小升初典型应用题：相遇问题 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

相遇问题 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．　　小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题． 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度． 它们的基本关系式如下： 总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度． 第二部分 典型例题 例题一：甲骑车自A向B驶去，2小时后，乙步行由A向B走去，乙走出2小时后甲到B，此时乙距B地32千米；甲在B休息2小时30分钟又原路返回，经过1小时与一直步行向B走的乙相遇，问此时乙距B地多少千米？ 【答案】11千米 【详解】甲走完全程需要4小时，乙走5.5小时的路程与甲走1个小时的路程之和也等于一个全程． 所以甲走3个小时的路程等于乙走5.5小时的路程． （4-1）÷5.5=，即乙的速度是甲的速度的．甲每小时行全程的，所以乙每小时行全程的，乙两个小时行驶，距B地还有全程的． 所以全程为：（千米） 甲的速度是：（千米/小时） 所以相遇时乙距离B地11千米． 例题二：甲、乙两车从相距325千米的两地同时相向而行，2.5小时后还相距65千米，已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米？ 【答案】59千米 【分析】用325千米减去65千米求出相遇的路程，根据路程÷相遇时间＝速度和，再用速度和减去甲车的速度得乙车的速度。 【详解】（325－65）÷2.5－45 ＝260÷2.5－45 ＝59（千米） 答：乙车每小时行59千米。 【点睛】此题考查的是相遇问题，解答此题关键是求出两车相遇的路程。 例题三：甲、乙两地相距560千米，客、货两车同时从两地相对开出，经过4时两车相遇，已知客车和货车的速度比是，客车行完全程需要多少时？ 【答案】7时 【分析】根据题意，总路程÷相遇时间＝速度和，先求出客、货两车的速度和，再按比例分配求出客车的速度，总路程÷客车速度＝客车行完全程需要的时间，据此解答。 【详解】560÷4× ＝140× ＝80（千米） 560÷80＝7（时） 答：客车行完全程需要7时。 【点睛】此题主要考查行程问题，解题关键是根据按比例分配求出客车的速度。 第三部分 高频真题 1．深圳通往长沙的高速路大约长810km。一辆汽车从深圳出发，每小时行95km；另一辆货车从长沙出发，每小时行85km。两车同时出发，几小时能够相遇？（先画图表示题意，再用方程解答） 2．A、B两地相距480km，甲走完全程需要6小时，乙走完全程需要12小时，现在甲从A地出发，乙从B地出发，相向而行，相遇之后甲立即返回，乙继续向A地前进，当甲返回到A地时，乙距离A地多少千米？ 3．黔江到成都的路程约580千米，甲、乙两辆车同时从两地相对开出，甲车平均每小时行65千米，乙车平均每小时行80千米，几小时后两车相遇？ 4．甲、乙两人骑车分别从A、B两地相向而行，已知甲、乙两人一速度比是2∶3，甲比乙早出发15分钟，经过1小时45分钟遇见乙，此时甲比乙少走6千米，求： （1）甲、乙两人骑车的速度各是多少？ （2）A、B两地的距离是多少千米？ 5．平平家、丽丽家和学校在一条直路上，且平平家和丽丽家到学校的路程相等。某日，他们从家同时出发往对方家走去，平平每分钟走56米，丽丽每分钟走48米，两人在距学校36米处相遇，平平家和丽丽家相距多少米？ 6．刘凯和王明两家相距1200米，两人同时从家出发，相向而行，走了6分钟后，两人还相距342米。刘凯的速度是王明的1.2倍，刘凯每分钟走多少米？（用方程解答） 7．一列货车与一列客车同时从北京站出发反向而行，货车每小时比客车多走7千米，4小时后两车相距468千米．求两车速度． 8．甲、乙两地相距480千米，－列客车与－列货车从甲、乙两地同时相向而行，4小时相遇。已知客车与货车的速度比是3∶2，客车每小时行多少千米？ 9．两地间的路程是500千米，甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过4小时相遇，甲车每小时行65千米，乙车每小时行多少千米？（先写出等量关系，再列方程解答） 10．甲、乙两站相距360千米，一列快车和一列慢车分别从两站同时相对而行，3.6小时相遇。已知快车与慢车的速度比是3∶2，慢车每小时行多少千米？快车行完全程要几小时？ 11．甲、乙两车分别从A，B两城相对同时开出，甲车每小时行78千米，乙车每小时行67千米，两车在距A，B两城中点66千米处相遇．A，B两城相距的路程是多少千米？ 12．两辆汽车同时从两地出发，相向而行，快车每小时行驶64千米，慢车每小时行驶60千米，出发2.5小时后，两车还相距15千米（相遇前）。两地之间的路程是多少千米？ 13．大连到北京的铁路线长990千米。甲车从北京开往大连，速度是95千米/时，乙车同时从大连开往北京，速度是85千米/时。经过几时两车相遇？相遇地点距大连多少千米？ 14．长沙至北京的路程是1560千米．甲车以每小时120千米的速度从长沙开往北京,同时乙快车从北京开往长沙,每小时比甲车多行20千米．出发多少小时后两车相遇? 15．两艘客轮同时从两港相对行驶，甲轮每小时行40千米，乙轮每小时行36千米，早上8时开出，晚上11时相遇，两港口相距几千米？ 16．甲、乙两车从相距567 km的两地同时出发，相向而行，经过4.2小时相遇．已知甲车每小时比乙车慢15 km，乙车每小时行多少千米？ 17．甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，4小时相遇后又相距9千米，已知甲车行完全程要7小时，乙车每小时行27千米，AB两地间的路程是多少千米？ 18．为抗击疫情提高抵抗力，笑笑和小欣每天进行环湖慢跑。笑笑每分钟跑280米，小欣每分钟跑320米，环湖公里一周的长度是5400米，两人同时反方向跑步。 （1）估计两人在何处相遇，在图中标出来。 （2）多长时间后两人相遇？ 19．甲、乙两车同时分别从两地相对开出，甲车每小时行80千米，乙车速度是甲车的，经过3小时两车还相距全程的10%（未相遇），两地相距多少千米？两地的距离画在比例尺1∶2000000的地图上，应该画多长？ 20．一列快车全长米，每秒行米；一列慢车全长米，每秒行米。 （1）两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要几秒钟？ （2）两列火车同向而行，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要几秒钟？ 21．一列货车和一列客车同时从甲乙两地相向开出，已知客车的速度是货车的速度的，两车相遇时，客车比货车少行8千米．求甲、乙两地间的距离． 22．甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行75千米，乙车每小时行55千米，经过两小时后两车相距20千米，A、B两地相距多少千米？（先画图表示出信息和问题，再列式解答） 23．在比例尺1∶2500000的地图上量得A、B两地相距4.8厘米。甲骑自行车以每小时12千米的速度从A地骑往B地，同时乙开车以每小时36千米的速度从B开往A地。两人几小时后相遇？ 24．小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？ 25．如图是动物园的平面图。 ①猴山在孔雀园北偏西米处，大象馆在孔雀园南偏东米处，请在图中画出这两处。 ②赵宁和李强分别从猴山和大象馆相向而行，赵宁每分钟行80米，李强每分钟行100米，他们能在孔雀园正好相遇吗？请通过计算说明。（比例尺 26．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，甲行完全程需6小时，比乙的速度快50%，相遇时，甲比乙多行180千米，求乙车速度？ 27．两船从两个码头相对开出，甲船每小时48海里，乙船每小时52海里，8.5小时后，两船相遇，两个码头间的距离是多少海里？（用两种方法解答） 28．两辆客车同时从A、B两地相对开出，两车的速度分别是68千米/时、82千米/时，经过12小时相遇。A、B两地相距多少千米？ 29．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，它们相遇时距A、B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A、B两地的距离． 30．甲、乙两地相距936千米，两辆汽车同时从两地出发，从甲地开往乙地的汽车每小时行66千米，从乙地开往甲地的汽车每小时行78千米，几小时后两辆汽车相遇？（列方程解答） 31．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，在到达对方出发地后立即返回。甲车的速度是105千米／时，乙车的速度是90千米／时，经过4小时两车第二次相遇。A、B两地相距多少千米？ 32．小张、小李和小王于某日上午分别步行、骑自行车和开汽车从A地出发沿公路向B地匀速前进．已知小李比小张晚1小时出发，小王比小李晚45分钟出发．他们三人恰在中途某地相遇．若小李比小张早到达B地24分钟，则小王比小张早多少分钟． 33．甲、乙两车从两地同时出发相向而行，4小时后在距离中点20千米处相遇，已知乙车平均每小时行78千米，问：甲车平均每小时多少千米？（列方程） 34．客、货两车同时从相距330千米的A、B两地相向而行。3小时后两车相遇，已知客车的速度是货车速度的1.2倍。客车和货车每小时分别行驶多少千米？ 35．甲乙两船同时从两个港口相对开出，相遇时甲船行驶了全程的，如果两船继续原速行驶，甲船到达B港口一共用了16小时。已知乙船的速度是30千米/小时，A、B两个港口相距多少千米？ 36．甲、乙两船在静水中的速度分别是每小时36千米和每小时28千米，A、B两港相隔242千米，甲船从A港顺水先出发1小时后，乙船从B港沿同一航道逆水出发，相向而行，如果水流的速度为每小时14千米，那么乙船出发后几小时与甲船相遇？ 37．北海和桂林相距约540km，两辆汽车同时从两地相向开出，乙车的速度是甲车的，经过3小时两车相遇，甲车平均每小时行驶多少千米？ 38．货车以每小时60 km的速度从甲城开往乙城，2小时后，客车才从以每小时68km的速度从乙城开往甲城，再经过2.5小时，两车相遇，甲、乙两城相距多少千米？ 39．甲、乙两城相距425km，两辆汽车同时分别从甲、乙两城相对开出。如果两辆汽车14：00出发，那么它们相遇时是几时几分？ 40．甲、乙两地相距450千米，客车和货车同时从两地出发，相对而行，3小时后相遇，它们的速度比是2∶3。客车和货车的速度各是多少？（用方程解答） 41．客、货两车同时从甲、乙两车站迎面开来，客车每小时行驶 56km，货车每小时行驶48km，两车在距离中点40km的地点相遇， 甲、乙两车站相距多少千米？ 42．在比例尺为1：6000000的地图上，量得两地间距离是5cm，甲、乙两辆汽车同时从两地相向而行，2时后相遇．