第05讲 一元二次方程80道计算题专训（8大题型）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（人教版）

第05讲 一元二次方程80道计算题专训（8大题型） 题型一 直接开平方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 换元法解一元二次方程 题型六 降次法 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 韦达定理计算题 【典型例题一 直接开平方法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 2、（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 6．（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 10．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【典型例题二 配方法解一元二次方程】 11．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 12．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 13．（23-24八年级下·山东烟台·期中）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，请用配方法求出此时方程的解． 14．（2024·江西景德镇·二模）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： (1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 15．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）用配方法解方程： 16．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）解方程： (1)（用配方法）； (2)（用配方法）； (3)（用直接开平方法）； (4)（用直接开平方法）． 17．（23-24九年级上·山东济南·期末）用配方法解方程： 18．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1． 【尝试运用】 （1）解一元二次方程，配方后可变形为（    ） A．    B．    C．  D． （2）利用配方法求的最值． 【拓展应用】 （3）已知方程，求的值． 19．（22-23九年级上·广东中山·期中）用配方法解方程： 20．（23-24九年级上·福建漳州·期中）小明同学解方程的过程如下所示． 解方程：． 解：…第一步 …第二步 即或…第三步 所以 ，…第四步 (1)小明同学是用 （“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）来求解的．从第 步开始出现错误． (2)请你用不同于（1）中的方法解该方程． 【典型例题三 公式法解一元二次方程】 21．（23-24八年级下·山东淄博·期中）公式法解方程：． 22．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 23．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）解方程：（用公式法） 24．（23-24九年级上·福建泉州·期中）用指定方法解方程 (1)（直接开平方法） (2)．（公式法） 25．（23-24九年级上·陕西延安·期中）用公式法解方程：． 26．（23-24九年级上·吉林四平·期中）用公式法解方程：． 27．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）用公式法解方程：． 28．（23-24九年级上·山东济宁·期中）用公式法解方程：． 29．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）用公式法解方程：． 30．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3). 【典型例题四 因式分解法解一元二次方程】 31．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 32．（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 33．（22-23九年级上·湖北恩施·期中）配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值，因式分解，求最值等．如：求代数式的最值：，在时，取最小值1． (1)求代数式的最小值． (2)的最小值． 34．（22-23八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解：． 35．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 36．（21-22七年级下·广西北海·期中）阅读材料：把代数式因式分解，可以分解如下： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解． (2)拓展：当代数式时，求的值． 37．（23-24八年级下·广西崇左·阶段练习）【阅读材料】各类方程的解法． 解一元一次方程：根据等式的基本性质，把方程转化为的形式． 解二元一次方程组：把它转化为一元一次方程来解； 类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解． 解一元二次方程：把它转化为两个一元一次方程来解． 解分式方程：把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程可以通过因式分解把它转化为．解方程和，可得方程的根． (1)【问题】方程的根是 ， ； (2)【拓展】用“转化”思想解方程： ①； ②． 38．（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 39．（2024八年级·全国·竞赛）阅读下列材料：在解一元二次方程时，可通过因式分解，将一元二次方程转换为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程得到原方程的两个解．例如：，将方程左边因式分解得：，则或，解得．根据以上材料，解答下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 40．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）类比和转化是数学中解决新问题时最常用的数学思想方法．回顾旧知，类比求解． 解无理方程（根号下含有未知数的方程），可通过方程两边平方把它转化为，解得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验． 解一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程即可． 运用上面方法解下列方程： (1)； (2)． 【典型例题五 换元法解一元二次方程】 41．（2024八年级下·安徽·专题练习）． 42．（2024·广西河池·一模）解方程：． 43．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 44．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 45．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 46．（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 47．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 48．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 49．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 50．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 【典型例题六 降次法】 1．（2024·四川南充·二模）若是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知m是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 3．（2024·福建泉州·三模）若a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 4．（2024·四川广安·模拟预测）若是关于的方程的一个根，则的值是 ． 5．（2024·福建三明·一模）若a是方程的根，则代数式的值是 ． 6．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 7．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知是方程的一个根，则 ． 8．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）已知a是方程的一个根，则 ． 9．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 10．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是方程的一个根，求代数式的值． 【典型例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 1．（23-24九年级上·吉林长春·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的最小整数值． 2．（23-24九年级上·四川泸州·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围及a的最小整数值． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程，如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 4．（23-24九年级上·广西防城港·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 5．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求k的取值范围． 6．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）当m取何值时，关于x的方程有两个相等的实数根． 7．（22-23九年级上·陕西西安·期中）若关于的一元二次方程有实数根．求实数的取值范围． 8．（21-22八年级下·全国·单元测试）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 9．（22-23九年级上·四川泸州·期末）关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 10．（22-23九年级上·天津和平·期末）已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．求k的取值范围． 【典型例题八 韦达定理计算题】 1．（2024·江西九江·一模）已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知关于x的一元二次方程 的两个根与互为倒数，求m 的值． 3．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 4．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 5．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）已是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，求的值． 6．（2022·北京大兴·一模）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 7．（2023九年级·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值． 8．（22-23九年级上·陕西延安·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两根互为相反数，求m的值． 9．（22-23九年级上·陕西榆林·期末）已知关于x的一元二次方程的两根，满足，求k的值． 10．（22-23九年级上·四川雅安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若是原方程的两根，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元二次方程80道计算题专训（8大题型） 题型一 直接开平方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 换元法解一元二次方程 题型六 降次法 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 韦达定理计算题 【典型例题一 直接开平方法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 2、（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】解：（1）两边同除以9，得． 直接开平方，得，即，． （2）原方程可化为， 直接开平方，得，解得． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】对于形如的方程，直接开平方，转化为一元一次方程，，求解． 【详解】（1）由原方程，得， ∴， ∴，． （2）， ， ， 或， ∴，． 【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；理解平方根的表示及求解是解题的关键． 6．（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）， 移项，得， 两边同时除以49，得， 开方，得， 则方程的两个根为，． （2） 两边同时除以9，得， 开方，得， 即或， 则方程的两个根为，． 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 7．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （2）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （3）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （4）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； 【详解】（1）， 方程两边同时除以9得，， 开平方得，， ∴，； （2），移项得，， 开平方得，， ∴，； （3）， 移项得，， 开平方得，， ∴，； （4）， ， ， ∴，． 【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；运用等式性质将方程变形为形式是解题的关键． 8．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先把二次项系数化为1，再直接开平方即可求解； （2）先把常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，再直接开平方即可求解． 【详解】（1）解：两边都除以2得：， 直接开平方得：， ∴，． （2）解：移项得：， 两边都除以得：， 直接开平方得：， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开方法即可求解． （2）利用直接开方法即可求解． （3）利用直接开方法即可求解． 【详解】（1）解：原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． （2）原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． （3）原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． 【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，熟练掌握其方法是解题的关键． 10．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程移项可得，然后利用直接开方法求解即可； （2）将原方程移项可得，然后利用直接开方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴，． （2）∵， ∴， ∴， ∴，∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开方法解一元二次方程是解题关键． 【典型例题二 配方法解一元二次方程】 11．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 12．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 13．（23-24八年级下·山东烟台·期中）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，请用配方法求出此时方程的解． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及用配方法解方程， （1）由关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且，即，两个不等式的公共解即为的取值范围； （2）求出的值，用配方法解方程即可； 解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）∵且，且m为正整数， ∴， ∴原方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时方程的解为：，． 14．（2024·江西景德镇·二模）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： (1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【答案】(1)二 (2)， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：上述过程中，从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解：， 移项，得， ， 配方，得，即， ∴， ∴，． 15．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）用配方法解方程： 【答案】，． 【分析】移常数项，加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，再开方求解． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的解法是解题的关键． 16．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）解方程： (1)（用配方法）； (2)（用配方法）； (3)（用直接开平方法）； (4)（用直接开平方法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用配方法解方程； （2）利用配方法解方程； （3）根据直接开平方法解方程； （4）根据直接开平方法解方程． 【详解】（1） ∴； （2） ∴； （3） ∴； （4） ∴． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握各种一元二次方程的解法是解题的关键． 17．（23-24九年级上·山东济南·期末）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方． 【详解】解：由原方程移项，得 ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 开方，得 ， 解得，． 18．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1． 【尝试运用】 （1）解一元二次方程，配方后可变形为（    ） A．    B．    C．  D． （2）利用配方法求的最值． 【拓展应用】 （3）已知方程，求的值． 【答案】（1）D；（2）最大值14；（3）9 【分析】（1）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （2）利用材料二的思路进行计算，即可解答； （3）利用配方法进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故答案为：D； （2） ， ， ，即有最大值14； （3）， ， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了配方法的应用，最值问题，解一元二次方程配方法，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19．（22-23九年级上·广东中山·期中）用配方法解方程： 【答案】，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．直接根据配方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 配方得，即， ∴， ∴，． 20．（23-24九年级上·福建漳州·期中）小明同学解方程的过程如下所示． 解方程：． 解：…第一步 …第二步 即或…第三步 所以 ，…第四步 (1)小明同学是用 （“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）来求解的．从第 步开始出现错误． (2)请你用不同于（1）中的方法解该方程． 【答案】(1)配方法，二 (2)见解析 【分析】（1）小明同学是用配方法求解方程，根据变形时等式左右两边的值不变可知第二步开始出现错误； （2）可使用公式法或因式分解法求解． 本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，根据方程的特点选择简便的方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：小明同学是用配方法求解方程， ∵变形时等式左右两边的值不变， ∴第二步开始出现错误； 故答案为：配方法，二； （2）公式法： ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 因式分解法： ∵， ∴， ∴或， ∴，． 【典型例题三 公式法解一元二次方程】 21．（23-24八年级下·山东淄博·期中）公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先求出，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 解得． 22．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)多项式的最小值为 (3)的周长为12 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， ∴，，， 故的周长为． 23．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）解方程：（用公式法） 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴， 24．（23-24九年级上·福建泉州·期中）用指定方法解方程 (1)（直接开平方法） (2)．（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程； （1）用直接开平方法解一元二次方程； （2）用公式法解一元二次方程； 解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：， 直接开平方得： ∴，； （2）解：， ，，， ∵， ∴，   ∴，． 25．（23-24九年级上·陕西延安·期中）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，先根据一般式确定出二次项系数，一次项系数和常数项分别为，再判断的符号，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 26．（23-24九年级上·吉林四平·期中）用公式法解方程：． 【答案】，． 【分析】先确定a、b、c及判别式的值，然后再利用求根公式求解即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，利用公式法解一元二次方程的条件是，一元二次方程的求根公式为：． 27．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据公式法，按步骤求解即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 28．（23-24九年级上·山东济宁·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是先求出的值，再代入公式求出方程的解． 【详解】解：， ，，， ， ， 所以，． 29．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．先整理成一般式，再利用求根公式求解即可． 【详解】解：整理成一般式，得：， ， ， 则， ． 30．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)， (2)，. (3) 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴，即，. （2）移项，得， ∴，，， ∴， ∴，即，. （3）∵，，， ∴， ∴，即. 【典型例题四 因式分解法解一元二次方程】 31．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可． 【详解】（1）解： ①② ∴． （2）解： ①② ∴． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键． 32．（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 【答案】， 【分析】采用因式分解法即可求解． 【详解】 移项得，， 提取公因式得，． 故或， 解得，． 【点睛】本题重点是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解求解的方法是解题的关键． 33．（22-23九年级上·湖北恩施·期中）配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值，因式分解，求最值等．如：求代数式的最值：，在时，取最小值1． (1)求代数式的最小值． (2)的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题意进行求解即可； （2）仿照题意利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意并熟练掌握配方法是解题的关键． 34．（22-23八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解：． 【答案】 【分析】先提公因式，再进行配方，运用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ＝ ＝ ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握用配方法进行因式分解是解决本题的关键． 35．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)过程见解析 【分析】（1）根据等式的性质作答即可； （2）先移项，然后用因式分解法求解． 【详解】（1）解：∵可能为0， ∴不能除以， ∴第②步出现了错误 故答案为②． （2）解：方程两边因式分解，得， 移项，得， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 36．（21-22七年级下·广西北海·期中）阅读材料：把代数式因式分解，可以分解如下： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解． (2)拓展：当代数式时，求的值． 【答案】(1) (2)1或-3 【分析】（1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解； （2）将方程左边因式分式后求出与的关系，求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式． 37．（23-24八年级下·广西崇左·阶段练习）【阅读材料】各类方程的解法． 解一元一次方程：根据等式的基本性质，把方程转化为的形式． 解二元一次方程组：把它转化为一元一次方程来解； 类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解． 解一元二次方程：把它转化为两个一元一次方程来解． 解分式方程：把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程可以通过因式分解把它转化为．解方程和，可得方程的根． (1)【问题】方程的根是 ， ； (2)【拓展】用“转化”思想解方程： ①； ②． 【答案】(1)；1 (2)①，②或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把所给方程左边利用提公因式法和十字相乘法分解因式，然后仿照题意解方程即可； （2）①把方程两边同时平方，然后解方程即可；②令，则，解方程求出y的值，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或或， 解得， 故答案为：；1； （2）解：①∵， ∴，即， 解得或， ∵， ∴； ②令，则， ∴， 解得或， ∴或， 解得或． 38．（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 39．（2024八年级·全国·竞赛）阅读下列材料：在解一元二次方程时，可通过因式分解，将一元二次方程转换为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程得到原方程的两个解．例如：，将方程左边因式分解得：，则或，解得．根据以上材料，解答下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）令，原方程化为：，利用因式分解法解方程得到，再解两个分式方程并检验即可得到答案． 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和分式方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解： 原方程化为：， 则或， 解得． （2） 令，原方程化为：， 即， 则， 解得， ①，整理得， 即， 则， 解得． ②，整理得， 即， 则， 解得． 综上，． 40．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）类比和转化是数学中解决新问题时最常用的数学思想方法．回顾旧知，类比求解． 解无理方程（根号下含有未知数的方程），可通过方程两边平方把它转化为，解得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验． 解一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程即可． 运用上面方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（1）方程左边分解因式即可完成求解； （2）方程两边分别平方，转化为整式方程，解整式方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得，即， ∴， ∴或， 解得； 解，即， ∴或， 解得，； （2）解：， 两边平方得，即， ∴， ∴或， 解得或， 检验，不是原方程的解，舍去， 是原方程的解． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了运用转化思想解方程，读懂材料是解题的关键．含有二次根式的方程要检验． 【典型例题五 换元法解一元二次方程】 41．（2024八年级下·安徽·专题练习）． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将看作一个整体，设，利用因式分解法求得的值，进而即可求得． 【详解】解：设，则原方程即， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得，或． 42．（2024·广西河池·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设，原方程变为，解得或．再分别代入，求出，或或，代入最简公分母进行检验即可求解． 【详解】解：设，则， 原方程变为， 去分母得：， 解得或． 当时，去分母得：， 解得：； 当时，去分母得：， 解得：或， 检验：当时，，当或时，， ∴分式方程的解为． 43．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 44．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【答案】(1)， (2)，； 【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可； （2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 故原方程的解为：，， 故答案为：，． （2）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得：，； 当时，，即， ， 方程无解； 故原方程的解为：，． 45．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，， (2)、 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程； （1）令，原方程化为，进而得出，，解方程，即可求解； （2）令，原方程化为，解得，，进而分别解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：令，原方程化为， 解得，． 当时，，解得． 当时，，解得． 原方程的解为：，， （2）令，原方程化为， 解得， 当时，（无意义舍去） 当时，，解得、． 原方程的解为、． 46．（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键； （1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据，转化为方程，，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得， 故答案为：，；． （2）解：根据题意，得，方程转化为，， 故， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 47．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整． （1）根据题意，设，然后解关于k的一元二次方程，再根据取值即可； （2）设，然后解关于t的一元二次方程，然后再来求关于y的一元二次方程． 【详解】（1）解：设， 原方程为：，即， ， ， 或， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：设， 原方程为：，即， ， 或， 当时，， ， 或； 当时，， ， 或； 综上，或或或． 48．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； （2）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 49．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程： （1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出t值，进而即可求解； （2）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得（舍去）． ， 解得． 原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 整理，得， 解得， ， 解得， 原方程的解为． 50．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用． （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）设，则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴，； （2）设，则原方程可化为， 解得，（舍）， ∴， ∴，． 【典型例题六 降次法】 1．（2024·四川南充·二模）若是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次解的定义得到，然后利用降次的方法化简计算即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， 即， ． 故选：A． 2．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知m是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值．根据一元二次方程的解求得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是的一个根， ∴， ∴ ， 故选：A． 3．（2024·福建泉州·三模）若a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义得到，即，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：把代入，得，即， ， 故答案为6． 4．（2024·四川广安·模拟预测）若是关于的方程的一个根，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．把代入已知方程，可以求得，然后整体代入所求的代数式求值即可． 【详解】解：实数是关于的方程的一个根， ， ， ． 故答案为： 5．（2024·福建三明·一模）若a是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值，合理的变形得到是解题的关键；根据一元二次方程的根的概念，可得，变形可得，再整体代入求值即可； 【详解】解：∵a是方程的根， ， 当时，不成立， ， ，即， ∴， 故答案为：2023． 6．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，进而得到，再把所求式子转化为，据此整体代入求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 7．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】由是方程的一个根可得，再将化简为，最后整体代入值即可得到答案． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，分式的化简求值，准确进行计算，采用整体代入的思想是解题的关键． 8．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）已知a是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答． 【详解】∵a是方程的一个根，且， ∴，即， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 9．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据是一元二次方程的一个根，得出，，再整体代入求解即可． 【详解】解：由题意，将代入方程， 得， ∴，， ∴ ， ∴的值为2． 10．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】将a代入方程再将方程变换，代入所求代数式即可求解； 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将方程正确进行变换是解题的关键． 【典型例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 1．（23-24九年级上·吉林长春·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的最小整数值． 【答案】2 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，求出的取值范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴的最小整数值为2． 