专题03 古典概型-2023-2024学年高一数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019必修第二册）

03古典概型 一、知识归纳： 1.古典概型： 试验具有如下共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有 个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性 ．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2.古典概型的概率计算： 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 3.古典概型的解题步骤： （1）判断试验的事件是否是古典概型，并用 表示所求事件（如事件）； （2）确定 的样本点的总数； （3）确定 包含的样本点的个数； （4）用公式求出事件发生的概率. 自检自纠：1. 有限，相等 2. 3.（1）字母（2）样本空间（3）所求事件 （4） 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题：（每小题5分，共30分） 1．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（    ） A．与互为对立事件 B． C．与相等 D．与互斥 2．将一枚均匀硬币随机掷2次，恰好出现1次正面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和小于5的概率等于（    ） A． B． C． D． 4．袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 5．三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为（    ） A． B． C． D． 6．如图是某电路图，随机闭合开关，，中的任意2个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是（    ）    A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，部分选对得部分分，共12分） 7．下列试验中是古典概型的是（　　） A．抛一枚质地均匀的硬币,观察其正面或反面出现的情况 B．口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取1个球 C．向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点 D．射击运动员向一靶心进行射击,观察其环数 8．抛掷一枚质地均匀的骰子，记“点数为”，其中，1，2，3，4，5，6，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（    ） A． B．，为互斥事件 C． D．，为对立事件 三、填空题（每小题5分，共10分） 9．从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是 ． 10．袋中装有9个除颜色外完全相同的球，其中红色球有3个，蓝色球有6个，现甲、乙，丙三人从中不放回地依次各抽一球，则至少有一人抽到红色球的概率为 ． B.提升强化 一、单选题：（每小题5分，共30分） 1．某地质勘探单位从甲､乙､丙､丁､戊5人中选取2人到某矿区进行地质勘探,则甲被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 2．中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《周髀算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则x，y满足的概率为（   ） A． B． C． D． 4．在“五一”国际劳动节来临之际,为持续深化“中国梦·劳动美”主题宣传教育,某校团委从入团积极分子甲、乙、丙、丁、戊人中随机选人去参加“志愿服务进社区”活动,则甲乙两人中只有人入选的概率为（ ） A． B． C． D． 5．甲在微信群中发出5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（    ） A． B． C． D． 6．将四枚完全相同且质地均匀的硬币（每个硬币都有正反两面）分别拋掷一次，则恰有两枚硬币正面向上且这两枚硬币不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，部分选对得部分分，共12分） 7．某公司2023年的销售额为1000万元，2023年四个季度的销售额情况统计如图所示． 其中第二季度销售额是第一季度销售额的2倍．则下列说法正确的是（    ） A．该公司四个季度的销售额先增长再下降 B．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额都大于250万的概率为 C．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额的和大于500万的概率为 D．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额差的绝对值小于250万的概率为 8．甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（   ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 三、填空题（每小题5分，共10分） 9．同时掷两枚相同的质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之积等于12的概率为 . 10．某校辩论赛小组共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名男生的概率为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 03古典概型 一、知识归纳： 1.古典概型： 试验具有如下共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有 个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性 ．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2.古典概型的概率计算： 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 3.古典概型的解题步骤： （1）判断试验的事件是否是古典概型，并用 表示所求事件（如事件）； （2）确定 的样本点的总数； （3）确定 包含的样本点的个数； （4）用公式求出事件发生的概率. 自检自纠：1. 有限，相等 2. 3.（1）字母（2）样本空间（3）所求事件 （4） 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题：（每小题5分，共30分） 1．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（    ） A．与互为对立事件 B． C．与相等 D．与互斥 【答案】B 【详解】AD选项，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；B选项，，故B正确；C选项，事件与事件不是同一个事件，故C错误．故选：B． 2．将一枚均匀硬币随机掷2次，恰好出现1次正面向上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛掷硬币次所有可能结果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），其中恰好出现次正面向上的结果有（正，反），（反，正），据此可得事件恰好出现次正面向上的概率.故选：D. 3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和小于5的概率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛掷两颗骰子所出现的所有可能结果有：，共个基本事件； 事件“抛掷两颗骰子，所得两颗股子的点数之和小于5”所包含的基本事件有：，共6种，故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是. 故选：D. 4．袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若第一次从袋中摸出个白球，则放入个白球，第二次摸出黑球的概率为， 若第一次从袋中摸出个黑球，则放入个黑球，第二次摸出白球的概率为， 故两次摸到的小球颜色不同的概率为.故选：B. 5．