暑假作业10 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的离心率、焦点三角形、焦点弦、中点弦问题-【暑假分层作业】2024年高二数学暑假培优练（人教A版2019）

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线） 的离心率、焦点三角形、焦点弦、中点弦问题 1. 椭圆离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式2: 变形 证明: 公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 公式 4: 以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点 , 则 公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 2. 双曲线离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式 证明: 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率 公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 3. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式 (1) 焦点在 轴上, (2) 焦点在 轴上, 4. 椭圆中点弦斜率公式 (1) 若 为椭圆 弦 的中点, 有 . (2) 若 为椭圆 弦 的中点, 有 . 5. 双曲线的中点弦斜率公式 (1) 若 为双曲线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 (2) 若 为双曲线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 6. 抛物线的中点弦斜率公式 (1) 若 为抛物线 弦 不平行 轴 的中点, 则 (2) 若 为抛物线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 7. 中点弦斜率拓展 在椭圆 中, 以 为中点的弦所在直线的斜率 ; 在双曲线 中, 以 为中点的弦所在直线的斜率 ; 在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 一、单选题 1．设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由椭圆定义求焦点三角形周长. 【详解】根据题意，椭圆中， 根据椭圆定义，的周长为 . 故选：C 2．不经过原点的直线与椭圆相交于，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】中点弦问题利用点差法计算可得. 【详解】设，，，， 则，又， 所以，即， 即， 又，， 所以. 故选：A 3．已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用点差法求解. 【详解】解：因为双曲线与直线相交于A、B两点， 且弦的中点M的横坐标为1，则纵坐标为3， 设 ，则， 两式相减得 ，则 ， 解得 ，即 ， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：A 4．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线右支上的一点，连接交左支于点．若，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义以及已知和三角形面积公式，可推，，，得为等边三角形，进而在中利用余弦定理可得到a,c之间的关系式，求得答案. 【详解】如图所示， 由双曲线的定义可知：， 所以，又有，因为， 即手， 所以则为等边三角形，， 由余弦定理可得： ，解得． 故选：B 5．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设出直线的方程，与渐近线的方程联立，求出的坐标，由为的中点，，得为的中点，求出的坐标，代入双曲线的方程求解即可. 【详解】令，由对称性，不妨设直线的方程为， 由，解得，，即点的坐标为， 由为的中点，，得为的中点，则点的坐标为， 代入双曲线的方程，有， 即，， 解得，所以双曲线的离心率为． 故选：A 二、多选题 6．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，由可得点的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没有交点，由此得以判断；对于B，利用椭圆的定义可得的周长，由此判断即可；对于C，根据椭圆的几何性质，当为椭圆短轴顶点时，可得的面积最大，从而得以判断；对于D，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得，从而得以判断. 【详解】由，得. 对于A：假设存在点使得，则， 所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则， 因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即， 由可知，圆与椭圆没有交点， 所以假设不成立，即不存在点使得，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大， 所以，故C正确； 对于D： ，又，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 7．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．， B．直线的斜率为1时， C．的最小值为6 D．以为直径的圆与的准线相切 【答案】AD 【分析】直线的方程可设为，与抛物线方程联立可得，, ,，从而可判断A；根据可判断BC；设线段的中点为，求出点到准线的距离,即可判断D. 【详解】依题意可知直线过抛物线的焦点,且直线的方程可设为,    将直线方程与抛物线方程联立可得， 因为，所以，, 所以, ，故A正确； , 当时,有最小值4，故C错误； 当直线的斜率为1时，则，故，故B错误； 设线段的中点为，则, 所以点到准线的距离为, 所以以为直径的圆与的准线相切,故D正确. 故选:AD. 8．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若，且的最小内角为，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．直线与双曲线有两个公共点 【答案】AD 【分析】A.易得焦点三角形为直角三角形，利用勾股定理求解判断；B.利用离心率为求解判断；解：C. 利用离心率为，结合求解判断；D.由直线方程与双曲线方程联立，利用判别式判断. 【详解】解：如图所示： 因为，，所以， 又，则，， 由勾股定理得，解得，故A正确； 则，所以渐近线方程为，故B错误； 因为，所以，则，而，所以，所以，故C错误； 由，消去x得，则， 所以直线与双曲线有两个公共点，故D正确， 故选：AD 三、填空题 9．