精品解析：江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2023-2024学年高一下学期第二次调研测试（5月）数学试题

泗阳县实验高级中学2023-2024学年第二学期 高一第二次调研测试 数学试卷 本试卷共19题，共150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上. 2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在中，已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知点在角的终边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A. B. C. D. 5. 已知平面，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知的内角的对边分别是，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在梯形中，，，点是上一点，，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 二､多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图（1），在矩形中，，是的中点，沿将折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 向是能作为平面内所有向量的一组基底 B. C. 两个非零向量，若，则与共线且反向 D. 若，且与的夹角为锐角，则 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图所示，在三棱锥中，若是的中点，则平面与平面的关系是________. 13. 中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为______． 14. 已知锐角中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，则的取值范围是________． 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 设复数，其中为虚数单位，. （1）若是纯虚数，求实数的值; （2）在复平面内表示复数的点位于第四象限，求实数的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证： （1）平面； （2）平面平面. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）证明：为等腰三角形． （2）若D是边BC的中点，，求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； （3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 19. 已知，在斜三角形中，角的对边分别为，． （1）求的大小； （2）若，求的最小值； （3）若，求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泗阳县实验高级中学2023-2024学年第二学期 高一第二次调研测试 数学试卷 本试卷共19题，共150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上. 2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面内对应的点的坐标即可． 【详解】由，得, ∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限． 故选:B． 2. 在中，已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出A，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】由，得， 又，由正弦定理，得， 所以. 故选：C 3. 已知点在角的终边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切函数的定义计算，然后再由两角和的正切公式计算. 【详解】由已知，. 故选：A. 4. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ ∴−=3(−)； ∴=−. 故选A. 5. 已知平面，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直即可求证面面垂直，即可说明充分性，根据面面垂直的性质可得线面垂直，即可利用线面垂直的判断求证必要性. 【详解】由于，所以， 若 ，则，，故充分性成立， 若，，设，， 则存在直线使得，所以，由于，故， 同理存在直线使得，所以，由于，故， 由于不平行，所以是平面内两条相交直线，所以，故必要性成立， 故选：C 6. 已知的内角的对边分别是，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系求出，根据正弦定理求得，（R为外接圆半径），再根据正弦定理边化角，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理（R为外接圆半径）， 则. 故选：D. 7. 已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质求得时取得最小值，再根据同角三角函数的平方关系计算即可. 【详解】易知， 由二次函数的单调性可知时上式取得最小值， 即， 所以. 故选：C 8. 如图所示，在梯形中，，，点是上一点，，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，求得，得到方程，再由的面积为，得到，联立方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设，则， 可得，整理得， 又由，即， 联立可得，联立方程组，解得， 所以. 故选：A. 二､多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图（1），在矩形中，，是的中点，沿将折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先证明平面，即可判断A、B，在平面图形中取的中点，连接，交于点，即可得到，连接，即可得到为二面角的平面角，利用勾股定理逆定理得到，从而得到平面平面，即可判断C、D. 【详解】因为，且，平面，所以平面． 又平面平面，所以平面平面，平面平面，故A，B正确． 如图（1），取的中点，连接，交于点，则和均为等腰直角三角形， 所以，所以，即， 如图（2），连接，因为，，所以为二面角的平面角． 设，则，在中，，为的中点，故． 所以，所以， 所以平面平面，则平面与平面不垂直，故C错误，D正确． 故选：ABD． 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 向是能作为平面内所有向量的一组基底 B. C. 两个非零向量，若，则与共线且反向 D. 若，且与的夹角为锐角，则 【答案】BC 【解析】 【分析】直接利用向量的共线、向量的基底的定义，两角和与差的余弦公式，向量的数量积公式，向量的夹角公式，判断、、、的结论． 【详解】对于：因为，所以不能作为平面内的一组基底，故错误； 对于：，故正确； 对于C，因为，所以， 所以有，所以，即，所以共线且反向，即C正确； 对于：已知，，则， 所以：，且和不共线． 即，且 解得且，故错误； 故选：BC． 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB，由正弦定理求解即可判断；对于C，由余弦定理及基本不等式得，代入三角形面积公式即可判断，对于D，由余弦定理及基本不等式得，即可判断. 【详解】对于A，若，又，，由正弦定理得，故A错误； 对于B，由题意，，，由正弦定理得，故B正确； 对于C，由余弦定理得，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，由，，及余弦定理得， ，所以， 当且仅当时取等号， 所以的周长， 所以周长的最大值为，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图所示，在三棱锥中，若是的中点，则平面与平面的关系是________. 【答案】垂直 【解析】 【分析】先证明平面，再由面面垂直的判定定理求解. 【详解】因为是的中点， 所以由等腰三角形三线合一可知， 又，平面，平面， ∴平面. 又平面， ∴平面平面. 故答案为：垂直. 13. 中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用等面积列出方程求解即得. 【详解】依题意，设，, 由,可得，， 解得:. 故答案为：. 14. 已知锐角中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理将边化成角后得到，再用辅助角公式得到，再结合正弦函数的单调性和角的范围求出结果即可. 【详解】因为，且，故， 设三角形外接圆半径为，由正弦定理得：， 故 ． 因为是锐角三角形，故，且，故， 即，又， 令锐角满足，故，，且， 故在上单调递增，在上单调递减， 故时，取得最大值． 又时，， 又当时，， 故的取值范围是． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理把化成，然后再结合角的范围和三角函数的值域求出结果. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 设复数，其中为虚数单位，. （1）若是纯虚数，求实数的值; （2）在复平面内表示复数的点位于第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据实部为0，虚部不等于0列式求解可得； （2）根据实部大于0，虚部小于0，列不等式组求解可得. 【小问1详解】 若是纯虚数，则， 解得. 【小问2详解】 由题意知，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证： （1）平面； （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行； （2）由线面垂直得到线线垂直，进而得到线面垂直，面面垂直. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 因为底面为矩形，所以为的中点， 又为的中点，所以， 因为平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 平面，平面， ∴， ∵底面为矩形， . 又，平面， 平面. 又平面， 平面平面. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）证明：为等腰三角形． （2）若D是边BC的中点，，求的面积． 【答案】（1）证明：因为由正弦定理得 因为，由余弦定理得， 代入化简可得 所以为等腰三角形。 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理的推论进行计算可得，证明等腰三角形； （2）利用余弦定理推论求得，再计算三角形的面积； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知因为D是边BC的中点，， 在和中，利用余弦定理的推论得 代入，可得 由得 则的面积 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； （3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案； （3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出. 【小问1详解】 因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点， 所以， 因为，面面，面面，面， 所以面， 又面，所以， 又平面， 所以平面； 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接， 则且，， 故， 因为面面，面面，面， 所以面， 因为面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角， 设，则，故， 所以， 即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为； 【小问3详解】 当面时，平面平面，证明如下： 如图，连接交于点，连接， 因为底面是正方形，所以， 由（2）得面， 因为面，所以， 因为面时，，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，所以， 因为，所以， 所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC. 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 19. 已知，在斜三角形中，角的对边分别为，． （1）求的大小； （2）若，求的最小值； （3）若，求的大小． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由，得到，进而求得； （2）由正弦定理分别求得，，结合向量的数量积的运算公式和三角恒等变换，得到，结合基本不等式，即可求解. （3）因为，得到，求得或，结合题意，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，所以， 所以或，， 因为且，所以或， 由为斜三角形知，（舍），所以. 【小问2详解】 解：由正弦定理：，所以， 又由，可得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 【小问3详解】 解：因为，所以， 所以，所以， 即， 整理得， 所以， 所以或， 因为是钝角，所以，所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $