暑假作业12 空间中点、线、面的垂直关系-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（人教A版2019必修第二册）

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 空间中点、线、面的垂直关系 空间中的垂直关系 （1） 线线垂直 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 （2） 线面垂直的判定定理 判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 图形语言 符号语言 （3） 线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 图形语言 符号语言 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 （4） 面面垂直的判定定理 判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） 图形语言 符号语言 （5） 面面垂直的性质定理 性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 图形语言 符号语言 一、单选题 1．设α是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】选项A和D，通过举出例子判断正误；选项B，由线面垂直的判定定理得结果正确；选项C，利用线面垂直的性质，可得，从而判断出结果的正误. 【详解】对于选项A，如图1，当，满足时，与可以斜交，故选项A错误， 对于选项B，因为，所以，因为，则由线面垂直的判定定理得，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以，因为，所以，故选项C错误， 对于选项D，若，则与可以相交、平行或异面，如图2，满足，而与异面，故选项D错误， 故选：B. 2．在四面体中，为正三角形，与平面不垂直，则下列说法正确的是（    ） A．与可能垂直 B．在平面内的射影可能是 C．与不可能垂直 D．平面与平面不可能垂直 【答案】A 【分析】A选项只需满足即可，选项与题干矛盾，C选项与A选项矛盾， D选项只需满足平面即可. 【详解】如图所示：取的中点，连接，    假设，因为为等边三角形，所以， 又因为，所以平面，所以 又因为是中点，所以，只需满足，即可做到，故A正确C错误； 对于B：若在平面内的射影为，则有平面，与题干矛盾，故B错误； 对于D：过点可以做出一条直线，使得该直线垂直与平面，点只需在该直线上， 即满足平面即可达到要求，故D错误. 故选：A 3．如图，在四棱锥中，平面，那与垂直的充分条件是（　　） A．四边形为矩形 B．四边形为菱形 C．四边形为平行四边形 D．四边形为梯形 【答案】B 【分析】利用，结合，利用线面垂直的判定反推出，进而可得答案. 【详解】若满足，又因为平面，平面    ， 所以， 又，平面，故平面， 又因为平面，所以， 故当时，即可推出. 所以四边形为菱形． 故选：B. 4．如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论： ①；②；③平面；④平面. 其中恒成立的为（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．②③④ 【答案】A 【分析】连接，证得平面平面，得到平面，设与交于点，证得平面，得到平面，得出，所以①恒成立；对于线段MN上的任意一点P时，②④不一定成立，即可求解. 【详解】如图所示，连接， 因为分别是的中点，所以， 又因为，且平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，平面，所以③恒成立； 设与交于点，则为底面正方形的中心，且， 由正四棱锥，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以平面，因为平面，所以，所以①恒成立； 对于②④对于线段MN上的任意一点P不一定成立. 故选：A. 5．如图，点为正方形的中心，平面，，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 【答案】A 【分析】连接，利用正方形中心的性质易得N为中点，所以易证明四点共面，再利用已知的空间关系就可以得证相等关系. 【详解】如图所示：连接，点为正方形的中心， 则经过点，且点为中点，又因为是线段的中点， 所以在中，，所以四点共面，即直线是相交直线； 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 又在正方形中可得：，所以， 同理可证，所以是正三角形，即， 故选：A． 二、多选题 6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若 则； ②若 则； ③若， 则； ④若 则. 其中正确命题的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BC 【分析】根据线面，面面平行或垂直的位置关系，即可判断选项. 【详解】①没说明直线垂直于两平面的交线，所以不能判断，故①错误； ②根据面面平行的性质定理，若 ，则，故②正确； ③垂直于同一条直线的两个平面平行，所以若，则， 若，则，故③正确； ④若，则平行或相交，若，则或相交或，故④错误. 故选：BC 7．如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于、的任一点，则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面平面 【答案】BD 【分析】利用线面垂直的性质可判断B选项；利用面面垂直的判定定理可判断D选项；利用反证法可判断AC选项. 【详解】因为平面，平面，所以，， 因为点是以为直径的圆上且异于、的任一点，，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，平面平面，B对D对； 因为平面，平面，则，则为锐角， 即与不垂直，故与平面不垂直，C错； 若，又因为，，、平面， 所以，平面，与C选项矛盾，A错. 故选：BD. 8．如图（1），在矩形中，，是的中点，沿将折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】首先证明平面，即可判断A、B，在平面图形中取的中点，连接，交于点，即可得到，连接，即可得到为二面角的平面角，利用勾股定理逆定理得到，从而得到平面平面，即可判断C、D. 【详解】因为，且，平面，所以平面． 又平面平面，所以平面平面，平面平面，故A，B正确． 如图（1），取的中点，连接，交于点，则和均为等腰直角三角形， 所以，所以，即， 如图（2），连接，因为，，所以为二面角的平面角． 设，则，在中，，为的中点，故． 所以，所以， 所以平面平面，则平面与平面不垂直，故C错误，D正确． 故选：ABD．    三、填空题 9．已知正方体，点为线段上的点，则满足平面的点的个数为 . 【答案】1 【分析】根据面面垂直的性质定理及在一个平面内过一点作已知直线的垂线的唯一性可得结果. 【详解】在正方体中，面，所以平面面， 且平面面，连接，交于P，则有, 即，由面面垂直的性质定理有平面， 又在平面内过点作直线的垂线有且仅有一条， 故垂足点P有且仅有一个， 故答案为：1.     10．下列命题正确的是 .（填序号） ①若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； ②垂直于同一条直线的两直线平行； ③两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，必垂直与另一个平面； ④过两个点与已知平面的垂直的平面可能不存在； ⑤过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直； ⑥到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个. 【答案】①⑤⑥ 【分析】根据题意，由直线与直线，直线与平面的位置关系，依次分析6个命题，即可判断． 【详解】对于①： 如图，，平面平面，所以，同理，所以， 又因为，所以， 又，所以，所以， 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行，故①正确； 对于②：垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面，故②错误； 对于③：根据面面垂直的性质定理可知，两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点（不在交线上）作交线的垂线，必垂直与另一个平面， 当该点在交线上时，作交线的垂线，得不到该直线与另一个平面垂直，故③错误； 对于④：分3种情况讨论：若两点确定的直线在已知平面内，则过两点与一个已知平面垂直的平面有且只有一个； 若两点确定的直线不在平面内，但与已知平面不垂直，则过两点与一个已知平面垂直的平面有一个， 若两点确定的直线不在平面内且与已知平面垂直，则过两点与一个已知平面垂直的平面有无数个， 综上，过两点与一个已知平面垂直的平面有一个或无数个，一定存在，故④错误； 对于⑤：设直线、异面，过直线上一点作直线， 使得且，如下图所示： 设直线、确定平面，过空间中任意一点，有且只有一条直线，使得， 因为、，则，，又因为，则， 故过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直，故⑤正确； 对于⑥：到一个四面体的四个顶点的距离相等的平面，可以看作是与一个四面体四个顶点距离相等的平面， 可以是与两条对棱平行，这样的平面有3个， 也可以是与一个底面平行，与另一个顶点距离相等，这样的面有4个， 则到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个，⑥正确． 故答案为：①⑤⑥ 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是正确理解空间中线线、线面、面面的位置关系，利用反例及适度的数形结合是有效且快速的处理方法. 四、解答题 11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）借助中位线的性质与线面平行判定定理推导即可得； （2）借助线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理推导即可得； （3）借助点为线段的中点，可得点与点到平面距离相等，即有，结合体积公式计算即可得. 【详解】（1）连接交于点，连接， 由底面是正方形，故为中点， 又点为线段的中点，故， 又平面，平面， 故平面； （2）由点为线段的中点，，故， 由平面，平面，故， 又底面是正方形，故， 又、平面，， 故平面，又平面， 故，又、平面，， 故平面； （3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等， 故. 12．如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，M，N分别为的中点，直线PC与面所成角的正切值为． (1)证明：平面； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）取边中点，连接，由面面平行的判定定理证明平面平面，即可得到平面， （2）先由面面垂直的性质得到平面，再利用线面角的正切值得到底面为正方形，然后由得到，最后证得平面即可. 【详解】（1） 证明：取边中点，连接， 因为M，N分别为的中点，由三角形中位线的性质可得 平面，所以平面， 又底面为矩形，所以且相等， 所以四边形为平行四边形，所以， 平面，所以平面， 因为平面，又平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面. （2） 取中点，连接，， 因为侧面是边长为2的正三角形，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面， 所以，即为直线PC与面所成的线面角， 又直线PC与面所成角的正切值为， 所以， ， 所以， 又，所以底面为正方形， 平面，所以 在正方形中，易得， ， 而， ， ，且平面， 平面， 因为平面， 1．（多选）如图，在圆柱中，轴截面ABCD为正方形，点F是的上一点，M为BD与轴的交点．E为MB的中点，N为A在DF上的射影，且平面AMN，则下列选项正确的有（    ） A．平面AMN B．平面DBF C．平面AMN D．F是的中点 【答案】BCD 【分析】利用线面关系即可判断A；利用线面垂直的判断定理和性质定理，即可判断BC；利用图形，结合垂直关系和平行关系的转化，即可判断D. 【详解】A.由题意可知，点是的中点，所以点三点共线， 所以点平面，所以平面， 则直线与平面不平行，故A错误； B.因为平面，平面，所以， 且，，且平面， 所以平面，且平面， 且平面平面， 因为，所以平面，故B正确； C.由平面，平面，所以， 因为轴截面ABCD为正方形，点是的中点，所以， ，且平面，所以平面，故C正确； D. 平面，平面，所以，且点是的中点， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以，且是的中点， 所以，且,所以， 则，点F是的中点，故D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题考查线线，线面，面面的位置关系，本题的关键是能从几何体中抽象出线线，线面的位置关系，以及根据几何图形的性质，转化几何关系. 2．已知、为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则（    ） A．， B．， C．直线， D．直线， 【答案】C 【分析】利用反证法，面面平行、线面垂直的性质可以判断A、B两个选项，利用线面垂直、面面垂直的性质可以判断C、D两个选项. 【详解】选项A，假设，则，与、为异面直线矛盾，故A错误； 选项B，假设，结合，得到，与矛盾，故B错误； 选项C、D， 因为、为异面直线，所以在空间内过一点可以作，则，，即垂直于与所在的平面， 又因为平面，平面，所以平面，平面，所以平面既垂直于平面，又垂直于平面， 所以平面与平面 相交，且交线垂直于平面，故平行于，故C正确. 故选：C. 3．如图所示，在矩形中，已知，是的中点，沿将折起至的位置，使.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，的中点，得到，易知，，得到平面，，再结合，得到平面，从而得到平面平面. 【详解】如图所示，取的中点，的中点，连接， 则. ，是的中点， ，即. . ，. 在四边形中，， 又，平面， 平面， 平面，. 且， ∴直线必与直线相交，且平面. 又，， 平面. 又平面， ∴平面平面. 4．如图，在直三棱柱中，点在棱上，点为的中点，且平面平面，，，. (1)求证：是的中点； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）添加辅助线，由平面平面，得到，由为的中点，所以是的中点； （2）由题意证明出平面，进而证出，由且得出，最后由线面垂直的判定定理证明出结论即可. 【详解】（1） 证明：如图连接，与交于点，为的中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 又在中，为的中点，所以是的中点. （2）因为底面，平面，所以， 又为棱的中点，，所以 因为，、平面，所以平面， 平面，所以， 因为，所以，又， 在和中，， 所以，    即，所以， 又，、平面，所以平面. 5．如图，在直三棱柱中，分别为的中点，侧面为正方形，求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）连接交于点，易证明，问题得证； （2）先利用直棱柱去证明平面，再利用正方形去证明，最后证明平面，问题即可得证. 【详解】（1） 证明：连接交于点，连接，因为侧面是矩形， 所以是的中点，又因为为的中点，所以， 又因为面面， 所以平面. （2）证明：因为侧面为正方形，分别为的中点， 所以，所以， 又因为，所以，即， 因为为的中点，所以， 又因为直三棱柱，所以平面，又面， 所以，又因为，所以平面， 又面，所以， 又因为，所以平面， 又因为面，所以. 1．（多选）如图，在四边形中，，将沿进行翻折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是（    ）    A．始终有 B．当平面平面时，平面 C．当平面平面时，直线与平面成角 D．当平面平面时，三棱锥外接球表面积为 【答案】BCD 【分析】利用反证法证明即可判断A；根据面面垂直的性质与线面垂直的判定定理和性质可得，结合线面垂直的判定定理即可判断B；由选项B可知平面，确定线面角即可判断C；由选项BC知，如图，确定球心和半径，结合球的表面积公式计算即可判断D. 【详解】A：若假设，由， 得，又，所以， 即，又平面， 所以平面，又平面， 所以，与矛盾，故A错误； B：在四边形中，由已知可得：. 因为平面平面，又平面平面，平面，， 所以平面，又平面，所以. 因为，平面，可得平面，故B正确； C：由选项B知，由平面，则为直线与平面所成的角是，故C正确； D：当平面平面时，由B、C选项知，平面，平面， 平面，平面，所以， 所以取的中点，有， 即为三棱锥外接球的球心，且半径， 所以三棱锥外接球表面积，故D正确. 故选：BCD.    【点睛】思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 2．（多选）如图，在棱长为的正四面体中，点，分别为和的重心，为线段上一点．则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则 B．若平面，则三棱锥的体积为 C．若为线段的中点，且平面，则 D．的最小值为2 【答案】BC 【分析】由题设易知为正四面体内切球的球心且半径为，应用等体积法可得，即可判断A；结合A可知，即可判断B；根据线面平行的性质得到，设，根据平面向量线性运算得到、，再由求出参数即可判断C；正四面体侧面重心的性质知平面，根据线面垂直的性质有，，即可判断D. 【详解】对于A： 在正四面体中平面，所以， 则点为正四面体内切球的球心， ，则. 设正四面体内切球的半径为， 因为， 所以， 解得，而， 所以，故，故A错误. 对于B： 由A知，故B正确； 对于C： 若为线段的中点，且平面， 又平面平面，平面，所以， 因为 ， 设， 则. 