第01讲 一元二次方程（3大知识点+6大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（人教版）

第01讲 一元二次方程（3大知识点+6大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【典型例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥，一元二次方程的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24九年级上·全国·专题练习）一元二次方程满足的三个条件 ①方程必须是 方程（不得含有分式，即未知数不在分母位置上，例如不是整式方程）； ②只含有 个未知数； ③未知数的 为2； 【例4】（23-24八年级下·全国·假期作业）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中一定是一元二次方程的有 （把所有正确选项的序号都填上） 【例5】（22-23九年级·江苏·假期作业）判定下列方程是不是一元二次方程： (1)； (2)． 【例6】（23-24九年级上·全国·课前预习）判断下列方程是否为一元二次方程？ （1）3x＋2＝5y－3 （2） （3） （4） 【典型例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例1】（23-24九年级上·山东济宁·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．2 B． C． D．0 【例2】（23-24九年级上·四川雅安·期末）要使方程是关于的一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【例3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程是一元二次方程，则a满足 ． 【例4】（23-24九年级·全国·假期作业）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【例5】（23-24九年级上·广西河池·期中）已知关于x的方程 (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【例6】（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？ 【典型例题三 一元二次方程的一般形式】 【例1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ） A．5 B．3 C． D． 【例2】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【例3】（23-24八年级下·安徽宣城·期中）方程转化为一元二次方程的一般形式是 ． 【例4】（23-24八年级下·广西崇左·期中）把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【例5】（23-24九年级上·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例6】（23-24九年级上·全国·课后作业）将一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【典型例题四 一元二次方程的解】 【例1】（2024·江苏淮安·一模）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·山东威海·期中）已知m是方程的一个根，则代数式的值为（　　） A．2024 B．23-24 C．2021 D．2020 【例3】（2024·广东清远·二模）如果是一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【例4】（2024·福建泉州·三模）若a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 【例5】（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【例6】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值． 【典型例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例1】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 【例2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）一元二次方程的一个根是1，且满足，则 ， ， ． 【例4】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如果关于x的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是 ． 【例5】（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【例6】（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【典型例题六 降次求代数式的值】 【例1】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 【例2】（23-24九年级上·河北唐山·期末）若是方程的根，则的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 【例3】（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【例4】（2024·重庆·一模）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【例5】（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【例6】（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程的解，求式子的值． 【变式训练1 一元二次方程的定义】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24·广东汕头·二模）请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数为负数；（2）一个实数根为的整数部分，另一个实数根为－4，则这个一元二次方程可以是 ．（任意写一个符合条件的即可）． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列方程中，属于一元二次方程的有 （填题号）． ①；②；③； ④；⑤． 5．（22-23八年级·上海·假期作业）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)（为已知数）； (7)． 6．（22-23八年级下·浙江·课后作业）判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ． 【变式训练2 根据一元二次方程的定义求参数】 1．（2024八年级下·安徽·专题练习）关于的方程是一元二次方程，则值为（   ） A．2或 B．2 C． D．且 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 3．（23-24八年级下·山东威海·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 4．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则a的值是 ． 5．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： (1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程； (2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值． 【变式训练3 一元二次方程的一般形式】 1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（　　） A． B．6 C．2 D． 2．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是（  ） A．2，1， B．，1， C．1，，8 D．8，1， 3．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）一元二次方程化为一般形式是 ． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）把一元二次方程化成一般形式是 5．（22-23八年级·上海·假期作业）已知关于方程的各项系数与常数项之和为2，求的值． 6．（22-23八年级·上海·假期作业）将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数． (1) （、是常数，且）； (2)； (3)． 【变式训练4 一元二次方程的解】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知一元二次方程的一个根是2，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）若是方程的根，则代数式的值为(   ) A．1 B．2024 C．2025 D． 3．（2024·山东济南·三模）关于的一元二次方程的一个根，则 ． 4．（2024·山东济南·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 5．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）观察下列方程： 方程 方程的解 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … … … (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 6．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【变式训练5 赋值法求一元二次方程的解】 1．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）若关于的一元二次方程的一个解与方程的解相同，则的值是（    ） A．2021 B．23-24 C．23-24 D． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则一元二次方程必有一个根是（    ） A．0 B．1 C． D． 3．（2024·四川南充·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则关于x的方程的两个根分别为 ． 4．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）如果关于的一元二次方程中，那么这个方程必有一个根是 ． 5．（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知是一元二次方程的一个解，且，求的值． 6．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，试求的值． 【变式训练6 降次求代数式的值】 1．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知m是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 2．（23-24八年级上·江苏南通·开学考试）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．2021 B． C．2019 D． 3．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若是方程的一个根，则的值为 ． 4．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知a是方程的一个根，则的值为 ． 5．（23-24九年级·江苏·假期作业）已知m为方程的一个根，求的值． 6．（23-24九年级上·北京·期中）若是方程的一个根，求代数式的值． 1．（23-24·江苏盐城·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南通·二模）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（   ） A．2025 B．2024 C．23-24 D．23-24 3．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（    ） A．2024 B． C．－2024 D． 4．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）根据下表可知，方程的一个解的范围为（    ） …… …… …… …… A． B． C． D． 6．（2024·江苏常州·二模）已知m为方程 的一个根，则代数式的值是 ． 7．（2024·江苏南京·二模）若关于的方程有一个根为2，则的值为 ． 8．（2024·江苏苏州·二模）若是一元二次方程的实数根，则代数式 ． 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若m是方程的一个实数根，则的值为 ． 10．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有一个非零实数根，则的值为 ． 11．（23-24九年级上·江苏·专题练习）已知方程和有共同的根是，求的值． 12．（23-24九年级·全国·假期作业）若关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值． 13．（23-24八年级下·上海·专题练习）已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0． (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解； (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 14．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）已知m为方程的根，求的值． 15．（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）若方程是关于x的一元二次方程，求m的取值范围． （2）如果是方程的一个根，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一元二次方程（3大知识点+6大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【典型例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥，一元二次方程的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，当时，不是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程； ⑤，含有两个未知数，不是一元二次方程；； ⑥，即，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有2个， 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，求含未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，整理，得：，是一元一次方程，不符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选D． 【例3】（23-24九年级上·全国·专题练习）一元二次方程满足的三个条件 ①方程必须是 方程（不得含有分式，即未知数不在分母位置上，例如不是整式方程）； ②只含有 个未知数； ③未知数的 为2； 【答案】 整式 一/1 最高次 【分析】根据一元二次方程的定义可得答案． 【详解】解：一元二次方程满足的三个条件： ①方程必须是整式方程（不得含有分式，即未知数不在分母位置上，例如不是整式方程）； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次为2； 故答案为：整式；一；最高次． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程满足的三个条件可得答案． 【例4】（23-24八年级下·全国·假期作业）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中一定是一元二次方程的有 （把所有正确选项的序号都填上） 【答案】③④⑦ 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解答此题的关键．根据一元二次方程的概念：含有一个未知数且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；据此即可判断得解． 【详解】解：①虽然是只含有一个未知数的整式，并且未知数的最高次数是2，但它不是等式，故不是方程； ②不是整式方程；不是一元二次方程； ③是整式方程，可整理为，符合一元二次方程的概念，故是一元二次方程； ④整理为，是一元二次方程； ⑤不一定是一元二次方程，因为当时，它不是一元二次方程，只有当时，它是一元二次方程； ⑥整理为，它是一元一次方程，不是一元二次方程； ⑦可整理为，因为不可能等于0，所以是一元二次方程； ⑧不是整式方程，不是一元二次方程． 答案：③④⑦ 【例5】（22-23九年级·江苏·假期作业）判定下列方程是不是一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）先利用等式的性质对等式进行变形，再进行判断． （2）先利用等式的性质对等式进行变形，再进行判断． 【详解】（1）整理原方程，得 ， 所以． 其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程． （2）整理原方程，得 ， 所以． 整理后不含二次项，即二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程． 【点睛】本题考查了等式的性质和一元二次方程的定义，识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2．不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可． 【例6】（23-24九年级上·全国·课前预习）判断下列方程是否为一元二次方程？ （1）3x＋2＝5y－3 （2） （3） （4） 【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是 【典型例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例1】（23-24九年级上·山东济宁·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义；根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，最高次数为2，即可求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得； 故选：B． 【例2】（23-24九年级上·四川雅安·期末）要使方程是关于的一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的定义，可找出关于的一元一次不等式，解之即可求出的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记一元二次方程的定义是解题的关键． 【例3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程是一元二次方程，则a满足 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【例4】（23-24九年级·全国·假期作业）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴ 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【例5】（23-24九年级上·广西河池·期中）已知关于x的方程 (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的定义以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵是一元一次方程， ∴， 解得． 即时，此方程是一元一次方程； （2）∵是一元二次方程， ∴， 解得． 即时，此方程是一元二次方程． 【例6】（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）由题意，得解得． （2）由题意，得，∴． 【典型例题三 一元二次方程的一般形式】 【例1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式，进而求出a的值，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1， ， 解得：， ， 则该方程中的一次项系数为5， 故选A． 【例2】（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式得出一次项系数和常数项即可．熟知一元二次方程的一般形式各项的系数是关键． 【详解】解： ∵一元二次方程化成一般式为， 故选：A． 【例3】（23-24八年级下·安徽宣城·期中）方程转化为一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式)．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 首先利用多项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为0，再化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·广西崇左·期中）把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化． 首先根据完全平方公式进行计算，把方程变形为一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【详解】解：方程 去括号得：， 即， 移项合并同类项得：， 即可化成， 故答案为：． 【例5】（23-24九年级上·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答； （2）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答； （3）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答； （4）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答． 【详解】（1）解：化为一般形式是， 二次项系数是4，一次项系数是，常数项是3． （2）解：化为一般形式是， 二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是． （3）解：化为一般形式是， 二次项系数是2，一次项系数是10，常数项是． （4）解：化为一般形式是， 二次项系数是3，一次项系数是，常数项是0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般式为，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 【例6】（23-24九年级上·全国·课后作业）将一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】二次项系数为，一次项系数为8，常数项为 【分析】先把变为一般形式，然后得出答案即可． 【详解】解：由得， ∴二次项系数为，一次项系数为8，常数项为． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，形如，把式子化为一元二次方程的一般形式是解题关键． 【典型例题四 一元二次方程的解】 【例1】（2024·江苏淮安·一模）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，进而得，再把代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【例2】（23-24八年级下·山东威海·期中）已知m是方程的一个根，则代数式的值为（　　） A．2024 B．23-24 C．2021 D．2020 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值．由方程根的定义得到，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【例3】（2024·广东清远·二模）如果是一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴ ∴ 故答案为：． 【例4】（2024·福建泉州·三模）若a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义得到，即，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：把代入，得，即， ， 故答案为6． 【例5】（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，将代入原方程，变形得，再将代数式去括号展开，将整体代入展开后的代数式，求解即可，解题关键是利用整体代入法． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的根， ， ， ． 【例6】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，得到，进而得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴，， ∴． 【典型例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例1】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， 即， ∴． 故选：D 【例2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握方程解的概念和整体代入思想是解题的关键． 将代入一元二次方程，求得，整体代入即可． 【详解】解：将代入一元二次方程得， ，即 ∴． 故选：D． 【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）一元二次方程的一个根是1，且满足，则 ， ， ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了二次根式有意义的条件．先根据二次根式有意义的条件得到，则可计算出，再根据一元二次方程解的定义得到，然后把a和b的值代入即可求出c的值． 【详解】解：∵a、b满足， ∴，， ∴， ∴， ∵一元二次方程的一个根是1， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；； 【例4】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如果关于x的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解．根据关于的一元二次方程的一个解是，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值整体代入，即可解答本题． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个解是， ， ， ． 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 【例6】（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【答案】(1)； (2)2019． 【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后把代入原式即可求解； （2）可化简得原式，然后通分后再次代入后化简即可． 【详解】（1）解：是方程的一个根， ， ， ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是把根据方程的解的定义得到的式子进行变形． 【典型例题六 降次求代数式的值】 【例1】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解, 先根据一元二次的定义得到，再用a表示得到，然后利用整体代入的计算所求代数式的值． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（23-24九年级上·河北唐山·期末）若是方程的根，则的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可，运用整体代入思想是解决此问题的关键． 【详解】∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【例3】（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，则，然后整体代入化简求值即可． 【详解】解：由题意得， 则， ∴， ∴ 故答案为：2020． 【例4】（2024·重庆·一模）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入方程得，再将代入变形后的式子进行化简求值即可． 【详解】解：根据题意得：， ． 故答案为：9． 【例5】（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】 由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴ ， 故答案为：． 【例6】（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可． 【详解】解：∵m是方程的解， ∴，即：， ∴ ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键． 【变式训练1 一元二次方程的定义】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可． 【详解】A．，未知数的最高次数是1 ，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； B．符合一元二次方程定义，是一元二次方程； C．，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； D．化简为，不含二次项，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程； 据此进行逐项分析即可作答 【详解】解：、，含有两个未知数，故本选项不符合题意； 、，可化为，满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意； 、不是整式方程，故本选项不符合题意； 、最高次数3，故本选项不符合题意； 故选：． 3．（23-24·广东汕头·二模）请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数为负数；（2）一个实数根为的整数部分，另一个实数根为－4，则这个一元二次方程可以是 ．（任意写一个符合条件的即可）． 【答案】(答案不唯一，满足要求即可） 【分析】先确定出的整数部分，再利用因式分解的方法写出符合条件的一元二次方程即可． 【详解】∵＜＜， ∴3＜＜4， ∴2＜-1＜3， ∴的整数部分为2，即方程的一个根为2， ∵方程的另一个根为-4，且二次项系数为负数， ∴方程可以写为，答案不唯一， 故答案为：，（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了按条件构造一元二次方程以及确定二次根式整数部分的知识，确定方程的另一个根为2是解答本题的关键． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列方程中，属于一元二次方程的有 （填题号）． ①；②；③； ④；⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】根据一元二次方程的定义，得②③⑤是一元二次方程，①④不是， 故答案为： ②③⑤． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 5．（22-23八年级·上海·假期作业）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)（为已知数）； (7)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 (4)不是 (5)不是 (6)不是 (7)是 【分析】（1）根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程必须满足三个条件∶未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，并且是整式方程．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． （2）根据一元二次方程的定义判断即可； （3）根据一元二次方程的定义判断即可； （4）根据一元二次方程的定义判断即可； （5）根据一元二次方程的定义判断即可； （6）根据一元二次方程的定义判断即可； （7）根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】（1）解：中两个未知数，是二元二次方程， 故不是一元二次方程； （2）解：中对式子进行整理，两边项都消去了，剩下，为一元一次方程， 故不是一元二次方程； （3）解：中对含有一个未知数，未知数的最高次数为1， 故是一元二次方程； （4）解：中，分母里含有未知数，是分式方程， 故不是一元二次方程； （5）解：不是整式方程， 故不是一元二次方程； （6）解：中当是，原式化为， 故不是一元二次方程； （7）解：化简即为， ∴是一元二次方程． 【点睛】本题利用了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 6．（22-23八年级下·浙江·课后作业）判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ． 【答案】②③⑥. 【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：①不是方程； ④ 不是整式方程； ⑤ 含有2个未知数，不是一元方程； ⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程， ②③⑥符合一元二次方程的定义． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键． 【变式训练2 根据一元二次方程的定义求参数】 1．（2024八年级下·安徽·专题练习）关于的方程是一元二次方程，则值为（   ） A．2或 B．2 C． D．且 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得． 故选：C． 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， 故选：B． 3．（23-24八年级下·山东威海·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据一元二次方程的定义列出方程，注意：二次项系数不为0．根据未知数的次数为2和二次项系数不为0列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，， 解得，； 故答案为：1． 4．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则a的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断．本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得，或， 故， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可以解答本题； （2）根据一元二次方程的定义可以解答本题 【详解】（1）解：， 如果此方程是一元一次方程， 则， 解得：， 即时，此方程是一元一次方程； （2）解：， 如果此方程是一元二次方程， 则， 解得，且， 即且，方程是一元二次方程． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： (1)是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程； (2)是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值． 【答案】(1)存在，时；时 (2)存在， 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，分情况求解即可； （2）根据一元二次方程的定义，列出式子，求解即可． 【详解】（1）解：存在，由题可知或或时方程能为一元一次方程， 当时，解得，此时程为，解得； 当时，解得，此时方程为，解得． 当时，方程无解； （2）存在． 根据一元二次方程的定义可得，解得． 【点睛】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程，只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程． 【变式训练3 一元二次方程的一般形式】 1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项系数是（　　） A． B．6 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据常数项为，得到一元二次方程的一般形式，进而得出一次项系数即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式后，常数项为， 一般形式为， 一次项系数是， 故选：A． 2．（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是（  ） A．2，1， B．，1， C．1，，8 D．8，1， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式、一元二次方程的概念，形如，先将式子化为一般式，即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的概念是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是，1，， 故选：B． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）一元二次方程化为一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将等式左边利用多项式乘以多形式的法则展开，将方程转化为的形式即可． 【详解】解：， 整理，得：； 故答案为：． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）把一元二次方程化成一般形式是 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是（、、为常数，）． 【详解】解：， ， ， ， 即一元二次方程的一般形式是， 故答案为：． 5．（22-23八年级·上海·假期作业）已知关于方程的各项系数与常数项之和为2，求的值． 【答案】 【分析】首先把关于方程化为一般形式，根据各项系数与常数项之和等于2，求出m的值即可． 【详解】解：整理方程得， 化为一般形式即为， 方程的各项分别为，，，其中未知项系数分别为1，， 依题意即有， 解得：． 【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件． 6．（22-23八年级·上海·假期作业）将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数． (1) （、是常数，且）； (2)； (3)． 【答案】(1)方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为0；常数项为； (2)方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为 (3)一般形式即为；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为，一次项系数为；常数项为6 【分析】（1）移项，将方程化为一般性质，即可得解； （2）移项，将方程化为一般性质，即可得解； （3）利用平方差公式，方程左边为，由此方程即为，方程展开化为一般形式即为，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴方程一般形式为； ∴方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为0；常数项为； （2）解：∵， ∴方程一般形式为； ∴方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为； （3）解：∵， ∴ ∴， ∴；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为， 一次项系数为；常数项为6． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关于x的方程，（， a，b，c，为常数）称为一元二次方程的一般形式，叫二次项，是一次项，c是常数项，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【变式训练4 一元二次方程的解】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知一元二次方程的一个根是2，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入，得出，解出m的值，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是2， ∴把代入， 得， 解得 故选：C 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）若是方程的根，则代数式的值为(   ) A．1 B．2024 C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义和代数式求值．一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此得到，再根据进行代值计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·山东济南·三模）关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程，把代入方程，解关于的方程即可． 【详解】解：把代入方程 得 解得： 故答案为：． 4．（2024·山东济南·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入原方程得到关于的一元一次方程进而即可解答．本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴将代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）观察下列方程： 方程 方程的解 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … … … (1)按照此规律，请你写出第5个方程：________________；第5个方程的解为________________． (2)按此规律写出第n个方程及其解，并验证解的正确性． 【答案】(1)；， (2)，， 【分析】本题是规律探索题，考查了一元二次方程及其解； （1）根据规律直接写出方程及其解即可； （2）根据规律可写出第n个方程及其解，把两个解代入方程中检验即可． 【详解】（1）解：由规律得，第5个方程为：；其两个解，； 故答案为：；，； （2）解：根据规律，第n个方程为：，其两个解为：，； 当时，方程左边右边， 当时，方程左边右边， ∴，是方程的两个根． 6．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】将代入关于的一元二次方程，求得，然后将其整体代入整理后的代数式求值即可． 【详解】解：根据题意知，， 所以， 则： ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 【变式训练5 赋值法求一元二次方程的解】 1．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）若关于的一元二次方程的一个解与方程的解相同，则的值是（    ） A．2021 B．23-24 C．23-24 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解的概念先解一元一次方程得出，利用一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算． 【详解】解： 解得： 把代入方程得， ， 所以， 所以． 故选：B． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则一元二次方程必有一个根是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键． 由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】∵ ∴ ∴方程必有一根为． 故选：C． 3．（2024·四川南充·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则关于x的方程的两个根分别为 ． 【答案】1或2025 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．先移项，合并同类项得出，再分别讨论和的情况． 【详解】解：∵， ∴， 即时方程有根， ∵一元二次方程的一个根为， ∴， 此时， 故答案为：1或2025． 4．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）如果关于的一元二次方程中，那么这个方程必有一个根是 ． 【答案】/1 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，根据已知条件可得当时，方程成立，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·广东汕头·期中）已知是一元二次方程的一个解，且，求的值． 【答案】 【分析】根据是一元二次方程的一个解，可以求得的值，再根据，可以求出答案. 【详解】解：把代入方程，得：， 又 所以，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程解的含义.也考查了因式分解. 6．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，试求的值． 【答案】 【分析】根据是一元二次方程的一个根，得出，，，把代入求出结果即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， 把代入得： ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是根据方程解的定义得出，并变形为，． 【变式训练6 降次求代数式的值】 1．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知m是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值．根据一元二次方程的解求得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是的一个根， ∴， ∴ ， 故选：A． 2．（23-24八年级上·江苏南通·开学考试）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．2021 B． C．2019 D． 【答案】A 【分析】先把a代入方程，变形得，再把代数式变形求解即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根和求代数式的值，把根代入方程和对代数式变形是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，方程的根的意义，将原式中转换为，再将整理为，根据是方程的一个根，代入得到，再根据可得，即可解答，考虑对中的，进行降次是解题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 将变形可得， 将代入可得， 再将可得原式， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据题意得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：将代入， 得， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级·江苏·假期作业）已知m为方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后利用降次的方法对原式进行化简即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形求值． 6．（23-24九年级上·北京·期中）若是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】23-24 【分析】根据是方程的一个根，可得，然后将变形代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得，则， 即， 则 ． 【点睛】本题考查一元二次方程的根，根据题意适当变形是解本题的关键． 1．（23-24·江苏盐城·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 根据一元二次方程的定义进行判断即可 【详解】解：A、当时不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意； C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意； D、该方程符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故本选项正确； 故选：D． 2．（2024·江苏南通·二模）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（   ） A．2025 B．2024 C．23-24 D．23-24 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键． 把代入原方程，可得，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（    ） A．2024 B． C．－2024 D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程根的定义：将代入方程中，再两边同时除以，可得结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程一个实数根为2024， ∴， ∴， ∴， ∴是方程一定有实数根． 故选：D 4．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，，进而即可求解． 【详解】解：对于一元二次方程，即， 设， ， 而关于的一元二次方程有一根为， 有一个根为， 则， ， 必有一根为， 故选：D． 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）根据下表可知，方程的一个解的范围为（    ） …… …… …… …… A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的的解的概念是解题的关键．由时，，时，，可知在和之间有一个值能使的值为0，于是判断方程的一个解x的范围为． 【详解】时，，时，， 方程的一个解x的范围为． 故选C． 6．（2024·江苏常州·二模）已知m为方程 的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解等知识点，先根据方程解的定义，化简关于m的方程，然后整体代入求值，掌握方程解的定义和整体代入的思想方法是解决本题的关键． 【详解】∵m为方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 7．（2024·江苏南京·二模）若关于的方程有一个根为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．先把方程的一个根代入方程中，得到关于的一元一次方程，再求出的值即可． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得， 故答案为：． 8．（2024·江苏苏州·二模）若是一元二次方程的实数根，则代数式 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，把代入方程，得出关于m的一元二次方程，再整体代入求值即可． 【详解】解：当时，则， 即， 所以，， 故答案为：3． 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若m是方程的一个实数根，则的值为 ． 【答案】23-24 【分析】本题主要考查代数式的值及一元二次方程的解．把m代入方程可得，然后利用整体代入求解即可． 【详解】解：把m代入方程可得， ∴， ∴ ； 故答案为：23-24． 10．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有一个非零实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，将代入原方程，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个非零实数根， ∴ 即 ∴的值为 故答案为：． 11．（23-24九年级上·江苏·专题练习）已知方程和有共同的根是，求的值． 【答案】 【分析】把共同的根代入方程和中，解二元一次方程组，求出和的值即可． 【详解】解：将代入和，得： ， ①②，得： ， 解得：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程及一元二次方程的解的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值，代入公共根，解方程组求出待定系数的值． 12．（23-24九年级·全国·假期作业）若关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值． 【答案】m＝﹣2 【分析】根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0， ∴ 解得： 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，熟练掌握其定义是解本题的关键． 13．（23-24八年级下·上海·专题练习）已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0． (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解； (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1)m＝1；x＝﹣1 (2)m≠1；二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1 【分析】（1）当二次项系数为0，一次项系数不为0时，方程为一元一次方程，然后解方程即可； （2）当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程． 【详解】（1）解：若关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元一次方程， 则m﹣1＝0且m﹣2≠0， 解得m＝1． ∴原方程变形为﹣x﹣2+1＝0 解得x＝﹣1． （2）解：当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程， 此时该方程的二次项系数为m﹣1， 一次项系数为m﹣2， 常数项为﹣2m+1． 【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义及解一元一次方程，难度不大．掌握一元一次方程及一元二次方程的相关定义是解决本题的关键． 14．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）已知m为方程的根，求的值． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后利用降次的方法对原式进行化简即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形． 15．（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）若方程是关于x的一元二次方程，求m的取值范围． （2）如果是方程的一个根，求的值． 【答案】（1）且；（2）9 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件进行求解即可； （2）把代入中得到，再由进行求解即可． 【详解】解：（1）∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴且； （2）∵是方程的一个根， ∴，即 ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的相关知识． 学科网（北京）股份有限公司 $$