2．（23-24九年级上·四川泸州·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围及a的最小整数值． 【答案】，a的最小整数值是 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根求出a的取值范围，进而可得出结论． 【详解】关于x的方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得， 的最小整数值是． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程，如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，由此列不等式，即可求解． 【详解】解：依题意得：， 解得． 4．（23-24九年级上·广西防城港·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根相等．请直接写出m的值，并解这个方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，则； （2）一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程为有两个实数根， ，即 （2）解：当时原方程的两个实数根， 此时原方程为 即 解得． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求解参数．熟记相关结论即可． 5．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求k的取值范围． 【答案】 【分析】由于关于的一元二次方程有两个实数根，可知，据此进行计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ， 解得． 故的取值范围为． 【点睛】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根． 6．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）当m取何值时，关于x的方程有两个相等的实数根． 【答案】 【分析】根据方程的一般形式，令即可解答． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了根的判别式，（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根． 7．（22-23九年级上·陕西西安·期中）若关于的一元二次方程有实数根．求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到，解不等式即可得到实数的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， . 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根． 8．（21-22八年级下·全国·单元测试）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴且， 解得：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 9．（22-23九年级上·四川泸州·期末）关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的性质列出算式，计算即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故m的取值范围且． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． 10．（22-23九年级上·天津和平·期末）已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．求k的取值范围． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：根据题意知， 即： 解得：， 故k的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【典型例题八 韦达定理计算题】 1．（2024·江西九江·一模）已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，． 【详解】解：方程的两个实数根分别为，， 由根与系数的关系可知，，. ， ，即， 解得， ， . 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知关于x的一元二次方程 的两个根与互为倒数，求m 的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根为与，则有，是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程 的两个根与互为倒数， ∴，即， 解得：． 3．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】 【分析】本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，则；若一元二次方程有实数根，则；据此即可求解． 【详解】解：设方程的两个实数根为， 则 ∴ 令，即 解得： ∵方程有实数根， ∴ 即： 综上所述： 4．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 【答案】(1)1，； (2)3． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及运用完全平方公式求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）设，是一元二次方程的两个实数根，则，． （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：方程中，， ，． 故答案为：1，． （2）解：， 故答案为：3． 5．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）已是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，求的值． 【答案】 【分析】若一元二次方程的两个根为，则． 【详解】解：由题意得： 解得： 当时，方程为：， 判别式为：，符合题意， 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟记相关结论即可． 6．（2022·北京大兴·一模）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ∴， 解得 【点睛】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键． 7．（2023九年级·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值． 【答案】(1)见解析； (2)3 【分析】（1）先根据判别式的值得到，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据勾股定理得到，接着利用完全平方公式变形得到，则，然后解方程后利用方程的两根为正数确定k的值． 【详解】（1）证明：， 所以无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，， ∵、是斜边长为5的直角三角形两直角边长， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得：，， ∵，， ∴k的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况及根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程；熟练掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键，对于一元二次方程，若，方程有两个不相等的实数根，若，方程有两个相等的实数根，若，方程无实数根；若、是一元二次方程的两根时，，． 8．（22-23九年级上·陕西延安·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两根互为相反数，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【详解】（1）证明：， ∴，，， ∵， ∴该方程总有两个不相等的实数根． （2）∵该方程的两根互为相反数， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． 9．（22-23九年级上·陕西榆林·期末）已知关于x的一元二次方程的两根，满足，求k的值． 【答案】 【分析】由根与系数的关系得到，，把变形为 ，再整体代入即可求解． 【详解】解：根据题意，得 ，．     ∵ ∴， 解得． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，灵活变形是解题的关键． 10．（22-23九年级上·四川雅安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若是原方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的值或 【分析】（1）原方程总有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）方程有两个根，根据韦达定理，分别表示出，的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：原方程总有两个不相等的实数根，中，，， ∴， ∴， ∴无论取何值，原方程的判别式恒大于零， ∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）解：中，，，且是原方程的两根，， ∴，， ∴，则， ∵，即， ∴， ∴， 整理得，， 解方程得，，， ∴的值或． 【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的根据的情况求出参数，掌握一元二次方程中根的判别式，根据与系数的关系，韦达定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$