第02讲 一元二次方程的解法（四大解法）（5大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（人教版）

第02讲 一元二次方程的解法（四大解法）（5大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 直接开方法解一元二次方程的应用 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 配方法的应用 题型五 公式法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 根的判别式综合应用 题型九 因式分解解一元二次方程 题型十 换元法解一元二次方程 题型十一 一元二次方程的新定义解法 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点04 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【典型例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【例4】（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【例5】（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【例6】（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【典型例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】 【例1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【例3】2（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 【例4】（2023·吉林长春·模拟预测）方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【例5】（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【例6】（23-24七年级上·重庆永川·阶段练习）提出问题： 我们把形如（其中a是常数且）这样的方程叫做x的完全平方方程． 如：，，…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路： 我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解． 如：解完全平方方程的思路是：由，，可得，． 解决问题： (1)填空：解方程：． 解题思路：我们只要把看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了． 解：根据乘方运算，得或_______． 分别解这两个一元一次方程，得_____，______． (2)解方程． 【典型例题三 配方法解一元二次方程】 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【例2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【例3】（22-23九年级上·广东中山·期中）用配方法解方程： 【例4】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）用配方法解方程： 【例5】（22-23八年级下·山东济宁·期中）用配方法解方程：． 【例6】（23-24八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程的一个根是1，求a的值； (2)在（1）的条件下，用配方法解该方程． 【典型例题四 配方法的应用】 【例1】（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【例2】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【例3】（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知x为全体实数，则的最大值为 ． 【例4】（23-24九年级下·北京·阶段练习）若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为 ． 【例5】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【例6】（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【典型例题五 公式法解一元二次方程】 【例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 【例2】（2024·广东深圳·模拟预测）解方程：． 【例3】（23-24八年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【例4】（23-24八年级下·山东威海·期中）用公式法解方程：． 【例5】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【例6】（2024·浙江金华·二模）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 【典型例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（2024八年级下·浙江·专题练习）下列方程中有两个不相等实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·河北邢台·三模）关于x的方程（k为实数）的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与k的值有关 【例3】（23-24九年级下·山东淄博·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【例4】（2024·山东滨州·一模）对于任意实数k，关于x的方程的实数根的情况为 ． 【例5】（23-24八年级下·全国·假期作业）不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 【例6】（23-24八年级下·广西百色·期中）已知关于x的一元二次方程．请判断方程根的情况． 【典型例题七 根据一元二次方程跟的情况求参数】 【例1】（2024年北京市平谷区中考二模数学试题）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·云南昆明·二模）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【例3】（2024八年级下·浙江·专题练习）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【例4】（2024·吉林长春·二模）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且a为小于2的整数，那么a的值是 ． 【例5】（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于x的一元二次方程，若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【例6】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于的方程． (1)求证：不论取什么实数时，这个方程总有实数根； (2)当为何正整数时，关于的方程有两个整数根？ 【典型例题八 根的判别式综合应用】 【例1】（2024·河南驻马店·三模）若一元二次方程 有实数根，则实数a 的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D．且 【例2】（2024·安徽淮南·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为非负整数，则符合条件的的个数为(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【例4】（2024·山东泰安·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 【例5】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知、是关于的方程的两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)已知等腰的一边长为1，若、恰好是另外两边长，求这个三角形的周长． 【例6】（2024·江西南昌·一模）已知关于的方程． (1)当时，求原方程的解． (2)若原方程有两个相等的实数根，求的值． 【典型例题九 因式分解解一元二次方程】 【例1】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：（因式分解）． 【例2】（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【例3】（13-14七年级·浙江·课后作业）利用因式分解求解方程 （1）； (2)． 【例4】（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【例5】（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展： ①把代数式因式分解； ②若代数式为时（其中，），则的值为______． 【例6】（23-24八年级上·山东烟台·期中）【探究发现】：八年级数学学习兴趣小组学完因式分解后探究发现： 因为， 所以多项式可因式分解为， 【方法归纳】：由此获得因式分解的一种方法，如： ， ， ， ． 【学以致用】：请你依据小组发现的方法尝试解决下面的问题： (1)若因式分解的结果有一个因式为，则实数p的值为 ； (2)因式分解： ①； ②． 【典型例题十 换元法解一元二次方程】 【例1】（2024九年级下·云南·专题练习）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的方程是（ ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【例3】（2024·上海杨浦·三模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 【例4】（2024八年级下·浙江·专题练习）已知实数、满足等式，则 ． 【例5】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）设是一个直角三角形两条直角边的长，且，求的值． 【例6】（23-24九年级上·广东汕头·期中）综合实践：“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，， 当时，，； 当时，， ， 所以原方程有四个根：， ， ． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：． (2)若，求的值． 【典型例题十一 一元二次方程的新定义解法】 【例1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数a， b定义运算“⊗”为∶ 例如： 则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【例2】（2023·河南信阳·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“美妙方程”．已知是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例3】（23-24八年级下·山东济宁·期中）定义新运算“*”，规则：，如，．若的两根为，且，则 ． 【例4】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）定义：如果关于x 的一元二次方程有两个实数根为，且满足，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 (选填“是”或“不是”)“倍根方程”． （2）若是“倍根方程”，则 【例5】（23-24八年级下·广西梧州·期中）对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 【例6】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 【变式训练1 直接开方法解一元二次方程】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）解下列方程：（直接开方法） 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）用直接开方法解方程： 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 【变式训练2 直接开方法解一元二次方程的应用】 1．（2024·河南南阳·模拟预测）若一元二次方程的两个根分别是和，则的值是（   ） A．2 B．3 C． D． 2．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）对于实数m，n我们用符号表示m，n两数中较大的数，如，若则可列方程为 ，x的值为 ． 3．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根是1，且a，b满足，求关于y的方程的根． 【变式训练3 配方法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）用配方法解方程： 2．（2023九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程：． 3．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【变式训练4 配方法的应用】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若方程可配方成的形式，则方程可配方成（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 3．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子： [例]分解因式： ． ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ． (2)请你运用上述配方法分解因式 ． (3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值 【变式训练5 公式法解一元二次方程】 1．（23-24八年级下·山东淄博·期中）公式法解方程：． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）小明解方程的过程如下： 解：原方程可化为． ……第一步 配方，得，……第二步 即 ．……第三步 直接开平方，得 所以，．……第五步 (1)小明是用 （填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来解这个方程的；他的解题过程从第 步开始出现错误． (2)请你用不同于小明的方法解该方程． 3．（23-24九年级上·吉林四平·期中）用公式法解方程：． 【变式训练6 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 1．（2024·广东清远·三模）下列关于x的一元二次方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）关于的一元二次方程根的情况是 ． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有实数根； (2)若 是该方程的一个解，求n的值． 【变式训练7 根据一元二次方程跟的情况求参数】 1．（2024·四川达州·一模）对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（    ） A． B．且 C．且 D． 2．（2024·甘肃金昌·一模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为 ． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值． 【变式训练8 根的判别式综合应用】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）对于实数定义新运算：，若关于的方程没有实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 2．（23-24九年级下·山东青岛·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为 ． 3．（23-24九年级上·河北唐山·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大的整数时，求原方程的两个根． 【变式训练9 因式分解解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）解方程： (1)（因式分解） (2)（公式法） 2．（22-23九年级上·广东韶关·阶段练习）阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答． 分解因式：． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)． 3．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【变式训练10 换元法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）阅读材料：解方程时，我们可以将视为一个整体， 设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次转化为一元二次方程的目的．这一过程体现了数学整体思想和转化的思想． 类比应用：运用上述方法解方程：． 【变式训练11 一元二次方程的新定义解法】 1．（2023·河南新乡·一模）定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于实数a，b，定义一种运算“※”为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，则实数k的值为 ． 3．（23-24九年级上·山东济南·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程” (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则之间的关系为______． (4)若是“倍根方程”，求代数式的值． 1．（2024·河南驻马店·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南安阳·三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值不可以是（    ） A．