已知甲、乙两车的速度比是2：3，那么两车速度各是多少？ 43．如图，两辆汽车从两个城市同时相对开出，几小时相遇？相遇时两辆车分别行驶了多少千米？ 44．小明的家住学校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是1410米，每天上学时，如果小明比小芳提前3分钟出发，两人可以同时到校。已知小明的速度是70米/分钟，小芳的速度是80米/分钟，求小明家距离学校有多远？ 45．蚂蚁运粮。 蚂蚁哥哥以5厘米/秒的速度向蚁洞搬运粮食，蚂蚁弟弟以3厘米/秒的速度迎接，它们同时出发。 （1）估计它们在何处相遇，并在图中标出相遇的大致位置。（用表示相遇位置） （2）几秒后相遇？相遇地点距洞口多远？ 46．八戒和悟空两家相距千米，两人同时骑车，从家出发相对而行，悟空每小时行千米，八戒每小时行千米．两人相遇时，悟空和八戒各行了多少千米？ 47．两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米．甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？ 48．青青和云云家相距715米，他们相向而行。青青走路的速度是云云的1.2倍，5分钟后他们相遇。青青和云云每分钟分别走多少米？（用方程解） 49．在比例尺是1∶3000000的地图上，量得甲、乙两地相距18厘米，客车与货车分别从甲、乙两地同时相向而行，5小时相遇。已知客车和货车的速度比是5∶4，问客车与货车的速度差是多少？ 50．江上有甲、乙两码头，相距15千米。甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5小时后货船追上游船。又行驶了1小时，货船上有一物品掉入江中（该物品可以浮在水面上），6分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米？ 51．甲、乙两车从两地同时出发，相向而行。甲车每小时行60千米，乙车每小时行75千米，出发2小时后两车相遇。请问两地相距多少千米？ 52．李倩家与小琪家相距620米。她们同时从自己家出发，相向而行，经过5分钟两人相遇。李倩平均每分钟走72米，小琪平均每分钟走多少米？（用方程解答） 53．张叔叔要给王阿姨送一份材料，他们约定两人同时开车出发。公园距天桥150km。      （1）估计两人在哪个地方相遇？在图上用△标出来。 （2）出发后几时相遇？列方程解决问题。 54．快、慢两同时分别从甲乙两地相对而行，经过6小时在离中点30千米处两车相遇，相遇后两车仍以原速行驶，快车又用5小时到达乙地。甲乙两地间的路程是多少千米？ 55．甲，乙两城相距480千米，一辆货车和一辆客车分别从甲、乙两城相对开出，4小时后相遇，货车和客车的速度比是3∶5。货车和客车的速度分别是多少？（5分） 56．客、货两列火车分别从东、西两站出发相向而行，客车每小时行驶90km，两车相遇后货车再行270km到达东站，客车再行驶4小时到达西站．求货车行驶完全程所用的时间． 参考答案： 1．4.5小时（图见分析） 【分析】设两车出发后x小时相遇，两车速度和乘x等于810，据此列方程即可解答。 【详解】解：设两车出发后x小时相遇。 （95＋85）×x＝810 180x＝810 180x÷180＝810÷180 x＝4.5 答：两车同时出发，4.5小时能够相遇。 【点睛】本题是相遇问题应用题，掌握路程、速度和时间三者之间的关系是解答本题的关键。 2．160 【分析】先分别算出甲乙的速度，再算出甲乙相遇时用了几个小时，再算出甲返回到A地时，距离乙从B地出发过去了几个小时，用12减去这几个小时再乘上乙的速度即可算出乙距离A地多少千米。 【详解】甲的速度：480÷6＝80（千米/时） 乙的速度：480÷12＝40（千米/时） 甲、乙相遇时间：480÷（80＋40） ＝480÷120 ＝4（小时） 乙距离出发的时间过去了：2×4＝8（小时） 所以乙距离到达A地的时间还剩：12－8＝4（小时） 所以乙距离A地的路程还剩：40×4＝160（千米） 答：乙距离A地还有160千米。 【点睛】本题考查了学生对问题的分析理解能力，对时间、路程、速度三者关系的熟练掌握程度。 3．4小时 【分析】根据“总路程÷速度和＝相遇时间”列式解答即可。 【详解】580÷（65＋80） ＝580÷145 ＝4（小时） 答：4小时后两车相遇。 【点睛】明确路程、速度、时间之间的关系是解答本题的关键。 4．（1）甲的速度是12千米/时，乙的速度是18千米/时 （2）48千米 【分析】（1）设甲的速度为2X，乙的速度为3X，相遇时甲用的时间是1.75小时，而乙用的时间是1.5小时，用他们的速度乘上行驶的时间就是他们走的路程，然后根据甲比乙少走6千米，列出方程求出X的值，进而求出甲乙的速度； （2）分别求出甲乙行驶的路程，然后相加即可求解。 【详解】（1）1小时45分＝1.75小时； 15分钟＝0.25小时； 1.75小时－0.25小时＝1.5小时； 解：设甲的速度为2X千米/时，乙的速度为3X千米/时。 1.75×2X＋6＝1.5×3X 3.5X＋6＝4.5X X＝6 甲的速度为：6×2＝12（千米/时） 乙的速度为：3×6＝18（千米/时） 答：甲的速度是12千米/时，乙的速度是18千米/时。 （2）12×1.75＋18×1.5 ＝21＋27 ＝48（千米） 答：A、B两地的距离是48千米。 【点睛】本题先把速度表示出来，再分别求出它们行驶的时间，然后根据他们路程之间的关系找出等量关系列出方程求解。 5．936米 【分析】平平家、丽丽家和学校在一条直路上，且平平家和丽丽家到学校的路程相等。由此判断平平家、丽丽家在学校的两侧。因为平平速度快，所以相遇的地点在学校到丽丽家那一段路上。相遇时平平比丽丽多走了2×36＝72米，平平每分钟比丽丽多走56－48＝8米，那么72米除以8米就是两人从出发到相遇走的时间，再根据“速度和×相遇时间＝路程”计算平平家和丽丽家相距多少米，据此解答。 【详解】 （米） 答：平平家和丽丽家相距936米。 【点睛】本题考查相遇问题，解题关键在于分析清楚平平在相遇时间内走完了相遇时丽丽走的距离和36米的2倍距离，再应用相遇问题的公式求解。 6．78米 【分析】题目中的数量关系是：总路程＝二人速度和×行驶时间＋相距距离342米，据此列出方程，根据等式的性质1和2，解方程。 【详解】解：设王明每分钟走x米，则刘凯每分钟走1.2x米。 （1.2x＋x）×6＋342＝1200 2.2x×6＝1200－342 13.2x＝858 x＝858÷13.2 x＝65 65×1.2＝78（米） 答：刘凯每分钟走78米。 【点睛】找到题目中的等量关系列出方程是解答此题的关键，还要灵活运用关系式“路程＝速度×时间”。 7．客车：55千米/小时    货车：62千米／小时 【详解】两车的速度和：468÷4=117（千米/小时） 根据和差公式，可得客车车速：（117-7）÷2=110÷2=55（千米/小时） 货车车速：55+7=62（千米／小时） 答：客车、货车的速度分别为55千米/小时、62千米／小时． 8．72千米 【分析】先根据速度＝路程÷时间，算出两车的速度和，然后根据比例3∶2，算出客车的速度即可。 【详解】两车的总速度为：480÷4＝120（千米/小时） 因为客车与货车的速度比是3∶2， 所以，客车的速度为： ＝ ＝72（千米/小时） 答：客车每小时行72千米。 【点睛】本题主要考查了相遇问题，以及成比例的量的求解，需要学生熟练掌握相遇问题中路程、速度、时间之间的关系。 9．（甲车行驶的速度＋乙车行驶的速度）×相遇时间＝甲、乙两地的路程；60千米 【分析】找出等量关系，即（甲车行驶的速度＋乙车行驶的速度）×相遇时间＝甲、乙两地的路程，据此设乙车每小时行x千米，列方程解答即可。 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 答：乙车每小时行60千米。 【点睛】明确题中的等量关系是解题的关键。 10．40千米；6小时 【分析】先根据“路程÷时间＝速度和”求出快车和慢车的速度和；再把速度和按3∶2分配分别求出两车的速度；最后根据“路程÷速度＝时间”求出快车行完全程的时间。 【详解】360÷3.6＝100（千米/时） 100÷（3＋2）＝20（千米/时） 快车的速度：20×3＝60（千米/时） 慢车的速度20×2＝40（千米/时） 360÷60＝6（小时） 答：慢车每小时行40千米，快车行完全程要6小时。 【点睛】明确相遇问题中的数量关系式及按比分配的方法是解决此题的关键。 11．1740千米 【详解】66×2＝132（千米）　　　132÷（78－67）＝12（小时） （78＋67）×12＝1740（千米） 答：A，B两城相距路程是1740千米。 12．325千米 【分析】由题意可知，两地之间的路程等于2.5小时两车行驶的距离加上还相距的15千米，根据速度×时间＝路程，据此分别求出两车行驶的距离，再加上15千米即可。 【详解】64×2.5＋60×2.5＋15 ＝160＋150＋15 ＝310＋15 ＝325（千米） 答：两地之间的路程是325千米。 【点睛】本题考查小数乘法，明确速度、时间和路程之间的关系是解题的关键。 13．5.5小时；467.5千米 【分析】相遇时两车行的路程和就是两地之间的距离，根据相遇问题的数量关系式：相遇时间＝路程÷速度和，可以计算出经过几时两车相遇，再用乙车速度乘相遇时间，可以计算出相遇地点距大连多少千米。 【详解】990÷（95＋85） ＝990÷180 ＝5.5（时） 85×5.5＝467.5（千米） 答：经过5.5时两车相遇；相遇地点距大连467.5千米。 【点睛】本题考查行程问题的解题方法，解题关键是掌握行程问题的数量关系，利用相遇时间＝路程÷速度和，路程＝速度×时间，列式计算。 14．6小时 【详解】560÷[120+(120+20)]=6(小时) 15．1140千米 【详解】晚上11时即为23时， (40+36)×(23-8) =76×15 =1140(千米) 答：两港口相距1140千米. 16．75 km 【详解】解：设乙车每小时行x km。 4.2（x＋x－15）＝567　 x＝75 答：乙车每小时行75千米。 17．231千米 【分析】这题我们可以用方程，根据关系式来列方程解决。两车合行4小时的路程＝两地的路程＋9千米＝甲车7小时行的路程＋9千米，据此数量关系来列方程。 【详解】解：设甲车每小时行x千米。 （x＋27）×4＝ 7x＋9 4x＋27×4＝7x＋9 7x－4x＝108－9 3x＝99 x＝33 7×33＝231千米 答：AB两地间的路程是231千米。 【点睛】解答此题的关键明确4小时相遇后又相距9千米表示甲、乙两车同时行4小时行了一个全路程多9千米。 18．（1）见详解 （2）9分钟 【分析】（1）用笑笑每分钟跑的路程除以小欣每分钟跑的路程，即（280÷320），求出相遇时笑笑跑的路程是小欣的，即把环湖公路一周的长度平均分成（7＋8）份，其中笑笑跑的占7份，小欣跑的占8份，据此估计两人相遇的地点，并在图中标出来。 （2）先把两人每分钟跑的路程相加，求出两人的速度和；根据相遇时间＝路程÷速度和，即可求出两人相遇需要的时间。 【详解】（1）两人相遇地点如图所示： （2）5400÷（280＋320） ＝5400÷600 ＝9（分钟） 答：9分钟后两人相遇。 