微专题10 解三角形的4种实际应用问题-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题10 解三角形的4种实际应用问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1距离问题 题型2高度问题 题型3角度问题 题型4正余弦定理的其他应用 策略1 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 策略2 常见距离问题求法 类型 图形 方法 具体 两点间不可通又不可视 余弦定理 可取某点C，使得点A，B和C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a，以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得，AB＝. 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 可选取与点B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 可先在此岸一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 策略3 常见高度问题求法 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．　　　 策略4 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．　　 策略5 运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤 (1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型； (3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解． 策略6 解三角形在实际应用问题中的易错剖析 （1）概念理解不清导致错误 ①根据题意画出图形很关键; ②在解三角形的实际问题中，经常出现一些有关的术语，如仰角、俯角、方向角、方位角等，求解时需要搞清它们的含义，否则就会出现错误。 （2）忽视题目的隐含条件导致错误 在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错. （3）忽视实际问题的单位导致错误 ①注意"山或塔垂直于地面或海平面"这种隐含条件,计算时可以把空间问题转化为平面问题。②特别注意实际问题的单位,如注意速度的单位是千米/时，还是是米/时。 题型1距离问题 1．（2024高一下·安徽阜阳·阶段练习）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为 m．    2．（2024高一下·江苏南通·期中）一艘船以32 n mile/h的速度向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东的方向上，30分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东的方向上，则灯塔S与B之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·江苏徐州·期中）某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时．    (1)求B点到D点的距离BD； (2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间． 4．（2024高三上·全国·专题练习）已知A船在灯塔C北偏东处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为 km. 5．（2024高一下·全国·期末）如图，位于A处的甲船获悉：在其南偏西30°方向相距10海里的C处有一艘走私船，走私船正以10海里/时的速度从C处向正南方向行驶.甲船立即把消息告知在其正东方向且相距5海里B处的乙船，乙船立刻以海里/时的速度追截走私船，乙船最少航行 海里能追上走私船. 6．（2024高一下·河北邢台·期中）如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的BC的三等分点上．设．    (1)用表示； (2)若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 7．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 8．（2024高一下·江苏南京·期中）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且． (1)求小岛与小岛之间的距离； (2)求四个小岛所形成的四边形的面积； (3)记为，为，求的值． 题型2高度问题 9．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为，且A，B两点之间的距离为6 m，则树的高度为（    ）    A． m B． m C． m D． m 10．（2024高一下·江苏无锡·期中）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）（参考数据：，，，）    A．40米 B．14米 C．48米 D．52米 11．（2024高一下·河南南阳·阶段练习）如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（    ） A．70米 B．80米 C．90米 D．100米 12．（2024高一下·青海西宁·期末）如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为，，且.若山高m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为 .    13．（2024高一下·辽宁鞍山·期末）如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（    ）    A． B． C． D． 14．（2024高一下·辽宁铁岭·期末）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（    ）    A． B． C． D． 15．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得，在点A处测得点C，D的仰角分别为，，在点B处测得点D的仰角为，则塔高CD为 m． 16．（2024·山西·模拟预测）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（       ）    A．74m B．60m C．52m D．91m 17．（2024高三上·浙江杭州·期末）位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高为 米.（结果保留整数，参考数据：） 18．（2024·江苏南通·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100，则该球体建筑物的高度约为（    ）（cos10°≈0.985）    A．45.25 B．50.76 C．56.74 D．58.60 19．（2024高一下·河南安阳·期末）某同学为了测量学校天文台的高度，选择学校宿舍楼三楼一阳台，到地面的距离为，在它们之间的地面上的点(、、三点共线)处测得阳台，天文台顶的仰角分别是和，在用台处测得天文台顶的仰角为，假设、和点在同一平面内，则学校天文台的高度为 .    20．（2024高一下·贵州贵阳·期末）魏晋时期的刘徽在其所撰《海岛算经》中，运用二次测望法解决实际测量问题，是世界测量学上取得的伟大成就.某数学学习小组受《海岛算经》中“望山松”一题的启发，进行了如下测量实践活动：如图，为测量山顶松树的高，在山底所在水平面内，选择、两点，使、、三点在同一直线上，在点测得点和点的仰角分别为60°、45°，在点测得点的仰角为30°，测得基线的长为100米.由以上测量数据可得出：①松树的高 米（精确到0.1）；②和分别是人在点和点观测松树的视角，其大小关系为： （填“>”，“<”或“=”）.（参考数据：，）    题型3角度问题 21．（2024高一下·四川资阳·期末）为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛，若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 22．（2024高一下·上海金山·期末）如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救，信息中心立即把消息告知在其南偏西 ，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向即沿直线CB前往B处救援.    (1)求的距离； (2)求的值. 23．（2024高一下·贵州黔东南·期中）如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市的处有一艘小艇，小艇与海岸距离为，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.    (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 24．（2024高一下·四川成都·期末）某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行）      (1)求走私船的速度大小； (2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间． 25．（2024高一下·安徽·阶段练习）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则 ． 26．（2024高一下·福建宁德·期末）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（    ） A． B． C． D． 27．（2024高一下·重庆·期末）如图，某人匍匐在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线匀速移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若，，，则移动瞄准过程中的最大值为（    ）(仰角为直线与平面所成角)    A． B． C． D． 题型4正余弦定理的其他应用 28．（2024高一下·四川成都·期中）如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，． (1)求的长度； (2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？ 29．（2024高一下·广东汕尾·期末）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ，另一部分是三角形观赏台AOC．现计划在弧AB上选取一点M，作MN平行OA交OB于点N，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ，NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台AOC，记. （1）当时，求矩形观赏台MNPQ的面积； （2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值. 30．（2024高一下·重庆沙坪坝·期末）重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.    (1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)金沙天街的“奇遇集市”凭借其地理优势及花样百出的“小摊摊”，吸引了众多周围的游客、学生以及上班族；该区政府决定效仿金沙天街的做法，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“偶遇集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.（参考数据：） 31．（2024高一下·浙江·期末）如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在其正东方向点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测设备，且满足，，设． （1）当，求四边形的面积； （2）当为何值时，线段最长． 32．（2024高一下·广东广州·期末）如图，某湖有一半径为百米的半圆形岸边，现决定在圆心处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距百米的点处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点以及湖中的点处，再分别安装一套监测设备，且满足，.定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；的长为“最远直接监测距离”.设. （1）若，求“直接监测覆盖区域”的面积； （2）试确定的值，使得“最远直接监测距离”最大. 33．（2024高一下·四川成都·期末）如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形区域内修建水上项目，并在湖面上修建，作为观光路线，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 34．【多选】（2024高一下·浙江台州·期末）龙卷风是一种少见的局地性、小尺度、突发性的强对流天气，是在强烈的不稳定的天气状况下由空气对流运动造成的、强烈的、小范围的空气涡旋，一般发生在春季和夏季.在操场旗杆A的东偏南（）方向30米B处生成一个半径为6米的龙卷风，龙卷风以2米/秒的速度向北偏西方向移动，龙卷风侵袭半径以1米/秒的速度不断增大，则（    ） A．12秒后龙卷风会侵袭到旗杆 B．秒后龙卷风会侵袭到旗杆 C．旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续16秒 D．旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续12秒 35．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）如图，现有一直径百米的半圆形广场，AB所在直线上存在两点C，D，满足百米（O为AB的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧AB上选取一点E，各修建一条地下管道EC和ED通往C、D两点． (1)设，试将管道总长（即线段）表示为变量θ的函数； (2)求管道总长的最大值． 36．（2024高一下·江苏南京·期末）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米． (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． 37．（2024高一下·山东青岛·期末）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）． （1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍． （i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求． （ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ $$2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题10 解三角形的4种实际应用问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1距离问题 题型2高度问题 题型3角度问题 题型4正余弦定理的其他应用 策略1 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 策略2 常见距离问题求法 类型 图形 方法 具体 两点间不可通又不可视 余弦定理 可取某点C，使得点A，B和C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a，以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得，AB＝. 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 可选取与点B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 可先在此岸一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 策略3 常见高度问题求法 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．　　　 策略4 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．　　 策略5 运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤 (1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型； (3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解． 策略6 解三角形在实际应用问题中的易错剖析 （1）概念理解不清导致错误 ①根据题意画出图形很关键; ②在解三角形的实际问题中，经常出现一些有关的术语，如仰角、俯角、方向角、方位角等，求解时需要搞清它们的含义，否则就会出现错误。 （2）忽视题目的隐含条件导致错误 在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错. （3）忽视实际问题的单位导致错误 ①注意"山或塔垂直于地面或海平面"这种隐含条件,计算时可以把空间问题转化为平面问题。②特别注意实际问题的单位,如注意速度的单位是千米/时，还是是米/时。 题型1距离问题 1．（2024高一下·安徽阜阳·阶段练习）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为 m．    【答案】 【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得. 【详解】因为，，所以，，所以， 又因为，所以，，    在中，由正弦定理得，即，解得， 在中，由余弦定理得， 所以，解得． 故答案为：. 2．（2024高一下·江苏南通·期中）一艘船以32 n mile/h的速度向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东的方向上，30分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东的方向上，则灯塔S与B之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定中的已知边与角，利用正弦定理，即可求得结果. 【详解】由题意知，，， 由正弦定理得，， 解得. 故选：B. 3．（2024高一下·江苏徐州·期中）某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时．    (1)求B点到D点的距离BD； (2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间． 【答案】(1)50海里 (2)小时. 【分析】（1）利用正弦定理解三角形计算即可； （2）利用余弦定理解三角形计算即可. 【详解】（1）由题意知：，，， 所以， 在中，由正弦定理可得：即， 所以(海里)； （2）在中，，，， 由余弦定理可得： ， 所以海里，所以需要的时间为(小时). 4．（2024高三上·全国·专题练习）已知A船在灯塔C北偏东处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为 km. 【答案】 【分析】根据题中边角关系，再利用余弦定理求解即可. 【详解】由条件知，， 设，则由余弦定理知， 因为，所以. 故答案为： 5．（2024高一下·全国·期末）如图，位于A处的甲船获悉：在其南偏西30°方向相距10海里的C处有一艘走私船，走私船正以10海里/时的速度从C处向正南方向行驶.甲船立即把消息告知在其正东方向且相距5海里B处的乙船，乙船立刻以海里/时的速度追截走私船，乙船最少航行 海里能追上走私船. 【答案】/ 【分析】设t小时乙船在D处追上走私船，过点C作于点E，在中，结合勾股定理即可求解. 【详解】如图， 设t小时乙船在D处追上走私船，过点C作于点E， 则，，， ∴，，∴，. 在中，， 即，解得（负值舍去）， ∴. 故答案为： 6．（2024高一下·河北邢台·期中）如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的BC的三等分点上．设．    (1)用表示； (2)若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 【答案】(1)， (2)公里 【分析】（1）根据题意，得到，且，结合向量的运算法则，即可求解； （2）由，化简得到，结合正弦定理得到，利用三角形的面积公式，求得，进而求得的最小值，得到答案. 【详解】（1）解：由岛屿到补给站的距离为岛屿到的，可得， 点为中点，且， 又由，所以， . （2）解：由，可得， 即， 可得，即， 设，由正弦定理知 而 ， 所以， 因为，所以，得， 所以当，即时，取得最小值120，即的最小值为， 所以岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里． 7．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 【答案】 【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可. 【详解】解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 8．（2024高一下·江苏南京·期中）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且． (1)求小岛与小岛之间的距离； (2)求四个小岛所形成的四边形的面积； (3)记为，为，求的值． 【答案】(1)2nmile； (2)18平方海里； (3)． 【分析】（1）根据同角的平方关系求出，结合余弦定理计算即可求解； （2）易知，则，利用余弦定理计算可得，结合三角形面积公式计算即可求解； （3）方法1：根据正弦定理和同角的平方关系可得，由诱导公式求出，结合和两角和的正弦公式计算即可求解. 方法2：利用余弦定理和同角的平方关系计算求得，结合和两角和的正弦公式计算即可求解. 【详解】（1），且A为钝角，， 在中，由余弦定理可得， ，即， 解得：或（舍去）． 小岛A与小岛之间的距离为2nmile． （2）四点共圆，与互补，则 ． 在中，由余弦定理得：， ，得， 解得（舍去）或． （平方海里）， 四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里． （3）方法1：在中，由正弦定理得：，即，解． ，为锐角，则， 又， ， ． 方法2 在三角形中，；；； 由余弦定理可得：； ； 又， ， ． 题型2高度问题 9．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为，且A，B两点之间的距离为6 m，则树的高度为（    ）    A． m B． m C． m D． m 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及直角三角形边角关系求解即得. 【详解】在中，，由正弦定理得：， 则， 所以树的高度为. 故选：A 10．（2024高一下·江苏无锡·期中）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）（参考数据：，，，）    A．40米 B．14米 C．48米 D．52米 【答案】C 【分析】在中利用正弦定理求，再在中求. 【详解】在中，由题意可得， 则， ， 由正弦定理可得， 在中，可得， 所以该铁塔的高度约为48米. 故选：C. 11．（2024高一下·河南南阳·阶段练习）如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（    ） A．70米 B．80米 C．90米 D．100米 【答案】A 【分析】先由题意得出，，再在中，由余弦定理即可求解. 【详解】由题， 所以， 故在中，由余弦定理得， 所以即， （舍去）或，故铁塔的高度是70米. 故选：A. 12．（2024高一下·青海西宁·期末）如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为，，且.若山高m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为 .    【答案】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，,,所以m，m，由余弦定理可得（m），这辆汽车的速度为（）. 故答案为： 13．（2024高一下·辽宁鞍山·期末）如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，在中利用正弦定理可求，进而在中求得结果. 【详解】在中，， 在中，，， 则， 由正弦定理， 可得， 在中，(m). 故选：A. 14．（2024高一下·辽宁铁岭·期末）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形的边角关系，求得AE和CE的长，再利用余弦定理求得AC的长． 【详解】，， ，，， ，； 中，由余弦定理得 ， ； 即两山顶A，C之间的距离为． 故选：A． 15．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B，测得，在点A处测得点C，D的仰角分别为，，在点B处测得点D的仰角为，则塔高CD为 m． 【答案】20 【分析】确定每个角的大小，可得均为等腰三角形，在中，设，通过余弦定理计算即可. 【详解】在中，延长与的延长线交于点E，如图所示. 由题意可知，， 因为小李同学根据课本书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发， 所以三点在同一条直线上. 所以， 所以为等腰三角形， 即. 设，即，， 在中，由余弦定理得 , 即，， 所以， 又因为， 所以. 故答案为：. 16．（2024·山西·模拟预测）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（       ）    A．74m B．60m C．52m D．91m 【答案】A 【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度. 【详解】在中，， ，， 在中，， 由，， 在中，. 故选：A 17．（2024高三上·浙江杭州·期末）位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高为 米.（结果保留整数，参考数据：） 【答案】310 【分析】设米，进而可得， 在中由正弦定理求出，求解即可得出答案. 【详解】设米，因为在点C测得塔顶A的仰角为80°， 所以，在中，，所以， 在中，因为，， 所以， 由正弦定理得，所以， 则， 所以米. 故答案为：310. 18．（2024·江苏南通·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100，则该球体建筑物的高度约为（    ）（cos10°≈0.985）    A．45.25 B．50.76 C．56.74 D．58.60 【答案】B 【分析】数形结合，根据三角函数解三角形求解即可； 【详解】      设球的半径为R， ，， 故选:B. 19．（2024高一下·河南安阳·期末）某同学为了测量学校天文台的高度，选择学校宿舍楼三楼一阳台，到地面的距离为，在它们之间的地面上的点(、、三点共线)处测得阳台，天文台顶的仰角分别是和，在用台处测得天文台顶的仰角为，假设、和点在同一平面内，则学校天文台的高度为 .    【答案】 【分析】由已知可得，求出、的大小，利用正弦定理求出，然后在可求出的长. 【详解】在中，， 在中，，， ， 由正弦定理得， 故， 在中，， 故学校天文台的高度为. 故答案为：. 20．（2024高一下·贵州贵阳·期末）魏晋时期的刘徽在其所撰《海岛算经》中，运用二次测望法解决实际测量问题，是世界测量学上取得的伟大成就.某数学学习小组受《海岛算经》中“望山松”一题的启发，进行了如下测量实践活动：如图，为测量山顶松树的高，在山底所在水平面内，选择、两点，使、、三点在同一直线上，在点测得点和点的仰角分别为60°、45°，在点测得点的仰角为30°，测得基线的长为100米.由以上测量数据可得出：①松树的高 米（精确到0.1）；②和分别是人在点和点观测松树的视角，其大小关系为： （填“>”，“<”或“=”）.（参考数据：，）    【答案】 36.6 > 【分析】由题意可得，则可得，然后求出可求得的值，由图可知的外接圆大于，然后分别在两个三角形中利用正弦定理比较即可 【详解】由题意得， 所以，所以， 所以， 在中，， ， 在中，， 所以， 设的外接圆半径为，的外接半径为，由图可知， 由正弦定理得， 所以，所以， 因为都为锐角，所以， 故答案为：， 题型3角度问题 21．（2024高一下·四川资阳·期末）为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛，若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】C 【分析】根据方位角的概念结合正弦定理、余弦定理求解. 【详解】作出示意图如图所示， 根据题意，， 根据余弦定理， 因为， 所以 ， 因为，所以 ， 因为为锐角，所以， 所以从海岛出发沿直线到达海岛，航行的方向是北偏东， 航行的距离是海里，    故选:C. 22．（2024高一下·上海金山·期末）如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救，信息中心立即把消息告知在其南偏西 ，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向即沿直线CB前往B处救援.    (1)求的距离； (2)求的值. 【答案】(1)20 海里. (2) . 【分析】（1）直接用余弦定理求出即可； （2）根据题目找出与角的关系，进而通过角求出. 【详解】（1）在中，,，由余弦定理可得： ， 故距离为海里. （2）由题意可得：，，则， 故， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 故. 23．（2024高一下·贵州黔东南·期中）如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市的处有一艘小艇，小艇与海岸距离为，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.    (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设小艇以每小时的速度从处出发，沿方向行驶，小时后与运动员在处相遇，利用余弦定理求出关于的函数，根据二次函数知识可求出的最小值； （2）由正弦定理可求出结果. 【详解】（1）如图，设小艇以每小时的速度从处出发，沿方向行驶，小时后与运动员在处相遇，    在中，，故 由余弦定理求得， 则， 整理得， 当时，即时，，故. 即小艇至少以每小时的速度从处出发才能追上运动员. （2）当小艇以每小时的速度从处出发， 经过时间小时追上运动员， 故， 又，由正弦定理得，解得， 故. 即小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角为. 24．（2024高一下·四川成都·期末）某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30 n mile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行）      (1)求走私船的速度大小； (2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间． 【答案】(1)n mile/h (2)缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船． 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）设在F点处截获走私船，截获走私船所需时间为t，利用余弦定理即可求解． 【详解】（1）点位于哨所北偏东方向n mile处， 点位于哨所北偏西方向n mile处， ， ， n mile/h， 走私船的速度大小为n mile/h. （2）设在点处截获走私船，截获走私船所需时间为， ， ， ，， 走私船速度为n mile/h，缉私船速度为n mile/h， ， 在中，根据余弦定理，， ， 化简得，(舍去)，或， 此时，， 缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船．      25．（2024高一下·安徽·阶段练习）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则 ． 【答案】/ 【分析】在中，利用正弦定理求出，在中，先利用余弦定理求出，再利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，在中，， 则， 因为，所以， 在中，， 则，所以， 则. 故答案为：. 26．（2024高一下·福建宁德·期末）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求得，进而由正弦定理求得答案． 【详解】 由题意， 由余弦定理得，，∴， 由正弦定理得，，即，解得． 故选：A． 27．（2024高一下·重庆·期末）如图，某人匍匐在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线匀速移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若，，，则移动瞄准过程中的最大值为（    ）(仰角为直线与平面所成角)    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据仰角的定义，作图，利用图中的几何关系列出函数式，借助二次函数求解作答. 【详解】过点在平面内作直线的垂线，垂足为点，如图，      则由仰角的定义得 ， 由题意 ，设，则 ， 当点与不重合时，在 中， ， 当点与重合时，上式也成立， 在 中，   ， 当时， 取最大值， 综上，的最大值为 . 故选：C. 题型4正余弦定理的其他应用 28．（2024高一下·四川成都·期中）如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，． (1)求的长度； (2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？ 【答案】(1) (2)小李的设计符合要求，理由见解析；总造价为（元） 【分析】（1）根据余弦定理求解即可. （2）根据正弦定理面积公式得到选择建筑环境标志费用较低，再计算其建造费用即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理，得． 在中，由余弦定理得． 由，得，所以， 解得，所以长度为． （2）小李的设计符合要求．理由如下： 因为，， 因为，所以，故选择建筑环境标志费用较低． 因为，所以是等边三角形，， 所以， 所以总造价为（元）． 29．（2024高一下·广东汕尾·期末）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ，另一部分是三角形观赏台AOC．现计划在弧AB上选取一点M，作MN平行OA交OB于点N，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ，NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台AOC，记. （1）当时，求矩形观赏台MNPQ的面积； （2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值. 【答案】（1）平方米；（2）212.5平方米. 【分析】（1）过M作OA的垂线，交AO于点E,过N作OA的垂线，交AO于点F，分别计算出MN、NP，即可求出矩形MNPQ的面积 （2）由题意可知，，利用正弦定理表示出各边，把观赏台面积表示为x的函数，，利用三角函数求最值. 【详解】（1） 当时，过M作OA的垂线，交AO于点E. 则. . 过N作OA的垂线，交AO于点F，. ∵，， ∴. . 矩形MNPQ的面积平方米. 所以矩形观赏台MNPQ的面积平方米. （2）由题意可知，，，，， 在中，由， 得. 矩形MNPQ的面积. 观赏台的面积. 整个观赏台面积. 设，， ∴. . ∴. ∴ . 当时，整个观赏台观赏台S取得最大值为212.5平方米. ∴整个观赏台的面积S的最大值为212.5平方米. 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键． 30．（2024高一下·重庆沙坪坝·期末）重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.    (1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)金沙天街的“奇遇集市”凭借其地理优势及花样百出的“小摊摊”，吸引了众多周围的游客、学生以及上班族；该区政府决定效仿金沙天街的做法，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“偶遇集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.（参考数据：） 【答案】(1)是，且定值为米 (2)元 【分析】（1）求出，结合正弦定理可求得的长； （2）利用余弦定理结合（1）中的结论求出的最小值，再结合题意可求得建设步道总花费的最小值. 【详解】（1）解：因为四边形为等腰梯形，则， 在中，，，则， 由正弦定理可得，则， 同理可得， 因此， （米）. （2）解：在中，， 由余弦定理可得 ， 所以，， 当且仅当米，即当为的中点时，等号成立， 因此，建设步道总花费的最小值为（元）. 31．（2024高一下·浙江·期末）如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在其正东方向点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测设备，且满足，，设． （1）当，求四边形的面积； （2）当为何值时，线段最长． 【答案】（1）；（2）时，最长为. 【分析】（1）利用余弦定理求出，即得解； （2）先求出，设,，，利用余弦定理求出即得解. 【详解】（1）在△中，由余弦定理得 所以. 所以四边形的面积. （2）由题得 所以， 设,， 所以， 所以 所以， 因为， 所以时，最长为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两点，其一是设,求出；其二是求出. 32．（2024高一下·广东广州·期末）如图，某湖有一半径为百米的半圆形岸边，现决定在圆心处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距百米的点处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点以及湖中的点处，再分别安装一套监测设备，且满足，.定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；的长为“最远直接监测距离”.设. （1）若，求“直接监测覆盖区域”的面积； （2）试确定的值，使得“最远直接监测距离”最大. 【答案】（1）；（2）当时，“最远直接监测距离”最大. 【分析】（1）利用余弦定理计算出，利用三角形的面积公式可求得四边形的面积，即为所求； （2）利用余弦定理和正弦定理可得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值，即可得出结论. 【详解】（1）在中，因为，，， 由余弦定理可得，， 故， 所以“直接监测覆盖区域”的面积为； （2）由余弦定理可得，则， 在中，由正弦定理可得，可得， ， 在中，由余弦定理可得 ， 因为，则， 故当时，即当时，取得最大值， 故当时，使得“最远直接监测距离”最大. 33．（2024高一下·四川成都·期末）如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形区域内修建水上项目，并在湖面上修建，作为观光路线，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用三角恒等变换、余弦定理求得的表达式，结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】设，则， ，则、为正数. 在三角形中，由余弦定理得：， 在三角形中，由余弦定理得： ， 所以, 由于，所以当时，取得最小值， 也即时，取得最小值. 故选：D 34．【多选】（2024高一下·浙江台州·期末）龙卷风是一种少见的局地性、小尺度、突发性的强对流天气，是在强烈的不稳定的天气状况下由空气对流运动造成的、强烈的、小范围的空气涡旋，一般发生在春季和夏季.在操场旗杆A的东偏南（）方向30米B处生成一个半径为6米的龙卷风，龙卷风以2米/秒的速度向北偏西方向移动，龙卷风侵袭半径以1米/秒的速度不断增大，则（    ） A．12秒后龙卷风会侵袭到旗杆 B．秒后龙卷风会侵袭到旗杆 C．旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续16秒 D．旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续12秒 【答案】AD 【分析】以为坐标原点，建立的直角坐标系，得到小时后，台风袭击的范围可视为以点为圆心，以为半径的圆，结合题意，列出不等关系式，得到，解得，结合选项，即可求解. 【详解】以为坐标原点，以正东方向为轴，以正北方向为轴，建立如图所示的直角坐标系， 因为，可得，可得点， 当小时后，台风袭击的范围可视为以点为圆心，以为半径的圆， 若旗杆受到台风的侵袭，则， 整理得，即，解得， 所以12秒后龙卷风会侵袭到旗杆，且受台风侵袭的持续时间为小时. 故选：AD.    35．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）如图，现有一直径百米的半圆形广场，AB所在直线上存在两点C，D，满足百米（O为AB的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧AB上选取一点E，各修建一条地下管道EC和ED通往C、D两点． (1)设，试将管道总长（即线段）表示为变量θ的函数； (2)求管道总长的最大值． 【答案】(1)，， (2)2百米 【分析】（1）在和中，根据余弦定理即可求得； （2）结合（1），对函数平方处理，可得，即可求得最值. 【详解】（1）在中，由余弦定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 所以，， ∴将管道总长（即线段EC+ED）表示为变量θ的函数为： ，， （2）由（1）可得： ，因为，，所以， （百米） 当且仅当，即时取等号， 因为，∴（百米）． ∴管道总长的最大值为2百米. 36．（2024高一下·江苏南京·期末）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米． (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． 【答案】(1)3千米 (2)6千米． 【分析】（1）在中，根据余弦定理解三角形即可； （2）设，由正弦定理得，，可得，根据可得其最大值. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， ，得， 所以线段的长度为3千米． （2）设，因为， 所以，在中，由正弦定理得， ， 所以，， 因此 因为，所以． 所以当，即时，取到最大值6． 所以两条观光线路与之和的最大值为6千米． 37．（2024高一下·山东青岛·期末）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）． （1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍． （i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求． （ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ 【答案】（1）6；（2）（i）；（ii）至少为米. 【分析】（1）用余弦定理列方程，结合基本不等式求得，也即两机器人运动路程和的最大值. （2）（i）利用正弦定理求得； （ii）设，利用余弦定理求得，求得的最大值，由此求得的最小值. 【详解】（1）如图，在中 由余弦定理得，， 所以 所以，（当且仅当时等号成立） 故两机器人运动路程和的最大值为 （2）（i）在中 由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，故， 由正弦定理可得 所以 （ii）设，则， 由余弦定理可得， 所以 所以 由题意得对任意恒成立， 故，当且仅当时取到等号． 答：矩形区域的宽至少为米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲． 【点睛】正弦定理、余弦定理是解题的重要数学知识，二次函数最值的求法在本题中是重要的方法. $$