5.2 探索轴对称的性质 同步卷 2023-2024学年人教版七年级数学下册

北师大版七年级下学期《5.2 探索轴对称的性质》2024年同步卷 一．选择题（共11小题） 1．如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法中，不一定正确的是（　　） A．AC＝A'C' B．AB∥B'C' C．AA'⊥MN D．BO＝B'O 2．如图，点D，E分别在△ABC的AB，BC边上，将△BDE沿DE对折，使点B与点C重合，DE为折痕，若∠A＝70°，AC＝BD，则∠B的值是（　　） A．45° B．60° C．35° D．40° 3．如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，将△ABC沿CD折叠，点A恰好落在BC上的点E处，若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 4．如图，在四边形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为（　　） A．72° B．36° C．108° D．38° 5．如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则∠PAQ的大小是（　　） A．70° B．55° C．40° D．30° 6．如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（　　） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 7．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，在AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF的周长最小．此时，∠EDF＝（　　） A．α B．90°﹣α C． D．180°﹣2α 8．某台球桌为如图所示的长方形ABCD，小球从A沿45°角击出，恰好经过5次碰撞到达B处．则AB：BC等于（　　） A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5 9．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D、E分别在AB、AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，将四边形ABCD沿EF折叠后，C，D两点分别落在C1D1上，若∠EFC＝110°，则∠AED1的大小是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 二．填空题（共11小题） 12．如图，已知点P是∠AOB内任意一点，点P1，P关于OA对称，点P2，P关于OB对称，连接P1P2，分别交OA，OB于C，D，连接PC，PD．若P1P2＝10cm，则△PCD的周长是 　 　cm． 13．如图，四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB＝3.1cm，CD＝2.3cm．则四边形ABCD的周长为　 　． 14．如图，四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝60°．若将四边形ABCD沿BD折叠后，顶点A恰好落在边BC上的点E处（E与C不重合），则∠CDE的度数为 　 　． 15．如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D落在∠BAC的内部，若∠CAD'＝27°，则∠CAE的度数为 　 　． 16．如图，直角三角形ABC在，∠C＝90°，∠BAC＝60°，点D是BC边上的一点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当△BDE是直角三角形时，∠CAD的度数为 　 　． 17．如图，牧童在A处放牛，他的家在B处，l为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮水，饮水的地点选在何处，牧童所走的路程最短．　 　． 18．如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为　 　． 19．如图，在线段AB两侧作△ABC和△ABD，使AC＝AB，∠ABC＝∠ABD，E为BC边上一点，满足2∠EAD＝∠BAC，P为直线AE上的动点，连接BP、DP．已知AB＝3，AD＝2.6，△BDE的周长为3.6，则BP+DP的最小值为　 　． 20．如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝　 　． 21．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形纸片，M，N分别是正方形对边的中点，点E，F分别是边AD，AB上的动点，沿直线EF对折，当顶点A落在MN上并恰好将MN分成1：3两部分时，AE等于　 　． 22．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是 　 　． 三．解答题（共5小题） 23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠A、∠B使点A、B落在斜边AB点D处，折痕分别为ME，NF，连接MD，DN． （1）求证：∠MDN＝90°． （2）若AC＝6，BC＝8，AM＝2，求线段DN的长． 24．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长． 25．如图，在△ABC中，∠CAB＝36°，∠B＝48°，D，E分别是边AB和BC上的点，△ACE和△ADE关于直线AE对称，CD交AE于点F． （1）求∠ADC的度数； （2）求∠DEB的度数． 26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，把四边形对折，使点A、C重合，折痕EF分别交AD于点E，交BC于点F． （1）求证：△AOE≌△COF． （2）说明：点E与F关于直线AC对称． 27．如图，矩形ABCD的长为8，宽为6，现将矩形沿对角线BD折叠，C点到达C′处，C′B交AD于E． （1）判断△EBD的形状，并说明理由； （2）求DE的长． 北师大新版七年级下学期《5.2 探索轴对称的性质》2023年同步练习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题） 1．如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法中，不一定正确的是（　　） A．AC＝A'C' B．AB∥B'C' C．AA'⊥MN D．BO＝B'O 【分析】根据轴对称的性质，一一判断即可． 【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称， ∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝OB′， 故选项A，C，D正确， 故选：B． 【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解轴对称的性质，属于中考常考题型． 2．如图，点D，E分别在△ABC的AB，BC边上，将△BDE沿DE对折，使点B与点C重合，DE为折痕，若∠A＝70°，AC＝BD，则∠B的值是（　　） A．45° B．60° C．35° D．40° 【分析】根据折叠的性质得到BD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠DCB，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】解：∵将△BDE沿DE对折，使点B与点C重合，DE为折痕， ∴BD＝CD， ∴∠B＝∠DCB， ∵AC＝BD， ∴AC＝CD， ∴∠A＝∠ADC＝70°， ∵∠ADC＝∠B+∠DCB， ∴∠B＝ADC＝35°， 故选：C． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，将△ABC沿CD折叠，点A恰好落在BC上的点E处，若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】由折叠得AD＝DE，AC＝CE＝9，求出BE，然后将BD+DE转化为AB进行计算即可． 【解答】解：由折叠得：AD＝DE，AC＝CE＝9， ∵BC＝12， ∴BE＝BC﹣CE＝3， ∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BE＝AB+BE＝7+3＝10， 故选：B． 【点评】本题考查了折叠的性质，将BD+DE转化为AB是解题的关键． 4．如图，在四边形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为（　　） A．72° B．36° C．108° D．38° 【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝72°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案． 【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠DAB＝108°， ∴∠HAA′＝72°， ∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝72°， ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×72°＝144°， ∴∠MAN＝36°， 故选：B． 【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键． 5．如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则∠PAQ的大小是（　　） A．70° B．55° C．40° D．30° 【分析】由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由线段垂直平分线，可得∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，进而可得∠PAQ的大小． 【解答】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝70°， ∵A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称， 又∵MP，NQ为AB，AC的垂直平分线， ∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C， ∴∠BAP+∠CAQ＝70°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40° 故选：C． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质；要熟练掌握垂直平分线的性质，能够求解一些简单的计算问题． 6．如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（　　） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 【分析】根据翻折的性质和图形，可以判断直线l与△ABC的关系． 【解答】解：由已知可得， ∠1＝∠2， 则l为△ABC的角平分线， 故选：D． 【点评】本题考查翻折变换、角平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，在AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF的周长最小．此时，∠EDF＝（　　） A．α B．90°﹣α C． D．180°﹣2α 【分析】根据要使△DEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出D关于AB和BC的对称点P，Q，连接PQ分别与AB、BC相交于点E、F，结合四边形的内角和即可得出答案． 【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E，交BC于F，则点E，F即为所求． ∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α， ∴∠ADC＝180°﹣α， 由轴对称知，∠ADE＝∠P，∠CDF＝∠Q， 在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC ＝180°﹣（180°﹣α） ＝α， ∴∠ADE+∠CDF＝∠P+∠Q＝α， ∴∠EDF＝∠ADC﹣（∠ADE+∠CDF） ＝180°﹣α﹣α ＝180°﹣2α， 故选：D． 【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键． 8．某台球桌为如图所示的长方形ABCD，小球从A沿45°角击出，恰好经过5次碰撞到达B处．则AB：BC等于（　　） A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5 【分析】根据题意画出图形，再根据轴对称的性质求出矩形的长与宽的比值即可． 【解答】解：先作出长方形ABCD，小球从A沿45度射出，到BC的点E，AB＝BE． 从E点沿于BC成45度角射出，到AC边的F点，AE＝EF． 从F点沿于AD成45度角射出，到CD边的G点，DF＝DG． 从G沿于DC成45度角射出，到BC边的H点，HF垂直于AD．GC＝CH＝ 从H点沿于CB成45度角射出，到AC边的M点，EM垂直于AD， 从M点沿于CA成45度角射出，到B点， 看图是2个半以AB为边长的正方形， 所以1：2.5＝2：5． 故选：C． 【点评】本题考查的是轴对称的性质，解答此题的关键是画出图形，再根据对称的性质求解． 9．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D、E分别在AB、AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点D作DH⊥BC于H，由翻折得出AD＝DF，∠A＝∠DFE，再根据FD平分∠EFB，得出∠DFH＝∠A，然后借助相似列出方程即可． 【解答】解：如图，过点D作DH⊥BC于H， 在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°， 由勾股定理得：AB＝＝5． ∵将△ADE沿DE翻折得△DEF， ∴AD＝DF，∠A＝∠DFE， ∵FD平分∠EFB， ∴∠DFE＝∠DFH， ∴∠DFH＝∠A， 设DH＝3x， 在Rt△DHF中，sin∠DFH＝sinA＝， ∴DF＝5x， ∴BD＝5﹣5x， ∵△BDH∽△BAC， ∴， ∴， ∴x＝， ∴AD＝5x＝． 故选：B． 【点评】本题考查了翻折变换，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键． 10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，将四边形ABCD沿EF折叠后，C，D两点分别落在C1D1上，若∠EFC＝110°，则∠AED1的大小是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据平角定义得∠EFB＝70°，根据平行线的性质得∠DEF＝∠EFB＝70°，由翻折可得∠DEF＝∠D1EF＝70°，再根据平角定义即可解决问题． 【解答】解：∵∠EFC＝110°， ∴∠EFB＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB＝70°， 由翻折可知：∠DEF＝∠D1EF＝70°， ∴∠AED1＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查翻折变换，平行线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【分析】求出∠C，∠AB′D，利用三角形的外角的性质求解即可． 【解答】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°， ∴∠C＝90°﹣50°＝40°， ∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称， ∴∠AB′D＝∠B＝50°， ∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′， ∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二．填空题（共11小题） 12．如图，已知点P是∠AOB内任意一点，点P1，P关于OA对称，点P2，P关于OB对称，连接P1P2，分别交OA，OB于C，D，连接PC，PD．若P1P2＝10cm，则△PCD的周长是 　10　cm． 【分析】根据轴对称的性质得到PC＝P1C，PD＝P2D，根据三角形周长公式即可得到结论． 【解答】解：∵点P1，P关于OA对称， ∴PC＝P1C， ∵点P2，P关于OB对称， ∴PD＝P2D， ∴△PCD的周长＝PC+PD+CD＝P1C+P2D+CD＝P1P2＝10cm， 故答案为：10． 【点评】此题主要考查了轴对称的性质，解本题的关键是掌握轴对称的性质． 13．如图，四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB＝3.1cm，CD＝2.3cm．则四边形ABCD的周长为　10.8cm　． 【分析】根据轴对称图形的性质得出AB＝BC＝3.1cm，CD＝AD＝2.3cm，进而求出即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB＝3.1cm，CD＝2.3cm， ∴AB＝BC＝3.1cm，CD＝AD＝2.3cm， 则四边形ABCD的周长为：3.1+3.1+2.3+2.3＝10.8（cm）． 故答案为：10.8cm． 【点评】本题考查了轴对称的性质，熟记性质得到相等的边是解题的关键． 14．如图，四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝60°．若将四边形ABCD沿BD折叠后，顶点A恰好落在边BC上的点E处（E与C不重合），则∠CDE的度数为 　60°　． 【分析】利用轴对称得∠DEB＝∠A＝120°，所以∠DEC＝60°，又因为∠C＝60°，即可求出∠CDE＝60°． 【解答】解：如图： ∵∠A＝120°， ∴∠DEB＝∠A＝120°， ∴∠DEC＝60°， ∵∠C＝60°， ∴∠CDE＝60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称变换和性质． 15．如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D落在∠BAC的内部，若∠CAD'＝27°，则∠CAE的度数为 　9°　． 【分析】设∠CAE＝α，根据折叠的性质列式α+27°+α＝45°，即可解出答案． 【解答】解：设∠CAE＝α， 根据折叠的性质知∠DAE＝∠D'AE＝∠CAE+∠D'AC＝α+27°， ∵∠CAD＝45°， ∴∠DAE+∠CAE＝α+27°+α＝45°， 解得：α＝9°， 即∠CAE＝9°， 故答案为：9°． 【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，解题关键是学会利用参数构建方程． 16．如图，直角三角形ABC在，∠C＝90°，∠BAC＝60°，点D是BC边上的一点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当△BDE是直角三角形时，∠CAD的度数为 　30°或45°　． 【分析】分两种情况：当点E在AB上时，有直角三角形的性质可得∠CAD＝30°，当∠BDE＝90°时，即E在△ACB外时，由折叠可得：AE＝AC，∠EAC＝90°，∠ADC＝∠ADE＝45，AD平分∠CAE，即∠CAD＝45°． 【解答】解：分两种情况：如图， ①当∠BED＝90°时，点E在AB上时， ∵∠BAC＝60° ∴∠CAD＝∠BAC＝30° ②当∠BDE＝90°时，即E在△ACB外时，如图， 由折叠可得： AE＝AC， ∵∠C＝∠E＝90° ∴∠EAC＝90°， ∠ADC＝∠ADE＝×90°＝45， AD平分∠CAE， ∴∠CAD＝45°， ∠DBE不可能为直角． 故答案为30°或45°． 【点评】本题考查折叠的性质，解本题要注意分类讨论．熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和等基本知识点． 17．如图，牧童在A处放牛，他的家在B处，l为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮水，饮水的地点选在何处，牧童所走的路程最短．　如答图　． 【分析】作法：（1）作点A关于直线L的对称点A′； （2）连接A′B交l于点C，点C就是所求的点． 【解答】解：作点A关于直线L的对称点A′，连接A′B交l于点C， 点C就是所求的点． 【点评】本题主要考查了轴对称图形在实际生活中的应用，但轴对称图形的画法是关键． 18．如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为　　． 【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案． 【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H， ∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点， ∴DC＝AD＝2， 由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'， ∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M， ∴AD＝AC′＝DC'＝2， ∴△ADC'为等边三角形， ∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°， ∵DC＝DC'， ∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°， 在Rt△C'DM中， ∠DC'C＝30°，DC'＝2， ∴DM＝1，C'M＝DM＝， ∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2， 在Rt△BMC'中， BC'＝＝＝， ∵S△BDC′＝BC'•DH＝BD•CM， ∴DH＝3×， ∴DH＝， ∴点D到BC的距离为． 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度． 19．如图，在线段AB两侧作△ABC和△ABD，使AC＝AB，∠ABC＝∠ABD，E为BC边上一点，满足2∠EAD＝∠BAC，P为直线AE上的动点，连接BP、DP．已知AB＝3，AD＝2.6，△BDE的周长为3.6，则BP+DP的最小值为　2.8　． 【分析】将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边的点G，作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质可以证明△CAG≌△BAD，可得CG＝BD，根据△BDE的周长为3.6，可得BC＝3.6，因为P为直线AE上的动点，所以当点P与点E重合时，BP+DP＝BE+DE＝BE+GE＝BG的值最小，根据勾股定理可得GH＝1，进而可得结果． 【解答】解：如图，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边的点G， ∴∠EAD＝∠EAG， ∵AC＝AB，作AH⊥BC于点H， ∴∠BAC＝2∠BAH＝2∠CAH， ∵2∠EAD＝∠BAC， ∴∠EAG＝∠BAH， ∴∠GAH＝∠BAE， ∴∠CAG＝∠BAD， ∵∠ABC＝∠ABD，∠ABC＝∠C， ∴∠ABD＝∠C， 在△CAG和△BAD中， ， ∴△CAG≌△BAD（AAS）， ∴CG＝BD， ∵△BDE的周长为3.6， ∴BD+DE+BE＝CG+GE+BE＝BC＝3.6， ∵P为直线AE上的动点， ∴当点P与点E重合时，BP+DP＝BE+DE＝BE+GE＝BG的值最小， ∵AC＝AB＝3，AG＝AD＝2.6，BC＝3.6， ∴CH＝BH＝1.8， ∴AC2﹣CH2＝AG2﹣GH2， ∴32﹣1.82＝2.62﹣GH2， 解得GH＝1（负值舍去）， ∴CG＝CH﹣GH＝1.8﹣GH＝0.8， ∴BG＝BC﹣CG＝3.6﹣0.8＝2.8． 则BP+DP的最小值为2.8． 故答案为：2.8． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 20．如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝　　． 【分析】如图，作CH⊥AB于H．首先证明∠ACB＝90°，解直角三角形求出AH，再证明CE′＝AH即可． 【解答】解：如图，作CH⊥AB于H． 由翻折可知：∠AE′C＝∠AEC＝90°，∠ACE＝∠ACE′， ∵CE′∥AB， ∴∠ACE′＝∠CAD， ∴∠ACD＝∠CAD， ∴DC＝DA， ∵AD＝DB， ∴DC＝DA＝DB， ∴∠ACB＝90°， ∴AB＝＝5， ∵•AB•CH＝•AC•BC， ∴CH＝， ∴AH＝＝， ∵CE′∥AB， ∴∠E′CH+∠AHC＝180°， ∵∠AHC＝90°， ∴∠E′CH＝90°， ∴四边形AHCE′是矩形， ∴CE′＝AH＝， 故答案为． 【点评】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型． 21．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形纸片，M，N分别是正方形对边的中点，点E，F分别是边AD，AB上的动点，沿直线EF对折，当顶点A落在MN上并恰好将MN分成1：3两部分时，AE等于　或　． 【分析】分两种情形求解：当MA′＝NA′时，由题意：MA′＝NM＝，AM＝MD＝，设AE＝EA′＝x，在Rt△A′EM中，根据A′E2＝EM2+MA′2，构建方程即可解决问题；当A′N＝MA′时，同法可求； 【解答】解：如图，当MA′＝NA′时， 由题意：MA′＝NM＝，AM＝MD＝， 设AE＝EA′＝x， 在Rt△A′EM中，∵A′E2＝EM2+MA′2， ∴x2＝（﹣x）2+（）2， ∴x＝， 如图当A′N＝MA′时， 设AE＝EA′＝x， 在Rt△A′EM中，∵A′E2＝EM2+MA′2， ∴x2＝（x﹣）2+（）2， ∴x＝， 故答案为或． 【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 22．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是 　22　． 【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解． 【解答】解：∵CG∥AB， ∴∠B＝∠MCG， ∵M是BC的中点， ∴BM＝CM， 在△BMH和△CMG中， ， ∴△BMH≌△CMG（ASA）， ∴HM＝GM，BH＝CG， ∵AC＝8，AB＝6， ∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH， ∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值， ∵∠A＝90°，MH⊥AB， ∴GH∥AC， ∴四边形ACGH为矩形， ∴GH＝AC＝8， ∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22， 故答案为：22． 【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路径问题，全等三角形的判定与性质，确定GH的最小值是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠A、∠B使点A、B落在斜边AB点D处，折痕分别为ME，NF，连接MD，DN． （1）求证：∠MDN＝90°． （2）若AC＝6，BC＝8，AM＝2，求线段DN的长． 【分析】（1）由折叠的性质可得∠MDA＝∠A，∠NDB＝∠B，由余角的性质可得结论； （2）构造直角三角形根据勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）由折叠的性质得∠MDA＝∠A，∠NDB＝∠B， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠MDA+∠NDB＝90°， ∴∠MDN＝90°； （2）由折叠的性质得AM＝DM，NB＝ND，∠MDA＝∠A，∠NDF＝∠B， ∵∠A+∠B＝90°， ∴∠MDA+∠NDF＝90°， ∴∠MDN＝90°． 如图，连接MN，在Rt△MDN和Rt△CMN中，设DN＝DM＝x，则CN＝8﹣x， AM＝MD＝2，则MC＝6﹣2＝4， 根据勾股定理，得CM2+CN2＝MN2，DM2+DN2＝MN2． 即42+（8﹣x）2＝22+x2，解得x＝． 答：线段DN的长为． 【点评】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理解决． 24．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长． 【分析】根据矩形的性质得DC＝AB＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠D＝∠C＝90°，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，DE＝EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则FC＝4，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42＝（8﹣x）2，然后解方程即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴DC＝AB＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠D＝∠C＝90°， ∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处 ∴AF＝AD＝10，DE＝EF， 在Rt△ABF中，BF＝＝＝6， ∴FC＝BC﹣BF＝4， 设EC＝x，则DE＝8﹣x，EF＝8﹣x， 在Rt△EFC中， ∵EC2+FC2＝EF2， ∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3， ∴EC的长为3cm． 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理． 25．如图，在△ABC中，∠CAB＝36°，∠B＝48°，D，E分别是边AB和BC上的点，△ACE和△ADE关于直线AE对称，CD交AE于点F． （1）求∠ADC的度数； （2）求∠DEB的度数． 【分析】（1）直接利用轴对称的性质得出AC＝AD，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出答案； （2）直接利用轴对称的性质得出EC＝ED，再利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质得出答案． 【解答】解：（1）∵△ACE和△ADE关于直线AE对称， ∴AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠CAB＝36°， ∴∠ADC＝∠ACD＝＝72°； （2）∵△ACE和△ADE关于直线AE对称， ∴EC＝DE， ∴∠ECD＝∠EDC， ∵∠CAB＝36°，∠B＝48°，∠ACD＝72°， ∴∠DCB＝180°﹣36°﹣48°﹣72°＝24°， ∴∠ECD＝∠EDC＝24°， ∴∠DEB＝48°． 【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确得出对应边相等是解题关键． 26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，把四边形对折，使点A、C重合，折痕EF分别交AD于点E，交BC于点F． （1）求证：△AOE≌△COF． （2）说明：点E与F关于直线AC对称． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DAC＝∠BCA，根据翻转变换的性质得到OA＝OC，根据全等三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到OE＝OF，根据轴对称的性质证明． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∵把四边形沿EF对折，点A、C重合， ∴OA＝OC，AC⊥EF， 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF； （2）证明：∵△AOE≌△COF， ∴OE＝OF，又AC⊥EF， ∴点E与F关于直线AC对称． 【点评】本题考查的是翻转变换的性质、全等三角形的判定和性质、轴对称的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 27．如图，矩形ABCD的长为8，宽为6，现将矩形沿对角线BD折叠，C点到达C′处，C′B交AD于E． （1）判断△EBD的形状，并说明理由； （2）求DE的长． 【分析】（1）因为折叠前后∠DBC＝∠DBC′，且平行，内错角相等，所以∠DCB＝∠DAB，所以根据角之间的等量代换可得∠C′BD＝∠EDB，根据等边对等角可知DE＝BE； （2）设DE＝x，则AE＝AD﹣DE＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE2＝AB2+AE2，然后代入各值求解即可． 【解答】（1）证明：∵△BDC′是由△BDC沿直线BD折叠得到的， ∴∠C′BD＝∠CBD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠C′BD＝∠EDB， ∴BE＝DE， ∴△EBD是等腰三角形； （2）解：设DE＝x，则AE＝AD﹣DE＝8﹣x， ∵∠A＝90°，BE＝DE＝x， 在Rt△ABE中，BE2＝AB2+AE2， ∴x2＝62+（8﹣x）2， ∴x＝， 即DE＝． 【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段、角相等． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/8 23:08:53；用户：吉鑫；邮箱：18208573464；学号：47137984 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$