19．500千米；25厘米 【分析】把两地之间的全程看作单位“1”，首先求得乙车速度，再根据速度和×时间＝共同行驶的路程，求出甲、乙两车3小时共行了多少千米，又知经过3小时两车还相距全程的10%（未相遇），即经过3小时后两车共行了全程的（1﹣10%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法解答可求得全程，再根据“实际距离×比例尺＝图上距离”解答即可。 【详解】（80×＋80）×3÷（1﹣10%） ＝150×3÷0.9 ＝450÷0.9 ＝500（千米） 500千米＝50000000厘米 50000000×＝25（厘米） 答：两地相距500千米，两地的距离画在比例尺1∶2000000的地图上，应该画25厘米长。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，以及百分数意义的应用，关键是找清单位“1”。 20．（1）19秒；（2）171秒 【分析】（1）这是一个相遇错车的过程，两列车共走的路程是两车车长之和。据此根据相遇时间＝路程和÷速度和求解即可； （2）这个一个超车过程，即追及问题。路程差为两车的车长和，根据追及时间＝路程差÷速度差求解即可。 【详解】（1）（250＋263）÷（15＋12） ＝513÷27 ＝19（秒） 答：两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要19秒。 （2）（250＋263）÷（15－12） ＝513÷3 ＝171（秒） 答：从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要171秒。 【点睛】利用相遇、追及公式巧解火车行程问题。理解掌握公式相遇时间＝路程和÷速度和，追及时间＝路程差÷速度差。 21．40千米 【分析】客车速度：货车速度=2：3，客车路程：货车路程=2：3，客车行驶的路程为2份，货车行驶的路程为3份，也就是说客车比货车少行了1份，少行了8千米；所以两城相距8÷=40千米． 【详解】8÷=40 (千米) 答：甲、乙两城相距40千米． 22．280千米或240千米 【分析】可能性一：两人还没相遇，用甲加上乙的速度乘行驶时间求出甲乙两人一共走的路程，再加上相距的距离即可； 可能性二：相遇后再分开，用甲加上乙的速度乘行驶时间求出甲乙两人一共走的路程，再减去相距的距离即可。 【详解】   （75＋55）×2＋20 ＝130×2＋20 ＝260＋20 ＝280（千米） （75＋55）×2－20 ＝130×2－20 ＝260－20 ＝240（千米） 答：A、B两地相距280或240千米。 【点睛】本题解题的关键是明确路程、时间和速度之间的关系。 23．2.5小时 【分析】根据实际距离＝图上距离∶比例尺，用4.8÷即可求出A、B两地的实际距离，然后换算成千米；再根据相遇时间＝路程和÷速度和，用A、B两地的实际距离除以甲、乙的速度和，即可求出两人几小时后相遇。 【详解】4.8÷ ＝4.8×2500000 ＝12000000（厘米） 12000000厘米＝120千米 120÷（12＋36） ＝120÷48 ＝2.5（小时） 答：两人2.5小时后相遇。 【点睛】本题主要考查了图上距离和实际距离的换算以及相遇问题。 24．9分钟 【分析】走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12＝3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段． 【详解】36÷12＝3 小张花费的时间是36÷（3＋1）＝9（分钟）. 答：两人在9分钟后相遇. 25．① ②见详解 【分析】①根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以孔雀园的位置为观测点即可确定猴山、大象馆的方向；根据猴山、大象馆与孔雀园的实际距离，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”计算出猴山、大象馆与孔雀园的图上距离，进而即可画出猴山大象馆的位置。 ②根据“时间＝路程÷速度”求出赵宁从猴山到孔雀园（或李强从大家馆到孔雀园）所用的时间，再根据“路程＝速度×时间”计算出李强（或赵宁）所行的路程即可确定他们能否在孔雀园相遇。 【详解】①200米厘米，250米厘米 （厘米） （厘米） 即猴山在孔雀园北偏西图上距离2厘米处，大象馆在孔雀园南偏东图上距离2.5厘米外。在图中画出这两处如下图： ②（分钟） （米） 赵宁从猴山到孔雀园用2.5分钟，2.5分钟李强从大象馆正好到孔雀园。 答：他们能在孔雀园正好相遇。 【点睛】①此题考查了利用方向与距离在平面图中确定物体位置的方法以及比例尺的灵活应用及路程、速度、时间三者之间的关系。 26．100千米 【分析】根据甲的速度比乙的速度快50%，这句话，我们可以知道甲的速度就是乙的速度的（1＋0.5），乙的速度是单位1，那么我们甲的速度就是1.5，甲的速度和乙的速度之比就是1.5∶1＝3∶2，速度比是3∶2，时间不变，路程比也是3∶2，我们就可以知道全程被平均分成了5等份，而甲比乙多180千米，甲和乙相遇的路程和就是5等份，路程差根据画图我们可以知道，甲是3份，乙是2份，180千米是1份，可以求得全程，再求出甲的速度，乙的速度。 【详解】1×（1＋50%）＝1.5 甲的速度∶乙的速度＝3∶2，全程为5等份，甲的路程与乙的路程比之差就是180千米， 180×5＝900（千米） 900÷6＝150（千米） 150÷1.5＝100（千米） 答：乙的速度是100千米/时。 