三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设三人为，，，则参加晚会的情况有，，，，，，，共种情况， 其中恰有一人参加晚会的情况有种，故所求的概率为，故选：B. 6．如图是某电路图，随机闭合开关，，中的任意2个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，闭合三个开关中的任意2个，共有三种情形：即闭合；；，其中能同时使两盏小灯泡发光的是；，仅有2种情形，所以能同时使两盏小灯泡发光的概率是，故选D. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，部分选对得部分分，共12分） 7．下列试验中是古典概型的是（　　） A．抛一枚质地均匀的硬币,观察其正面或反面出现的情况 B．口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取1个球 C．向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点 D．射击运动员向一靶心进行射击,观察其环数 【答案】AB 【详解】选项A,正面和反面出现的概率相同,是古典概型； 选项B,每个球被抽到的概率相等,是古典概型； 选项C,样本点有无限个,不是古典概型； 选项D,命中10环,9环,…,0环的概率不等,不是古典概型, 故选:AB. 8．抛掷一枚质地均匀的骰子，记“点数为”，其中，1，2，3，4，5，6，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（    ） A． B．，为互斥事件 C． D．，为对立事件 【答案】ABD 【详解】对A：抛掷一枚骰子，所有基本事件为：，故，故A正确； 对B：，为互斥事件，选项B正确； 对C：，选项C错误； 对D：为对立事件，选项D正确． 故选：ABD． 三、填空题（每小题5分，共10分） 9．从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是 ． 【答案】 【详解】记“从5张卡片中任选2张，其上数字之和为偶数”为事件A,则样本空间：，共10种情况，事件A所包含的基本事件有：共4种情况，所以.故答案为：. 10．袋中装有9个除颜色外完全相同的球，其中红色球有3个，蓝色球有6个，现甲、乙，丙三人从中不放回地依次各抽一球，则至少有一人抽到红色球的概率为 ． 【答案】 【详解】记“甲、乙、丙三人都抽到蓝色球”为事件A，“甲、乙、丙三人至少有一人抽到红色球”为事件B，则事件为对立事件.因为，所以，即至少有一人抽到红色球的概率为．故答案为： B.提升强化 一、单选题：（每小题5分，共30分） 1．某地质勘探单位从甲､乙､丙､丁､戊5人中选取2人到某矿区进行地质勘探，则甲被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从甲､乙､丙､丁､戊5人中选取2人的所有等可能结果有：甲乙､甲丙､甲丁､甲戊､乙丙､乙丁､乙戊､丙丁､丙戊､丁戊，共10种，其中甲被选中的结果有甲乙､甲丙､甲丁､甲戊，共4种，故所求概率为，故选D.故选：D. 2．中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《周髀算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将这5部书籍依次记为则从这5部书籍中任意抽取2部的样本空间，，共有10个样本点，其中抽到《周髀算经》的样本点为共有4个，所以抽到《周髀算经》的概率.故选：D. 3．已知，，则x，y满足的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】所有的样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12个．满足的样本点有(2，3)，(3，2)，(4，1)，共3个， 所以所求事件的概率．故选：B 4．在“五一”国际劳动节来临之际，为持续深化“中国梦·劳动美”主题宣传教育，某校团委从入团积极分子甲、乙、丙、丁、戊人中随机选人去参加“志愿服务进社区”活动，则甲乙两人中只有人入选的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记甲、乙、丙、丁、戊分别为，从人中随机选人有：，共10种方法， 甲乙两人中只有人入选有：，共6种方法. 所以.故选：D 5．甲在微信群中发出5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设乙领到元，丙领到元，丁领到元，则可用表示1个样本点，可得，所以样本点总数个，设乙获得“最佳手气”为事件，则包含的样本点有，，，共3个，即，所以概率为．故选：A． 6．将四枚完全相同且质地均匀的硬币（每个硬币都有正反两面）分别拋掷一次，则恰有两枚硬币正面向上且这两枚硬币不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将四枚完全相同且质地均匀的硬币分别抛掷一次，共有（正，正，正，正），（正，正，正，反），（正，正，反，正），（正，反，正，正），（反，正，正，正），（正，正，反，反），（正，反，反，正），（正，反，正，反），（反，反，正，正），（反，正，反，正），（反，正，正，反），（正，反，反，反），（反，正，反，反），（反，反，正，反），（反，反，反，正），（反，反，反，反），16种情况，其中恰有两枚硬币正面向上且这两枚硬币不相邻，共有（正，反，正，反），（正，反，反，正），（反，正，反，正），3种情况，所以恰有两枚硬币正面向上且这两枚硬币不相邻的概率为.故选：A. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，部分选对得部分分，共12分） 7．某公司2023年的销售额为1000万元，2023年四个季度的销售额情况统计如图所示． 其中第二季度销售额是第一季度销售额的2倍．则下列说法正确的是（    ） A．该公司四个季度的销售额先增长再下降 B．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额都大于250万的概率为 C．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额的和大于500万的概率为 D．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额差的绝对值小于250万的概率为 【答案】AB 【详解】对于A项，由题意可得第一、二、三、四季度销售额分别为100万、200万、400万、300万元，故A正确；对于B项，任选的两个季度的销售额，可以为，，，，，，其6种情况，这两个季度的销售额均大于250万的只有一种情况，则概率为，故B正确；对于C项，这两个季度销售额的和大于500万的有，共2种情况，故概率为，即C错误；对于D项，这两个季度销售额差的绝对值小于250万的有共5种情况，故概率为，即D错误．故选：AB. 8．甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（   ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 【答案】ACD 【详解】A项，P(点数为奇数) P(点数为偶数)；B, 同时抛掷两枚硬币，共有4种情况：正正；正反；反正；正反.则 P(恰有一枚正面向上)，P(两枚都正面向上)＝；概率不相等，故B错误，C项，P(牌色为红) P(牌色为黑) ；D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同) .故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共10分） 9．同时掷两枚相同的质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之积等于12的概率为 . 【答案】 【详解】同时掷两枚相同的骰子的样本点总数为36，这36个样本点发生的可能性是相等的，满足两枚骰子向上的点数之积为12的样本点有(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4个，故所求概率为.故答案为： 10．某校辩论赛小组共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名男生的概率为 . 【答案】 【详解】由题可知，5名成员中有4女1男或3女2男，若5名成员中有4女1男，设4名女生分别入，1名男生为B，则随机抽取2名成员的所有情况为： 共10种情况，抽到一男一女的情况为: 共4种情况，所以抽到一男一女的概率为，不符合题意；若5名成员中有3女2男，设3名女生分别为，2名男生分别为，则随机抽取2名成员的所有情况为：共10种情况，抽到一男一女的情况为：共6种情况，此时抽到一男一女的概率为，符合题意，则抽到2名男生的情况为，只有1种情况，所以抽到2名男生的概率为.故答案为：。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$