精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

建平县实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答题前，考生务必梅自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分每小题只有一个选项符合题意． 1. 的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 函数一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城记为，测得立杆与太阳光线所成的角约为.他又派人测得，两地的距离km，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为（ ）（） A. km B. km C. km D. km 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 设甲：“函数在单调递增”，乙：“”，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知| ，，，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的有（ ） A. 或 B. C. 已知，为非零向量，且，则与方向相同 D. 若，则与的夹角是钝角 10. 已知函数，则下列选项正确的是（） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数为偶函数 D. 函数在区间上单调递增 11. 已知角的顶点与原点重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，定义：对于函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在区间上单调递增 C. 将图象向右平移个单位，所得函数为偶函数 D. 方程区间上无实数解 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为________（用坐标表示）． 13. 函数y＝lg(2sinx－1)＋定义域为__________________. 14. 如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. （1）已知向量，若，求. （2）已知，的夹角为60°，若，求的值. 16. 某部门组织甲、乙两人破译一个密码，每人能否破译该密码相互独立．已知甲、乙各自独立破译出该密码的概率分别为，． （1）求他们恰有一人破译出该密码的概率； （2）求他们破译出该密码的概率； （3）现把乙调离，甲留下，并要求破译出该密码的概率不低于80%，那么至少需要再增添几个与甲水平相当的人？ 17. 已知函数在一个周期内的图象如图所示． （1）求函数的解析式和最小正周期； （2）求函数在区间上的最值及对应的x的取值； （3）当时，写出函数的单调递增区间． 18. 中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，. （1）若，试用，和实数表示； （2）试用，表示； （3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线. 19. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”． （1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由； （2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 建平县实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答题前，考生务必梅自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分每小题只有一个选项符合题意． 1. 的终边在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据终边相同的角判断即可. 【详解】且角是第二象限角， 角的终边在第二象限. 故选：B 2. 函数的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令即可求解. 【详解】令，可得， 令，可得. 所以函数的一条对称轴是. 故选:B. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，将转化为求解. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 故选：D． 4. 古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城记为，测得立杆与太阳光线所成的角约为.他又派人测得，两地的距离km，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为（ ）（） A. km B. km C. km D. km 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的性质及周长公式即可求解. 【详解】设地心为，依题意可得，，， 设地球的周长为，半径为， 则，所以km. 故选：C 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因此， 于是有 ， 故选：C 6. 如图，在矩形中，是的中点，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平面向量的线性运算，利用加减法运算以及数乘运算即可得到结果. 【详解】由图可知：. 故选：A. 7. 设甲：“函数在单调递增”，乙：“”，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性求出的范围，即可判断答案. 【详解】若“函数在单调递增”，则， 由得，则，解得， 所以，甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 8. 已知| ，，，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用数量积的运算律，结合已知可得，再利用数量积运算律及定义求解即得. 【详解】由，得，即，则， 因此 ， 而， 所以当时，取得最大值2． 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的有（ ） A. 或 B. C. 已知，为非零向量，且，则与方向相同 D. 若，则与的夹角是钝角 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助向量的数量积定义与性质可得A、B、D；借助向量共线性质可得C. 【详解】对A：由可得，故A错误； 对B：向量为矢量，故向量数量积不满足结合律，故B错误； 对C：由，为非零向量，且，则与方向相同，故C正确； 对D：当、反向时，有，此时与的夹角不是钝角，故D错误. 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列选项正确的是（） A. 