专题10 二次函数的实际应用&二次函数的综合压轴题（三大题型）【好题汇编】-2024年中考数学二模试题分类汇编（北京专用）

专题10 二次函数的实际应用&二次函数的综合压轴题 二次函数的实际应用 1．（2024•朝阳区校级二模）某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W（元）． （1）分别求出y与x，W与x的函数解析式； （2）当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价； （3）为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？ 2．（2024•朝阳区校级二模）小颖家附近广场中央计划新建造个圆形的喷水池．在水池中央垂直于地面处安装个柱子，在柱子顶端A处安装一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示．已知柱子在水面以上部分OA的高度为1.25m，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在距离柱子1m处达到距离水平面最高，且最高为2.25m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求水流抛物线在第一象限内对应的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）； （2）若不计其他因素，则水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落到池外？ 3．（2024•海淀区校级模拟）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米． d（米） 0 1 2 3 4 … h（米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 … 请解决以下问题： （1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接． （2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为 　 米（精确到0.1）； （3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险． 4．（2024•海淀区校级模拟）如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.3m的树，距离这棵树10m的N处有一面高2.2m的围墙．建立如图所示的平面直角坐标系．已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a＜0）. （1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下： x 0 2 6 10 12 14 16 y 0 0.88 2.16 2.80 2.88 2.80 2.56 ①根据上述数据．求这些数据满足的函数关系； ②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由． （2）某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04x2+bx．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式： （A）﹣0.04×82+8b＞2.3； （B）﹣0.04×182+18b＞2.2； （C）﹣0.04×182+18b＜2.2； （D） ． 其中正确的不等式是 　 　．（填上所有正确的选项） 5．（2024•海淀区校级模拟）如图1是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的跨度AB为12米，拱桥顶面最高处到水面的距离CD为4米． （1）在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点A，B，C，并用平滑曲线连接； （2）结合（1）中所画图象，求出该抛物线的表达式； （3）现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，顶棚到水面的高度为2.8米．当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于0.5米，请判断该游船能否安全通过此拱桥． 6．（2024•西城区校级模拟）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米，下面的表中记录了d与h的五组数据： d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 根据上述信息，解决以下问题： （1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象； （2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝　 ； （3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 7．（2024•东城区校级二模）“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图1，北京地铁（BeijingSubway）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． （1）建立模型 ①收集数据 r（秒） 0 4 8 12 16 20 24 … s（米） 256 196 144 100 64 36 16 … ②建立平面直角坐标系 为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系． ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是 　　 函数的图象． ⑤求函数解析式 解：设s＝at2+bt+c（a≠0），因为t＝0时，s＝256，所以c＝256，则s＝at2+bt+256． 请根据表格中的数据，求a，b的值． 验证：把a，b的值代入s＝at2+bt+256中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式． （2）应用模型 列车从减速开始经过 　 　秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为 　 米． 二次函数的综合应用 8．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx． （1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式； （2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）； （3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围． 9．（2024•海淀区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线，且经过点A（2，2）． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＞1时，对于x的每一个值，一次函数y＝kx+b（k≠0）的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 10．（2024•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2． （1）若抛物线经过点（4，c）， ①求抛物线的对称轴； ②当x1+x2＞4时，比较y1，y2的大小，并说明理由； （2） 设抛物线的对称轴为直线x＝t，若存在实数m，当t≤m时，x1＝m，x2＝m+1，都有|y1﹣y2| 11．（2024•大兴区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（2，2）． （1）用含a的代数式表示b＝　 　； （2）若直线y＝x与抛物线y＝ax2+bx+2相交所得的线段长为，求a的值； （3）若抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于M（x1，0）和N（x2，0）两点（x1＜x2），且2x1+x2＞0，直接写出a的取值范围． 12．（2024•黄埔区校级二模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，过抛物线的顶点D作DM⊥x轴于点M，点N在y轴正半轴上，∠NMO＝60°，点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，交x轴于点E，交直线MN于点F． （Ⅰ）若a＝﹣1，c＝3． ①求抛物线顶点D和点A的坐标； ②若点P在第一象限，过点P作PH垂直直线MN于点H，PH，求点E的坐标； （Ⅱ）若c＝﹣3a，（a＜﹣1），点P与点C关于抛物线的对称轴对称，射线PC交直线MN于点G，当2NCMF＝7时，求顶点D的坐标． 13．（2024•海淀区校级三模）已知平面直角坐标系xOy，抛物线M1：y＝ax2+x+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4），把抛物线M1向下平移得到抛物线M2，设抛物线M2的顶点为D，与y轴交于点E，直线DE与x轴交于点P． （1）求抛物线M1的表达式； （2）当点P与点A重合时，求平移的距离； （3）联结AD，如果∠ADP与∠ACB互补，求点D的坐标． 14．（2024•海淀区校级三模）如图，平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2x+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A（3，0），OA＝OC，P是第一象限内二次函数图象上一动点，过点P作PG⊥AB于点G，交AC于点H． （1）求二次函数的表达式． （2）求PH+HC的最大值． （3）如图2，过点H作AC的垂线，交y轴于点M，交二次函数图象的对称轴l于点N，连接GM、GN，是否存在点P使得∠MGN＝45°？若存在，直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 15．（2024•西城区校级二模）如图，直线y与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点P在直线AB上，与x轴的交点为C，D，其中点C的坐标为（2，0），直线BC与直线PD相交于点E． （1）如图2，若抛物线经过原点O． ①求该抛物线的函数表达式； ②求的值． （2）连结PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明理由． 函数的新定义的综合应用 16．（2024•门头沟区二模）对于关于x的一次函数y＝kx+b（k≠0），我们称函数为一次函数y＝kx+b（k≠0）的n级衍生函数（其中n为常数）． 例如，y＝﹣4x+1的3级衍生函数为：当x＜3时，y{x}＝﹣4x+1；当x≥3时，y{x}＝4x﹣1． （1）如果y＝x+1的4级衍生函数为y{4}， ①当x＝3时，y{4}＝　 　； ②当时，x＝　 　． （2）如果y＝2x+1的﹣2级衍生函数为y{﹣2}，求双曲线与y{﹣2}的图象的交点坐标； （3）如果以点A（0，t）为圆心，2为半径的⊙A与y＝﹣x+2的﹣1级衍生函数y{﹣1}的图象有交点，直接写出t的取值范围． 17．（2024•东城区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，M为⊙O上一点，点N（0，﹣2）． 对于点P给出如下定义：将点P绕点M顺时针旋转90°，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P关于点M，N的“中旋点”． （1）如图1，已知点P（4，0），点Q为点P关于点M，N的“中旋点”． ①若点M（0，1），在图中画出点Q，并直接写出OQ的长度为 　 　； ②当点M在⊙O上运动时，直线y＝x+b上存在点P关于点M，N的“中旋点”Q，求b的取值范围； （2）点P（t，0），当点M在⊙O上运动时，若⊙O上存在点P关于点M，N的“中旋点”Q，直接写出t的取值范围． 18．（2024•海淀区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如下定义：线段MN关于直线l的对称线段为M′N′（M′，N′分别是M，N的对应点）．若MN与M′N′均与图形W（包括内部和边界）有公共点，则称线段MN为图形W关于直线l的“对称连接线段”． （1）如图1，已知圆O的半径是2，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，是⊙O关于直线y＝x﹣1的“对称连接线段”的是 　 　． （2）如图2，已知点P（0，1），以O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段OP是正方形ABCD关于直线y＝kx+2的“对称连接线段”，求k的取值范围． （3）已知⊙O的半径为r，点M（1，0），线段MN的长度为1．若对于任意过点Q（0，2）的直线l，都存在线段MN是⊙O关于l的“对称连接线段”，直接写出r的取值范围． 19．（2024•西城区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙G和线段AB给出如下定义：如果线段AB上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在⊙G外，则称线段AB为⊙G的“交割线段”． （1）如图，⊙O的半径为2，点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，0）． ①在△ABC的三条边AB，BC，AC中，⊙O的“交割线段”是 　 　； ②点M是直线OB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，若线段MN是⊙O的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围； （2）已知三条直线y＝3，y＝﹣x，y＝﹣2x+3分别相交于点D，E，F，⊙T的圆心为T（0，t），半径为2，若△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交割线段”，直接写出t的取值范围． 