专题02 平面向量复习- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题02 平面向量复习 目录 考点剖析 4 1.向量的有关概念 4 2.向量的运算 4 3.向量数量积的概念问题 4 4.向量的数量积的运算性质问题 5 5.平面向量的分解定理 6 过关检测 6 A组 双基过关 6 B组 巩固提高 8 C组 综合训练 11 D组 拓展延伸 16 一、向量的有关概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）. 2.向量的表示方法： （1）字母表示法：如等. （2）几何表示法：用一条有向线段表示向量.如，等. （3）坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量的起点O为在坐标原点，终点A坐标为，则称为的坐标，记为=. 注：向量既有代数特征，又有几何特征，它是数形兼备的好工具. 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量与相等，记为. 注：向量不能比较大小，因为方向没有大小. 4.零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5.单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：与任一向量共线. 注：共线向量又称为平行向量. 7.相反向量：长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算 （一）运算定义 ①向量的加减法；②实数与向量的乘积；③两个向量的数量积 其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量. 刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言. 主要内容列表如下： 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与 减法 += = 记=（x1，y1），=（x1，y2） 则=（x1+x2，y1+y2） =（x2－x1，y2－y1） += 实数与向量的乘积 =λ λ∈R 记=（x，y） 则λ=（λx，λy） 两个向量的数量积 记 则·=x1x2+y1y2 （二）运算律 加法：①（交换律）； ②（结合律） 实数与向量的乘积：①； ②；③ 两个向量的数量积： ①·=·； ②（λ）·=·（λ）=λ（·）； ③（+）·=·+· 注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，实数的运算性质可以简化向量的运算，例如（±）2= （三）运算性质及重要结论 （1）平面向量分解定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合. ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的. 这说明如果且，那么. ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A（x，y），则=（x，y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1） （2）两个向量平行的充要条件 符号语言： 坐标语言：设非零向量，则∥（x1，y1）=λ（x2，y2），即，或x1y2－x2y1=0. 在这里，实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ>0；当与异向时，λ<0. ，λ的大小由及的大小确定. 因此，当，确定时，λ的符号与大小就确定了. 这就是实数乘向量中λ的几何意义. （3）两个向量垂直的充要条件 符号语言： 坐标语言：设非零向量，则 （4）两个向量数量积的重要性质：① ，即 （求线段的长度）； ②（垂直的判断）；③ （求角度）. 以上结论可以（从向量角度）有效地分析有关垂直.长度.角度等问题，由此可以看到向量知识的重要价值. 注：①两向量，的数量积运算结果是一个数（其中），这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. ②叫做向量在方向上的投影，数量积的几何意义是数量积等于的模与在方向上的投影的积. ③如果，，则=， ∴，这就是平面内两点间的距离公式. 考点剖析 1. 向量的有关概念 【例1】 如图9-5，E、F、G依次是正△ABC的边AB、BC、AC的中点. （1）在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量. （2）在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量. （3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 【解题策略】根据向量的平行有关概念判断. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【点评】解答本题的关键：第（1）题，共线向量是指方向相同或相反的向量，与模无关； 第（2）题，模相等的向量与方向无关；第（3）题，相等的向量的模必须相等，方向也必须相同. 2. 向量的运算 【例2】作出图9－7（a）中两向量的和向量： 【解题策略】运用向量加法的三角形法则或平行四边形法则作图. 【解法一】（三角形法则）如图9－7（b），作，则 【解法二】（平行四边形法则）如图9－7（c），作，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则 【点评】向量加法的平行四边形法则的特点是和向量与向量是共始点向量. 3. 向量数量积的概念问题 【例3】已知是三个非零向量，下列命题中哪些是真命题？ （1）；（2）反向； （3）；（4）. 【解析】（1）∵，∴且以上各步均可逆，故命题（1）是真命题. （2）∵反向，则的夹角为，∴，且以上各步均可逆，故命题（2）是真命题. （3） ，故命题（3）是真命题. （4）设夹角为，设夹角为，则 不能推出反之亦然，故命题（4）是假命题. 【点评】根据向量的数量积的定义，有结论： ①命题（1）（2）是结论（*）的一个特例； ②结论（*）说明：向量的数量积与实数的乘法的区别. 命题（4）就是假命题 4.向量的数量积的运算性质问题 【例4】已知，求： （1） 与的夹角； （2）与的夹角的余弦值. 