第10讲 实际问题与二次函数（1大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（人教版）

第10讲 实际问题与二次函数（1大知识点+8大典例+变式训练） 题型一 图形问题(实际问题与二次函数) 题型二 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型三 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型四 销售问题(实际问题与二次函数) 题型五 投球问题(实际问题与二次函数) 题型六 喷水问题(实际问题与二次函数) 题型七 增长率问题(实际问题与次函数) 题型八 其他问题(实际问题与二次函数) 知识点01 二次函数的应用 （1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. （2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. （3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. （4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 【典型例题一 图形问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级上·吉林长春·期末）用总长为20米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃，若花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米，求y与x之间的函数关系式． 2．（22-23九年级上·安徽·期中）如图，学校要用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，矩形的边为围墙的一部分，已知墙长为.要想使花圃的面积最大，求边的长及花圃的最大面积.    3．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）某农场准备围建一个矩形养鸡场，其中一边靠墙（墙的长度为15米），其余部分用篱笆围成，在墙所对的边留一道1米宽的门，已知篱笆的总长度为23米．求整个鸡场的总面积的最大值．    4．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，要建一个三面用木板围成的矩形仓库，已知矩形仓库一边靠墙（墙长），并在与墙平行的一边开一道宽的门，现在可围的材料为长的木板，若设与墙平行的一边长为，仓库的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当时，求的值． 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）列一元二次方程解应用题 如图，在一个长为60米，宽为40米的矩形场地内修筑两条入口宽度相等均为x米的小路，每条小路的两边是互相平行的，且其中一条小路与矩形场地的一边平行，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204平方米．求：小路入口的宽度是多少米？    【典型例题二 图形运动问题(实际问题与二次函数)】 1．（2023·北京·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2tx+2． （1）求抛物线的对称轴（用含t的代数式表示）； （2）将点A（﹣1，3）向右平移5个单位长度，得到点B． ①若抛物线经过点B求t的值； ②若抛物线与线段AB恰有一个交点，结合函数图象直接写出t的取值范围． 2．（2023·贵州黔南·二模）如图，已知抛物线交轴于两点，与轴交于点，顶点为，点是轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）连接，求的面积； （3）当的值最小时，求点的坐标． 3．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）已知函数的图像记作M． （1）当时，y随x增大而增大，则m的取值范围是_______． （2）当时，求M与x轴的交点坐标． （3）若､，M与线段有公共点，求m的取值范围． （4）点､，以为边向下作矩形，点E､F落在x轴上，当M与矩形有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 4．（2023九年级·福建泉州·学业考试）如图，二次函数的图像与轴分别相交于、两点，点的坐标为，与轴交于点． （1）求的值： （1）抛物线顶点为，轴于点，点是线段上一动点，在轴上，且，若，求的最小值． 5．（2023·重庆渝中·二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作∥x轴交抛物线于点，连接 （1）求这个抛物线的解析式 （2）设为抛物线上的一点，且在直线的下方，连接，当的面积最大时，线段在轴上左右移动得到线段，求的最小值． 【典型例题三 拱桥问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为12m，桥洞与水面的最大距离是6m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平面直角坐标系后，再作答）． 2．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，某动车隧道的截而由抛物线L（曲线部分）和矩形构成，曲线的最高点E到的距离为8米，矩形的一边为12米，另一边为2米． (1)请根据题意，建立合适的平面直角坐标系，并说明x轴、y轴及原点的位置； (2)在（1）的条件下，试求出抛物线L的解析式． 3．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面的高时，水面宽． (1)求该抛物线表示的二次函数解析式； (2)当水面下降到达时，求水面宽度增加多少？ 4．（22-23九年级上·浙江·课后作业）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为8m，宽为2m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点P到坐标原点O的距离为6m． (1)求抛物线的解析式． (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高m，宽m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 5．（2023·陕西·中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【典型例题四 销售问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？ 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）某商品现在的售价为每件70元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨1元，每星期要少卖出10件；每降1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件50元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 3．（23-24九年级上·天津河西·阶段练习）某百货商店在销售时发现一种品牌的童装平均每天售出20件，每件利润40元．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，每天可多售出2件．问每件童装降价多少元时，商场可获得最大利润？ 4．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）冬季天气干燥，空气加湿器得以畅销，某商场销售一种空气加湿器，进价是每台元，月销售量(台)与售价(元台)满足一次函数关系式．若某月规定该商场的这种空气加湿器的售价不低于进价且不高于元台，则该商场该月销售这种空气加湿器获得的最大利润是多少元？ 【答案】该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是元 【分析】本题考查二次函数；根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质和的取值范围，即可求得相应的最大利润． 5．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）春节临近，由于我市城区执行严禁燃放烟花炮竹令，某商店发现了商机，经销一种安全、无污染的电子鞭炮．已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现：春节期间，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元． (1)求w与x的函数关系式； (2)该种电子鞭炮的销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ 【典型例题五 投球问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．求铅球的落地点离运动员有多远（结果保留根号）？ 2．（22-23九年级上·广东河源·期末）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 与水平距离之间的关系是：． (1)求当铅球落地时推出有多远？ (2)铅球行进高度能否达到？为什么？ 3．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式． (1)经过多少秒后足球回到地面． (2)经过多少秒时球的高度为15米 (3)球的高度是否能够达到21米，请说明理由． 4．（22-23九年级上·河南开封·期末）双手正面掷实心球是开封市中招体育考试的选考项目，如图①是一名男生双手正面掷实心球，实心球的行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点高度为2m，当水平距离为5m时，实心球行进至最高点4m处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据开封市中招体育考试评分标准（男生10.3m），即投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10.30m，此项考试得分为满分10分．该男生在此项考试中是否得满分，请说明理由．（） 5．（2023·湖北武汉·模拟预测）在某场足球比赛中，球员甲将在地面上点处的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的高度与球和点的水平距离的函数的部分图象（不考虑空气的阻力），当足球运行到最高点时，此时球恰好在球员乙的正上方，球员乙在距点的点处，球距地面的高度为，即，对方球门与点的水平距离为． (1)当时， ①求与的关系式； ②当球的高度为时，求足球与对方球门的水平距离； (2)防守队员丙站在距点正前方的点处，球员甲罚出的任意球高过球员丙的头顶并直接射进对方球门，已知丙的身高为，即，球门的高度为，即，直接写出的取值范围． 【典型例题六 喷水问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为(秒)时该足球距离地面的高度(米)适用公式 经过多少秒后足球回到地面? 经过多少秒时足球距离地面的高度为米? 2．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y=﹣x2+x，其中y（m）是球飞行的高度，x（m）是球飞行的水平距离． （1）飞行的水平距离是多少时，球最高？ （2）球从飞出到落地的水平距离是多少？ 3．（22-23九年级上·北京西城·期中）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离中心3m． （1）在给定的坐标系中画出示意图； （2）求出水管的长度． 4．（22-23九年级上·福建宁德·期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子，点恰好在水面中心，安装在柱子顶端处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任意平面上，水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为.请完成下列问题： （1）将化为的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米； （2）写出左边那条抛物线的表达式； （3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？ 5．（22-23九年级上·吉林长春·期末）某小区有一个半径为3的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1处达到最大高度为3，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式； （2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2处，通过计算说明身高1.8的王师傅是否被淋湿？ 【典型例题七 增长率问题(实际问题与次函数)】 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 2．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 3．（2023·山东临沂·一模）某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 4．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 5．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【典型例题八 其他问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级上·北京西城·期中）一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB＝8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道． 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压p（毫米汞柱）与年龄x（岁）大致满足关系式p=0.01x2+0.05x+107；对男性来说，正常的收缩压p（毫米汞柱）与年龄x（岁）大致满足关系式p=0.006x2-0.02x+120． （1）利用公式计算一个10岁女孩的收缩压； （2）如果一个男性的收缩压为122毫米汞柱，那么他的年龄大概是多少？ 3．（22-23九年级上·湖北荆州·阶段练习）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为1.5米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求水柱抛物线的函数解析式； （2）求水柱的最大高度是多少？ 4．（2023·福建福州·一模）汽车刹车后行驶的距离S（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是S = at2 + bt．当t = 时，S = 6；当t = 1时，S = 9． (1)求该函数的解析式； (2)请结合平面直角坐标系中给出的点，画出符合题意的函数图象，并写出汽车刹车后到停下来前进了多远? 5．（22-23九年级上·广东珠海·阶段练习）如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．最大高度为6米，底部宽度为12m，AO＝3m．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）直接写出点A及抛物线顶点P的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式． 【变式训练1 图形问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级下·四川达州·期中）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，求矩形花园的最大面积． 【答案】最大面积为144． 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的实际应用，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据条件设长为x，宽为，然后表示出矩形面积，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设长为x，宽为 面积为． ∵ ∴二次函数开口向下， ∴当时，最大面积为144． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知正方形的周长是C厘米，面积是S平方厘米． (1)求S关于C的函数关系式； (2)当平方厘米，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)正方形的边长为厘米． 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）由正方形周长求出边长，然后求出面积的表达式； （2）当，求出边长． 【详解】（1）解：因为正方形的周长是C厘米， 所以边长为厘米， 所以； （2）解：当平方厘米，代入得， ，即， 所以边长为厘米， 所以正方形的边长为厘米． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式． （1）根据，得出，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案； （2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形， 在中，，，， ∴ ； （2）解：正方形的面积为：， ∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 4．（2024·新疆吐鲁番·三模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)时，花园的面积能达到 (3)时，的最大值为 【分析】对于（1），先表示，再根据面积公式求出函数关系式，然后确定自变量的取值范围； 对于（2），令，求出解即可； 对于（3），先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的增减性得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：由题意可知为米，则 ∴ 因为墙长. ∴， 自变量的取值范围是； （2）此花园面积能达到，理由如下：， 解得（舍），， 时，花园的面积能达到 ； （3）， ∵，， 当随的增大而减小， ∴时，的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程，求二次函数的极值，确定自变量的取值范围是解题的关键． 5．（2024·山西运城·三模）阅读与思考 下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 爸爸计划利用一张如图1所示的的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作．根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使储物箱的容积最大．现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决以上问题． 如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱．设四个角上分别剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值时，所制作的无盖长方体储物箱的容积最大． (1)当_________时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为________ (2)请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围． (3)在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可） 【答案】(1)5；2000 (2)， (3)函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是一种解决数学问题常用的思想方法；函数思想可以解决生活中的很多问题等 【分析】本题考查数形结合以及正方体面积，读懂题意是解答本题的关键． （1）根据函数图象解答即可； （2）根据题意先得出底面边长，再解答即可； （3）根据题意结合数学观点解答即可． 【详解】（1）解：由函数图象可得：当时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为； （2）解：剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，纸箱底为正方形， ，； （3）解：根据题意可得：函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是一种解决数学问题常用的思想方法；函数思想可以解决生活中的很多问题等． 【变式训练2 图形运动问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级上·四川凉山·期中）如图，在中，，动点P以的速度从A向B移动（不与B重合），动点Q以的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问经过几秒后，四边形的面积最小？并求出最小值. 【答案】当经过时，S取得最小值，最小值为． 【分析】根据等量关系“四边形的面积的面积的面积”列出函数关系求最小值即可． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为，四边形的面积为， 则有： ． ∵， ∴当时，S取得最小值，最小值为． 【点睛】本题考查动点问题与二次函数的最值问题，根据四边形的面积等于两个三角形的面积之差列出等式，转化为二次函数最值问题是解题的关键． 2．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）如图所示，中，，点P从点A开始沿边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒P、Q之间距离等于cm？ 【答案】经过秒或2秒P、Q之间距离等于cm 【分析】设经过x秒钟，P、Q之间距离等于cm，根据点P从A点开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，表示出和的长可列方程求解． 【详解】解：设经过x秒P、Q之间距离等于cm， 可得：， 整理得， 解得：，． 答：经过秒或2秒P、Q之间距离等于cm 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语得出等量关系是解决问题的关键． 3．（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 【答案】(1)； (2)当秒时，S有最小值． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先表示出第t秒钟时的长，根据三角形的面积公式即可得到的面积的函数关系式，再用矩形的面积减去的面积即可得到结果； （2）先把配方为顶点式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：第t秒钟时，，故，， 故． ∵． ∴； （2）解：， ∵， ∴当秒时，S有最小值． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动，如果点，分别从点，同时出发，    (1)写出的面积关于出发时间的函数解析式及的取值范围； (2)四边形的面积随出发时间如何变化？写出函数解析式及的取值范围． 【答案】(1) (2)四边形的面积随出发时间成二次函数关系变化， 【分析】（1）根据题意，用表示出线段、，求解即可； （2）四边形的面积为减去的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动， ∴，， ∴的面积关于出发时间的解析式为． （2）解：四边形的面积随出发时间成二次函数关系变化， ． 【点睛】此题考查了二次函数与图形的应用，解题的关键是理解题意，用表示出线段、． 5．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，E、F分别是边长为的正方形的边上的点，，直线交的延长线于G，过线段上的一个动点H作垂足分别为M、N，设，矩形的面积为y．    (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，矩形的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】(1)（0<x≤4）； (2)，即点在点位置时，矩形有最大面积． 【分析】（1）由，得到，由，，得到，继而表示出，利用矩形的面积公式即可得解； （2）直接将（1）中的函数解析式化为顶点式，利用二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）四边形是正方形， ，，， ，     ，，     ，， ∵，则有，， 故， ； （2）将化为顶点式，即为， 点H在线段FG上运动，易得函数自变量取值范围为， 故可知当，即点在点位置时，矩形有最大面积． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，运用锐角三角得到线段长，利用面积公式得到函数表达式并运用二次函数的性质求解最值是解题的关键． 【变式训练3 拱桥问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级上·山西临汾·期末）图1是一座拱桥，拱桥的拱形呈抛物线形状，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，在拱桥中，水面宽12米，点是抛物线上一点． (1)求该拱桥抛物线的解析式． (2)若水位上涨1米，求上涨后拱桥内水面的宽度 【答案】(1)； (2)拱桥内水面的宽度为米． 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，已知函数值求自变量的值，正确求得解析式是关键． （1）设交点式，再将点的坐标代入计算即可； （2）将代入关系式，求出x的值，进而得出答案. 【详解】（1）解：设该抛物线表达式为， ∵点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线表达式为； （2）解：当时，， 解得：，， 可知， 答：拱桥内水面的宽度为米． 2．（2024·陕西宝鸡·一模）悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，如图2，以的中点为原点O，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求主索抛物线的函数表达式； (2)距离点P水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 【答案】(1)主索抛物线的函数表达式为 (2)四根吊索的总长度为 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）设抛物线的表达式为，根据待定系数法求解即可； （2）将和代入解析式求得吊索长度，再将四条吊索长度相加，即可解题． 【详解】（1）由图可知，点C的坐标为． 设该抛物线的函数表达式为． 又点P坐标为， ，     ， ∴主索抛物线的函数表达式为； （2）由题意，当时，， 此时吊索的长度为． 由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为． 当时，，此时吊索的长度为． 由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为． ， ∴四根吊索的总长度为 3．（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）水清，岸绿，景美的沁阳滨河公园有一座美丽的抛物线形彩虹桥．某校综合实践活动小组通过测量，测得该桥跨度为40米，最高点到地面的距离为6米，支撑桥的是一些等距立柱．    (1)按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)若两根支撑柱，的高度均为4米，求这两根支撑柱之间的水平距离． 【答案】(1) (2)m 【分析】 本题考查了二次函数的应用，运用二次函数解决实际问题建立坐标系得出点的坐标是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）令，解方程求出值即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为： 将代入解析式， 得： 解得： 该抛物线的解析式为：． （2）令，有解得： 这两根立柱之间的距离是． 4．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图1是汝南北城古桥，斑驳的桥面上书写着历史的痕迹．古桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．    (1)按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式（无需写出取值范围）； (2)一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】(1)； (2)工人不会碰到头，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键． （1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点，先设抛物线的顶点式，再根据图象过原点，求出的值即可； （2）先求出工人距原点的距离，再把距离代入函数解析式求出的值，然后和1.68比较即可． 【详解】（1）解：如图②，由题意得：水面宽是，桥拱顶点到水面的距离是， 结合函数图象可知，顶点，点， 设二次函数的表达式为， 将点代入函数表达式， 解得：， 二次函数的表达式为， 即； （2）解：工人不会碰到头，理由如下： 小船距点，小船宽，工人直立在小船中间， 由题意得：工人距点距离为， 将代入， 解得： ， 此时工人不会碰到头． 5．（2024·贵州·模拟预测）“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上． (1)求拱桥所在抛物线的解析式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由． 【答案】(1)； (2)支柱的长度是米； (3)不能并排行驶这样的三辆汽车，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． （1）根据题目可知．，的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解； （2）设点的坐标为可求出支柱的长度； （3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，作垂直交抛物线于，求出则可求解． 【详解】（1）解：根据题目条件，、、的坐标分别是、、． 将、的坐标代入，得 解得，． 所以抛物线的表达式是； （2）解：可设，于是． 从而支柱的长度是米； （3）解：设是隔离带的宽，是三辆车最内侧与最外侧的宽度和，则点坐标是， 过点作垂直交抛物线于，则， 根据抛物线的特点，可知一条行车道不能并排行驶这样的三辆汽车． 【变式训练4 销售问题(实际问题与二次函数)】 1．（2024·甘肃临夏·一模）某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？ 【答案】定价为115元利润最大 【分析】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 本题是营销问题，基本等量关系：利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】解：依题意得： 整理得：． ， 当时，二次函数有最大值7225， 定价是115元时，利润最大． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）我市某商场根据民众健康要代理销售某种进价为600元/台的家用“空气清洁器”．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台． (1)试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式； (2)请计算当售价x（元台）定为多少时，该商场每月销售这种“空气清洁器”所获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价x定为1000元时，所获得的利润W最大，最大利润是80000元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台”，进行列式化简，即可求解； （2）结合（1）以及“进价为600元/台”条件，正确列式计算，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， 答：月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式为； （2）解：由题意得： ， ∵，故函数有最大值， 当时，, 答：当售价定为1000元时，所获得的利润W（元）最大，最大利润是80000元． 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）某经销商以24元/箱的价格进了一批矿泉水，商家批发时发现在批发数量不超过100箱时，该矿泉水的批发价y（元/箱）与批发数量x（箱）之间满足如下折线段图象． (1)当时，求出此时y与x的函数关系式； (2)求该批发商在批发出多少箱矿泉水时才能获取最大利润． 【答案】(1) (2)该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用—销售盈利问题，待定系数法进行求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）先根据利润等于单件利润乘上数量，得，根据二次函数的性质，即开口向下，当，有最小值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设y与x的函数关系式为 在时，经过， 则有 解得 ∴； （2）解：设利润为，依题意 当时，， ∵，随的增大而增大， 当时，有最大值，且为； 当，得 ∵ ∴开口向下，当， 有最小值， 且为 ∵ ∴该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 4．（23-24九年级下·广东茂名·期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． (1)求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式：（不需要求自变量取值范围） (2)若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ (3)为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应定为70元 (3)80元 【分析】 本题二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键． （1）根据销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，列出函数关系式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量列出一元二次方程进行求解即可； （3）设总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）由题意，得： 解得：或； ∵使顾客获得更多的实惠， ∴； 答：销售单价应定为70元． （3）设总利润为，由题意，得：， ∴， ∴当时，有最大值为元； 答：为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为，当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为70万元． (1)求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式； (2)若A、B两城生产这批产品的总成本的和为w（万元），求w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式； (3)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件． 【答案】(1) (2) (3)A城生产20件，B城生产80件 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可直接进行代入求解； （2）由（1）及题意可直接进行求解； （3）由（2）及根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴； （2）解：根据题意得：， ∴w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式为； （3）解：∵， ∵， ∴当时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时， 答：A城生产20件，B城生产80件． 【变式训练5 投球问题(实际问题与二次函数)】 1．（2024·甘肃临夏·一模）某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？ 【答案】定价为115元利润最大 【分析】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 本题是营销问题，基本等量关系：利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】解：依题意得： 整理得：． ， 当时，二次函数有最大值7225， 定价是115元时，利润最大． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）我市某商场根据民众健康要代理销售某种进价为600元/台的家用“空气清洁器”．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台． (1)试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式； (2)请计算当售价x（元台）定为多少时，该商场每月销售这种“空气清洁器”所获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价x定为1000元时，所获得的利润W最大，最大利润是80000元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台”，进行列式化简，即可求解； （2）结合（1）以及“进价为600元/台”条件，正确列式计算，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， 答：月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式为； （2）解：由题意得： ， ∵，故函数有最大值， 当时，, 答：当售价定为1000元时，所获得的利润W（元）最大，最大利润是80000元． 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）某经销商以24元/箱的价格进了一批矿泉水，商家批发时发现在批发数量不超过100箱时，该矿泉水的批发价y（元/箱）与批发数量x（箱）之间满足如下折线段图象． (1)当时，求出此时y与x的函数关系式； (2)求该批发商在批发出多少箱矿泉水时才能获取最大利润． 【答案】(1) (2)该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用—销售盈利问题，待定系数法进行求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）先根据利润等于单件利润乘上数量，得，根据二次函数的性质，即开口向下，当，有最小值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设y与x的函数关系式为 在时，经过， 则有 解得 ∴； （2）解：设利润为，依题意 当时，， ∵，随的增大而增大， 当时，有最大值，且为； 当，得 ∵ ∴开口向下，当， 有最小值， 且为 ∵ ∴该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 4．（23-24九年级下·广东茂名·期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． (1)求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式：（不需要求自变量取值范围） (2)若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ (3)为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应定为70元 (3)80元 【分析】 本题二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键． （1）根据销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，列出函数关系式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量列出一元二次方程进行求解即可； （3）设总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）由题意，得： 解得：或； ∵使顾客获得更多的实惠， ∴； 答：销售单价应定为70元． （3）设总利润为，由题意，得：， ∴， ∴当时，有最大值为元； 答：为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为，当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为70万元． (1)求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式； (2)若A、B两城生产这批产品的总成本的和为w（万元），求w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式； (3)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件． 【答案】(1) (2) (3)A城生产20件，B城生产80件 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可直接进行代入求解； （2）由（1）及题意可直接进行求解； （3）由（2）及根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴； （2）解：根据题意得：， ∴w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式为； （3）解：∵， ∵， ∴当时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时， 答：A城生产20件，B城生产80件． 【变式训练6 喷水问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）某幢建筑物，从二米高的窗口A用水管向外喷水（米），喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），如图，如果抛物线的最高点M离墙2米，离地面12米，求水流落地点B到墙的距离． 【答案】5米 【分析】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．设抛物线的顶点式求解析式是解题关键．由题意可以知道，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出x的值，这样就可以求出的值． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把代入， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当时，， 解得：，， 因为点B在x的正半轴，故， 所以水流落地点B离墙的距离是5米． 2．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）从某幢建筑物高的窗口处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与地面垂直）．抛物线的最高点离墙，离地面．求水的落地点与点的距离． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用；由题意可知顶点，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出的值，这样就可以求出的值． 【详解】解：依题意，顶点， 设抛物线的解析式为，将点代入，得 ， ， 抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：舍去，， ∴，即水的落地点与点的距离为． 3．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，某幢建筑物从米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离是多少米？ 【答案】3米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意可得顶点坐标为，则可把抛物线解析式设为顶点式，再利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出当时，x的值，据此可得答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得． ∴抛物线的解析式为：． 当时，则，解得：（舍去），． 答：水流下落点B离墙的距离是3米． 4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）2023年11月23日，第十批搭载着25位在韩中国人民志愿军烈士遗骸及相关遗物的空军专机运飞机从韩国仁川起飞，进入中国领空后，空军两架歼战斗机护航，向志愿军烈士致以崇高敬意．11时32分，专机缓缓降落在桃仙国际机场，机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家，如图①，在这次“过水门”仪式中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的一条抛物线的一部分．如图②，两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点F处相遇，此时相遇点F距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米，飞机从水柱抛物线的正下方经过． (1)求“过水门”水柱抛物线的解析式； (2)飞机的尾翼长16米，当飞机尾翼刚好经过水柱正下方时，尾翼与抛物线的最高点的距离为1米，求此时尾翼右端（如图所示）与水柱的水平距离为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】此题考查二次函数的应用，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）由题意得，，设抛物线解析式为，把点坐标代入解析式求出即可； (2)根据题意求出，令，解方程求出，再求即可． 【详解】（1）解：由题意得米， ， 米， ∴，， 设抛物线解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴过水门”水柱抛物线的解析式； （2）解：∵米，米， ∴米， 当时，， 解得， ∴米, ∵米, ∴米, ∴(米)。 即尾翼右端 (如图所示) 与水柱的水平距离为米． 5．（23-24九年级上·河南商丘·期末）要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为处达到最高，且最高为，水柱落地处离广场中央，建立如图所示的直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)求水管的长度； (3)当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？ 【答案】(1) (2)米 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是： （1）根据题意和函数图象可以求得该抛物线的解析式； （2）将代入（1）中的函数解析式即可解答本题； （3）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值，再根据，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：设， 点在此抛物线上， ，得， 即抛物线的解析式为； （2）当时，， 答：水管的长度是； （3）当时， ， 解得，，（舍去）， 当，才不会淋湿衣裳． 【变式训练7 增长率问题(实际问题与次函数)】 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 【答案】，y是x的函数 【分析】根据题意可得一年后的产量是，再经过一年后的产量是，由此求解即可． 【详解】解：这种产品的原产量是，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量， 即① ①式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数． 【电锯】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍． 2．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 【答案】(1)5% (2)能突破，理由见解析 【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的总值第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计2023年第一季度我省的总值=2022年第三季度我省的总值每季度我省总值的增长率，可求出预计2023年第一季度我省的总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论． 【详解】（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%； （2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元， 理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元）， ∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【答案】(1)； (2)40米． 【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，即可求解； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为； （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得 ， 解得，，（不合题意，舍去） 答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． 4．（2023·江苏盐城·一模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 【答案】（1）20%；（2）6125000（元） 【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可； （2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值． 【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0， 由题意得：， 解得：x=0.2或x=-2.2（舍）， 答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%； （2）设多改造a户，最高投入费用为w元， 由题意得：， ∵a=-50，抛物线开口向下， ∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元， 答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解． 5．（2023·江苏宿迁·一模）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）： 温度/℃ …… －4 －2 0 2 4 4.5 …… 植物每天高度增长量/mm …… 41 49 49 41 25 19.75 …… 这些数据说明：植物每天高度增长量关于温度的函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种． （1）你认为是哪一种函数，并求出它的函数关系式； （2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果． 【答案】（1）；（2）－1℃；（3）． 【详解】解：（1）选择二次函数，设， 得，解得 ∴关于的函数关系式是． （2）由（1），得， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为50． 即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大． （3）由题意得：y＞25， 即：-x2-2x+49＞25， ∴． 【变式训练8 其他问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克．设每平方米种植x株（x为整数，且） (1)平均每株产量为__________千克（用x的代数式表示）； (2)已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄，问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 【答案】(1) (2)每平方米种植6株时，该学校劳动基地能获得最大的产量，最大产量为312千克． 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键需要找出和存在的关系，以及熟练掌握顶点式二次函数表达式． （1）根据题意，找出数量关系式，即可求解； （2）利用总产量平均的产量种植的株数，列关于的二次函数，将其转化为顶点式，根据为整数，即可求出种多少株最大产量，以及最大产量多少. 【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.8千克， ∴平均每株产量为， 故答案为：； （2）解：设每平方米番茄产量为千克， 根据题意得： ∵，为整数， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴（千克）， 答：每平方米种植6株时，该学校劳动基地能获得最大的产量，最大产量为312千克． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）为了落实劳动教育，某学校邀请专家指导学生进行农作物的种植，经过试验，其平均单株产量千克与每平方米种植的株树数（，为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为5千克：以同样的栽培条件，每平方米种植的株树每增加1株，单株产量减少0.5千克． (1)求与的函数表达式； (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 【答案】(1) (2)每平方米种植6株时，能获得最大的产量，最大产量为18千克 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式； （2）设每平方米产量为w千克，由产量每平方米种植株数单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， ∴（，且x为整数）； （2）解：设每平方米产量为w千克， ． ∴当时，w有最大值18千克． 答：每平方米种植6株时，能获得最大的产量，最大产量为18千克． 3．（23-24九年级上·山东滨州·期中）如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)写出滚动的距离S（单位：）关于滚动的时间t（单位：）的函数解析式．（提示：本题中，距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） (2)如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ 【答案】(1)； (2)钢球从斜面顶端滚到底端用． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）先求出，然后得到，再由即可得到答案； （2）根据（1）计算的结果把代入求解即可． 【详解】（1）解：由题知， ． ， 即． （2）把代入中，得． 解得，（舍去）． ∴钢球从斜面顶端滚到底端用． 4．（23-24九年级上·山东青岛·期末）公路上正在行驶的甲车，发现前方30m处沿同一方向行驶的乙车后，为了行驶安全，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． (1)当甲车减速至6m/s时，它行驶的路程是多少？ (2)若乙车以10m/s的速度匀速行驶，当时间t在什么范围时，两车间的距离不超过米？ 【答案】(1)当甲车减速至时，它行驶的路程是米； (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式及配方法求二次函数最值是解题关键． （1）二次函数图象过原点，可设二次函数解析式为，一次函数解析式为，利用待定系数法求出各系数，再将代入解析式求值即可； （2）乙车行驶速度是，时间是，行驶路程为，设两车之间的距离为，则，依据两车间的距离不超过25.5米列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：二次函数图象过原点，可设二次函数解析式为， 代入，，可得： ， 解得：， 即二次函数解析式为：； 设一次函数解析式为， 代入，得： ， 解得：， 即一次函数解析式为：， 当时，代入一次函数解析式，解得， 此时，， 当甲车减速至时，它行驶的路程是米； （2）解：乙车行驶速度是，时间是，行驶路程为， 设甲、乙之间的距离为（单位：米）， 则 ， ， 解得：， ． 5．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）某中学航模组设计并制作了一种火箭模型，已知此火箭模型升空的高度与飞行时间满足函数表达式． (1)求火箭模型升空的最大高度； (2)求点火后，第几s火箭模型升空的高度为； (3)求火箭模型发射塔的高度． 【答案】(1)火箭模型升空的最大高度为米； (2)求点火后，第和火箭模型升空的高度为 (3)火箭模型发射塔的高度为 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）化为顶点式，进而即可求解； （2）将，代入，解方程，即可求解； （3）令，解得：，即可求解． 【详解】（1）解： ∴当时，取得最大值为， 答：火箭模型升空的最大高度为米； （2）解：将，代入， 即， 解得：或， 答：第和火箭模型升空的高度为； （3）解：令，解得：， 答：火箭模型发射塔的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 实际问题与二次函数（1大知识点+8大典例+变式训练） 题型一 图形问题(实际问题与二次函数) 题型二 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型三 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型四 销售问题(实际问题与二次函数) 题型五 投球问题(实际问题与二次函数) 题型六 喷水问题(实际问题与二次函数) 题型七 增长率问题(实际问题与次函数) 题型八 其他问题(实际问题与二次函数) 知识点01 二次函数的应用 （1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. （2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. （3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. （4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 【典型例题一 图形问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级上·吉林长春·期末）用总长为20米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃，若花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米，求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【分析】求出花圃平行于墙的一边长为米，再根据矩形的面积公式可求出花圃的面积，最后求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵花圃垂直于墙的一边长为x米，围栏总长为20米，且一面靠墙， ∴花圃平行于墙的一边长为米， ∴花圃的面积为． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．求出花圃平行于墙的一边长是解题关键． 2．（22-23九年级上·安徽·期中）如图，学校要用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，矩形的边为围墙的一部分，已知墙长为.要想使花圃的面积最大，求边的长及花圃的最大面积.    【答案】边的长为米时，有最大面积，且最大面积为平方米 【分析】设为米，矩形的面积为平方米，则 米，可以得到与的函数关系式，在的取值范围内求出函数的最大值即可. 【详解】设为米，矩形的面积为平方米，则 米， 且 ，故抛物线开口向下， ∴当 时, 有最大值是, 此时(米), 答：边的长为米时，有最大面积，且最大面积为平方米. 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件. 3．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）某农场准备围建一个矩形养鸡场，其中一边靠墙（墙的长度为15米），其余部分用篱笆围成，在墙所对的边留一道1米宽的门，已知篱笆的总长度为23米．求整个鸡场的总面积的最大值．    【答案】整个鸡场的总面积的最大值为72平方米． 【分析】根据题意列出函数关系式，然后，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】设图中（与墙垂直的边）长为x米，面积为y平方米，则的长为米， ∴，解得， 根据题意得，， ∴当时，y的最大值为72平方米． ∴整个鸡场的总面积的最大值为72平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，找准等量关系，正确列出二次函数是解题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，要建一个三面用木板围成的矩形仓库，已知矩形仓库一边靠墙（墙长），并在与墙平行的一边开一道宽的门，现在可围的材料为长的木板，若设与墙平行的一边长为，仓库的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)58 【分析】（1）设与墙平行的一边长为，则垂直于墙的一边长为，根据长方形的面积公式列出函数关系式，即可； （2）把代入（1）中函数关系式，即可． 【详解】（1）解：设与墙平行的一边长为，则垂直于墙的一边长为，根据题意得： （2）解：当时，． 【点睛】本题主要考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 5．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）列一元二次方程解应用题 如图，在一个长为60米，宽为40米的矩形场地内修筑两条入口宽度相等均为x米的小路，每条小路的两边是互相平行的，且其中一条小路与矩形场地的一边平行，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204平方米．求：小路入口的宽度是多少米？    【答案】小路入口的宽度是米 【分析】把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可求解． 【详解】解：设小路入口的宽度是x米，则 ， 解得：，（不符合实际，舍去） 答：小路入口的宽度是米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 【典型例题二 图形运动问题(实际问题与二次函数)】 1．（2023·北京·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2tx+2． （1）求抛物线的对称轴（用含t的代数式表示）； （2）将点A（﹣1，3）向右平移5个单位长度，得到点B． ①若抛物线经过点B求t的值； ②若抛物线与线段AB恰有一个交点，结合函数图象直接写出t的取值范围． 【答案】（1）直线x＝t；（2）①t＝；②t≤﹣1或t＝1或t＞时，抛物线与线段AB有一个公共点． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可； （2）①求得B点的坐标，代入解析式就可以求得t的值； ②求顶点的坐标可知，抛物线的顶点在抛物线y＝x2＋2上移动，求得抛物线与直线y＝3的交点．再求出抛物线过点A、点B时，t的值，结合图象即可求出t的取值范围． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2tx+2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝t， 即抛物线的对称轴为直线x＝t； （2）点A（﹣1，3）向右平移5个长度单位，得到点B（4，3）， ①∵抛物线经过点B， ∴3＝﹣16+8t+2， 解得t＝； ②∵y＝﹣x2+2tx+2＝﹣（x﹣t）2+t2+2， ∴顶点的坐标为（t，t2+2）， 由顶点的坐标可知，抛物线的顶点在抛物线y＝x2+2上移动． 把y＝3代入y＝x2+2求得x＝±1， 当抛物线过点A（﹣1，3）时，t＝﹣1． 所以t≤﹣1或t＝1或t＞时，抛物线与线段AB有一个公共点． 【点睛】本题考查了二次函数图象和系数的关系，二次函数的性质，直线与抛物线的位置关系，体现了转化思想和数形结合思想的应用． 2．（2023·贵州黔南·二模）如图，已知抛物线交轴于两点，与轴交于点，顶点为，点是轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）连接，求的面积； （3）当的值最小时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为． 【分析】（1）根据抛物线交x轴于A(-2，0)，B(1，0)两点，设抛物线的解析式为，再把C(0，2)代入求出a，即可求解； （2）把抛物线化为顶点式，求出D点坐标，再根据即可求解； （3）作点C关于x轴的对称点E(0，-2)，连接DE交x轴于点P，此时P点满足的值最小，根据待定系数法求出DE的解析式，再求出直线与x轴的交点即可求解． 【详解】（1）∵抛物线交x轴于A(-2，0)，B(1，0)两点， 设抛物线的解析式为， 又∵抛物线与y轴交于点C(0，2)， ∴，解得． ∴此抛物线的解析式为，即． (2)由得， ∴点D的坐标为． 连接OD， ． （3）作点C关于x轴的对称点E(0，-2)，连接DE交x轴于点P， 设DE的解析式为，则 解得    ∴． 当时，， ∴点P的坐标为． 【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法求解函数解析式、对称性的运用． 3．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）已知函数的图像记作M． （1）当时，y随x增大而增大，则m的取值范围是_______． （2）当时，求M与x轴的交点坐标． （3）若､，M与线段有公共点，求m的取值范围． （4）点､，以为边向下作矩形，点E､F落在x轴上，当M与矩形有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；（2）交点坐标为； （3）；（4）或或 【分析】（1）根据二次函数的性质来回答即可； （2）把代入，求方程解，问题可解； （3）将根据点､，求出AB解析式，将点和点代入求出m的值，然后确定m的取值范围； （4）分情况讨论：分或两种情况讨论． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为：， ∵， ∴时，y随x的增大而增大， ∵当时，y随x增大而增大， ∴ ， ∴ ， 故答案为：； （2）时， 由， 解得，           ∴交点坐标为 ；        （3）如图， ∵､， ∴线段AB的解析式为：， 当，， 将代入抛物线得：， 解得，，    把代入， 解得，      ∴； （4）如图，当时， ①∵､， 由2m=m-1，得 ∴ ∴当时，抛物线M与矩形CDEF无公共点； ②把x=2m=0代入抛物线M，y=1， ∴（2m，1）在矩形CDEF上， ∴当时，抛物线M与矩形CDEF有两个公共点； 当时， ①如图，由得，， ∴当时，抛物线M与矩形CDEF有三个公共点； ②如图， 当，抛物线M与矩形CDEF有两个交点； ③当，时，抛物线M与矩形CDEF有两个交点， 综上所述，当或或抛物线与矩形CDEF有两个交点； 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，函数的增减性及图像的公共点问题等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用图象解决问题，属于中考常考题型． 4．（2023九年级·福建泉州·学业考试）如图，二次函数的图像与轴分别相交于、两点，点的坐标为，与轴交于点． （1）求的值： （1）抛物线顶点为，轴于点，点是线段上一动点，在轴上，且，若，求的最小值． 【答案】（1）9；（2） 【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）利用tan∠MCP＝tan∠QPF，则，表示出，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）求得=9 （2）过点C作CM⊥EF，垂足为M ∴∠CMP=∠CPQ=∠PFQ=90° ∴∠MCP=∠QPF ∴tan∠MCP=tan∠QPF ∴ ∴ = ∵     ∴ ∴当时，的最小值为． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数最值、解直角三角形等知识，难度不大． 5．（2023·重庆渝中·二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作∥x轴交抛物线于点，连接 （1）求这个抛物线的解析式 （2）设为抛物线上的一点，且在直线的下方，连接，当的面积最大时，线段在轴上左右移动得到线段，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把，代入，解二元一次方程组即可求解； （2）把代入求出点的坐标为，进而求出直线的解析式为，设点的坐标为：，过点作交于点，得到点的坐标为：，利用表示为关于n的二次函数，故可求出的面积最大时P点坐标，过点作轴，且使，连接交轴于点，过点作交轴于点，可得此时的值最小求出，进而得到的最小值 ． 【详解】解：（1）把，代入中得 ，解得 这个抛物线的解析式为： （2）把代入，得 解得：， 点的坐标为 设直线的解析式为 ，解得 直线的解析式为： 设点的坐标为： 过点作交于点 则点的坐标为： 又 当时，的面积最大 此时点的坐标为： 如图，过点作轴，且使， ∴ 连接交轴于点 过点作交轴于点 ∴四边形PP’B’A’是平行四边形， 此时的值最小 令y=3，得x=0或x=4， ∴D（4,3） ，， 又， 的最小值为：． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、三角形的面积公式、对称性及二次函数的图像性质． 【典型例题三 拱桥问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为12m，桥洞与水面的最大距离是6m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平面直角坐标系后，再作答）． 【答案】两盏景观灯之间的水平距离4m 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，其中以AB所在的直线为横轴，以OC所在的直线为纵轴，点O为坐标原点，点C为抛物线的最高点，可得由题意知点A（﹣6，0）、B（6，0）、C（0，6），然后利用待定系数法求出抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，其中以AB所在的直线为横轴，以OC所在的直线为纵轴，点O为坐标原点，点C为抛物线的最高点， 由题意知点A（﹣6，0）、B（6，0）、C（0，6）， 设抛物线解析式为y＝ax2+6， 将点A（﹣6，0）代入，得：36a+6＝0， 解得：a＝﹣， 则抛物线解析式为y＝﹣x2+6， 当y＝4时，﹣x2+6＝4， 解得：x＝， 则两盏景观灯之间的水平距离4m． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，本题运用二次函数的顶点坐标式，运用二次函数解决实际问题，比较简单． 2．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，某动车隧道的截而由抛物线L（曲线部分）和矩形构成，曲线的最高点E到的距离为8米，矩形的一边为12米，另一边为2米． (1)请根据题意，建立合适的平面直角坐标系，并说明x轴、y轴及原点的位置； (2)在（1）的条件下，试求出抛物线L的解析式． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）以的中点O为原点，分别为x轴、y轴建立直角坐标系即可； （2）求得顶点的坐标为，再利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：建立合适的平面直角坐标系， 以的中点O为原点，分别为x轴、y轴建立直角坐标系； （2）解：矩形中，米，原点O为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点， 设抛物线的解析式为：， ∵抛物线过点， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查考查二次函数的应用，根据题意列出抛物线的解析式是解题的关键． 3．（22-23九年级上·辽宁大连·期末）如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面的高时，水面宽． (1)求该抛物线表示的二次函数解析式； (2)当水面下降到达时，求水面宽度增加多少？ 【答案】(1) (2)水面宽度增加 【分析】（1）先求出，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而求出，．得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：设该抛物线表示的二次函数解析式为， ∵， ∴抛物线经过点． ∴． ∴． ∴该抛物线表示的二次函数解析式为． （2）解：∵当水面下降到达时， ∴．即． ∴． ∴，． ∴． ∴水面宽度增加． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 4．（22-23九年级上·浙江·课后作业）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为8m，宽为2m，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点P到坐标原点O的距离为6m． (1)求抛物线的解析式． (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高m，宽m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)能通过，理由见解析 【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的一般式，求抛物线的解析式． （2）抛物线的实际应用问题中，可以取自变量的值，求函数值． 【详解】（1）根据题意，得． 设抛物线的解析式为，由解得， ∴所求的抛物线的解析式为． （2）这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下： 当时，． ∵， ∴这辆货运卡车能通过该隧道． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求抛物线解析式有几种方法，一般式、顶点式、交点式，因题而异，灵活处理．确定抛物线的解析式的关键是会找抛物线上的几个关键点． 5．（2023·陕西·中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可； （2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题． 【详解】（1）依题意，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得．解之，得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）令，得． 解之，得． ∴． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 【典型例题四 销售问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？ 【答案】销售价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数，将函数化简为顶点式，便可知当时，所获得的利润最大． 【详解】解：设销售单价定为元（），每天所获利润为元． 则 ， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为360， 所以将销售定价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元． 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）某商品现在的售价为每件70元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨1元，每星期要少卖出10件；每降1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件50元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 【答案】定价75元时，利润最大，最大利润是6250元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，设一星期所获利润为y，然后讨论：若每件涨价x元或每件降价m元，根据一星期利润等于每件的利润销售量分别得到或然后把它们配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案． 【详解】解：设每件涨价x元，则利润， 即，其中． ， 当时，y最大，涨价5元，即定价75元时，利润最大，最大利润是6250元． 设每件降价m元，则利润， 即，其中． ． 当时，y最大，降价2.5元，即定价67.5元时，利润最大，最大利润是6125元． ． 综上，定价75元时，利润最大，最大利润是6250元． 3．（23-24九年级上·天津河西·阶段练习）某百货商店在销售时发现一种品牌的童装平均每天售出20件，每件利润40元．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，每天可多售出2件．问每件童装降价多少元时，商场可获得最大利润？ 【答案】降价15元利润最大 【分析】本题考查二次函数的应用，根据每件利润×销量等于总利润，找出利润与销量的表达式是解题的关键． 设应降价元，则每件利润变为元，销量变为件，利用每件利润×销量等于总利润建立方程即可求解；将利润的表达式进行配方，即可得盈利最多时应降价多少． 【详解】解：设降价元时，总利润为， ∴降价15元时，可获得最大利润1250元． 4．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）冬季天气干燥，空气加湿器得以畅销，某商场销售一种空气加湿器，进价是每台元，月销售量(台)与售价(元台)满足一次函数关系式．若某月规定该商场的这种空气加湿器的售价不低于进价且不高于元台，则该商场该月销售这种空气加湿器获得的最大利润是多少元？ 【答案】该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是元 【分析】本题考查二次函数；根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质和的取值范围，即可求得相应的最大利润． 【详解】解：设所获利润为元， ， 某月该商场这种空气净化器的售价不低于进价不高于元台， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，此时， 答：该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是元． 5．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）春节临近，由于我市城区执行严禁燃放烟花炮竹令，某商店发现了商机，经销一种安全、无污染的电子鞭炮．已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现：春节期间，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元． (1)求w与x的函数关系式； (2)该种电子鞭炮的销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)或 (2)当时，最大利润为3200元 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用； （1）用每件的利润乘以销售量即可得每天的利润，从而得利润函数，再将其化为一般形式即可； （2）把（1）中的函数解析式配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质可求得最值 【详解】（1）解：由题意得： ∴与的函数关系式为：； （2） ∵， ∴当时，有最大值，的最大值为元． 【典型例题五 投球问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．求铅球的落地点离运动员有多远（结果保留根号）？ 【答案】铅球的落地点离运动员 【分析】根据题意可得抛物线的顶点坐标为，可设函数表达式为，再把点代入，求出抛物线的解析式，然后令，即可求解． 【详解】解：由题意知，抛物线的顶点坐标为． 设函数表达式为 把点代入，得， 解得． 所以函数表达式为． 当时，， 解得，（舍去）， 答：铅球的落地点离运动员． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到抛物线的解析式是解题的关键． 2．（22-23九年级上·广东河源·期末）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 与水平距离之间的关系是：． (1)求当铅球落地时推出有多远？ (2)铅球行进高度能否达到？为什么？ 【答案】(1) (2)铅球行进高度不能达到，最高能达到 【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点横坐标即可得到答案； （2）把抛物线的解析式化为顶点式，求出函数最大值即可做出判断． 【详解】（1）解：当 时，， 解得 ，（不合题意，舍去）， 答：当铅球落地时推出有． （2）， 当时， 有最大值 ． 铅球行进高度不能达到，最高能达到 ． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象与x轴的交点和顶点式是解题的关键． 3．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式． (1)经过多少秒后足球回到地面． (2)经过多少秒时球的高度为15米 (3)球的高度是否能够达到21米，请说明理由． 【答案】(1)经过4秒足球重新回到地面 (2)经过1秒或者3秒足球的高度为15米． (3)球的高度不能够达到21米，理由见解析． 【分析】（1）求出时符合题意的t的值即可得； （2）根据高度为15米列方程，再解方程可得． （3）先求解函数的最大值即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，足球重新回到地面 即， ∴， 解得 （舍去），， ∴经过4秒足球重新回到地面 （2）解：当时， 整理得：． ∴， 解得 ，， ∴经过1秒或者3秒足球的高度为15米． （3）∵，， ∴函数有最大值， 当时，最大值为：， ∴球的高度不能够达到21米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及将实际问题转化为二次函数问题的能力． 4．（22-23九年级上·河南开封·期末）双手正面掷实心球是开封市中招体育考试的选考项目，如图①是一名男生双手正面掷实心球，实心球的行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点高度为2m，当水平距离为5m时，实心球行进至最高点4m处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据开封市中招体育考试评分标准（男生10.3m），即投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10.30m，此项考试得分为满分10分．该男生在此项考试中是否得满分，请说明理由．（） 【答案】(1) (2)该男生在此项考试中得满分，理由见解析 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入即可求解． （2）令，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设抛物线解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：令，即 解得：（舍去），， ∴该男生在此项考试中得满分． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 5．（2023·湖北武汉·模拟预测）在某场足球比赛中，球员甲将在地面上点处的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的高度与球和点的水平距离的函数的部分图象（不考虑空气的阻力），当足球运行到最高点时，此时球恰好在球员乙的正上方，球员乙在距点的点处，球距地面的高度为，即，对方球门与点的水平距离为． (1)当时， ①求与的关系式； ②当球的高度为时，求足球与对方球门的水平距离； (2)防守队员丙站在距点正前方的点处，球员甲罚出的任意球高过球员丙的头顶并直接射进对方球门，已知丙的身高为，即，球门的高度为，即，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②当球的高度为时，求足球与对方球门的水平距离为或 (2) 【分析】（1）依题意，设抛物线解析式为，将点代入，待定系数法求解析式，进而，根据对方球门与点的水平距离为，即可求解． （2）设抛物线解析式为，依题意，当时，，当时，，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设抛物线解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为， 令，即， 解得：， ∵对方球门与点的水平距离为， ∴当球的高度为时，求足球与对方球门的水平距离为或； （2）解：设抛物线解析式为， 依题意，当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【典型例题六 喷水问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为(秒)时该足球距离地面的高度(米)适用公式 经过多少秒后足球回到地面? 经过多少秒时足球距离地面的高度为米? 【答案】（1）秒后足球回到地面；（2）经过秒或秒足球距地面的高度为米． 【分析】（1）令，解方程即可得出答案； （2）令，解方程即可． 【详解】解：令， 解得：(舍)，， ∴秒后足球回到地面； 令， 解得：． 即经过秒或秒，足球距地面的高度为米． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，根据题意分别令为不同的值解答本题． 2．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y=﹣x2+x，其中y（m）是球飞行的高度，x（m）是球飞行的水平距离． （1）飞行的水平距离是多少时，球最高？ （2）球从飞出到落地的水平距离是多少？ 【答案】（1）当球水平飞行距离为4米时，球的高度达到最大，最大高度为米；（2）球飞行的最大水平距离是8米 【分析】（1）将二次函数进行配方，从而得出函数的顶点坐标，得出答案； （2）令y=0，从而求出方程的解，然后得出飞行的最大水平距离． 【详解】解：（1）∵y=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+， ∴当x=4时，y有最大值为． 所以当球水平飞行距离为4米时，球的高度达到最大，最大高度为米； （2）令y=0，  则﹣x2+x=0，  解得x1=0，x2=8． 所以这次击球，球飞行的最大水平距离是8米． 3．（22-23九年级上·北京西城·期中）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离中心3m． （1）在给定的坐标系中画出示意图； （2）求出水管的长度． 【答案】（1）详见解析；（2）水管长为2.25m． 【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系； （2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长． 【详解】解：（1）建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系； （2）由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m， 则设抛物线的解析式为： y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3）， 代入（3，0）求得：a＝﹣． 将a值代入得到抛物线的解析式为： y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）， 令x＝0，则y＝＝2.25． 故水管长为2.25m． 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据图形建立合适的直角坐标系. 4．（22-23九年级上·福建宁德·期末）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子，点恰好在水面中心，安装在柱子顶端处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任意平面上，水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为.请完成下列问题： （1）将化为的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米； （2）写出左边那条抛物线的表达式； （3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？ 【答案】（1）喷出的水流距水平面的最大高度是4米.（2）.（3）水池的直径至少要6米. 【分析】（1）利用配方法将一般式转化为顶点式，即可求出喷出的水流距水平面的最大高度； （2）根据两抛物线的关于y轴对称，即可求出左边抛物线的二次项系数和顶点坐标，从而求出左边抛物线的解析式； （3）先求出右边抛物线与x轴的交点的横坐标，利用对称性即可求出水池的直径的最小值. 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的顶点式为. ∴喷出的水流距水平面的最大高度是4米. （2）∵两抛物线的关于y轴对称 ∴左边抛物线的a=-1，顶点坐标为（-1,4） 左边抛物线的表达式为. （3）将代入，则 得， 解得，（求抛物线与x轴的右交点，故不合题意，舍去）. ∵（米） ∴水池的直径至少要6米. 【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式、利用顶点式求二次函数的解析式和求抛物线与x轴的交点坐标是解决此题的关键. 5．（22-23九年级上·吉林长春·期末）某小区有一个半径为3的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1处达到最大高度为3，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式； （2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2处，通过计算说明身高1.8的王师傅是否被淋湿？ 【答案】（1）（0＜x＜3）；（2）不会被淋湿，理由见解析 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（3，0），求出a值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的函数值，由此即可得出结论． 【详解】（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为（a≠0）， 将（3，0）代入，得：4a+3=0， 解得：， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为（0＜x＜3）． （2）当时，有， ∵ ∴不会被淋湿． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键． 【典型例题七 增长率问题(实际问题与次函数)】 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 【答案】，y是x的函数 【分析】根据题意可得一年后的产量是，再经过一年后的产量是，由此求解即可． 【详解】解：这种产品的原产量是，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量， 即① ①式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数． 【电锯】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍． 2．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 【答案】(1)5% (2)能突破，理由见解析 【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的总值第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计2023年第一季度我省的总值=2022年第三季度我省的总值每季度我省总值的增长率，可求出预计2023年第一季度我省的总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论． 【详解】（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%； （2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元， 理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元）， ∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2023·山东临沂·一模）某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 【答案】(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2014年这种产品的产量应达到110万件 【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率； （2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决． 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 4．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 5．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【典型例题八 其他问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级上·北京西城·期中）一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB＝8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道． 【答案】图象见详解，，（），能安全通过这条隧道 【分析】以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，则有，设这条抛物线的表达式为，进而可得，然后把x=1代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，函数图象如图所示： ∵AB＝8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m， ∴， 设这条抛物线的表达式为， ∵抛物线经过点C， ∴，解得：， ∴，（）； 当x=1时，， ∵， ∴这辆货车能安全通过这条隧道． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式． 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压p（毫米汞柱）与年龄x（岁）大致满足关系式p=0.01x2+0.05x+107；对男性来说，正常的收缩压p（毫米汞柱）与年龄x（岁）大致满足关系式p=0.006x2-0.02x+120． （1）利用公式计算一个10岁女孩的收缩压； （2）如果一个男性的收缩压为122毫米汞柱，那么他的年龄大概是多少？ 【答案】（1）108.5；（2）该男性的年龄大约为20岁． 【分析】（1）把x=10代入题中关系式p=0.01x2+0.05x+107，求出p的值即可； （2）把p=122代入p=0.006x2-0.02x+120，求得x的值即可． 【详解】解：（1）把x=10代入p=0.01x2+0.05x+107， 得p=0.01×102+0.05×10+107=108.5（毫米）， 答：一个10岁女孩的收缩压为108.5毫米汞柱； （2）把p=122代入p=0.006x2-0.02x+120，得：122=0.006x2-0.02x+120， 解得x1=-（舍去），x2=20， 故该男性的年龄大约为20岁． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，注意题中男女正常收缩压p与年龄x不相同，运用二次函数解决实际问题，比较简单． 3．（22-23九年级上·湖北荆州·阶段练习）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为1.5米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求水柱抛物线的函数解析式； （2）求水柱的最大高度是多少？ 【答案】（1）；（2）抛物线水柱的最大高度为2m． 【分析】（1）根据题意可知抛物线的顶点的横坐标为1，可设抛物线的函数解析式为，然后把点（0，1.5）和（3，0）代入求解即可； （2）根据（1）求得的结果即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点的横坐标为1， ∴可设抛物线的函数解析式为， ∵抛物线过点（0，1.5）和（3，0），代入抛物线解析式得： ∴ ∴抛物线的解析式为： ， （2）由（1）知抛物线的解析式为， ∴当时， ∴抛物线水柱的最大高度为2m． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握求二次函数解析式的方法． 4．（2023·福建福州·一模）汽车刹车后行驶的距离S（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是S = at2 + bt．当t = 时，S = 6；当t = 1时，S = 9． (1)求该函数的解析式； (2)请结合平面直角坐标系中给出的点，画出符合题意的函数图象，并写出汽车刹车后到停下来前进了多远? 【答案】(1)函数的解析式为S = -6t2 + 15t； (2)函数图象见解析，汽车刹车后到停下来前进了m． 【分析】（1）利用待定系数法即可得到结论； （2）把（1）中的结论化成顶点式，描点、连线，画出符合题意的函数图象，即可得到结论． 【详解】（1）解：把t = ，S = 6；t = 1，S = 9代入S = at2 + bt得： ，解得， ∴函数的解析式为S = -6t2 + 15t； （2）解：S=-6t2+15t=-6（t-）2+， 对称轴为：t=，顶点坐标为（，），经过原点（0，0）， 描点、连线，符合题意的函数图象如图所示， ∴汽车刹车后到停下来前进了m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键． 5．（22-23九年级上·广东珠海·阶段练习）如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．最大高度为6米，底部宽度为12m，AO＝3m．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）直接写出点A及抛物线顶点P的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据题意，可先直接写出A点坐标，由于P点为抛物线的顶点，因此根据对称性写出即可； （2）由（1）的结论，可设抛物线解析式的顶点式，并结合A点坐标求解即可． 【详解】解：（1）由题意，A点坐标为， ∵抛物线顶点为P，且最大高度为6米， ∴P点的纵坐标为6, ∵底部宽度为12m， ∴根据对称性可得，P点的横坐标为6， ∴P点坐标为； （2）∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴将代入上述解析式得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，理解题意中表述的实际量与平面直角坐标系中对应点的联系，掌握求二次函数解析式的常见方法是解题关键． 【变式训练1 图形问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级下·四川达州·期中）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，求矩形花园的最大面积． 【答案】最大面积为144． 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的实际应用，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据条件设长为x，宽为，然后表示出矩形面积，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设长为x，宽为 面积为． ∵ ∴二次函数开口向下， ∴当时，最大面积为144． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知正方形的周长是C厘米，面积是S平方厘米． (1)求S关于C的函数关系式； (2)当平方厘米，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)正方形的边长为厘米． 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）由正方形周长求出边长，然后求出面积的表达式； （2）当，求出边长． 【详解】（1）解：因为正方形的周长是C厘米， 所以边长为厘米， 所以； （2）解：当平方厘米，代入得， ，即， 所以边长为厘米， 所以正方形的边长为厘米． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式． （1）根据，得出，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案； （2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形， 在中，，，， ∴ ； （2）解：正方形的面积为：， ∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 4．（2024·新疆吐鲁番·三模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)时，花园的面积能达到 (3)时，的最大值为 【分析】对于（1），先表示，再根据面积公式求出函数关系式，然后确定自变量的取值范围； 对于（2），令，求出解即可； 对于（3），先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的增减性得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：由题意可知为米，则 ∴ 因为墙长. ∴， 自变量的取值范围是； （2）此花园面积能达到，理由如下：， 解得（舍），， 时，花园的面积能达到 ； （3）， ∵，， 当随的增大而减小， ∴时，的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程，求二次函数的极值，确定自变量的取值范围是解题的关键． 5．（2024·山西运城·三模）阅读与思考 下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 爸爸计划利用一张如图1所示的的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作．根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使储物箱的容积最大．现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决以上问题． 如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱．设四个角上分别剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值时，所制作的无盖长方体储物箱的容积最大． (1)当_________时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为________ (2)请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围． (3)在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可） 【答案】(1)5；2000 (2)， (3)函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是一种解决数学问题常用的思想方法；函数思想可以解决生活中的很多问题等 【分析】本题考查数形结合以及正方体面积，读懂题意是解答本题的关键． （1）根据函数图象解答即可； （2）根据题意先得出底面边长，再解答即可； （3）根据题意结合数学观点解答即可． 【详解】（1）解：由函数图象可得：当时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为； （2）解：剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，纸箱底为正方形， ，； （3）解：根据题意可得：函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是一种解决数学问题常用的思想方法；函数思想可以解决生活中的很多问题等． 【变式训练2 图形运动问题(实际问题与二次函数)】 1．（22-23九年级上·四川凉山·期中）如图，在中，，动点P以的速度从A向B移动（不与B重合），动点Q以的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问经过几秒后，四边形的面积最小？并求出最小值. 【答案】当经过时，S取得最小值，最小值为． 【分析】根据等量关系“四边形的面积的面积的面积”列出函数关系求最小值即可． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为，四边形的面积为， 则有： ． ∵， ∴当时，S取得最小值，最小值为． 【点睛】本题考查动点问题与二次函数的最值问题，根据四边形的面积等于两个三角形的面积之差列出等式，转化为二次函数最值问题是解题的关键． 2．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）如图所示，中，，点P从点A开始沿边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒P、Q之间距离等于cm？ 【答案】经过秒或2秒P、Q之间距离等于cm 【分析】设经过x秒钟，P、Q之间距离等于cm，根据点P从A点开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，表示出和的长可列方程求解． 【详解】解：设经过x秒P、Q之间距离等于cm， 可得：， 整理得， 解得：，． 答：经过秒或2秒P、Q之间距离等于cm 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语得出等量关系是解决问题的关键． 3．（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 【答案】(1)； (2)当秒时，S有最小值． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先表示出第t秒钟时的长，根据三角形的面积公式即可得到的面积的函数关系式，再用矩形的面积减去的面积即可得到结果； （2）先把配方为顶点式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：第t秒钟时，，故，， 故． ∵． ∴； （2）解：， ∵， ∴当秒时，S有最小值． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动，如果点，分别从点，同时出发，    (1)写出的面积关于出发时间的函数解析式及的取值范围； (2)四边形的面积随出发时间如何变化？写出函数解析式及的取值范围． 【答案】(1) (2)四边形的面积随出发时间成二次函数关系变化， 【分析】（1）根据题意，用表示出线段、，求解即可； （2）四边形的面积为减去的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动， ∴，， ∴的面积关于出发时间的解析式为． （2）解：四边形的面积随出发时间成二次函数关系变化， ． 【点睛】此题考查了二次函数与图形的应用，解题的关键是理解题意，用表示出线段、． 5．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，E、F分别是边长为的正方形的边上的点，，直线交的延长线于G，过线段上的一个动点H作垂足分别为M、N，设，矩形的面积为y．    (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，矩形的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】(1)（0<x≤4）； (2)，即点在点位置时，矩形有最大面积． 【分析】（1）由，得到，由，，得到，继而表示出，利用矩形的面积公式即可得解； （2）直接将（1）中的函数解析式化为顶点式，利用二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）四边形是正方形， ，，， ，     ，，     ，， ∵，则有，， 故， ； （2）将化为顶点式，即为， 点H在线段FG上运动，易得函数自变量取值范围为， 故可知当，即点在点位置时，矩形有最大面积． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，运用锐角三角得到线段长，利用面积公式得到函数表达式并运用二次函数的性质求解最值是解题的关键． 【变式训练3 拱桥问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级上·山西临汾·期末）图1是一座拱桥，拱桥的拱形呈抛物线形状，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，在拱桥中，水面宽12米，点是抛物线上一点． (1)求该拱桥抛物线的解析式． (2)若水位上涨1米，求上涨后拱桥内水面的宽度 【答案】(1)； (2)拱桥内水面的宽度为米． 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，已知函数值求自变量的值，正确求得解析式是关键． （1）设交点式，再将点的坐标代入计算即可； （2）将代入关系式，求出x的值，进而得出答案. 【详解】（1）解：设该抛物线表达式为， ∵点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线表达式为； （2）解：当时，， 解得：，， 可知， 答：拱桥内水面的宽度为米． 2．（2024·陕西宝鸡·一模）悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，如图2，以的中点为原点O，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求主索抛物线的函数表达式； (2)距离点P水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 【答案】(1)主索抛物线的函数表达式为 (2)四根吊索的总长度为 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）设抛物线的表达式为，根据待定系数法求解即可； （2）将和代入解析式求得吊索长度，再将四条吊索长度相加，即可解题． 【详解】（1）由图可知，点C的坐标为． 设该抛物线的函数表达式为． 又点P坐标为， ，     ， ∴主索抛物线的函数表达式为； （2）由题意，当时，， 此时吊索的长度为． 由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为． 当时，，此时吊索的长度为． 由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为． ， ∴四根吊索的总长度为 3．（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）水清，岸绿，景美的沁阳滨河公园有一座美丽的抛物线形彩虹桥．某校综合实践活动小组通过测量，测得该桥跨度为40米，最高点到地面的距离为6米，支撑桥的是一些等距立柱．    (1)按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)若两根支撑柱，的高度均为4米，求这两根支撑柱之间的水平距离． 【答案】(1) (2)m 【分析】 本题考查了二次函数的应用，运用二次函数解决实际问题建立坐标系得出点的坐标是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）令，解方程求出值即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为： 将代入解析式， 得： 解得： 该抛物线的解析式为：． （2）令，有解得： 这两根立柱之间的距离是． 4．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图1是汝南北城古桥，斑驳的桥面上书写着历史的痕迹．古桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．    (1)按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式（无需写出取值范围）； (2)一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】(1)； (2)工人不会碰到头，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键． （1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点，先设抛物线的顶点式，再根据图象过原点，求出的值即可； （2）先求出工人距原点的距离，再把距离代入函数解析式求出的值，然后和1.68比较即可． 【详解】（1）解：如图②，由题意得：水面宽是，桥拱顶点到水面的距离是， 结合函数图象可知，顶点，点， 设二次函数的表达式为， 将点代入函数表达式， 解得：， 二次函数的表达式为， 即； （2）解：工人不会碰到头，理由如下： 小船距点，小船宽，工人直立在小船中间， 由题意得：工人距点距离为， 将代入， 解得： ， 此时工人不会碰到头． 5．（2024·贵州·模拟预测）“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上． (1)求拱桥所在抛物线的解析式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由． 【答案】(1)； (2)支柱的长度是米； (3)不能并排行驶这样的三辆汽车，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． （1）根据题目可知．，的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解； （2）设点的坐标为可求出支柱的长度； （3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，作垂直交抛物线于，求出则可求解． 【详解】（1）解：根据题目条件，、、的坐标分别是、、． 将、的坐标代入，得 解得，． 所以抛物线的表达式是； （2）解：可设，于是． 从而支柱的长度是米； （3）解：设是隔离带的宽，是三辆车最内侧与最外侧的宽度和，则点坐标是， 过点作垂直交抛物线于，则， 根据抛物线的特点，可知一条行车道不能并排行驶这样的三辆汽车． 【变式训练4 销售问题(实际问题与二次函数)】 1．（2024·甘肃临夏·一模）某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？ 【答案】定价为115元利润最大 【分析】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 本题是营销问题，基本等量关系：利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】解：依题意得： 整理得：． ， 当时，二次函数有最大值7225， 定价是115元时，利润最大． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）我市某商场根据民众健康要代理销售某种进价为600元/台的家用“空气清洁器”．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台． (1)试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式； (2)请计算当售价x（元台）定为多少时，该商场每月销售这种“空气清洁器”所获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价x定为1000元时，所获得的利润W最大，最大利润是80000元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台”，进行列式化简，即可求解； （2）结合（1）以及“进价为600元/台”条件，正确列式计算，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， 答：月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式为； （2）解：由题意得： ， ∵，故函数有最大值， 当时，, 答：当售价定为1000元时，所获得的利润W（元）最大，最大利润是80000元． 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）某经销商以24元/箱的价格进了一批矿泉水，商家批发时发现在批发数量不超过100箱时，该矿泉水的批发价y（元/箱）与批发数量x（箱）之间满足如下折线段图象． (1)当时，求出此时y与x的函数关系式； (2)求该批发商在批发出多少箱矿泉水时才能获取最大利润． 【答案】(1) (2)该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用—销售盈利问题，待定系数法进行求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）先根据利润等于单件利润乘上数量，得，根据二次函数的性质，即开口向下，当，有最小值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设y与x的函数关系式为 在时，经过， 则有 解得 ∴； （2）解：设利润为，依题意 当时，， ∵，随的增大而增大， 当时，有最大值，且为； 当，得 ∵ ∴开口向下，当， 有最小值， 且为 ∵ ∴该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 4．（23-24九年级下·广东茂名·期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． (1)求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式：（不需要求自变量取值范围） (2)若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ (3)为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应定为70元 (3)80元 【分析】 本题二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键． （1）根据销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，列出函数关系式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量列出一元二次方程进行求解即可； （3）设总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）由题意，得： 解得：或； ∵使顾客获得更多的实惠， ∴； 答：销售单价应定为70元． （3）设总利润为，由题意，得：， ∴， ∴当时，有最大值为元； 答：为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为，当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为70万元． (1)求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式； (2)若A、B两城生产这批产品的总成本的和为w（万元），求w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式； (3)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件． 【答案】(1) (2) (3)A城生产20件，B城生产80件 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可直接进行代入求解； （2）由（1）及题意可直接进行求解； （3）由（2）及根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴； （2）解：根据题意得：， ∴w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式为； （3）解：∵， ∵， ∴当时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时， 答：A城生产20件，B城生产80件． 【变式训练5 投球问题(实际问题与二次函数)】 1．（2024·甘肃临夏·一模）某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？ 【答案】定价为115元利润最大 【分析】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 本题是营销问题，基本等量关系：利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】解：依题意得： 整理得：． ， 当时，二次函数有最大值7225， 定价是115元时，利润最大． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）我市某商场根据民众健康要代理销售某种进价为600元/台的家用“空气清洁器”．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台． (1)试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式； (2)请计算当售价x（元台）定为多少时，该商场每月销售这种“空气清洁器”所获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价x定为1000元时，所获得的利润W最大，最大利润是80000元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“在一个月内，当售价是700元/台时，可售出350台，且售价每提高10元，就会少售出5台”，进行列式化简，即可求解； （2）结合（1）以及“进价为600元/台”条件，正确列式计算，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， 答：月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式为； （2）解：由题意得： ， ∵，故函数有最大值， 当时，, 答：当售价定为1000元时，所获得的利润W（元）最大，最大利润是80000元． 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）某经销商以24元/箱的价格进了一批矿泉水，商家批发时发现在批发数量不超过100箱时，该矿泉水的批发价y（元/箱）与批发数量x（箱）之间满足如下折线段图象． (1)当时，求出此时y与x的函数关系式； (2)求该批发商在批发出多少箱矿泉水时才能获取最大利润． 【答案】(1) (2)该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用—销售盈利问题，待定系数法进行求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）先根据利润等于单件利润乘上数量，得，根据二次函数的性质，即开口向下，当，有最小值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设y与x的函数关系式为 在时，经过， 则有 解得 ∴； （2）解：设利润为，依题意 当时，， ∵，随的增大而增大， 当时，有最大值，且为； 当，得 ∵ ∴开口向下，当， 有最小值， 且为 ∵ ∴该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 4．