【点睛】掌握比的知识，路程速度时间的关系。 27．850海里 【分析】（1）先求出两船的速度和，再根据路程速度×时间，即可解答。 （2）根据路程速度×时间，求出甲船和乙船各自的路程，再把甲船的路程加上乙船的路程，即是全程。 【详解】方法一：（48＋52）×8.5 ＝100×8.5 ＝850（海里） 方法二：48×8.5＋52×8.5 ＝408＋442 ＝850（海里） 答：两个码头间的距离是850海里。 【点睛】本题关键是熟记路程、速度、时间三者之间的关系。 28．1800千米 【分析】根据路程＝速度×时间，分别求出两车行驶的路程，再将两个路程相加，求出总路程，也就是A、B两地的距离。 【详解】68×12＋82×12 ＝816＋984 ＝1800（千米） 答：A、B两地相距1800千米。 【点睛】本题考查行程问题，关键是根据路程、速度和时间三个量之间的关系解答。 29．176千米 【分析】甲车速度是乙车的1.2倍，甲、乙两车速度比是6：5，相遇时甲车和乙车行驶的路程比是6：5，甲车行驶的路程为6份，乙车行驶的路程为5份，甲车比乙车多行驶了1份路程，一份是2×8=16千米，A、B两地的距离就是11×16=176千米． 【详解】2×8×（6+5）=176(千米) 答：A、B两地相距176千米． 30．6.5小时 【分析】根据题意可知，（甲的速度＋乙的速度）×相遇时间＝总路程和，据此设x小时后两车相遇，列方程为（66＋78）x＝936。然后解出方程即可。 【详解】解：设x小时后两车相遇。 （66＋78）x＝936 144x＝936 144x÷144＝936÷144 x＝6.5 答：6.5小时后两车相遇。 【点睛】本题主要考查了列方程解决问题，找到相应的关系式是解答本题的关键。 31．260千米 【分析】两车相向而行，当两车第一次相遇时，行驶路程和就是A、B两地的距离。当两车到达对方出发地后立即返回，然后两车第二次相遇，此时行驶路程和是3个A、B两地的距离。先将两车速度相加，再乘行驶时间，求出行驶路程和，再除以3，即可求出A、B两地的距离。 【详解】（105＋90）×4÷3 ＝195×4÷3 ＝780÷3 ＝260（千米） 答：A、B两地相距260千米。 【点睛】本题考查相遇问题，可以通过画图理解题意，关键是明确第二次相遇时行驶路程和是3个A、B两地的距离。 32．42分钟 【详解】解法一：由题目可知小张、小李、小王都是以匀速前进，且无论相遇点之前和相遇点之后总行程都相等，所以我们应当使用“路程相同，速度比等于时间的反比”这条比例关系来解答本题． 首先，小张和小李的相遇前后的两个追及，相遇前的追及路程为小张行走一小时的路程，相遇后的追及路程为小张行走24分钟的路程，所以追及路程比为60：24=5：2，两人速度都不变，所以速度差也不变，所以追及时间比为5：2，所以小李前后行走的时间比也是5：2，即前后两段路程比为5：2． 其次，小王和小张的前后两个追及问题：由于前后路程比为5：2，所以小王的行走时间比为5：2，也即是追及时间比为5：2，速度都不变，所以追及路程比为5：2， 而前段追及路程是小张行走60+45=105分钟的路程，所以后段追及路程是小张行走105÷5×2=42（分钟）所行走的路程，即小王比小张早42分钟到达． 解法二：运用折线示意图，结合基本几何知识，整个行程过程和其中的数量关系即可一目了然，即： ，解得，t=42． 33．88千米或68千米 【分析】由于距离中点20千米处相遇，说明快车比慢车多走20×2＝40（千米），可以设甲车平均每小时x千米，由于不知道是甲车速度快还是乙车速度快，则有两种情况，当甲车速度快时，甲车路程－乙车路程＝40；当乙车速度快时，乙车路程－甲车路程＝40，据此即可列方程。 【详解】解：设甲车平均每小时行x千米。 4x－78×4＝40 4x－312＝40 4x－312＋312＝40＋312 4x＝352 4x÷4＝352÷4 x＝88 78×4－4x＝40 312－4x＝40 4x＝312－40 4x＝272 4x÷4＝272÷4 x＝68 答：甲车平均每小时行88千米；或甲车平均每小时行68千米。 【点睛】本题主要考查列方程解应用题，关键要清楚甲的速度可能比乙快，甲的速度也可能比乙慢。 34．货车：50千米；客车：60千米 【分析】设货车每小时行x千米，依据“客车的速度是货车速度的1.2倍”，则客车每小时行1.2x千米。根据速度和×时间＝路程，列方程解答。 【详解】解：设货车每小时行驶x千米，则客车每小时行驶1.2x千米。 （1.2x＋x）×3＝330 2.2x×3＝330 2.2x×3÷3＝330÷3 2.2x＝110 2.2x÷2.2＝110÷2.2 x＝50 50×1.2＝60（千米） 答：货车每小时行驶50千米，客车每小时行驶60千米。 35．360千米 【分析】相遇时甲船行驶了全程的，说明甲船行驶了3份，全程是7份，那么乙船行驶了4份，而且乙船的速度块，故甲船的速度：乙船的速度＝3∶4，最后甲船到达B港口，乙船到达A港口，那么路程一定，故甲船的用的时间∶乙船用的是时间＝4∶3，所以乙船一共用的时间＝甲船一共用了的时间÷4×3，故A、B两个港口之间的距离＝乙船一共用的时间×乙船的速度。 【详解】3∶（7－3）＝3∶4   （16÷4×3）×30 ＝（4×3）×30 ＝12×30 ＝360（千米） 答：A、B两个港口相距360千米。 【点睛】明确先求出乙船所用的时间，再根据路程＝速度×时间公式是解决本题关键。 36．3小时 【分析】此题为相遇问题，先求出甲船从A港顺水出发1小时所行驶的路程，用242减去该路程，就是乙船从B港出发时两船的相距路程，因为甲船顺水行驶，乙船逆水行驶，根据顺水速度＝静水船速＋水速，逆水速度＝静水速度－水速，分别求出两船的实际行驶速度，再由相遇时间＝路程÷速度和，即可求解。 【详解】乙船出发时，两船相距路程： 242－（36＋14）×1 ＝242－50 ＝192（千米） 两船速度和： （36＋14）＋（28－14） ＝36＋14＋28－14 ＝36＋28 ＝64（千米/小时） 相遇时间： 192÷64＝3（小时） 答：乙船出发后3小时与甲船相遇。 【点睛】本题考查流水行船问题，解决此类问题的关键是灵活运用速度、时间和路程之间的关系，并注意是顺水还是逆水行驶，相关公式如下： 速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度，路程＝速度×时间 顺水速度＝静水速度＋水速，逆水速度＝静水速度－水速 相遇时间＝路程÷速度和，追及时间＝路程÷速度差 37．100千米 【分析】把甲车的速度看作单位“1”，则乙车的速度为，路程÷相遇时间＝速度和，用速度和÷（1＋），即可求出单位“1”甲车的速度。 【详解】540÷3÷（1＋） ＝180÷ ＝100（千米） 答：甲车平均每小时行驶100千米。 【点睛】此题考查了相遇问题，找准单位“1”，以及速度和对应的分率是解题关键。 38．440千米 【分析】甲、乙两城的距离＝货车（2＋2.5）小时行驶的路程＋客车2.5小时行驶的路程，根据路程＝速度×时间解答即可。 【详解】（2＋2.5）×60＋2.5×68 ＝270＋170 ＝440（千米） 答：甲、乙两城相距440千米。 【点睛】本题考查相遇问题、小数乘法，解答本题的关键是理解甲、乙两城的距离＝货车（2＋2.5）小时行驶的路程＋客车2.5小时行驶的路程。 39．16时30分 【分析】相遇时间=相遇路程÷速度和，据此求出相遇的时间，最后求出它们相遇时是几时几分即可。 【详解】时间： （小时） 2.5小时=2时30分 14时2时30分=16时30分 答：它们相遇时是16时30分。 【点睛】本题考查行程问题，解答本题的关键是掌握相遇问题中的数量关系。 40．客车速度60千米/小时，货车速度90千米/小时 【分析】假设客车的速度是每小时x千米，根据客车和货车的速度比2∶3，可知货车的速度是客车的，货车的速度就是x千米/小时，根据速度和×相遇时间＝路程列出方程解答即可。 【详解】解：设客车速度为x千米/小时。 2.5x×3＝450 7.5x＝450 x＝60 货车：（千米/小时） 答：客车的速度是60千米/小时，货车的速度是90千米/小时。 【点睛】解答此题的关键是找出客车和货车的速度之间的关系，再根据速度和×相遇时间＝路程列出方程。 41．1040千米 【详解】相遇时,客车比货车多行了：40×2＝80千米 相遇时间是：80÷（56－48）＝10小时 甲、乙两车站相距：（56＋48）×10＝1040千米 42．甲车60千米/小时；乙车90千米/小时 【详解】5÷＝30000000（厘米）＝300（千米） 300÷2＝150（千米/小时） 150×＝60（千米/小时） 150﹣60＝90（千米/小时） 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是90千米/小时． 43．6小时；324千米；276千米 【分析】路程÷速度和＝相遇时间，600除以两车的速度和等于两车相遇的时间，然后用各自的速度乘相遇时间得出各自行驶的路程，据此即可解答。 【详解】600÷（54＋46） ＝600÷100 ＝6（小时） 54×6＝324（千米） 46×6＝276（千米） 答：6小时相遇，相遇时一辆车行驶了324千米，另一辆车行驶了276千米。 【点睛】本题主要考查学生对路程、速度和时间三者关系的掌握。 44．770米 【分析】先求出小明提前3分钟所走的路程，用总路程－小明前3分钟所走的路程＝两人合走的路程；再根据时间＝路程÷速度和求出合走路程所需要的时间，进而得出小明到学校所用的总时间；最后根据路程＝时间×速度，求出小明家到学校的距离即可。 【详解】70×3＝210（米） 两家之间的所剩路程是：1410－210＝1200（米） 两人的速度和是：70＋80＝150（米） 所剩路程需：1200÷（70＋80） ＝1200÷150 ＝8（分钟） 小明家距离学校：70×（8＋3） ＝70×11 ＝770（米） 答：小明家距离学校有多远770米。 【点睛】本题考查学生对速度＝路程\时间这一公式的运用，解答时需要结合题目实际进行灵活运用。 45．（1）见详解 （2）30秒；90厘米 【分析】（1）因为哥哥的速度快，所以相遇时哥哥行的路程要多些，应该在两地中点偏右的位置。 （2）根据相遇时间＝路程÷速度和，可以计算出它们相遇的时间；再用弟弟的速度乘相遇时间，即可求出相遇点距洞口多远。 【详解】（1）作图如下： （2）240÷（5＋3） ＝240÷8 ＝30（秒） 30×3＝90（厘米） 答：30秒后相遇，相遇地点距洞口90厘米。 【点睛】此题属于行程问题中的相遇问题，还可以利用等量关系列方程解答。 46．悟空135千米，八戒120千米 【详解】要求他们各行了多少千米，那么就必须知道他们行驶的时间：（小时）．悟空：（千米），八戒：（千米）． 47．甲135千米，乙120千米 【详解】根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），所以甲走的路程为：45×3=135（千米），乙走的路程为：40×3=120（千米）. 48．云云：65米；青青：78米 【分析】青青走路的速度是云云的1.2倍，可以设云云的速度是x米每分钟，青青的速度是1.2x米每分钟，依据相遇问题的公式作为等量关系即可，相遇总路程＝速度和×时间。 【详解】解：设云云每分钟走x米，青青每分钟走1.2x米。 （x＋1.2x）×5＝715 2.2x×5＝715 11x＝715 11x÷11＝715÷11 x＝65 1.2×65＝78（米） 答：云云每分钟走65米，青青每分钟走78米。 【点睛】两个未知量之间有倍数关系，可以设较小数为未知数，较大数为倍数乘未知数。 49．12千米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出甲、乙两地之间的实际距离；路程÷相遇时间＝速度和，已知客车和货车的速度比是5∶4，客车速度就是速度和的，货车的速度就是速度和的，利用速度和乘－的差，就是客货两车的速度差。 【详解】18×3000000÷100000 ＝540千米 540÷5×（－） ＝108× ＝12（千米） 答：客车与货车的速度差是12千米。 【点睛】此题是一道有关比例尺、相遇问题、和按比例分配知识的应用题，要认真审题，求实际距离时注意变换单位。 50．15千米/小时 【详解】解法一：水速对于相遇和追及的时间不产生影响，对本题整个行程过程进行分析，我们可以找出其中隐含的数量关系。首先，两艘船从相距15千米的两港出发后5小时，其中一艘船赶上另一艘船。所以货船静水速度－游船静水速度＝15÷5＝3（千米/小时）。其次，相遇后一小时，因为两艘船的速度差为3千米/小时，所以一小时后两船之间的距离为3千米。又过了6分钟，货船与物品之间距离可以表示为：货船静水速度×6分钟，因此货船回去找物品所需要的时间为：货船静水速度×6分钟÷货船静水速度＝6分钟，所以从物品掉落到两艘船相遇，共过了12分钟。12分钟＝0.2小时，游船静水速度×0.2小时＝3千米，游船的静水速度为15千米/小时。 解法二：将这道问题放到流水这个参照系中来看，因为以流水为参照物，游船、货船都是以静水速度运动，而物品相当于停留在原地不动，货船六分钟后发现物品丢失，所以返回到物品处也是花了六分钟，那么游船在此12分钟之内行完之前两船一小时之内拉开的距离3千米，所以直接求出游船的静水速度：3÷＝15（千米/小时）。 51．270千米 【分析】两车相遇的时间是2小时，速度之和是60＋75＝135千米/小时，所以两地相距135×2＝270千米。 【详解】（60＋75）×2 ＝135×2 ＝270（千米） 答：两地相距270千米。 【点睛】本题主要考查了相遇问题的实际应用。解答相遇问题的关键是要弄清速度和、路程和与相遇时间的对应关系。 52．52米 【分析】根据“速度×时间＝路程”可得等量关系：（李倩的速度＋小琪的速度）×相遇时间＝两家的距离，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设小琪平均每分钟走米。 （72＋）×5＝620 （72＋）×5÷5＝620÷5 72＋＝124 72＋－72＝124－72 ＝52 答：小琪平均每分钟走52米。 【点睛】本题考查列方程解决问题，根据速度、时间、路程之间的关系得出等量关系，按等量关系列出方程。 53．（1）见详解 （2）1.5时 【分析】（1）相遇时用的时间相同，王阿姨汽车的速度慢，所以王阿姨走的路程要小于路程的一半，据此作答； （2）设出发后x时相遇，等量关系为：（王阿姨汽车的速度＋张叔叔汽车的速度）×相遇时间＝公园距天桥的距离，据此列方程解答。 【详解】（1）（答案不唯一） （2）解：设出发后x时相遇 （40＋60）x＝150 100x＝150 x＝1.5 答：出发后1.5时相遇。 【点睛】列方程是解答应用题的一种有效的方法，解题的关键是弄清题意，找出应用题中的等量关系。 54．660千米 【分析】由于6小时在离中点30千米处两车相遇，说明6小时快车比慢车多走30×2＝60（千米），由于6小时多走60千米，即一小时多走：60÷6＝10（千米），由于相遇后，快车又用5小时到达乙地，说明快车从甲地走到乙地一共用了：6＋5＝11小时，可以设慢车每小时行驶x千米，即快车每小时行驶：（x＋10）千米，6小时快车和慢车走的路程＝11小时快车走的路程，由此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。 【详解】30×2＝60（千米） 60÷6＝10（千米/小时） 解：设慢车每小时行驶x千米，即快车每小时行驶：（x＋10）千米 6×（x＋x＋10）＝（6＋5）×（x＋10） 6×2x＋6×10＝11x＋11×10 12x＋60＝11x＋110 12x－11x＝110－60 x＝50 50＋10＝60（千米/小时） 60×（5＋6） ＝60×11 ＝660（千米） 答：甲乙两地间的路程是660千米。 【点睛】本题主要考查列方程解应用题以及相遇问题的公式，要注意找准等量关系是解题的关键。 55．货车的速度是45千米/时，客车的速度是75千米/时 【分析】考查相遇问题的基本数量关系以及按比例分配的知识。 【详解】根据相遇问题中，总路程÷时间＝速度和，可得480÷4＝120千米。再结合题意“货车和客车的速度比是3∶5”，可得货车的速度120×＝45千米/时，客车的速度120×＝75千米/时。 解题方法不唯一。 【点睛】可以先求出速度和，再按比例分配求各自的速度；也可以先按比例分配求出各自行驶的路程，再求出各自的速度。 56．5.25小时 【详解】两车相遇后客车行驶路程：90×4=360（千米） 东、西两站相距：270+360=630（千米） 两车相遇时间：270÷90=3（小时） 货车速度：360÷3=120（千米/小时） 货车行驶完全程所用时间：630÷120=5.25（小时） 答：货车行驶完全程所用的时间为5.25小时． 学科网（北京）股份有限公司 $$