精品解析：2024年江苏省徐州市铜山区中考三模数学试题

2024年九年级第三次质量检测 数学试题 注意事项 1.本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟． 2.答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置． 3.答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 有理数2024相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 4. 函数y＝中自变量x取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x≠2 D. x＜2 5. 九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票，根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 6. 如图，同学们将平行于凸透镜主光轴的红光和紫光射入同一个凸透镜，折射光线交于点O，与主光轴分别交于点，，由此发现凸透镜的焦点略有偏差．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在的位置，，则等于（   ） A. B. C. D. 8. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 7算术平方根是_______． 10. 因式分解：a2+ab=_____． 11. 方程的解是：__________． 12. 《中国核能发展报告2024》蓝皮书显示，2023年我国核能发电量为亿千瓦时，相当于造林公顷，则数据用科学记数法表示为________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为___________ 14. 关于x一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 15. 若圆锥底面半径为，侧面展开图的面积为，则圆锥母线长为________． 16. 如图，是的直径，点，在上．若，则__________度． 17. 如图，为等边三角形，点恰好在反比例函数的图象上，且轴于点．若点的坐标为，则的值为________． 18. 如图，在中，，点是边的中点，点和分别在边和上，，．若，，则边的长为________． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步㵵） 19 计算： （1） （2） 20. （1）解方程： （2）解不等式组： 21. 某校德育处为了编撰一本学生感兴趣的山西传统文化校本课程读物，设计了如下的调查问卷，并在全校学生中随机抽取部分学生进行了调查，随后根据调查结果绘制了统计图（均不完整），下列山西传统文化中，你最感兴趣的是？（单选）（ ） A．炎帝农耕文化；B．尧舜德孝文化；C．关公忠义文化；D．能吏廉政文化；E．晋商诚信文化 调查结果的条形统计图 调查结果的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的总人数是______人，并把条形统计图补充完整． （2）在扇形统计图中，选项的人数百分比是______，选项所在扇形的圆心角的度数是______． （3）若该校共有学生2500名，则其中大约有多少名学生对“尧舜德孝文化”感兴趣？ 22. 扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览． （1）甲选择景点的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率． 23. 甲、乙两名学生到离校的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度． 24. 如图，在菱形中 ，是对角线，点E 是延长线上的一点，在线段的延长线上截取，连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由． 25. 太阳能路灯具有安全性能高、节能环保、经济实用等特点，已被广泛应用于主、次干道，工厂，旅游景点等场所．如图是太阳能板及支架部分的示意图，是太阳能板，点与点是支架部分与太阳能板的连接点，点是支架部分与灯杆的连接点，点是灯杆上一点，支架的长为，与灯杆的夹角，支架的长为，与灯杆的夹角，点，，，，，在同一竖直平面内，求点和点距地面的高度差．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 26. 如图，已知在中，，以为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线交的延长线于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接．试判断直线与的位置关系，并说明理由； 27. 【问题情境】 如图，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 28. 已知二次函数． （1）求证：该函数的图像与轴总有两个公共点； （2）若该函数图像与轴的两个交点坐标分别为，，且，求证：； （3）若，，都在该二次函数图像上，且，结合函数图像，写出的取值范围是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年九年级第三次质量检测 数学试题 注意事项 1.本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟． 2.答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置． 3.答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 3. 下列运算正确的是( ) A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则，即可得到答案． 【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意； B.，故该选项正确，符合题意； C.，故该选项不正确，不符合题意； D.，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x≠2 D. x＜2 【答案】C 【解析】 【分析】令分母不等于0求解即可． 【详解】由题意得 x-2≠0， ∴x≠2． 故选C． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 5. 九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票，根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数、方差的意义． 根据众数的实际意义求解即可． 【详解】解：班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是众数， 故选：B． 6. 如图，同学们将平行于凸透镜主光轴的红光和紫光射入同一个凸透镜，折射光线交于点O，与主光轴分别交于点，，由此发现凸透镜的焦点略有偏差．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，先根据两直线平行、同旁内角互补，求出，再根据邻补角和为180度计算的度数． 【详解】解：如图， 由题意知， ，， ，， ，， ， ， 故选D． 7. 如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在的位置，，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据，求出的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知，最后求得的大小． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质知，， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】此题考查了翻折变换的知识，本题利用了：1、折叠的性质；2、平行线的性质，平角的概念求解． 8. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 7的算术平方根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义：如果一个正数a满足，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴7的算术平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． 10. 因式分解：a2+ab=_____． 【答案】a（a+b）． 【解析】 【分析】直接提公因式a即可. 【详解】a2+ab=a（a+b）． 故答案为：a（a+b）． 11. 方程的解是：__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先方程两边乘以最简公分母去分母，然后去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，最后一定要检验． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验：把代入最简公分母中：， ∴原分式方程的解为： ， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了分式方程的解法，做题过程中关键是不要忘记检验，很多同学忘记检验，导致错误． 12. 《中国核能发展报告2024》蓝皮书显示，2023年我国核能发电量为亿千瓦时，相当于造林公顷，则数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，把代入两解析式得出和的值，整体代入， 通过计算即可完成求解． 【详解】∵函数与的图像交于点 ∴，，即， ∴． 【点睛】本题考查了代数式的求值、反比例函数与一次函数的交点问题；解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数交点的性质，从而完成求解． 14. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】k＜1． 【解析】 【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根， ∴△=， 解得：， 故答案为. 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键. 15. 若圆锥底面半径为，侧面展开图的面积为，则圆锥母线长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积公式的应用，根据圆锥侧面积公式代入数据求出圆锥的母线长即可． 【详解】解：根据圆锥侧面积公式：，圆锥底面半径为，侧面展开图的面积为， 故， 解得：． 故答案为：4． 16. 如图，是的直径，点，在上．若，则__________度． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，可得，，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 17. 如图，为等边三角形，点恰好在反比例函数的图象上，且轴于点．若点的坐标为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，求得点B的坐标是解题的关键．首先根据等边三角形的性质得到，进而求出，然后利用角直角三角形的性质求出，然后利用等边三角形的性质得到，利用勾股定理得到，进而得到点B的坐标，然后代入即可求出k的值． 【详解】∵为等边三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵，点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点恰好在反比例函数的图象上， ∴，即． 故答案为：． 18. 如图，在中，，点是边的中点，点和分别在边和上，，．若，，则边的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到，使，连接，，过点作于，结合题中条件利用“”得出，进而得出，，然后结合条件利用三角形内角和是得出，，即得到是以为斜边的等腰直角三角形，进而得出，再根据三角形等边对等角和三角形内角和是得出，进而得出，最后利用勾股定理得出的长进而得出的长，再得出的长即可． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，，过点作于， ， 是边的中点， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ，，，， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，倍长中线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步㵵） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算以及分式的混合运算： （1）原式分别化简，，，，然后再进行加减运算即可； （2）先算括号里面的，再将除法转换为乘法后，再约分即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. （1）解方程： （2）解不等式组： 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程和一元一次不等式组： （1）方程运用公式法求解即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了”的口诀确定不等式组的解集即可 【详解】解：（1） ∵，，， ， ∴， ∴，； （2） 解不等式，得． 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 21. 某校德育处为了编撰一本学生感兴趣的山西传统文化校本课程读物，设计了如下的调查问卷，并在全校学生中随机抽取部分学生进行了调查，随后根据调查结果绘制了统计图（均不完整），下列山西传统文化中，你最感兴趣的是？（单选）（ ） A．炎帝农耕文化；B．尧舜德孝文化；C．关公忠义文化；D．能吏廉政文化；E．晋商诚信文化 调查结果的条形统计图 调查结果的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的总人数是______人，并把条形统计图补充完整． （2）在扇形统计图中，选项的人数百分比是______，选项所在扇形的圆心角的度数是______． （3）若该校共有学生2500名，则其中大约有多少名学生对“尧舜德孝文化”感兴趣？ 【答案】（1）300，见详解 （2）， （3）1050名 【解析】 【分析】本题考查了从关联的条形统计图和扇形统计图中获取信息进行计算等； （1）选项的人数名，所占百分比为，由此即可求出总人数，在计算出D选项的人数，即可求解； （2）由选项的人数是名，选项的人数为名可求出所占百分比，即可求解； （3）用样本中学生对“尧舜德孝文化”感兴趣的百分比总数，即可求解； 能从关联两个统计图正确获取信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：（名）， 故答案：； D选项的人数：（人）， 补全图，如下： 【小问2详解】 解：由题意得 选项的人数百分比： ， 选项所在扇形的圆心角的度数： ； 故答案：，； 【小问3详解】 解：由题意得 （名）， 答：大约有名学生对“尧舜德孝文化”感兴趣． 22. 扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览． （1）甲选择景点的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用概率计算公式求解即可； （2）利用树状图或列表的方法，分析甲、乙至少一人选择的基本事件的个数，除以总的基本事件个数即可． 【小问1详解】 解：共有个景点可供选择，且选择每种景点是随机的， 甲选择景点的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下： 由表格可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙至少有一人选择景点共有种等可能的结果， 甲、乙至少有一人选择景点的概率为． 【点睛】本题考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟练掌握相关计算方法是解题的关键． 23. 甲、乙两名学生到离校的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度． 【答案】 【解析】 【分析】根据甲、乙同学步行和骑自行车的速度之间的数量关系设未知数，再根据所走时间之间的数量关系列方程即可． 【详解】解：设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车速度为， ，由题意得， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，也符合实际． ， 答：乙同学骑自行车的速度为． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解决问题时需注意时间单位的统一，同时解分式方程需检验． 24. 如图，在菱形中 ，是对角线，点E 是延长线上的一点，在线段的延长线上截取，连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质； 根据菱形的性质求出，，则四边形是平行四边形，再根据可得四边形是菱形． 【详解】四边形是菱形； 理由：连接与交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 25. 太阳能路灯具有安全性能高、节能环保、经济实用等特点，已被广泛应用于主、次干道，工厂，旅游景点等场所．如图是太阳能板及支架部分的示意图，是太阳能板，点与点是支架部分与太阳能板的连接点，点是支架部分与灯杆的连接点，点是灯杆上一点，支架的长为，与灯杆的夹角，支架的长为，与灯杆的夹角，点，，，，，在同一竖直平面内，求点和点距地面的高度差．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】29cm 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，在中和中，利用三角函数解得，的长度，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， 在中，，，， ∵，即， ∴， 在中，，，， ∵，即， ∴， ∴． 答：点和点距地面的高度差约为29． 26. 如图，已知在中，，以为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线交的延长线于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接．试判断直线与的位置关系，并说明理由； 【答案】（1）见解析 （2）相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意知，是的垂直平分线，作垂线交延长线于点即可； （2）如图2，由为切线，可得，由，，可知 垂直平分，证明，则，进而结论得证． 【小问1详解】 解：如图1； 图1 【小问2详解】 解：如图2，与相切，理由如下； 图2 ∵切线， ∴， ∵，， 垂直平分， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， 与相切． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，作垂线，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握垂径定理，垂直平分线的性质，作垂线，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 27. 【问题情境】 如图，是外一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 【答案】问题情境：正确，理由见解析；直接运用：；构造运用：；深度运用： 【解析】 【分析】问题情境∶根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； 直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，由勾股定理得，从而即得解； 构造运用：由折叠知，进而得点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．当长度取最小值时，点在上，过点作于点，根据菱形的性质及勾股定理即可得解； 深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，证明，得，点在以为直径的半圆上，进而利用 勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解． 【详解】解：问题情境∶小红的说法正确， 在圆О上任意取一个不同于点的点，连接、， ∵在中，>， ∴>，即>． ∴线段是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段． ∴小红的说法正确； 直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 构造运用：由折叠知， ∵是的中点， ∴， ∴点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接． 当长度取最小值时，点在上， 过点作于点， ∵在边长为的菱形中， ，为中点， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∴， ； 深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的半圆上， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系是解题的关键． 28. 已知二次函数． （1）求证：该函数的图像与轴总有两个公共点； （2）若该函数图像与轴的两个交点坐标分别为，，且，求证：； （3）若，，都在该二次函数图像上，且，结合函数图像，写出的取值范围是________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的图像与性质，一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式等知识，明确题意，合理分类讨论，画出函数图像，数形结合列出不等式组是解答第（3）的关键． （1）先求出，然后利用不等式的性质证明即可； （2）利用根与系数的关系得出，，结合，求出， ，然后代入，整理即可得证； （3）分对称轴在轴左侧和右侧讨论，分别画出草图，结合图像列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 证明：二次函数， ， ， ， 又对于任意实数都有， ，即， 该函数的图像与轴总有两个公共点； 【小问2详解】 证明：该函数图像与轴的两个交点坐标分别为，， ，是的两根， ，， ， 联立方程组， 解得：， 将代入中，得：， 整理得：； 【小问3详解】 解：，都在该二次函数图像上， 抛物线的对称轴为：， 当时，即， ， 画出草图如下： 或 ，解得， 或，解得：或； 当时，即， ， 画出草图如下： 或 此时的横坐标大于，不符合题意，舍去； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $