暑假作业11 空间中点、线、面的平行关系-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（人教A版2019必修第二册）

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 空间中点、线、面的平行关系 空间中的平行关系 （1） 线线平行 ①三角形、四边形的中位线与第三边平行，②平行四边形的性质（对边平行且相等） ③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 （2） 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 图形语言 符号语言 （3） 线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 图形语言 符号语言 （4） 面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 图形语言 符号语言 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 图形语言 符号语言 （5） 面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 一、单选题 1．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（    ） A． B．； C． D．. 【答案】B 【分析】根据面面平行的判定定理可判定A，根据面面平行的性质定理可判定B，根据线面平行的判定定理可判定C，根据线面平行的性质定理可判定D. 【详解】选项A：由面面平行的判定定理可知，由于m，n不一定相交，故A错误； 选项B：由面面平行的性质定理可知B正确； 选项C：由线面平行的判定定理可知，m可能在内，故C错误； 选项D：由线面平行的性质定理可知，m，n可能异面，故D错误； 故选：B. 2．已知正方体的棱的中点分别，则下列直线中，与平面和平面的交线平行的直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出平面和平面的交线图，结合中位线定理即可得解. 【详解】设，连接， 而平面，平面， 则平面平面， 作出平面和平面的交线如图所示： 另一方面：由正方形的性质可知分别是的中点， 从而，同理有， 对比选项可知与平面和平面的交线平行的直线. 故选：A. 3．在空间四边形中，分别为的中点，分别为上的点，且，则（    ） A．平面且为矩形 B．平面且为菱形 C．平面且为平行四边形 D．平面且为梯形 【答案】D 【分析】根据平行线等分线段定理、线面平行的判定定理、三角形中位线定理，结合矩形、梯形、菱形、平行四边形的定义进行判断即可. 【详解】因为分别为的中点， 所以且， 因为分别为上的点，且， 所以且， 所以且， 所以四边形为梯形， 又平面，平面， 所以平面. 故选：D. 4．如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（    ） A．与互相平行； B．与是异面直线； C．与相交，其交点在直线上； D．与相交，且交点在直线上． 【答案】D 【分析】推导出四边形是梯形，从而判断AB，推导出平面，平面，再由平面平面，得，从而平面，判断C；推导出与相交，与相交，与平面相交，且只有一个交点，判断D. 【详解】因为，， 所以四边形是梯形， 所以与共面，且不平行，AB错误； 则与相交， 对于C，因为平面，平面， 平面，平面， 所以平面，平面， 又平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，故C错； 对于D，若与平行，平面，平面， 则，又平面，且平面平面， 则，所以，与四边形是梯形矛盾， 所以与不平行， 又平面， 所以与相交，与不平行，平面， 所以与相交， 综上，与平面相交，且只有一个交点， 所以与相交，且交点在直线上，D正确. 故选：D 5．如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：    ①与是异面直线； ②相交于一点； ③； ④平面. 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据两平行线可确定一个平面判断①；根据两条直线的交点在第三条直线上判断②；由题意可证为平行四边形，可知，可判断③；由③的线线平行可证线面平行，判断④. 【详解】    对于①，连接，在正方体中，因为，且， 所以，四边形为平行四边形， 所以， 又因为分别是的中点， 所以，所以， 所以与是相交直线，故①错误；    对于②，因为与是相交直线，设交点为， 因为面，所以面， 又面，所以面， 又因为平面平面， 所以，所以相交于一点，故②错误， 对于③，令，故为中点，    因为，分别是，的中点， 所以，又， 则为平行四边形， 所以，而，所以与异面，故③错误； 对于④，由③知，， 又因为平面，平面， 所以平面，即平面，故④正确. 故选：C 二、多选题 6．已知直线，，平面，，则下列说法错误的是（　　） A．，，则 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，，，则 【答案】ABC 【分析】结合空间中点、线、面的位置关系与面面平行的判定定理逐项判断即可得. 【详解】选项A中，若，，则可能在内，也可能与平行，故A错误； 选项B中，若，，，，则与也可能相交，故B错误； 选项C中，若，，，则与也可能相交，故C错误； 选项D中，若，，，，， 依据面面平行的判定定理可知，故D正确． 故选：ABC． 7．已知三棱台，上下底面边长之比为，棱的中点为点，则下列结论错误的有（    ） A． B．与为异面直线 C．面 D．面面 【答案】AC 【分析】根据异面直线的定义可判断AB；判断出可判断C；由面面平行的判定定理可判断D. 【详解】对于A，因为平面，平面，平面， 且，所以是异面直线，故A错误； 对于B，因为平面，平面，平面， 且，所以与为异面直线，故B正确； 对于C，因为棱的中点为点，所以，因为， 所以，可得平面，故C错误； 对于D，因为的中点为点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，，所以四边形为平行四边形，可得， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面面， 故D正确. 故选：AC. 8．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A．存在点，使四点共面 B．存在点，使平面 C．三棱锥的体积为 D．经过四点的球的表面积为 【答案】ABC 【分析】由题意，当Q与点重合时，四点共面，即可判断A；根据平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可判断B；利用等体积法和棱锥的体积公式计算即可判断C；易知经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球，求出球的半径即可判断D. 【详解】A：如图，在正方体中，连接． 因为N，P分别是的中点，所以． 又因为，所以． 所以四点共面，即当Q与点重合时，四点共面，故A正确； B：连接，当Q是的中点时，因为，所以． 因为平面平面，所以平面，故B正确； C：连接，因为，则 ，故C正确； D：分别取的中点E，F，构造长方体， 则经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球． 设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径， 即， 所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故D错误． 故选：ABC 三、填空题 9．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则    【答案】 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，由，得， 连接BG，FG，则，由平面，平面， 得平面，而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面，则， 所以. 故答案为：    10．如图，四棱锥的所有棱长都等于，为线段的中点，过，，三点的平面与交于点，则四边形的周长为 . 【答案】 【分析】借助线面平行的判定定理与性质定理可得点位置，即可注意计算四边形边长. 【详解】由题意知，四边形为菱形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ，则， 为的中点，则为的中点，， 是边长为2的等边三角形，则， 且， 同理可得， 因此四边形的周长为. 故答案为：. 四、解答题 11．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明见解析 【分析】（1）过点作，交于点，连接，证得证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）取取一点，使得，证得，得到平面，结合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面． 【详解】（1）过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下： 取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 12．如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面； (3)若底面边长为，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1） 借助三角形的中位线，证明，即可得到，，，四点共面； （2） 证明，，即可得到平面，平面，从而得到平面平面，即可得证； （3）由，求三棱锥的体积. 【详解】（1）∵，分别是，的中点， ∴是的中位线，∴， 又在三棱柱中， ， ∴， ∴，，，四点共面． （2）∵在三棱柱中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. 又，是，的中点，所以，又， 所以，平面，平面，∴平面， 又，平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面. （3）由题意，知 ． 1．（多选）如图，已知在正方体中，和分别为和的中点，则（    ） A．直线与为异面直线 B．正方体过点，，的截面为三角形 C．直线平面 D．平面平面 【答案】ACD 【分析】根据，，，四点不共面可判断A；由是的中点，可知在平面，根据，可知在平面，得到截面图形可判断B；利用线面平行的判定定理可判断C；利用面面平行的判定定理可判断D. 【详解】 对于A，由图知，，，在平面内，不在平面内， 所以，，，四点不共面，直线与为异面直线，故A正确； 对于B，因为点是的中点，所以点在平面， 因为，所以点在平面， 所以截面为平行四边形，故B错误； 对于C，连接，和分别为和的中点，所以， 平面，平面，所以直线平面，故C正确； 对于D，因为，平面，平面， 所以平面，同理平面， 且，平面，平面， 所以平面平面，故D正确. 故选：ACD. 2．如图，四棱锥为正四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，四棱锥的高为1，点E在棱AB上，且． (1)若点F在棱PC上，是否存在实数满足，使得平面PDE？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由． (2)在第（1）问的条件下，当平面PDE时，求三棱锥的体积． 【答案】(1)存在； (2) 【分析】（1）先由线面平行的判定定理证明平面PDE，得到，再由面面平行的判定定理证明平面平面PDE即可. （2）由等体积法结合棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1） 存在实数满足，使得平面PDE． 证明如下：取DC上一点G，满足，连接GF，GB，BF． 因为，所以． 因为平面PDE，平面PDE，所以平面PDE． 因为底面ABCD是正方形，且，所以且相等， 所以四边形EBGD为平行四边形，所以． 因为平面PDE，平面PDE，所以平面PDE． 又因为，平面BGF，平面BGF， 所以平面平面PDE． 又因为平面BGF，所以平面PDE． （2）已知，因为平面PDE，所以． 又因为正四棱锥的高为1，底面边长为2，所以． 3．在直三棱柱中，点D，E分别为棱AB，的中点，点F在棱上. (1)试确定点F的位置，使得平面平面CDE，并证明； (2)若多面体的体积为直三棱柱体积的，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由点分别为的中点，证得平面，再由四边形是平行四边形，得到，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面； （2）设的面积为，得到四棱锥的体积为，设，列出方程求得，即可求解. 【详解】（1）证明：当点为棱的中点时，平面平面， 证明如下：由点分别为的中点，可得， 因为平面，平面，可得平面， 又因为，可得四边形是平行四边形，可得， 因为平面，平面，可得平面， 又因为，且，所以平面平面. （2）解：设的面积为，，可得直三棱柱的体积为， 多面体的体积为直三棱柱体积的，即为， 由三棱锥的体积为， 可得四棱锥的体积为， 设，点到侧面的距离为， 则，解得，则. 4．知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)当的值为时，能使平面平面，证明见解析 【分析】（1）连结并延长与的延长线交于点，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意先证平面，结合（1）平面，分析证明. 【详解】（1）连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以， 所以. 又平面，平面， 故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即有，故.所以. 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面. 5．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足.    (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证； （2）求出和时的长度，即可得到的取值范围. 【详解】（1）连接，因为为的中点，当时即，所以为的中点， 所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又平面，平面，所以平面.    （2）当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以，则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形，所以， 所以， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又， 此时，    当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为.    1．（多选）已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在上，满足，则下列表述正确的是（    ） A．时，平面 B．时，平面平面 C．任意，三棱锥的体积为定值 D．过点的平面分别交于，则的范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，利用并使用线面平行的判定定理即可；对于B，使用反证法，并利用面面平行的性质即可；对于C，证明到直线的距离和到平面的距离均为定值即可；对于D，直接计算得到即可. 【详解】 如图，设的中点为，的中点为，直线与直线和分别交于点. 对于A，当时，是的中点，而是的中点， 所以，而在平面内，不在平面内， 所以平行于平面，A正确； 对于B，假设平面平行于平面， 由于在平面内，故平行于平面. 由于是的中点，是的中点，所以，. 这就得到四边形是平行四边形， 所以，且该平行四边形确定一个平面. 由于在平面内，平行于平面，平面和平面有公共点， 所以平面和平面有一条过的交线，且该直线平行于. 又因为，所以该交线就是，这意味着在平面内， 再由在直线上，知四点共面，这与正方体的性质矛盾. 故平面与平面不平行，B错误； 对于C，由于，在直线上，所以到直线的距离恒为定值. 同样因为，可知一对平行线和确定一个平面， 设到平面的距离为，则由在直线上，可知到平面的距离为. 从而，恒为定值，C正确； 对于D，由于均在平面上，故是和的交点，是和的交点. 同时，我们有，. 当时，由相似三角形知识可得，. 所以，. 从而，. 注意到的中点为，则当时，分别与重合； 当时，分别与重合，容易验证知，亦成立. 所以，而，所以的取值范围是，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对线面平行与面面平行的性质，以及平面的性质的灵活运用。 2．如图，在正方体中，、、、分别是棱、、、的中点，则下列结论中正确的有 .    ①平面    ②平面 ③、、、四点共面    ④、、、四点共面 【答案】①③ 【详解】 连接交于点，则为的中点，连接、、，利用线面平行的判定定理可判断①；取的中点，连接，延长与交与点，连接，可得，结合反证法可判断②；连接，由可判断③；若、、、四点共面，则，显然不成立可判断④. 【分析】 解： 对于①，如下图，连接交于点，则为的中点， 连接、、，    因为，，则四边形为平行四边形， 则且， 因为为的中点，则，， 因为，，所以，， 则四边形为平行四边形， 因为平面，平面，所以平面，①正确； 对于②，取的中点，连接，延长与交与点，连接，    因为，，、分别为、的中点， 所以，，，所以，四边形为平行四边形， 所以，，， 因为，，所以，， 所以四边形是平行四边形，可得， 因为平面，平面，所以直线与平面相交， 设，连接， 假设平面，因为平面，平面平面， 所以，， 又因为，且过点有且只有一条直线与平行，矛盾，假设不成立， 故与平面不平行，②错； 对于③，如下图，连接，则，    因为且，故四边形为平行四边形，所以，， 所以，，故、、、四点共面，③对； 对于④，假设、、、四点共面， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，，则， 这与矛盾，故假设不成立，则、、、不共面，④错. 故答案为：①③. 【点睛】 方法点睛：常见的线面平行的证明方法有： （1）通过面面平行得到线面平行； （2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质. 3．如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点．      (1)求证：平面平面； (2)若平面，求线段的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）因为，，分别是，，的中点，所以，可证平面，同理平面，进而即得； （2）由题意可知点Q在线段上移动，因为是等腰三角形，故是高时最小. 【详解】（1）证明：因为，，分别是，，的中点， 所以，平面，平面， 所以平面． 同理，平面，又因为， 所以平面平面．    （2）解：由（1）可得平面平面，若平面，则点Q在线段上移动， 在中，，，，的最小值为R到线段的距离， 因为是等腰三角形，故的最小值为．    1．（全国·高考真题）（多选）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案． 【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误； 对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确； 对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确； 对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确； 故选：BCD 2．（湖南·高考真题）过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（    ） A．4条 B．6条 C．8条 D．12条 【答案】D 【分析】即：求平面平行的直线，画出图形判断即可. 【详解】如图，过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有12条. 故选：D. 3．（福建·高考真题）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 . 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理，可得到，即可求的长. 【详解】根据题意，因为平面，平面， 且平面平面 所以. 又是的中点，所以是的中点. 因为在中，，故. 故答案为： 4．（湖北·高考真题）如图，在三棱柱中，点、、、分别为、、、的中点，G为的重心，从、、、中取一点作为使得该棱柱恰有2条棱与平面平行，则为（    ） A．K B．H C．G D． 【答案】C 【分析】对、、、四个点逐一进行分析，找出棱柱中与平面平行的棱的条数，即可判断． 【详解】解：取的中点，连接，，，，如图所示： 则，所以四边形为平行四边形， 若取点为，则， 故与平面平行的棱超过2条，不符合题意，故A错误； 对于B选项，当点为点时，取中点，连接 所以 由棱柱性质得， 所以四边形是平行四边形，故平面即为平面， 由于，平面，平面 所以平面，平面， 由于，平面， 所以平面平面， 所以结合棱柱的性质可知均平行于平面， 故B选项错误 对于C选项，当点为时，连接，则为中点， 所以， 由于平面，平面， 故平面，平面，故C选项正确； 对于D选项，当点为点时，连接， 由C选项知， 所以平面即为平面， 此时平面，再没有满足条件的棱，故D选项错误. 故选：C 5．（2022·全国·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出； （2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出． 【详解】（1）如图所示： 分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面． （2）[方法一]：分割法一 如图所示： 分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍． 因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积 ． [方法二]：分割法二 如图所示： 连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.则EH垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业11 空间中点、线、面的平行关系 空间中的平行关系 （1） 线线平行 ①三角形、四边形的中位线与第三边平行，②平行四边形的性质（对边平行且相等） ③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 （2） 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 图形语言 符号语言 （3） 线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 图形语言 符号语言 （4） 面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 图形语言 符号语言 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 图形语言 符号语言 （5） 面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 一、单选题 1．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（    ） A． B．； C． D．. 2．已知正方体的棱的中点分别，则下列直线中，与平面和平面的交线平行的直线（    ） A． B． C． D． 3．在空间四边形中，分别为的中点，分别为上的点，且，则（    ） A．平面且为矩形 B．平面且为菱形 C．平面且为平行四边形 D．平面且为梯形 4．如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（    ） A．与互相平行； B．与是异面直线； C．与相交，其交点在直线上； D．与相交，且交点在直线上． 5．如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：    ①与是异面直线； ②相交于一点； ③； ④平面. 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 6．已知直线，，平面，，则下列说法错误的是（　　） A．，，则 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，，，则 7．已知三棱台，上下底面边长之比为，棱的中点为点，则下列结论错误的有（    ） A． B．与为异面直线 C．面 D．面面 8．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A．存在点，使四点共面 B．存在点，使平面 C．三棱锥的体积为 D．经过四点的球的表面积为 三、填空题 9．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则    10．如图，四棱锥的所有棱长都等于，为线段的中点，过，，三点的平面与交于点，则四边形的周长为 . 四、解答题 11．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 12．如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面； (3)若底面边长为，，求三棱锥的体积. 1．（多选）如图，已知在正方体中，和分别为和的中点，则（    ） A．直线与为异面直线 B．正方体过点，，的截面为三角形 C．直线平面 D．平面平面 2．如图，四棱锥为正四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，四棱锥的高为1，点E在棱AB上，且． (1)若点F在棱PC上，是否存在实数满足，使得平面PDE？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由． (2)在第（1）问的条件下，当平面PDE时，求三棱锥的体积． 3．在直三棱柱中，点D，E分别为棱AB，的中点，点F在棱上. (1)试确定点F的位置，使得平面平面CDE，并证明； (2)若多面体的体积为直三棱柱体积的，求. 4．知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 5．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足.    (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 1．（多选）已知棱长为2的正方体，点是的中点，点在上，满足，则下列表述正确的是（    ） A．时，平面 B．时，平面平面 C．任意，三棱锥的体积为定值 D．过点的平面分别交于，则的范围是 2．如图，在正方体中，、、、分别是棱、、、的中点，则下列结论中正确的有 .    ①平面    ②平面 ③、、、四点共面    ④、、、四点共面 3．如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点．      (1)求证：平面平面； (2)若平面，求线段的最小值． 1．（全国·高考真题）（多选）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 2．（湖南·高考真题）过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（    ） A．4条 B．6条 C．8条 D．12条 3．（福建·高考真题）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 . 4．（湖北·高考真题）如图，在三棱柱中，点、、、分别为、、、的中点，G为的重心，从、、、中取一点作为使得该棱柱恰有2条棱与平面平行，则为（    ） A．K B．H C．G D． 5．（2022·全国·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$