称性和单调性，再构造新函数，利用导数的单调性得到，则比较出三者大小. 6. 已知数列满足：，且，则下列说法错误的是（ ） A. 存在，使得数列为等差数列 B. 当时， C. 当时， D. 当时，数列是等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】通过倒数法可推导得到A正确；利用递推关系式可推导得到，知数列周期为，由此可得B正确；利用递推关系式可得，可知C错误；通过构造法可推导得到符合等比数列定义式的形式，知D正确. 【详解】对于A，当时，，， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列，A正确； 对于B，当时，，， ，数列是周期为的周期数列， 又，，，B正确； 对于C，当时，， 若，则，又，对于任意的，都有； 由得：， ， 若，则，与矛盾，C错误； 对于D，当时，， 若，则，又，对于任意的，都有； ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，D正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查构造法求数列通项、数列周期性的应用等知识；解题关键是能够利用数列的递推关系，通过构造的方式配凑出符合等差、等比数列定义的形式. 7. 已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列定义以及等差中项性质对充分性和必要性分别进行判断即可得结论. 【详解】判断充分性： 因为，所以， 令，则，所以数列的偶数项成等差数列， 令，则，所以数列的奇数项成等差数列， 但数列不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3； 所以“”不是“数列为等差数列”的充分条件； 再判断必要性： 若数列是等差数列，则， 所以，所以“”是“数列为等差数列”的必要条件； 综上，“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 已知直线与函数的图象相切（），则（e为自然对数的底数）的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. e 【答案】C 【解析】 【分析】设切点为，根据切点在切线和曲线上，以及切点处的导数等于切线斜率，联立求解可得，则，构造函数，利用导数求最小值即可. 【详解】设直线与函数的图象相切于点， 则，所以， 又，所以，即， 所以，即，所以，所以， 令，则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以，当时，取得最小值， 所以的最小值为2. 故选：C 9. 已知数列是公差为的等差数列，若它的前项的和，则下列结论正确的是（ ） A. 若，使的最大的值为 B. 是的最小值 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题设可推得，对于A，由，推断即得，对于B，利用A结论，举反例可排除B，对于C，D两项，采用作差法，利用和等差数列的基本量运算即可判断. 【详解】由题意，，因，则（*）， 对于A，因，则，由（*）知， 故使的最大的值为，即A正确； 对于B，若，由A项知，， 即数列的前项都是正数项，第项起都是负数项， 即此时是的最大值，即B错误； 对于C，由 ， 因，， 故上式的值为0，即，故C正确； 对于D，由 ， 由C分析知，且， 故上式的值也为0，即，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键，是要注意弄清等差数列的前项和与项的转化关系，如此题中由推出，再结合数列的公差、首项信息进行分析判断即可，在推理时，还要灵活运用等差数列的项之间的关系替换转化解题. 10. 函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，在处的切线的斜率为1 B. 当时，在上单调递增 C. 对任意，在上均存在零点 D. 存在，在上有唯一零点 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：利用导数的几何意义计算即可判断；对于B：求出，作图象数形结合判断其正负，即可判断函数的单调性；对于C、D：令，则构造函数令，利用导数求得其极值，从而说明当时，，即可判断. 【详解】对A：当时，， ，故在处的切线的斜率为1，故A正确； 对B：当时，， 作出函数在上的图象如图示， 可以看到在有两交点， 即有两个零点，不妨假设， 当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 故当时，在上不是单调递增函数，故B错误； 对C：，， 令，则， 令，， 令，得， 故当时，，递减， 当时，，递增， 所以当时，取到极小值， 即当时，取到极小值， 又，即， 又因为在上，递减，故， 当时，取到极大值， 即当时，取到极大值， 又，即，故， 当时，， 所以当，即时，在上无零点，故C错误； 对D：当，即时，与的图象只有一个交点， 即存在，在上有唯一零点，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，利用导数判断函数单调性，确定极值，从而帮助解决问题. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在二个不同的零点 B. 函数的极大值为，极小值为 C. 若时，，则的最大值为2 D. 若方程有两个实根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据零点的定义解方程可得其零点，知A正确；利用导数判断函数的单调性，求其极值点，可知B正确；采用数形结合的方式可判断CD. 【详解】对于A，，令，可得， 解得或，所以函数存在二个不同的零点，A正确； 对于B，的定义域为，， 令，可得或， 当时，，在，上单调递减， 当时，，在上单调递增； 所以当时，函数取极小值， 当时，函数取极大值，故B不正确； 对于C，因为，所以作出图象如下图所示， 可知方程存在另一个解，， 若当时，，则， 所以的最大值为2，故C正确； 对于D，方程有两个实根等价于图象的与的图象有两个不同交点， 作出图象如下图所示， 结合图象可知：，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：关键是首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，关键是要注意是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项就容易判断错了． 二、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 数列定义如下：，且当时，，已知，则正整数的值为________. 【答案】520 【解析】 【分析】由题意可列出分别为偶数和奇数时与1的大小关系，再根据递推公式即可得出的值. 【详解】由题设知，当n为偶数时，； 当为奇数时，. 因为，所以n为偶数. 从而，，则是偶数， 则，则是偶数； 则，则是奇数， 则，则是偶数， 依次可得： ，则是偶数； 则，则是偶数； 则，则是偶数； 则，则是偶数； 则，则是偶数； 则，所以，即. 故答案为：520. 13. 已知函数在处的切线方程为，则_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据导数的几何意义分析切点坐标和切线斜率，即可得结果. 【详解】对于直线，当时，可知， 因为函数在处的切线方程为， 可知切点坐标为，切线斜率为4，即， 所以. 故答案为：9. 14. 若，则的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】求导后，令导数大于零，解出不等式即可. 【详解】由题意可得， 因为， 所以，解得， 故答案为：. 三、解答题（本大题共2小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，点均在轴的正半轴上，，，…，分别是以为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上． （1）求第个等边三角形的边长； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记数列前项和为，则顶点坐标为，，由点在函数上得出与的等量关系，得出是等差数列，根据等差数列通项公式求解即可； （2）根据裂项相消求和即可． 【小问1详解】 记数列前项和为，则顶点坐标为，， 因为点在函数上， 所以，， 则，， 两式相减得，， 因为，所以，， 第一个等边三角形顶点代入得， 代入得，所以， 故是以为首项为公差的等差数列， 所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 所以． 16. 函数． （1）当时，证明：； （2）讨论函数的零点个数． 【答案】（1）当时，，所以，令得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 从而，不等式得证． （2）当时，无零点；当或时，有一个零点； 当时，有两个零点． 【解析】 【分析】（1）求导可得，当时，，当时，，可证结论； （2）由已知可得，求导可得的单调性，进而可求函数的零点个数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，则，． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 又，当时，；当时，． 从而当时，无零点；当或时，有一个零点； 当时，有两个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $