暑假作业11 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程、轨迹方程、定值、定点、最值及范围问题-【暑假分层作业】2024年高二数学暑假培优练（人教A版2019）

完成时间： 月 日 天气： 作业11 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程、 轨迹方程、定值、定点、最值及范围问题 求轨迹方程的5种常用方法 1 直接法: 直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法。 2 定义法: 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 3 相关点法: 用动点 的坐标 表示相关点 的坐标 ，然后代入点 的坐标 所满足的曲线方程，整理化简便得到动点 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。（用未知表示已知，带入已知求未知) 4 参数法: 当动点坐标 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 与某一变数 的关系，再消去参变数 ，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 5 交轨法: 将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 1．平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知椭圆的离心率为，右焦点为，圆，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为． (1)求的标准方程； (2)若直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上. 4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知及曲线上的两点和，直线BD经过定点，直线AB、AD的斜率分别为，判断是否为定值，说明理由. 5．已知双曲线经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线. (1)求的标准方程； (2)设是上任意一点，直线.证明：与双曲线相切于点； (3)设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上. 6．已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上. (1)求双曲线的方程； (2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值； (3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点. 7．已知双曲线，过该曲线上的点作不平行于坐标轴的直线交双曲线的右支于另一点，作直线交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为，且， (1)求双曲线方程． (2)证明：直线过定点. (3)当的斜率为负数时，求四边形的面积的取值范围． 8．已知双曲线的焦距为4，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点． 9．已知点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值. 10．已知焦点在轴上的等轴双曲线的左、右顶点分别为，且到的渐近线的距离为，直线与双曲线的左、右支分别交于点（异于点）． (1)当时，证明：以为直径的圆经过两点． (2)设直线的斜率分别为，若点在双曲线上，证明为定值，并求出该定值． 1．在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求C的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 2．设，为椭圆的左、右两个焦点，为椭圆上一点，且，． (1)求的值； (2)若直线：与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线经过点，证明：为定值． 3．已知椭圆的焦距为，且过点． (1)求的方程． (2)记和分别是椭圆的左、右焦点．设是椭圆上一个动点且纵坐标不为．直线交椭圆于点（异于），直线交椭圆于点（异于）．若的中点为，求三角形面积的最大值． 1．已知抛物线的准线过椭圆E：的左焦点，且椭圆E的上顶点与两个焦点构成一个正三角形. (1)求椭圆E的方程； (2)直线交椭圆E于A，B两点，点P在线段上移动，连接交椭圆于M，N两点，过P作的垂线交x轴于Q，求面积的最小值. 2．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 1．（2022·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求的最小值． 3．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程、 轨迹方程、定值、定点、最值及范围问题 求轨迹方程的5种常用方法 1 直接法: 直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法。 2 定义法: 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 3 相关点法: 用动点 的坐标 表示相关点 的坐标 ，然后代入点 的坐标 所满足的曲线方程，整理化简便得到动点 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。（用未知表示已知，带入已知求未知) 4 参数法: 当动点坐标 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 与某一变数 的关系，再消去参变数 ，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 5 交轨法: 将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 1．平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设点，可得出，分、两种情况讨论，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】设点，因为平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大， 则， 当时，则有，即， 等式两边平方整理可得； 当时，则有，即， 等式两边平方可得. 综上所述，点的轨迹方程为或. 故选：D. 2．已知椭圆的离心率为，右焦点为，圆，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为． (1)求的标准方程； (2)若直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知分别求出即可得到的标准方程； （2）通过直曲联立，求出弦长，再由点到直线距离公式求出原点到直线的距离， 代入三角形面积公式，利用不等式求出面积的最大值． 【详解】（1） 设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为， 则，又， 解得， 所以的标准方程为． （2）设， 联立直线与椭圆的方程，可得， 所以，得． 又原点到直线的距离， 所以， 所以． 令，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 即当时，的面积取得最大值． 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用双曲线的性质，代入点坐标计算即可； （2）法一、用点P坐标表示直线，联立双曲线方程得出C、D坐标，再表示直线，联立求其交点即可证明；法二、直接利用C、D坐标表示直线，利用三点共线的斜率关系计算可用表示直线方程，联立求其交点即可证明. 【详解】（1）因为渐近线方程为，所以，设双曲线为， 代入得，双曲线的标准力程为； （2）法一、 设直线，联立双曲线得：， ，且； 设直线，联立双曲线得：， ，且； 所以 则 设，则，两式相除消得 所以在直线上； 法二、 设直线， 直线， 由于，即， 由于，即， 则. 设，则，两式相除消得 所以在直线上；    4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知及曲线上的两点和，直线BD经过定点，直线AB、AD的斜率分别为，判断是否为定值，说明理由. 【答案】(1)； (2)是，. 【分析】（1）设圆心，半径为，由两点间距离公式和圆的弦长公式列方程，消去即可； （2）设直线方程为，联立抛物线方程消去x，利用斜率公式将用坐标表示，然后由韦达定理代入化简即可. 【详解】（1）设圆心，半径为，由圆过点得， 又因为圆在轴上截得的弦长为4，所以， 则，整理得. （2）易知直线的斜率不为0， 设直线方程为，即， 联立消去得， 由得或， 设，则， ， 所以， 即等于定值1. 5．已知双曲线经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线. (1)求的标准方程； (2)设是上任意一点，直线.证明：与双曲线相切于点； (3)设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）由题意得，解出的值即可； （2）一方面是上任意一点，从而可得出它也在直线上面，联立椭圆方程，消元后得到一个一元二次方程，证明判别式等于0即可； （3）由（2）中结论，设出点的坐标，可得，由向量数量积公式化简得，说明即可得证. 【详解】（1）因为双曲线经过点，且直线是的一条渐近线， 所以，解得， 所以的标准方程为； （2） 首先设是上任意一点，所以有， 这表明了点也在直线上，也可以得到， 联立直线的方程与椭圆的方程有， 化简并整理得， 而，且， 这也就是说与双曲线相切于点； （3） 不妨设， 由（2）可知过点的直线的方程为， 因为点在直线上， 所以，即有， 又，从而， 所以， 若，则 ， 整理得， 因为，所以，也就是说， 从而， 所以点在定直线上上. 6．已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上. (1)求双曲线的方程； (2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值； (3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据虚轴长和点坐标联立方程组可得，，可求得双曲线的方程为； （2）设出两点坐标，写出斜率表达式，联立双曲线方程化简计算可得证明； （3）设直线的方程为，求出直线与轴的交点分别为的坐标，联立直线和双曲线方程利用韦达定理化简即可得出证明. 【详解】（1）因为虚轴长，所以. 又因为点在双曲线上，所以， 解得. 故双曲线的方程为. （2）证明：如下图所示： 设，则 所以 因为在双曲线上，所以，可得； 于是， 所以直线和直线的斜率之积为定值，定值是. （3）证明：设，直线的方程为，如下图所示： 联立，消去整理可得① 则 所以② ③ 直线的方程为，令，得点的横坐标为； 同理可得点的横坐标为； 所以 将①②③式代入上式，并化简得到 所以的中点的横坐标为， 故的中点是定点. 7．已知双曲线，过该曲线上的点作不平行于坐标轴的直线交双曲线的右支于另一点，作直线交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为，且， (1)求双曲线方程． (2)证明：直线过定点. (3)当的斜率为负数时，求四边形的面积的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据渐近线方程可得，结合双曲线所过的点可求，故可得双曲线方程. （2）联立直线方程和双曲线方程，结合判别式可得的斜率的范围，再由渐近线方程可得的坐标，由平行四边形可求出的方程，故可得定点. （3）利用（2）的结果结合弦长公式可用的斜率表示面积，结合斜率的范围可求面积的范围. 【详解】（1）因为渐近线，则，代入点可得， 故，即双曲线方程为：． （2） 设 ， 由可得， 故且， 故或且， 又，故， 由解得，则， 同理可得， 故， 而，可得， 故，故， 故，， 设直线的斜率为，则， 直线的方程为，即， 所以过定点． （3）由（2）可得直线与的距离为，故， 由题意可得四边形是平行四边形， 而， 故四边形的面积为， ，结合（2）中的取值范围可得．故， 故. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要联立不同类型的方程，用合适的变量变式目标函数，而后者的最值往往可以通过函数的单调性或基本不等式来处理. 8．已知双曲线的焦距为4，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程 （2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点M的坐标，再利用表示出点N的坐标，再表示出直线MN的方程，可求得直线MN过定点，从而可求得答案. 【详解】（1）由题意得，得，所以， 因为点在双曲线上，所以，解 得， 所以双曲线方程为． （2），设直线方程为， ， 由，得， 则， 所以，所以的中点， 因为，所以用代换，得， 当，即时，直线的方程为，过点， 当时，， 直线的方程为， 令，得， 所以直线也过定点． 9．已知点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据双曲线定义求出轨迹方程； （2）分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，当斜率不存在时求出，斜率存在时，，得到答案. 【详解】（1）因为， 由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 所以，， 所以动点的轨迹方程为：. （2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：， 此时， 所以； ②当直线斜率存在时，设直线方程为：， 代入双曲线方程可得：， 可知其有两个不等的正实数根， 解得：， 所以 . 由得， ， 综上所述，的最小值为1. 10．已知焦点在轴上的等轴双曲线的左、右顶点分别为，且到的渐近线的距离为，直线与双曲线的左、右支分别交于点（异于点）． (1)当时，证明：以为直径的圆经过两点． (2)设直线的斜率分别为，若点在双曲线上，证明为定值，并求出该定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）只需要证明，就可得以为直径的圆经过点，同理可证，所以可得以为直径的圆经过两点； （2）联立直线方程与双曲线方程，结合韦达定理表示出，通过消元化简即可得定值. 【详解】（1）设双曲线，则，渐近线方程为， 因为到的渐近线的距离为，所以，所以， 所以双曲线的方程为． 当时，设，则， 因为，所以． 因为，所以，所以． 同理可证，所以以为直径的圆经过两点． （2）设， 联立方程组得， 则．由，得． 因为直线与双曲线的左、右支分别各有一个交点，所以． 因为点在双曲线上，所以． 因为，所以． 因为， ， 所以， 所以为定值，且．    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 1．在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求C的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 （1）根据题意可得双曲线焦点在轴上，且，，即可求得双曲线方程； （2）根据双曲线对称性以及交点特征，设出直线方程并与双曲线联立，利用韦达定理根据题目中的表达式代入整理可知点E在定直线上. 【详解】（1） 根据题意，设双曲线的方程为， 由题知，，可得； 所以双曲线方程为. （2） 易知为双曲线的右焦点，如下图所示：    由题知直线l斜率存在， 根据对称性，不妨设斜率为，故直线的方程为， 代入双曲线方程得， 设，， 由韦达定理有，， 且，， 设，点E在线段上，所以 由可得 化简得， 代入和并化简可得， 即存在点E满足条件，并且在定直线上. 2．设，为椭圆的左、右两个焦点，为椭圆上一点，且，． (1)求的值； (2)若直线：与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线经过点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，可得点的横坐标，代入椭圆的方程，可得点的纵坐标的绝对值，求出，的表达式，由题意可得的值； （2）联立直线的方程与椭圆的方程，两个两根之和，求出的中点的坐标，由题意可得，由斜率之积为，整理可证得为定值． 【详解】（1）由椭圆的方程可得，，， 因为，则的横坐标为，代入到椭圆的方程可得， 即的纵坐标的绝对值为， 所以，， 因为，即，解得； （2）由（1）可得椭圆的方程为：， 设，， 联立，整理可得， 由，即， 所以，， 所以的中点， 因为的中垂线过，所以，即， 整理可得，即证明为定值，且定值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 3．已知椭圆的焦距为，且过点． (1)求的方程． (2)记和分别是椭圆的左、右焦点．设是椭圆上一个动点且纵坐标不为．直线交椭圆于点（异于），直线交椭圆于点（异于）．若的中点为，求三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据焦距和椭圆所过点可构造方程求得结果； （2）设直线，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，结合中点坐标公式可整理得到，结合三角形面积公式和基本不等式可求得最值. 【详解】（1）椭圆的焦距，； 椭圆过点，，又， （舍）或，，椭圆的方程为：. （2） 由（1）知：，， 设，，， 由题意可设直线，其中，， 由得：，， ； 同理可得：； ， ， （当且仅当，即时取等号）， 面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积最值的求解问题，解题关键是能够将三角形面积表示为关于某一变量的函数，从而利用函数最值的求法或基本不等式求得结果. 1．已知抛物线的准线过椭圆E：的左焦点，且椭圆E的上顶点与两个焦点构成一个正三角形. (1)求椭圆E的方程； (2)直线交椭圆E于A，B两点，点P在线段上移动，连接交椭圆于M，N两点，过P作的垂线交x轴于Q，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据抛物线的准线求得椭圆的焦点,根据一个焦点与短轴两端点构成正三角形可求得，即可得椭圆方程. (2)根据题意可判断直线斜率存在且不为0，设直线方程与椭圆联立求得，根据设出点坐标，用斜率公式求得坐标，再用点到直线的公式求得三角形高,用面积公式将面积写出，分离常数,变为积为定值的形式，再用的单调性计算即可. 【详解】（1）由题知抛物线的准线为，, 因为椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形， , 故椭圆的标准方程为:； （2）由（1）得椭圆的方程为， 的垂线交轴于，的斜率存在， 连接交椭圆于两点，的斜率不为0, 不妨设, 因为与椭圆的交点为，所以， 则， 联立，即， , , 设，,， 解得:， 到直线的距离为:， ， 因为，所以， 因为函数在上是增函数， 所以的最小值为， 因此，当时，面积的最小值为. 2．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由可求，利用两点斜率公式表示，由条件列方程求，由此可得双曲线方程； （2）设的方程为， ，利用设而不求法可得， 求直线直线与直线的交点坐标，由此证明结论. 【详解】（1）由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线的方程为. （2）若直线的斜率为，则直线与双曲线交于点，与条件矛盾， 所以直线的斜率不能为0， 设的方程为. 联立，化简得 所以，所以， ， 直线AD的方程为， 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以. 所以点的横坐标始终为1，故点在定直线上. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 1．（2022·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可； （2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. 【详解】（1）解：设椭圆E的方程为，过， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. （2），所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程： ，过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，， 且 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得 显然成立， 综上，可得直线HN过定点 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出，再根据二次函数的性质即可求出； （2）设直线与椭圆方程联立可得，再将直线方程与的方程分别联立，可解得点的坐标，再根据两点间的距离公式求出，最后代入化简可得，由柯西不等式即可求出最小值． 【详解】（1）设是椭圆上任意一点,, ，当且仅当时取等号，故的最大值是. （2）设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以， 因为直线与直线交于, 则,同理可得,.则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题． 3．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键. 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