2 B． C．0 D． 3．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 4．（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，，，，分别是边长为4的正方形四条边上的点（不与顶点重合），且满足，记，则下列四个变量中，不存在最小值的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024·湖南衡阳·二模）已知关于x的方程有一个根为，则另一个根为 7．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ． 8．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知平行四边形的两条邻边长，的长分别是关于x的方程的两个实数根，当 时，四边形是菱形． 9．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 10．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）已知实数满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ∵． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题． 已知实数满足，则的值为 ． 11．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）解下列方程． (1)． (2)． 12．（23-24八年级下·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 13．（2024八年级下·安徽·专题练习）当为整数时，关于的方程是否有有理根？如果有，求出的值；如果没有，请说明理由． 14．（2024·北京石景山·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 15．（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一元二次方程的解法（四大解法）（5大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 直接开方法解一元二次方程的应用 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 配方法的应用 题型五 公式法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 根的判别式综合应用 题型九 因式分解解一元二次方程 题型十 换元法解一元二次方程 题型十一 一元二次方程的新定义解法 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点04 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【典型例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 【例4】（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】根据题意，将方程化为，再根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【例5】（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】将方程的两边同时开方即可求解． 【详解】解：两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 【例6】（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）， 移项，得， 两边同时除以49，得， 开方，得， 则方程的两个根为，． （2） 两边同时除以9，得， 开方，得， 即或， 则方程的两个根为，． 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 【典型例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】 【例1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程解的定义以及一元二次方程的定义及其解法，熟练掌握定义，根据定义要求得出方程及不等式求解是解决问题的关键．根据方程解的定义，将代入求解，再结合一元二次方程定义确定即可得出结论． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， ，解得， 关于x的一元二次方程有一个根是1， ， 化简得，解得， 综上所述：， 故选：A． 【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【例3】2（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义下，根据新定义得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【例4】（2023·吉林长春·模拟预测）方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法，利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答，熟练掌握解一元二次方程−直接开平方法是解题的关键． 【详解】方程有实数根， ， ， 则的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【例5】（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题考查了解一元二次方程 （1）求出方程的根，得出方程，求出即可； （2）根据（1）中求出的得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即方程的两根互为相反数， 一元二次方程的两根分别为与． ， 解得：； （2）当时，，， ，一元二次方程的两根分别为与， ． 【例6】（23-24七年级上·重庆永川·阶段练习）提出问题： 我们把形如（其中a是常数且）这样的方程叫做x的完全平方方程． 如：，，…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路： 我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解． 如：解完全平方方程的思路是：由，，可得，． 解决问题： (1)填空：解方程：． 解题思路：我们只要把看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了． 解：根据乘方运算，得或_______． 分别解这两个一元一次方程，得_____，______． (2)解方程． 【答案】(1)－5，， (2)， 【分析】（1）根据乘方运算求解即可； （2）根据题中给出的解题思路求解即可． 【详解】（1）解：∵，， 又∵，解得 ，解得 故答案为：－5，，． （2）（2）解：两边同时除以3得：． 根据乘方运算，得：或 分别解这两个一元一次方程，得， 【点睛】考查一元二次方程的解法，解题的关键是正确理解题意． 【典型例题三 配方法解一元二次方程】 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后进行配方即可求解； （2）由题意易得，则有，然后进行配方即可求解 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， 即， ． （2）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 配方，得， 即． 因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根． 【例2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 【例3】（22-23九年级上·广东中山·期中）用配方法解方程： 【答案】，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．直接根据配方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 配方得，即， ∴， ∴，． 【例4】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）用配方法解方程： 【答案】，． 【分析】移常数项，加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，再开方求解． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的解法是解题的关键． 【例5】（22-23八年级下·山东济宁·期中）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，直接根据配方法的步骤进行解方程即可． 【详解】， ， ， ， ， ， ∴． 【例6】（23-24八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程的一个根是1，求a的值； (2)在（1）的条件下，用配方法解该方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解和配方法解一元二次方程； （1）把代入方程得出关于的方程，再求解即可； （2）把（1）问中求的值代入方程，再求解即可． 【详解】（1）解：将代入原方程得． 整理得． 解得． ∵， ∴． 所以的值为． （2）将代入方程得． 即． 配方得． 开方得． 所以方程的解为，． 【典型例题四 配方法的应用】 【例1】（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【答案】B 【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大． 【详解】解：， ，， ， ， 故选：B 【例2】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴所以的最小值为， 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知x为全体实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法，将多项式进行转化，再根据完全平方的非负性进行求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴的最大值为． 【例4】（23-24九年级下·北京·阶段练习）若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的意义，根据题意利用配方法求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例5】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 【例6】（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)4 (2)4 (3)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了配方法的应用： （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可； 熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是4． （2）， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值是4． （3）设，则， 由题意，得花园的面积是， ， ， 的最大值是50，此时，，符合题意， 则当时，花园的面积最大，最大面积是． 【典型例题五 公式法解一元二次方程】 【例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 【例2】（2024·广东深圳·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得： 【例3】（23-24八年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的解法是解题关键．本题直接利用公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∴， ∴， ∴． 【例4】（23-24八年级下·山东威海·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：方程化为． ∴， ∴． 解得：，． 【例5】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 【例6】（2024·浙江金华·二模）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 【答案】若选①，则方程的解为；若选②，则方程的解为 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根据题意解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：①当，， ∴， ∴ 解得：； ②，； ∴ ∴ 解得：； ③，． ，原方程无解． 【典型例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（2024八年级下·浙江·专题练习）下列方程中有两个不相等实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，分别计算的值，根据，方程有两个不相等的实数根； ，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，进行判断． 【详解】解：A．，方程有两个相等实数根； B．无实数解； C．，方程没有实数根； D．，方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 【例2】（2024·河北邢台·三模）关于x的方程（k为实数）的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与k的值有关 【答案】A 【分析】根据根的判别式，求出的值即可判定根的情况． 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根是解答此题的关键． 【详解】因为， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【例3】（23-24九年级下·山东淄博·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴ 解得，， 故答案为： ． 【例4】（2024·山东滨州·一模）对于任意实数k，关于x的方程的实数根的情况为 ． 【答案】方程没有实数根 【分析】本题考查了根的判别式，计算方程根的判别式，判断其符号即可，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． 【详解】∵， ∴ ， ∴不论k为何值，，即， ∴方程没有实数根， 故答案为：方程没有实数根． 【例5】（23-24八年级下·全国·假期作业）不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)原方程有两个相等的实数根 (2)原方程有两个不相等的实数根 (3)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此根据一元二次方程根的判别式可分别求解（1）（2）（3） 【详解】（1）解：原方程可化为， ， ∴原方程有两个相等的实数根． （2）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根． （3）解：原方程可化为． ， 原方程无实数根． 【例6】（23-24八年级下·广西百色·期中）已知关于x的一元二次方程．请判断方程根的情况． 【答案】方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ∵， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 【典型例题七 根据一元二次方程跟的情况求参数】 【例1】（2024年北京市平谷区中考二模数学试题）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，可知，然后解不等式即可． 【详解】关于的一元二次方程有两个实数根 ，， 故选：D． 【例2】（2024·云南昆明·二模）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式可得且，解不等式即可求解，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴且， 解得且， 故选：． 【例3】（2024八年级下·浙江·专题练习）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 故答案为：9． 【例4】（2024·吉林长春·二模）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且a为小于2的整数，那么a的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，解两个不等式得到的范围为且，然后根据为小于2的整数确定的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， ∵为小于2的整数， ∴的值为1． 故答案为：1． 【例5】（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于x的一元二次方程，若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握时，一元二次方程有两个不相等的实数根． 根据一元二次方程根的判别式列出关于m的不等式，即可解得答案． 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得：， 【例6】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于的方程． (1)求证：不论取什么实数时，这个方程总有实数根； (2)当为何正整数时，关于的方程有两个整数根？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）当时，方程为一元一次方程．当时，方程为一元二次方程，证明出根的判别式即可； （2）由一元二次方程的根与系数关系得到：，然后根据解是整数得到，即可算出m的值． 【详解】（1）证明：当时，方程为一元二次方程，， 一元二次方程有两个实数根． 当时，方程为，有实数根． 综上，不论取什么实数时，这个方程总有实数根． （2）解：方程有两个整数根，∴方程为一元二次方程，即． 由根与系数关系得到：， 又和为整数，且为正整数， ∴，解之得：， 经检验，此时符合题意． 【典型例题八 根的判别式综合应用】 【例1】（2024·河南驻马店·三模）若一元二次方程 有实数根，则实数a 的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两实数根，即可得．由一元二次方程有实数根，即可得判别式且，继而可求得的范围． 【详解】解：一元二次方程有实数根， ，， 解得：且， 故选：C 【例2】（2024·安徽淮南·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为非负整数，则符合条件的的个数为(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到确定取值范围，结合k为非负整数，求解即可． 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵k为非负整数， ∴， 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则是解题关键；当一元二次方程有两个不相等的实数根时，，由此进行求解即可 【详解】关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， ， 故答案为： 【例4】（2024·山东泰安·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 【例5】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知、是关于的方程的两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)已知等腰的一边长为1，若、恰好是另外两边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键． （1）由根的判别式即可得； （2）分情况讨论，当时和当时，分别求出方程的根，再根据三角形三边之间的关系判断计算可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）根据题意，∵时， ∴只能取或，即1是方程的一个根， 将代入方程得： 解得：， 当时，代入原方程可得∶ ， 解得方程的另一个根为3， 此时三角形三边分别为1、1、3，此时不能构成三角形； 当时，则， 解得：， 此时方程为： 即：， 即， 解得：， 此时三角形三边分别为1、、，此时三角形的周长为：． 综上，三角形的周长为4． 【例6】（2024·江西南昌·一模）已知关于的方程． (1)当时，求原方程的解． (2)若原方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程解法，一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）将代入，解方程即可； （2）先求出的值，再根据的符号即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， 即，， 解得：，； （2）解：该一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 【典型例题九 因式分解解一元二次方程】 【例1】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：（因式分解）． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握利用因式分解的方法解方程是解题的关键． 【例2】（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可． 【详解】（1）解： ①② ∴． （2）解： ①② ∴． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键． 【例3】（13-14七年级·浙江·课后作业）利用因式分解求解方程 （1）； (2)． 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根； (2)利用提公因式法分解因式求出方程的根. 【详解】(1) ； y=0或4y-3=0 ∴， 故答案为：； (2) 或 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程时，给方程两边同除以y，解得，而丢掉y=0的情况． 【例4】（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 【例5】（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展： ①把代数式因式分解； ②若代数式为时（其中，），则的值为______． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式． （1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解； （2）①仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；②将方程左边因式分解后求出与的关系，求出结果即可． 【详解】（1）解： （2）解：① ， ， ， ， ②代数式为， 或， 所以的值为时，或． 【例6】（23-24八年级上·山东烟台·期中）【探究发现】：八年级数学学习兴趣小组学完因式分解后探究发现： 因为， 所以多项式可因式分解为， 【方法归纳】：由此获得因式分解的一种方法，如： ， ， ， ． 【学以致用】：请你依据小组发现的方法尝试解决下面的问题： (1)若因式分解的结果有一个因式为，则实数p的值为 ； (2)因式分解： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查因式分解， 根据因式分解的一个因式可知方程的一个解，代入即可求的未知数； ①利用题目给定的方法逐步分解即可求得答案；②将变形，利用题目给定的方法逐步分解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵分解因式的结果有一个因式为， ∴是的解， ∴， 解得． 故答案为：； （2）① ； ② ． 【典型例题十 换元法解一元二次方程】 【例1】（2024九年级下·云南·专题练习）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．设，则原方程化为，再整理即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为：， ， ， 故选：． 【例2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．利用整体思想设得到方程，再根据关于x的一元二次方程有一根为，即可得到t的值，从而可求解． 【详解】解：∵， ∴，即．　 设，则． ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴一元二次方程必有一根为2026． 故选C． 【例3】（2024·上海杨浦·三模）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键；根据还原法求解即可； 【详解】方程，如果设， 则， ， 故答案为：； 【例4】（2024八年级下·浙江·专题练习）已知实数、满足等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想． 将看作一个整体，然后用换元法解方程即可． 【详解】解：设，则有： ， 解得，； ， 故． 故答案为：4． 【例5】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）设是一个直角三角形两条直角边的长，且，求的值． 【答案】3 【分析】设，将原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解方程求得t的值即可． 【详解】解：设， 可得原方程为， 解得， ， ， 即的值为3． 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练运用换元法是解本题的关键． 【例6】（23-24九年级上·广东汕头·期中）综合实践：“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，， 当时，，； 当时，， ， 所以原方程有四个根：， ， ． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设，代入原式，对一元二次方程求解即可； （2）设，代入原式，对一元二次方程整体求解即可； 本题主要考查一元二次方程的解法，理解题目中换元法的解题思想是解题的关键． 【详解】（1）解：设 原方程可变为： 解得：， 当时， ∴方程无解 当时， 解得： ∴原方程有2个根：． （2）解：设 原方程可变为： 整理得： 解得：（舍去）， 的值为1． 【典型例题十一 一元二次方程的新定义解法】 【例1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数a， b定义运算“⊗”为∶ 例如： 则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据新定义，转化得到一元二次方程，再根据方程的根的判别式判断即可． 本题考查了新定义，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【例2】（2023·河南信阳·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“美妙方程”．已知是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，理解“美妙方程”的定义是解答本题的关键．由“美妙方程”的定义得，根据方程有两个相等的实数根得，把代入即可求解． 【详解】∵是“美妙方程”， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选C． 【例3】（23-24八年级下·山东济宁·期中）定义新运算“*”，规则：，如，．若的两根为，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程得到，再根据新定义即可得到． 【详解】解：解方程得：， ∵， ∴， 故答案为：1． 【例4】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）定义：如果关于x 的一元二次方程有两个实数根为，且满足，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 (选填“是”或“不是”)“倍根方程”． （2）若是“倍根方程”，则 【答案】 是 或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义： （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）先解方程得到，再根据“倍根方程”的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得， ∴， ∴方程 是 “倍根方程”． 故答案为：是； （2）解方程得， ∵是“倍根方程”， ∴或， 故答案为：或． 【例5】（23-24八年级下·广西梧州·期中）对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 【例6】（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义进行判断即可； （2）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义得其中一个根是另一个根的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 2是1的2倍， 方程是倍根方程； （2）解： 解得：， ， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查了倍根方程的定义，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式训练1 直接开方法解一元二次方程】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）解下列方程：（直接开方法） 【答案】 【分析】直接利用开方法进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）用直接开方法解方程： 【答案】， 【分析】两边直接开平方即可． 【详解】两边直接开平方得：或 解得：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），. 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的步骤求解即可. 【详解】解：（1）， ， ， ， ，； （2）， ， ， ，； （3）， ， ， ，； （4）， ， ，. 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 【变式训练2 直接开方法解一元二次方程的应用】 1．（2024·河南南阳·模拟预测）若一元二次方程的两个根分别是和，则的值是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键．根据题意，易得，，首先利用直接开平方法求得方程的根为；分析可得该方程的两根互为相反数，根据相反数的性质可得，解方程即可求出的值；将的值代入、，即可得到方程的根，由即可求解． 【详解】 解：由题意得，． 两边同时除以得， 直接开平方得． 方程的两个根互为相反数， ， ． 将代入与中，可得的两个根分别是2与． 又， ， ． 故选：A． 2．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）对于实数m，n我们用符号表示m，n两数中较大的数，如，若则可列方程为 ，x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程；先得出，进而根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴则可列方程为 解得： 故答案为：，． 3．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根是1，且a，b满足，求关于y的方程的根． 【答案】， 【分析】根据题意得，，计算得，即可得，根据关于x的一元二次方程的一个根是1得，计算得，则，进行计算即可得． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， ∴， ∵关于x的一元二次方程的一个根是1， ∴， ∴， ， 则， ， ， ，． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，方程的根，解一元二次方程，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 【变式训练3 配方法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方． 【详解】解：由原方程移项，得 ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 开方，得 ， 解得，． 2．（2023九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查配方法求解一元二次方程；把方程化为，开方化为一元一次方程，求解即可． 【详解】解： 移项得， 配方得，即， 开方得． ∴，． 3．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得．                第一步 二次项系数化为1，得．            第二步 配方，得．                第三步 因此．                        第四步 由此得或．                第五步 解得．                        第六步 (1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案； 【详解】（1） 解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2， 故答案为：二； （2）． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：或， 解得：． 【变式训练4 配方法的应用】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）若方程可配方成的形式，则方程可配方成（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方的过程即可求解，熟练掌握配方过程是解题的关键． 【详解】解：可化为， ， 可化为， 即， 故选C． 2．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 【答案】 小 1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法把原代数式变形为，根据得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值1， ∴有最小值，最小值为1， 故答案为：小，1． 3．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子： [例]分解因式： ． ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ． (2)请你运用上述配方法分解因式 ． (3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质，三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式的形式是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、的值，再利用三角形的三边关系，得到的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）， ， ， ， ， ． 又 为正整数， 时，的周长最大，最大值为 ． 答： 长的最大值为13． 【变式训练5 公式法解一元二次方程】 1．（23-24八年级下·山东淄博·期中）公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先求出，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 解得． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）小明解方程的过程如下： 解：原方程可化为． ……第一步 配方，得，……第二步 即 ．……第三步 直接开平方，得 所以，．……第五步 (1)小明是用 （填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来解这个方程的；他的解题过程从第 步开始出现错误． (2)请你用不同于小明的方法解该方程． 【答案】(1)配方法，二 (2)求解过程见解析，， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】（1）由小明的解答过程可知，他采用的是配方法解方程， ∴ 解得，， ∴他的解题过程从第二步开始出现错误， 故答案为：配方法，二； （2） ，， ∴ ∴ 解得，． 3．（23-24九年级上·吉林四平·期中）用公式法解方程：． 【答案】，． 【分析】先确定a、b、c及判别式的值，然后再利用求根公式求解即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，利用公式法解一元二次方程的条件是，一元二次方程的求根公式为：． 【变式训练6 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 1．（2024·广东清远·三模）下列关于x的一元二次方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，∴有两个不相等的实数根，不符合题意； B．原方程可化为，，∴有两个不相等的实数根，不符合题意； C．原方程可化为，，∴有两个不相等的实数根，不符合题意； D．，∴有两个相等的实数根，符合题意． 故选：D． 2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）关于的一元二次方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，非负数的性质，解题关键是掌握方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．．利用根的判别式，得到，再结合偶次方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：， ，，， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有实数根； (2)若 是该方程的一个解，求n的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系, 一元二次方程的根的定义以及一元一次方程的解法． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得，由此可证明无论取何值，该方程总有实数根； （2）把代入方程即可求出． 【详解】（1）证明：由题意得： ， ∴该方程总有实数根； （2）解：把代入方程，得：， 解得：， ∴的值为3． 【变式训练7 根据一元二次方程跟的情况求参数】 1．（2024·四川达州·一模）对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题属于新定义题目，考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当方程没有实数根．利用新运算得到，根据一元二次方程的定义和即可求解． 【详解】解： ， ，即， 关于的方程，即有两个不相等的实数根， ，且， 解得，且． 故选：B． 2．（2024·甘肃金昌·一模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解为本题的关䋖． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据求解即可． 【详解】解：∵没有实数根， ， ， 故为案为：． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根． (2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值； (3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1或2或3 (3)8 【分析】本题考查了一元二次方程及根的判别式、求根公式，等腰三角形定义及三角形三边关系． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到，则，从而得到正整数m的值． （2）分4为腰与4为底两种情况，求出方程的解，再验证是否能构成三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：， ∴， ∵方程有一个根是负整数， ∴， ∴正整数m的值为1或2或3． （3）解：由（2）知，， ①当4为底边时，， ∵， ∴等腰三角形不存在，舍去； ②当4为腰时，，即， ∵， ∴等腰三角形存在， 综上所述，m的值为8． 【变式训练8 根的判别式综合应用】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）对于实数定义新运算：，若关于的方程没有实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题中所给新定义运算可得方程，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由题意可得方程：， 即， ∵该方程没有实数根， ∴， 解得：； 故选：A． 2．（23-24九年级下·山东青岛·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，整体代入求代数式的值．根据一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式为0，从而可得关于a的等式，把此等式变形后整体代入即可求得代数式的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴， 则，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·河北唐山·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大的整数时，求原方程的两个根． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可； （2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等实数根 ∴ 即， ∴， 解得：； （2）解：∵，且取最大的整数， ∴， ∴原方程为：， ∴， 即， 解得：；． 【变式训练9 因式分解解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）解方程： (1)（因式分解） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法． 2．（22-23九年级上·广东韶关·阶段练习）阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答． 分解因式：． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程－因式分解法．仿照例题的方法，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得或． 所以原方程的解为，； （2）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得或． 所以原方程的解为，； （3）解：方程左边因式分解，得 ． 于是得，或． 所以原方程的解为，． 3．（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)过程见解析 【分析】（1）根据等式的性质作答即可； （2）先移项，然后用因式分解法求解． 【详解】（1）解：∵可能为0， ∴不能除以， ∴第②步出现了错误 故答案为②． （2）解：方程两边因式分解，得， 移项，得， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 【变式训练10 换元法解一元二次方程】 1．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出和是解此题的关键． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程中或， 解得：，， 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设，则原方程为，利用因式分解法解得或（舍去），则． 【详解】解：设，则原方程为， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）阅读材料：解方程时，我们可以将视为一个整体， 设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次转化为一元二次方程的目的．这一过程体现了数学整体思想和转化的思想． 类比应用：运用上述方法解方程：． 【答案】，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程化为：，得出方程的解，当时，当时，代入原方程即可求解，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的一般步骤． 【详解】解：设，则：， 原方程化为：， 解得：，， 当时，，即：， 解得：，， 当时，，即：（舍去）， ∴原方程的解为，． 【变式训练11 一元二次方程的新定义解法】 1．（2023·河南新乡·一模）定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）对于实数a，b，定义一种运算“※”为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算以及根据根得情况求参数，根据新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解方程即可． 【详解】解：， 整理得：， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，且， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·山东济南·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程” (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则之间的关系为______． (4)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2)2 (3) (4)0 【分析】（1）求解一元二次方程即可进行判断； （2）设方程的两个根分别为：，将根代入方程积累二元一次方程组即可求解； （3）设方程的两个根分别为：，根据根与系数的关系消去即可求解； （4）方程的两个根为：，根据题意可得或，分类讨论即可． 【详解】（1）解： 解得： ∵ ∴该方程不是“倍根方程” 故答案为：不是 （2）解：设方程的两个根分别为： ∴ 解得： 故答案为：2 （3）解：设方程的两个根分别为： 则由根与系数的关系可得： 消去得： 故答案为： （4）解：方程的两个根为： ∴或 当时，； 当时， 故： 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解题关键． 1．（2024·河南驻马店·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查根的判别式，分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系得出答案． 【详解】解：A．∵， ∴方程没有实数根，不符合题意； B．∵， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； C．方程化为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意； D．∵， ∴方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 2．（2024·河南安阳·三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值不可以是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义、一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程的根的判别式大于零时，该方程有两个不相等的实数根成为解题关键． 根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列不等式求解求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：且， ∴只有C选项符合题意． 故选：C． 3．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 根据题意得出且，求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， 且， 解得且， 故选：． 4．（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可． 本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键． 【详解】∵ ，， ∴， 整理，得， 解得或， 故选C． 5．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，，，，分别是边长为4的正方形四条边上的点（不与顶点重合），且满足，记，则下列四个变量中，不存在最小值的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．先证四边形是正方形，可得，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 同理可得：，， ，， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， 当时，有最小值，有最小值， 有最小值， 故选：A． 6．（2024·湖南衡阳·二模）已知关于x的方程有一个根为，则另一个根为 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解及解一元二方程．将代入方程求出m的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：根据题意：， ， 关于x的方程为， ， ， 另一个根为， 故答案为：． 7．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根据题意得出，进而解方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有一个解为， ∴ ∴ 即 ∴ 解得： 故答案为：． 8．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知平行四边形的两条邻边长，的长分别是关于x的方程的两个实数根，当 时，四边形是菱形． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质．先根据菱形的性质得到，则根据根的判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可解题． 【详解】解：由题可得：， 则方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2020 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得， ， 则代数式的最小值是2020． 故答案为：2020． 10．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）已知实数满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ∵． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题． 已知实数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据换元法解一元二次方程是解题的关键．令，则原方程为，结合可得答案． 【详解】解：令； 则原方程为； 解得：或； ∵； ∴； ∴； 故答案为：． 11．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）解下列方程． (1)． (2)． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的直接开平方法和因式分解法是解题的关键． （1）用直接开平方法解方程； （2）先把方程左边利用十字相乘法分解因式，然后解方程． 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 因式分解，得 或 解得； 12．（23-24八年级下·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)方程无解 【分析】本题考查一元二次方程的解法，灵活选用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二方程即可； （2）先把方程整理为一般式得到得，然后利用公式法解方程． 【详解】（1）解： 或 解得：，； （2）解： ， ， 方程没有实数根， ∴方程无解． 13．（2024八年级下·安徽·专题练习）当为整数时，关于的方程是否有有理根？如果有，求出的值；如果没有，请说明理由． 【答案】当为整数时，关于的方程没有有理根．理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，为完全平方数时，方程有有理根．先计算出△，并设（n为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．变形为，，利用，都为整数进行讨论即可． 【详解】解：当为整数时，关于的方程没有有理根．理由如下： ①当为整数时，假设关于的方程有有理根，则要为完全平方数，而， 设（n为整数），即为整数），所以有， 与的奇偶性相同，并且、都是整数， 所以或， 解得， ②时，（不合题意舍去）． 所以当为整数时，关于的方程没有有理根． 14．（2024·北京石景山·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立； （2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可． 本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根． 【详解】（1）证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得， ∵， ，， ， ， ． 15．（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为是解题的关键． （1）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可解答； （2）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可得到m的最小整数值． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， 可得， 当，即时，此方程没有实数根； （2）解：∵有两个实数根， ∴， ∴； ∴m的最小整数值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$