【解析】（1）∵，∴，又∴ 设的夹角为，∵，∴ （2）∵，∴ 设与的夹角为，则 【方法】利用数量积求向量的模，可考虑以下方法. ①； ②； ③若，则. 5.平面向量的分解定理 【例5】已知向量（如图11—1（1）），作向量. 【解题策略】利用向量的分解定理，过同一点作出向量， 利用向量加法的平行四边形法则即可解决. 【解析】如图11一1（2），作法： 1. 任取一点O，作； 2. 作平行四边形OACB，于是即为所求作的向量. 【点评】向量的分解定理，事实上体现了向量加法的平行四边形法则和共线向量的基本定理这两个方面. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）化简向量运算： ． 【答案】 【分析】根据向量加法的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 2．（22-23高一下·上海·期中）若点，，则向量的坐标是 ． 【答案】 【分析】由向量的坐标运算得到结果. 【详解】点，，则向量的坐标是. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期中）已知平面上两点的坐标分别是为直线上一点，且，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，再根据向量的坐标公式与求解即可. 【详解】设，由，即，可得， 即，解得，即. 故答案为： 4．（20-21高一下·上海宝山·期末）已知点A、B的坐标分别为（－2，5），（1，4），若点P满足，则点P的坐标为 ． 【答案】（4，3） 【分析】设出点，根据列方程组解决. 【详解】设，又 A、B的坐标分别为（－2，5），（1，4） ， 所以点. 故答案为：（4，3） 5．（23-24高一下·上海·期中）已知平面向量，满足，，且. (1)求. (2)当实数为何值时，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用展开化简即可求出答案； （2）由，得到，展开化简即可得到答案. 【详解】（1）由，，且 ∵ ， ∴. （2）∵， ∴， 即①， ∵，，， ∴； 将，，代入①式化简得： ， . ∴当实数时，有. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 6．（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，若，则，故充分性满足，若，则， 即或，故必要性不满足，即是的充分非必要条件，故①正确； 对于②，若、为两个不平行向量，则由可得，故充分性满足， 若，则成立，故必要性满足， 所以是的充要条件，故②错误； 对于③，若，则同向或反向，所以不一定成立，故充分性不满足， 若可得同向，即，故必要性满足， 所以“”是“”的必要不充分条件，故③错误； 故选：B 7．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）已知是边长为1的等边三角形，点O是所在平面上的任意一点，则向量的模为 . 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算律可求出结果. 【详解】因为是边长为1的等边三角形，所以，， 所以， 所以 . 故答案为： 8．（23-24高一下·上海·期中）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，（），，四边形的面积为． (1)求的最大值及此时的值； (2)设点的坐标为，，在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)最大值是，此时. (2) 【分析】（1）根据三角函数定义可得点坐标，根据向量数量积可得，根据向量加法几何意义得四边形为平行四边形，可得求解析式，根据配角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最大值以及对应自变量； （2）由三角函数定义可得的正切值，结合两角和的正切公式可得． 【详解】（1）由题意知的坐标分别为，． ， . 由题意可知. ，. 所以，故时， 的最大值是，此时. （2），， . . 9．（23-24高一下·上海·期中）已知，，. (1)若与垂直，求实数的值； (2)若与方向相反，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，依题意可得，根据数量积的运算计算可得； （2）首先判断与不共线，依题意，根据平面向量基本定理得到方程，解得即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，即，所以， 又与垂直，所以，即， 即，解得. （2）因为，且，所以， 所以与不共线， 又与方向相反，则， 即，解得（舍去）或， 所以. 10．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知外接圆的圆心为，半径为2，且，求：向量在上的投影向量的模. 【答案】. 【分析】根据题目条件得到四边形是边长为2的菱形且，利用投影向量的定义求出投影向量的模长. 【详解】如图，因为，所以， 所以，则四边形为平行四边形； 又为外接圆的圆心，且， 所以是边长为2的正三角形， 所以平行四边形是边长为2的菱形且， 所以，， 故向量在上的投影向量的模为. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 11．（23-24高一下·上海·期末）已知在中，是边上的一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意将题目转化为恒成立，即恒成立，解出的值，进而判断出排除其他答案即可. 【详解】设，则，过点作的垂线，垂足为， 在上任取一点， 设，如图所示； 则由数量积的几何意义可得， ，， 于是恒成立， 整理得恒成立， 只需即可，于是， 因此我们得到，即是的中点， 是等腰三角形，即. 故选：D. 12．（23-24高一下·上海·期中）窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出图形，由图可得点在上运动，取的最大值，当在上运动，取的最小值，求得相应最值即可. 【详解】分别过，作的垂线，垂足为，，且，， 因为点在正八边形上运动，所以在上的投影向量的起点为，终点在线段上移动， 则当点在上运动，取的最大值，为， 则当点在上运动，取的最小值，为， 所以的取值范围是 故答案为： 13．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其图像的最高点从左到右依次记为，，，，，其图像与轴的交点从左到右依次记为，，，，，则 【答案】 【分析】根据条件可得出，，，，，，，，， 然后得出，，，，这样即可得出答案. 【详解】根据题意得，，，， ，，，，，， ， ，， ， . 故答案为： 14．（2023高一下·上海·专题练习）已知中，过重心的直线交线段于，交线段于，连结并延长交于点，设的面积为，的面积为，． (1)用表示，并证明为定值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）以为基底，由三点共线可得，化简为基底根据向量相等即可得出，化简即可证明； （2）由三角形面积公式可得，根据（1）消元可得，化简求范围即可得解. 【详解】（1）根据题意，； ，，，三点共线，则存在，使得， 即，即， ，整理得，所以为定值； （2）根据题意，由（1）， ， ， ，， 则当时，取得最小值，当时，取得最大值， 的取值范围为． 15．（21-22高一下·上海浦东新·期末）在梯形中，，分别为直线上的动点. (1)当为线段上的中点，试用和来表示； (2)若，求； (3)若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)1. 【分析】(1)结合条件证明，再用和来表示即可； (2)利用表示，根据模的性质和数量积的性质求； (3)由条件确定的关系，结合基本不等式求的最大值. 【详解】（1）因为为线段上的中点，所以，，又方向相同， 所以，所以； （2）因为，所以，因为，，所以，所以， 又，所以 又， 所以； （3）设线段的中点为，连接，交与点，由已知为的重心， 由重心性质可得， 又， ， ， 所以， 设，， 所以，， 由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 16．（23-24高一下·上海·期中）平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的最大值与最小值之和为 . 【答案】6 【分析】设为的重心，由重心性质可得，可得在以点为圆心，为半径的圆上面，设点与坐标原点重合，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论. 【详解】设为的重心， 则， 因为，所以， 即在以点为圆心，为半径的圆上面， 设点与坐标原点重合， 则， 当且仅当都在线段上，等号成立， 又， 当且仅当在线段上面，且在线段上，在线段上等号成立， 综上所述，的最大值与最小值之和为6. 故答案为：6. 17．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知平面向量，，，满足：，，，，则的最大值为 . 【答案】3 【分析】依题意，如图作出各向量，可判断点共线，且，，点的轨迹是以线段为直径的圆，故即可理解为点到圆上点的距离，即得点与点重合时取得最大值. 【详解】 依题意，如图分别作，其中,, 由知，依题意知点有两个位置，即点和点， 又,，由知, 即点的轨迹是以线段为直径的圆. 故的模长当且仅当点与点重合时取得最大，最大值为. 故答案为：3. 【点睛】方法点睛：本题主要考查向量的模长的最值问题，属于难题.对于抽象的向量的共线，垂直，模长等相关量的问题，一般是根据题意作出满足条件的图形，将问题转化成几何图形的距离、夹角等相关量来解决. 18．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，、，设点、、、…、是线段的等分点，其中为正整数且． (1)当时，试用、表示、； (2)当时，求的值； (3)当时，求（，，，）的最小值． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）由条件得，，由向量的线性运算即可求解； （2）由基底表示出，再求出，最后求模即可； （3）由基底表示出，，从而表示出，再利用求函数的最值的知识求出最小值． 【详解】（1）当时，则，为的三等分点，，， 所以， ． （2）当时，，， ， ． （3）当时，，， ， 同理，， ， 令， 当，2，3时，， 当或3时，上式有最小值为； 当 时，， 当，6，7时，，当或6时，上式有最小值为， 综上，的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据向量的线性运算得，即可结合数量积的运算求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量复习 目录 考点剖析 4 1.向量的有关概念 4 2.向量的运算 4 3.向量数量积的概念问题 4 4.向量的数量积的运算性质问题 4 5.平面向量的分解定理 5 过关检测 5 A组 双基过关 5 B组 巩固提高 5 C组 综合训练 6 D组 拓展延伸 8 一、向量的有关概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）. 2.向量的表示方法： （1）字母表示法：如等. （2）几何表示法：用一条有向线段表示向量.如，等. （3）坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量的起点O为在坐标原点，终点A坐标为，则称为的坐标，记为=. 注：向量既有代数特征，又有几何特征，它是数形兼备的好工具. 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量与相等，记为. 注：向量不能比较大小，因为方向没有大小. 4.零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5.单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：与任一向量共线. 注：共线向量又称为平行向量. 7.相反向量：长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算 （一）运算定义 ①向量的加减法；②实数与向量的乘积；③两个向量的数量积 其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量. 刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言. 主要内容列表如下： 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与 减法 += = 记=（x1，y1），=（x1，y2） 则=（x1+x2，y1+y2） =（x2－x1，y2－y1） += 实数与向量的乘积 =λ λ∈R 记=（x，y） 则λ=（λx，λy） 两个向量的数量积 记 则·=x1x2+y1y2 （二）运算律 加法：①（交换律）； ②（结合律） 实数与向量的乘积：①； ②；③ 两个向量的数量积： ①·=·； ②（λ）·=·（λ）=λ（·）； ③（+）·=·+· 注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，实数的运算性质可以简化向量的运算，例如（±）2= （三）运算性质及重要结论 （1）平面向量分解定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合. ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的. 这说明如果且，那么. ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A（x，y），则=（x，y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1） （2）两个向量平行的充要条件 符号语言： 坐标语言：设非零向量，则∥（x1，y1）=λ（x2，y2），即，或x1y2－x2y1=0. 在这里，实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ>0；当与异向时，λ<0. ，λ的大小由及的大小确定. 因此，当，确定时，λ的符号与大小就确定了. 这就是实数乘向量中λ的几何意义. （3）两个向量垂直的充要条件 符号语言： 坐标语言：设非零向量，则 （4）两个向量数量积的重要性质：① ，即 （求线段的长度）； ②（垂直的判断）；③ （求角度）. 以上结论可以（从向量角度）有效地分析有关垂直.长度.角度等问题，由此可以看到向量知识的重要价值. 注：①两向量，的数量积运算结果是一个数（其中），这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. ②叫做向量在方向上的投影，数量积的几何意义是数量积等于的模与在方向上的投影的积. ③如果，，则=， ∴，这就是平面内两点间的距离公式. 考点剖析 1. 向量的有关概念 【例1】 如图9-5，E、F、G依次是正△ABC的边AB、BC、AC的中点. （1）在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量. （2）在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量. （3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 2. 向量的运算 【例2】作出图9－7（a）中两向量的和向量： 3. 向量数量积的概念问题 【例3】已知是三个非零向量，下列命题中哪些是真命题？ （1）；（2）反向； （3）；（4）. 4.向量的数量积的运算性质问题 【例4】已知，求： （1） 与的夹角； （2）与的夹角的余弦值. 5.平面向量的分解定理 【例5】已知向量（如图11—1（1）），作向量. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）化简向量运算： ． 2．（22-23高一下·上海·期中）若点，，则向量的坐标是 ． 3．（23-24高一下·上海·期中）已知平面上两点的坐标分别是为直线上一点，且，则点的坐标为 . 4．（20-21高一下·上海宝山·期末）已知点A、B的坐标分别为（－2，5），（1，4），若点P满足，则点P的坐标为 ． 5．（23-24高一下·上海·期中）已知平面向量，满足，，且. (1)求. (2)当实数为何值时，. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 6．（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（22-23高一下·上海奉贤·阶段练习）已知是边长为1的等边三角形，点O是所在平面上的任意一点，则向量的模为 . 8．（23-24高一下·上海·期中）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，（），，四边形的面积为． (1)求的最大值及此时的值； (2)设点的坐标为，，在（1）的条件下，求的值． 9．（23-24高一下·上海·期中）已知，，. (1)若与垂直，求实数的值； (2)若与方向相反，求实数的值. 10．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知外接圆的圆心为，半径为2，且，求：向量在上的投影向量的模. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 11．（23-24高一下·上海·期末）已知在中，是边上的一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·上海·期中）窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是 . 13．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其图像的最高点从左到右依次记为，，，，，其图像与轴的交点从左到右依次记为，，，，，则 14．（2023高一下·上海·专题练习）已知中，过重心的直线交线段于，交线段于，连结并延长交于点，设的面积为，的面积为，． (1)用表示，并证明为定值； (2)求的取值范围． 15．（21-22高一下·上海浦东新·期末）在梯形中，，分别为直线上的动点. (1)当为线段上的中点，试用和来表示； (2)若，求； (3)若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】16．（23-24高一下·上海·期中）平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的最大值与最小值之和为 . 17．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知平面向量，，，满足：，，，，则的最大值为 . 18．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，、，设点、、、…、是线段的等分点，其中为正整数且． (1)当时，试用、表示、； (2)当时，求的值； (3)当时，求（，，，）的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$