因为，故，即， 又、不共线， 所以，解得，故，故C正确； 对于D：因为平面，平面， 所以，. 当与重合时，取得最小值，最小值为，故D错误. 故选：BC 3．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，平面平面，点是棱的中点，平面与棱交于点.    (1)求证：平面； (2)为平面内一动点，为线段上一点； ①求证：； ②当最小时，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）借助线面平行的判定定理和性质定理即可得证； （2）①证明直线平面即可得证；②由，得，所以当最小时，取得最小值，故转化为平面内的相似比问题，即可求解. 【详解】（1）证明：因为平面平面 所以平面， 又平面，平面平面 所以. 又平面平面， 所以平面. （2）解：①由平面平面又平面平面， 所以平面，所以，由（1），，故， 又是棱的中点，则为棱中点，为正三角形， 所以平面， 所以平面，且平面， 所以. ②因为.且为棱中点， 所以， 所以 当为与平面的交点时，， 故当最小时，取得最小值，此时， 因为， 所以， 同理， 当时，可得为中点，取中点，连接，如图：    则有且， 有， 所以. 1．（广东·高考真题）已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项即可. 【详解】对于A，若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误； 对于B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误； 对于C，若，，则与可能平行，也可能相交或异面，故C错误； 对于D，若，则由线面平行的性质定理可知，必有，使得， 又，则，因为，所以，故D正确. 故选：D. 2．（全国·高考真题）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题： ①若l垂直于α内两条相交直线，则； ②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线； ③若，且，则； ④若且，则； ⑤若，且，则． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②⑤，可举出反例；对于③考虑的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确． 【详解】对于①，由线面垂直的判断定理可知，若l垂直于a内的两条相交直线，则，故①正确， 对于②，若，如图1，    可知，与是异面关系，故②不正确， 对于③，若，且，无法得到，故无法得到，故③不正确， 对于④，根据面面垂直的判断定理可得，若且，，则，故④正确， 对于⑤，如图2，满足，且，则异面，    故⑤不正确， 故正确命题的序号是 ①④． 故答案为：①④ 3．（全国·高考真题）如图，已知是正三棱柱，D是AC中点. (1)证明:∥平面； (2)假设，，求线段在侧面上的射影长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）结合已知条件，利用中位线性质和线面平行判定定理即可证明； (2)利用正三棱柱性质，面面垂直性质，线面垂直性质和判定定理证明平面，进而可得到所求射影线段，最后利用勾股定理即可求解. 【详解】（1）连接交于，连接，如下图所示： 由平行四边形性质可知，为的中点， 因为D是AC中点， 所以为的中位线， 故， 因为平面，平面， 所以∥平面. （2）取的中点，连接，连接交于，如下图所示： 由正三棱柱的性质可知，平面平面，为正三角形， 故， 因为平面平面，平面， 所以平面， 从而线段在侧面上的射影为线段， 因为平面， 所以， 因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 由平面几何性质可知，， 从而，即，， 不妨设， 因为， 所以，，即，， 由勾股定理可知，，解得， 从而， 故线段在侧面上的射影长为. 4．（安徽·高考真题）已知三棱柱中，底面边长和侧棱长均为a，侧面底面，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：面． 【答案】(1)异面直线与所成角的余弦值为； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据异面直线的夹角的定义确定异面直线与所成角的平面角，结合面面垂直性质定理证明，解三角形求异面直线夹角余弦； （2）证明，，由线面垂直判定定理证明结论. 【详解】（1）因为，所以为异面直线与所成的角或其补角， 取的中点为，连接，，由已知， 所以，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，，所以， 又，，所以， 因为，，，平面， 所以平面，平面，所以， 又，所以，在中，，， 所以，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （2）由已知四边形为菱形，所以， 又，，平面， 所以平面. 5．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面； (2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求. 【详解】（1）证明：因为平面，平面, 所以, 又因为，即， 平面，, 所以平面， 又因为平面, 所以平面平面. （2）如图，    过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为. 因为平面，平面, 所以,, 又因为，为公共边， 所以与全等，所以. 