（23-24九年级下·广东茂名·期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． (1)求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式：（不需要求自变量取值范围） (2)若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ (3)为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应定为70元 (3)80元 【分析】 本题二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键． （1）根据销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，列出函数关系式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量列出一元二次方程进行求解即可； （3）设总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）由题意，得： 解得：或； ∵使顾客获得更多的实惠， ∴； 答：销售单价应定为70元． （3）设总利润为，由题意，得：， ∴， ∴当时，有最大值为元； 答：为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为，当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为70万元． (1)求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式； (2)若A、B两城生产这批产品的总成本的和为w（万元），求w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式； (3)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件． 【答案】(1) (2) (3)A城生产20件，B城生产80件 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可直接进行代入求解； （2）由（1）及题意可直接进行求解； （3）由（2）及根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴； （2）解：根据题意得：， ∴w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式为； （3）解：∵， ∵， ∴当时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时， 答：A城生产20件，B城生产80件． 【变式训练6 喷水问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）某幢建筑物，从二米高的窗口A用水管向外喷水（米），喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），如图，如果抛物线的最高点M离墙2米，离地面12米，求水流落地点B到墙的距离． 【答案】5米 【分析】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．设抛物线的顶点式求解析式是解题关键．由题意可以知道，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出x的值，这样就可以求出的值． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把代入， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 当时，， 解得：，， 因为点B在x的正半轴，故， 所以水流落地点B离墙的距离是5米． 2．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）从某幢建筑物高的窗口处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与地面垂直）．抛物线的最高点离墙，离地面．求水的落地点与点的距离． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用；由题意可知顶点，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出的值，这样就可以求出的值． 【详解】解：依题意，顶点， 设抛物线的解析式为，将点代入，得 ， ， 抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：舍去，， ∴，即水的落地点与点的距离为． 3．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，某幢建筑物从米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离是多少米？ 【答案】3米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意可得顶点坐标为，则可把抛物线解析式设为顶点式，再利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出当时，x的值，据此可得答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得． ∴抛物线的解析式为：． 当时，则，解得：（舍去），． 答：水流下落点B离墙的距离是3米． 4．（23-24九年级上·云南昆明·期末）2023年11月23日，第十批搭载着25位在韩中国人民志愿军烈士遗骸及相关遗物的空军专机运飞机从韩国仁川起飞，进入中国领空后，空军两架歼战斗机护航，向志愿军烈士致以崇高敬意．11时32分，专机缓缓降落在桃仙国际机场，机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家，如图①，在这次“过水门”仪式中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的一条抛物线的一部分．如图②，两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点F处相遇，此时相遇点F距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米，飞机从水柱抛物线的正下方经过． (1)求“过水门”水柱抛物线的解析式； (2)飞机的尾翼长16米，当飞机尾翼刚好经过水柱正下方时，尾翼与抛物线的最高点的距离为1米，求此时尾翼右端（如图所示）与水柱的水平距离为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】此题考查二次函数的应用，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）由题意得，，设抛物线解析式为，把点坐标代入解析式求出即可； (2)根据题意求出，令，解方程求出，再求即可． 【详解】（1）解：由题意得米， ， 米， ∴，， 设抛物线解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴过水门”水柱抛物线的解析式； （2）解：∵米，米， ∴米， 当时，， 解得， ∴米, ∵米, ∴米, ∴(米)。 即尾翼右端 (如图所示) 与水柱的水平距离为米． 5．（23-24九年级上·河南商丘·期末）要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为处达到最高，且最高为，水柱落地处离广场中央，建立如图所示的直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)求水管的长度； (3)当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？ 【答案】(1) (2)米 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是： （1）根据题意和函数图象可以求得该抛物线的解析式； （2）将代入（1）中的函数解析式即可解答本题； （3）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值，再根据，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：设， 点在此抛物线上， ，得， 即抛物线的解析式为； （2）当时，， 答：水管的长度是； （3）当时， ， 解得，，（舍去）， 当，才不会淋湿衣裳． 【变式训练7 增长率问题(实际问题与次函数)】 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 【答案】，y是x的函数 【分析】根据题意可得一年后的产量是，再经过一年后的产量是，由此求解即可． 【详解】解：这种产品的原产量是，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量， 即① ①式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数． 【电锯】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍． 2．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 【答案】(1)5% (2)能突破，理由见解析 【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的总值第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计2023年第一季度我省的总值=2022年第三季度我省的总值每季度我省总值的增长率，可求出预计2023年第一季度我省的总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论． 【详解】（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%； （2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元， 理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元）， ∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【答案】(1)； (2)40米． 【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，即可求解； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为； （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得 ， 解得，，（不合题意，舍去） 答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． 4．（2023·江苏盐城·一模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 【答案】（1）20%；（2）6125000（元） 【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可； （2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值． 【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0， 由题意得：， 解得：x=0.2或x=-2.2（舍）， 答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%； （2）设多改造a户，最高投入费用为w元， 由题意得：， ∵a=-50，抛物线开口向下， ∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元， 答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解． 5．（2023·江苏宿迁·一模）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）： 温度/℃ …… －4 －2 0 2 4 4.5 …… 植物每天高度增长量/mm …… 41 49 49 41 25 19.75 …… 这些数据说明：植物每天高度增长量关于温度的函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种． （1）你认为是哪一种函数，并求出它的函数关系式； （2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果． 【答案】（1）；（2）－1℃；（3）． 【详解】解：（1）选择二次函数，设， 得，解得 ∴关于的函数关系式是． （2）由（1），得， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为50． 即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大． （3）由题意得：y＞25， 即：-x2-2x+49＞25， ∴． 【变式训练8 其他问题(实际问题与二次函数)】 1．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克．设每平方米种植x株（x为整数，且） (1)平均每株产量为__________千克（用x的代数式表示）； (2)已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄，问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 【答案】(1) (2)每平方米种植6株时，该学校劳动基地能获得最大的产量，最大产量为312千克． 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键需要找出和存在的关系，以及熟练掌握顶点式二次函数表达式． （1）根据题意，找出数量关系式，即可求解； （2）利用总产量平均的产量种植的株数，列关于的二次函数，将其转化为顶点式，根据为整数，即可求出种多少株最大产量，以及最大产量多少. 【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.8千克， ∴平均每株产量为， 故答案为：； （2）解：设每平方米番茄产量为千克， 根据题意得： ∵，为整数， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴（千克）， 答：每平方米种植6株时，该学校劳动基地能获得最大的产量，最大产量为312千克． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）为了落实劳动教育，某学校邀请专家指导学生进行农作物的种植，经过试验，其平均单株产量千克与每平方米种植的株树数（，为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为5千克：以同样的栽培条件，每平方米种植的株树每增加1株，单株产量减少0.5千克． (1)求与的函数表达式； (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 【答案】(1) (2)每平方米种植6株时，能获得最大的产量，最大产量为18千克 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式； （2）设每平方米产量为w千克，由产量每平方米种植株数单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， ∴（，且x为整数）； （2）解：设每平方米产量为w千克， ． ∴当时，w有最大值18千克． 答：每平方米种植6株时，能获得最大的产量，最大产量为18千克． 3．（23-24九年级上·山东滨州·期中）如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)写出滚动的距离S（单位：）关于滚动的时间t（单位：）的函数解析式．（提示：本题中，距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） (2)如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ 【答案】(1)； (2)钢球从斜面顶端滚到底端用． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）先求出，然后得到，再由即可得到答案； （2）根据（1）计算的结果把代入求解即可． 【详解】（1）解：由题知， ． ， 即． （2）把代入中，得． 解得，（舍去）． ∴钢球从斜面顶端滚到底端用． 4．（23-24九年级上·山东青岛·期末）公路上正在行驶的甲车，发现前方30m处沿同一方向行驶的乙车后，为了行驶安全，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． (1)当甲车减速至6m/s时，它行驶的路程是多少？ (2)若乙车以10m/s的速度匀速行驶，当时间t在什么范围时，两车间的距离不超过米？ 【答案】(1)当甲车减速至时，它行驶的路程是米； (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式及配方法求二次函数最值是解题关键． （1）二次函数图象过原点，可设二次函数解析式为，一次函数解析式为，利用待定系数法求出各系数，再将代入解析式求值即可； （2）乙车行驶速度是，时间是，行驶路程为，设两车之间的距离为，则，依据两车间的距离不超过25.5米列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：二次函数图象过原点，可设二次函数解析式为， 代入，，可得： ， 解得：， 即二次函数解析式为：； 设一次函数解析式为， 代入，得： ， 解得：， 即一次函数解析式为：， 当时，代入一次函数解析式，解得， 此时，， 当甲车减速至时，它行驶的路程是米； （2）解：乙车行驶速度是，时间是，行驶路程为， 设甲、乙之间的距离为（单位：米）， 则 ， ， 解得：， ． 5．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）某中学航模组设计并制作了一种火箭模型，已知此火箭模型升空的高度与飞行时间满足函数表达式． (1)求火箭模型升空的最大高度； (2)求点火后，第几s火箭模型升空的高度为； (3)求火箭模型发射塔的高度． 【答案】(1)火箭模型升空的最大高度为米； (2)求点火后，第和火箭模型升空的高度为 (3)火箭模型发射塔的高度为 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）化为顶点式，进而即可求解； （2）将，代入，解方程，即可求解； （3）令，解得：，即可求解． 【详解】（1）解： ∴当时，取得最大值为， 答：火箭模型升空的最大高度为米； （2）解：将，代入， 即， 解得：或， 答：第和火箭模型升空的高度为； （3）解：令，解得：， 答：火箭模型发射塔的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 $$