点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由斜率公式、点的坐标满足的条件等式可得，结合离心率公式即可求解. 【详解】由题意方程可知，，，设， 所以，，则，整理得：，①， 又，得，即，②， 联立①②，得，即，解得. 故答案为：. 10．已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意知，直线的斜率存在，由点差法及中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式求得直线方程. 【详解】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得 ，两式作差可得， 即，所以直线的斜率， 所以直线方程为，即. 故答案为： 四、解答题 11．已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标 ，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意求出、、的值，即可求出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理及中点公式求出直线斜率，即可求解． 【详解】（1）由题意可知，得，解得． 所以椭圆的方程为． （2）由题意可知直线斜率存在， 设，设，，，， 联立方程组， 消得， 因为， 设中点坐标为,， 所以，所以， 所以或， 当，中点坐标为,直线方程为：，即． 当，中点坐标为,直线方程为：，即. 12．已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程； （2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果. 【详解】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为， 设双曲线的方程（，）， 由已知得，，所以，. 所以双曲线方程为. （2）直线与双曲线C交于A，B两点，且， 联立方程组，得， 当时，设， ，. 所以 令，解得. 经检验符合题意，所以. 1．双曲线的两个焦点为、，点在该双曲线上，且，则点到轴的距离为 ． 【答案】/3.2 【分析】根据双曲线的定义和勾股定理以及面积公式求解. 【详解】由双曲线的定义得， 平方得， 又因为， 所以由勾股定理得， 代入解得， 因为,所以， 所以点到轴的距离为， 故答案为: . 2．已知抛物线C：焦点为，过点的直线交于、两点，交的准线于点，若为的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】先根据三角形中位线性质得点的横坐标，再联立方程组求点的横坐标，最后根据抛物线定义求弦长. 【详解】如图，设准线与轴的交点为，过点作，垂足为, 由抛物线，得，准线的方程为，焦点的坐标为， 为的中点，，则点的横坐标为． 因为直线过点且与准线相交，所以直线的斜率存在，设其方程为，联立，化简可得， 方程的判别式， 设，,则，又，所以， ，， ． 故答案为：． 3．已知为椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，则的面积为 . 【答案】 【分析】结合椭圆定义与余弦定理、面积公式计算即可得. 【详解】由已知得，， 所以， 从而， 在中， ， 即①， 由椭圆的定义得， 即②， 由①②得， 所以. 故答案为：. 4．在平面直角坐标系中，，为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据抛物线的标准方程及几何性质，求出直线的方程，与抛物线的方程联立，求出，的坐标，进而得到，再由点到直线的距离公式，求出的高，即可求得的面积． 【详解】由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，如图所示， 设抛物线的准线为，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于， 则，所以直线的倾斜角为， 又，故直线的方程为， 联立，消整理得，即，解得或， 则，，所以， 又原点到直线的距离为，所以， 当直线的斜率为负，即直线的倾斜角为时，同理可求． 故答案为：． 5．已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将条件中的不等式用坐标表示，再结合椭圆方程化简不等式，即可求解椭圆的离心率的范围. 【详解】设，，，， ， 由题意可知，，即，得， 则. 故选：B 1．如图，已知双曲线的左顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心，R为半径的圆与双曲线E的一条渐近线交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】过点作于点，求得，则可求得，的值，进而求得即为渐近线的斜率，从而求得离心率． 【详解】∵， ∴，又，过点作于点， 在中，,,∴，， 又，∴，， ∴, ∴， ∵渐近线方程为，∴， . 故选：C．    2．已知分别是椭圆的左､右焦点，是的右顶点，过的直线与直线交于点，射线与交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意可得，借助相似三角形的性质可得，即可得，，代入椭圆方程计算即可得离心率. 【详解】不妨设点在轴上方， 由，即有，， 则， 由，即， 故，， 故有，整理可得， 故或（大于1，故舍去）， 故. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助点的横纵坐标，结合题意得到的，计算出点坐标，再代入椭圆中即可得解. 3．已知椭圆C：的焦距为，且椭圆经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为，求l的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程. （2）利用点差法、或设直线方程、或设直线方程、或齐次化的方法来求得的斜率. 【详解】（1）因为椭圆C的焦距为，且椭圆经过点， 所以，， 又， 解得，，； 故椭圆C的方程为. （2）法一：（点差法） 设，，则， 两式相减，得， 所以l的斜率. 因为直线AP，AQ的斜率之和为0， 所以， 整理得① 由得， 所以， 同理， 因为 所以， 整理得② ②-①，得， ， 所以，即l的斜率为. 法二：（设线）设l：，，， （讨论斜率不存在不给分，因为此种情况明显不符） ，消去y，整理得， 所以，， 因为直线AP，AQ的斜率之和为0， 所以， 所以， 所以， 所以， 若，则直线l：过点A，不合题意，故舍去， 所以，即l的斜率为. 法三： 设AP：，AQ：，，， ，消去y，整理得， 所以， 因为， 所以， 同理， 所以， ， 所以l的斜率. 方法四：（齐次化巧解圆锥曲线问题） 因为PQ不过，所以设PQ： C： ， （‘1’的代换） 化简得， 所以， 所以l的斜率为.    【点睛】求解椭圆方程的几种方法:方法一：定义法，根据椭圆的定义直接求解，一般用题中所给的椭圆长短轴，焦点等信息就能直接算出椭圆方程.方法二：待定系数法，根据椭圆焦点位置，长短轴，先设出对应的椭圆方程，然后再代入已知条件求系数.方法三：共焦点系方程：等等. 1．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 2．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确； 故选：D. 3．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 4．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点.    【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 5．（2023·全国·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出； （2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值． 【详解】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业10 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线） 的离心率、焦点三角形、焦点弦、中点弦问题 1. 椭圆离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式2: 变形 证明: 公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 公式 4: 以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点 , 则 公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 2. 双曲线离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式 证明: 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率 公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 3. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式 (1) 焦点在 轴上, (2) 焦点在 轴上, 4. 椭圆中点弦斜率公式 (1) 若 为椭圆 弦 的中点, 有 . (2) 若 为椭圆 弦 的中点, 有 . 5. 双曲线的中点弦斜率公式 (1) 若 为双曲线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 (2) 若 为双曲线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 6. 抛物线的中点弦斜率公式 (1) 若 为抛物线 弦 不平行 轴 的中点, 则 (2) 若 为抛物线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 7. 中点弦斜率拓展 在椭圆 中, 以 为中点的弦所在直线的斜率 ; 在双曲线 中, 以 为中点的弦所在直线的斜率 ; 在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 一、单选题 1．设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．不经过原点的直线与椭圆相交于，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线右支上的一点，连接交左支于点．若，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 5．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（    ）    A． B． C．2 D． 二、多选题 6．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最大值为 7．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．， B．直线的斜率为1时， C．的最小值为6 D．以为直径的圆与的准线相切 8．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若，且的最小内角为，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．直线与双曲线有两个公共点 三、填空题 9．点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 . 10．已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 . 四、解答题 11．已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标 ，求直线的方程. 12．已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 1．双曲线的两个焦点为、，点在该双曲线上，且，则点到轴的距离为 ． 2．已知抛物线C：焦点为，过点的直线交于、两点，交的准线于点，若为的中点，则 ． 3．已知为椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，，则的面积为 . 4．在平面直角坐标系中，，为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则的面积为 ． 5．已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 1．如图，已知双曲线的左顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心，R为半径的圆与双曲线E的一条渐近线交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率为（    ）    A． B． C． D．2 2．已知分别是椭圆的左､右焦点，是的右顶点，过的直线与直线交于点，射线与交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆C：的焦距为，且椭圆经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为，求l的斜率. 1．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 4．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 5．（2023·全国·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$