函数的最小正周期为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数为偶函数 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】利用余弦型函数的周期公式即得A项，运用代入检验法将看成整体角，结合余弦函数图象对称性易得B项，运用平移变换得到函数后，利用偶函数定义即可判C项，将看成整体角，结合余弦函数图象单调性即可判断D项， 【详解】对于A项，函数的最小正周期为，故A项正确； 对于B项，当时，，而， 故点是函数图象的一个对称中心，即B项正确； 对于C项，函数图象向左平移个单位长度，得到 ， 由于不恒为零， 故该函数不是偶函数，即C项错误； 对于D项，当时，， 函数在区间上没有单调性，故D项错误. 故选：AB. 11. 已知角的顶点与原点重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，定义：对于函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在区间上单调递增 C. 将图象向右平移个单位，所得函数为偶函数 D. 方程在区间上无实数解 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得，根据两角和的正切公式得到，再由正切函数的性质一一判断即可. 【详解】根据题意，，则， 对于A，由正切函数的性质得，，解得， 所以函数的对称中心为，，易知A正确； 对于B，，， 由正切函数性质可知在上单调递增，故B正确； 对于C，将的图象向右平移个单位可得，为奇函数，故C错误； 对于D，，，令， 由正切函数的性质可知在上单调递增，且，在上单调递增，且， 所以方程在区间上无实数解，故D正确． 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为________（用坐标表示）． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积定义,可得向量在向量方向上的投影向量为，代入坐标计算即得. 【详解】因向量在向量方向上的投影向量为， 由，可得，， 故向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 13. 函数y＝lg(2sinx－1)＋的定义域为__________________. 【答案】 【解析】 【分析】要使函数有意义，则有，由三角函数线可得不等式组的解集，即得原函数的定义域. 【详解】要使原函数有意义，必须有即， 如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知， 解集为,取交集可得 原函数的定义域为 故答案为： 【点睛】本题考查函数定义域的求解，考查利用三角函数线解不等式，属于基础题. 14. 如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果. 【详解】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. （1）已知向量，若，求. （2）已知，的夹角为60°，若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先求出，由向量平行的坐标公式求解即可； （2）由题设得，由向量数量积的运算律和数量积的定义求解即可. 【详解】（1），由可得， 解得，则，，； （2）由可得，化简得， 即，化简得，解得. 16. 某部门组织甲、乙两人破译一个密码，每人能否破译该密码相互独立．已知甲、乙各自独立破译出该密码的概率分别为，． （1）求他们恰有一人破译出该密码的概率； （2）求他们破译出该密码的概率； （3）现把乙调离，甲留下，并要求破译出该密码的概率不低于80%，那么至少需要再增添几个与甲水平相当的人？ 【答案】（1）； （2）； （3）3. 【解析】 【分析】（1）甲乙两个恰有一人破译出该密码，包括甲破译出来而乙没有破译出来和乙破译出来而甲没有破译出来两种情况，由互斥事件概率的加法公式，计算可得答案. （2）甲乙两人破译出该密码的对立事件为没有破译出密码，即甲乙没有破译出来密码同时发生，由对立事件概率的加法公式，计算可得答案. （3）设共需要个与甲水平相当的人，由对立事件概率的公式可得，即可得到答案. 【小问1详解】 设甲、乙破译出该密码分别为事件A和事件B，则. 甲乙两个恰有一人破译出该密码，包括甲破译出来而乙没有破译出来和乙破译出来而甲没有破译出来两种情况，则恰有一人破译出来该密码的概率为. 【小问2详解】 甲乙两人破译出该密码的对立事件为没有破译出密码，即甲乙没有破译出来密码同时发生，故他们破译出密码的概率为： 【小问3详解】 设共需要个与甲水平相当的人，则不能破译的概率为：，由题意知，则应有，即，两边同时取以10为底的对数，则有，. 故至少需要再增添3个与甲水平相当的人. 17. 已知函数在一个周期内的图象如图所示． （1）求函数的解析式和最小正周期； （2）求函数在区间上的最值及对应的x的取值； （3）当时，写出函数的单调递增区间． 【答案】（1），最小正周期为 （2）最大值为，取最大值时有；最小值为，取最小值时有 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，先确定和周期，随后确定的值，代入特殊点确定的值，可得函数的解析式； （2）利用换元的思想，结合的图象和性质解决问题. （3）利用换元的思想，结合的图象和性质解决问题. 【小问1详解】 由函数图象可知，，， 即，将点代入，得， 则，，则，， 由于，故， 即，最小正周期为. 【小问2详解】 当时，， 故当，即时，， 当，，即时， 【小问3详解】 当时，， 故当，即时，单调递减： 当，即时，单调递增； 故当时，函数的单调递增区间为． 18. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，. （1）若，试用，和实数表示； （2）试用，表示； （3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据向量加减法运算即可; (2)根据向量的数量关系及向量加减法表示; (3)应用向量共线且有公共点证明即可. 【小问1详解】 由题意，所以， ① 【小问2详解】 设，由，， ② 由①、②得，， 所以，解得，所以； 【小问3详解】 由，得，所以， 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. 19. 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”． （1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由； （2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）假设满足条件得到，分别计算函数，的值域，不满足条件，得到答案. （2）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，计算函数最值得到，解得答案. 【小问1详解】 函数，定义域，若是“自均值函数”， 则存在实数，使得对于任意都存在满足， 即，即， 又函数的值域为，的值域为，不满足条件， 故函数不是为“自均值函数”. 【小问2详解】 依题意，存在，对于，存在，有， 即， 当时，的值域是， 因为在值域包含， 当时，，则， 若，则，， 此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不符合题意， 于是得，， 要使在的值域包含， 则在的最小值小于等于， 又时，递减且，而有，解得， 此时取，的值域是， 而，，故在的值域包含， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，再求解是解题的关键，这种转化思想是常用的思想，需要熟练掌握. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$