设，则， 所以为中点，, 又因为,所以, 即，解得， 所以， 所以四棱锥的高为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 空间中点、线、面的垂直关系 空间中的垂直关系 （1） 线线垂直 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 （2） 线面垂直的判定定理 判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 图形语言 符号语言 （3） 线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 图形语言 符号语言 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 （4） 面面垂直的判定定理 判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） 图形语言 符号语言 （5） 面面垂直的性质定理 性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 图形语言 符号语言 一、单选题 1．设α是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．在四面体中，为正三角形，与平面不垂直，则下列说法正确的是（    ） A．与可能垂直 B．在平面内的射影可能是 C．与不可能垂直 D．平面与平面不可能垂直 3．如图，在四棱锥中，平面，那与垂直的充分条件是（　　） A．四边形为矩形 B．四边形为菱形 C．四边形为平行四边形 D．四边形为梯形 4．如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论： ①；②；③平面；④平面. 其中恒成立的为（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．②③④ 5．如图，点为正方形的中心，平面，，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 二、多选题 6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若 则； ②若 则； ③若， 则； ④若 则. 其中正确命题的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 7．如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于、的任一点，则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面平面 8．如图（1），在矩形中，，是的中点，沿将折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 三、填空题 9．已知正方体，点为线段上的点，则满足平面的点的个数为 . 10．下列命题正确的是 .（填序号） ①若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； ②垂直于同一条直线的两直线平行； ③两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，必垂直与另一个平面； ④过两个点与已知平面的垂直的平面可能不存在； ⑤过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直； ⑥到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个. 四、解答题 11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 12．如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，M，N分别为的中点，直线PC与面所成角的正切值为． (1)证明：平面； (2)证明：． 1．（多选）如图，在圆柱中，轴截面ABCD为正方形，点F是的上一点，M为BD与轴的交点．E为MB的中点，N为A在DF上的射影，且平面AMN，则下列选项正确的有（    ） A．平面AMN B．平面DBF C．平面AMN D．F是的中点 2．已知、为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则（    ） A．， B．， C．直线， D．直线， 3．如图所示，在矩形中，已知，是的中点，沿将折起至的位置，使.求证：平面平面. 4．如图，在直三棱柱中，点在棱上，点为的中点，且平面平面，，，. (1)求证：是的中点； (2)求证：平面； 5．如图，在直三棱柱中，分别为的中点，侧面为正方形，求证： (1)平面； (2). 1．（多选）如图，在四边形中，，将沿进行翻折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是（    ）    A．始终有 B．当平面平面时，平面 C．当平面平面时，直线与平面成角 D．当平面平面时，三棱锥外接球表面积为 2．（多选）如图，在棱长为的正四面体中，点，分别为和的重心，为线段上一点．则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则 B．若平面，则三棱锥的体积为 C．若为线段的中点，且平面，则 D．的最小值为2 3．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，平面平面，点是棱的中点，平面与棱交于点.    (1)求证：平面； (2)为平面内一动点，为线段上一点； ①求证：； 1．（广东·高考真题）已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（全国·高考真题）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题： ①若l垂直于α内两条相交直线，则； ②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线； ③若，且，则； ④若且，则； ⑤若，且，则． 其中正确命题的序号是 ． 3．（全国·高考真题）如图，已知是正三棱柱，D是AC中点. (1)证明:∥平面； 4．（安徽·高考真题）已知三棱柱中，底面边长和侧棱长均为a，侧面底面，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：面． 5．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$