20．（2024•大兴区校级模拟）在平面上任取一个△ABC，则可以定义面积坐标：对平面内任一点P，记S1＝S△PAB，S2＝S△PAC，S3＝S△PBC（若点P恰好在△ABC的某条边所在的直线上，则记相应三角形的面积为0），则点P的面积坐标记为{s1，s2，s3}．已知：在△ABC中，B（﹣3，0），C（3，0）． （1）如图1，若点A的坐标为（0，3）． ①写出点D（1，0）的面积坐标 　 　； ②已知几个点的面积坐标分别为：E{3，3，3}，F{0，2，7}，G{5，5，1}，H{2，2，5}，则其中不在△ABC内部的点是 　F、G　； （2）把平面内一点M（x，y）的面积坐标记为{m1，m2，m3}． ①如图2，当点A的坐标为（﹣3，3）时，若m1＝m3，试探究y与x之间的关系； ②当点A的坐标为（0，3）时，点M在以点T（3，t）为圆心，半径为1的圆上运动，若点M的面积坐标始终满足|m1+m2﹣m3|＝9，直接写出t的取值范围． 21．（2024•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，以AB为边作平行四边形ABCD．对于平行四边形ABCD和弦AB，给出如下定义：若边CD所在直线是⊙O的切线，则称四边形ABCD是弦AB的“弦切四边形”． （1）若点A（0，﹣1），C（1，0），四边形ABCD是弦AB的“弦切四边形”，在图中画出“弦切四边形”ABCD，并直接写出点D的坐标； （2）若弦AB的“弦切四边形”为正方形，求AB的长； （3）已知图形M和图形N是弦AB的两个全等的“弦切四边形”，且均为菱形，图形M与N不重合．P，Q分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，记PQ的长为t，直接写出t的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 二次函数的实际应用&二次函数的综合压轴题 二次函数的实际应用 1．（2024•朝阳区校级二模）某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W（元）． （1）分别求出y与x，W与x的函数解析式； （2）当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价； （3）为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？ 【分析】（1）设y＝kx+b（k≠0），把（15，500），（35，100）代入后可得k和b的值，即可得到y与x的关系式；每月销售该商品获得的利润＝每件商品的利润×销售量，把相关数值代入后化简可得W与x的函数解析式； （2）取W＝4000，代入（1）中得到的W与x的函数解析式，即可求得利润为4000元时该商品的定价； （3）根据W与x的函数解析式中的二次项的系数为负数可得二次函数的图象的开口方向向下，那么x时，W有最大值，代入函数解析式求解即可得到最大利润是多少． 【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0）． ∴． 解得：． ∴y与x的函数解析式为：y＝﹣20x+800； W＝（﹣20x+800）（x﹣10）＝﹣20x2+1000x﹣8000； 答：y与x的函数解析式为：y＝﹣20x+800；W＝﹣20x2+1000x﹣8000； （2）当w＝4000时， 4000＝﹣20x2+1000x﹣8000． x2﹣50x+60＝0． （x﹣20）（x﹣30）＝0． 解得：x1＝20，x2＝30． 答：当商场每月销售该商品的利润为4000元时，该商品的定价为20元/件或30元/件； （3）∵﹣20＜0， ∴二次函数的开口方向是向下． ∴x25时，w最大，最大值为：（﹣20×25+800）（25﹣10）＝4500（元）． 答：为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为25元/件，最大利润是4500元． 【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：函数图象为直线（射线或线段），解析式可设为：y＝kx+b（k≠0）；二次函数的二次项系数小于0，图象的开口方向向下，当x时，二次函数有最大值． 2．（2024•朝阳区校级二模）小颖家附近广场中央计划新建造个圆形的喷水池．在水池中央垂直于地面处安装个柱子，在柱子顶端A处安装一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示．已知柱子在水面以上部分OA的高度为1.25m，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在距离柱子1m处达到距离水平面最高，且最高为2.25m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求水流抛物线在第一象限内对应的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）； （2）若不计其他因素，则水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落到池外？ 【分析】（1）依据题意，以柱子OA所在的直线为y轴，垂直于OA的直线为x建立平面直角坐标系，根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式得出二次函数解析式； （2）依据题意，令y＝0，则﹣（x﹣1）2+2.25＝0，求出x的值即可得解． 【解答】解：（1）由题意，以柱子OA所在的直线为y轴，垂直于OA的直线为x建立平面直角坐标系， ∵顶点为（1，2.25）， ∴可设解析式为y＝a（x﹣1）2+2.25过点（0，1.25）． ∴解得a＝﹣1． ∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.25． （2）由（1）可知：y＝﹣（x﹣1）2+2.25， 令y＝0， ∴﹣（x﹣1）2+2.25＝0． ∴解得x＝2.5 或x＝﹣0.5（舍去）． ∴花坛半径至少为2.5m． 【点评】此题主要考查了二次函数的实际应用，根据实际问题运用二次函数最大值求二次函数解析式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 3．（2024•海淀区校级模拟）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米． d（米） 0 1 2 3 4 … h（米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 … 请解决以下问题： （1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接． （2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为 　 米（精确到0.1）； （3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险． 【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可； （2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的坐标，设二次函数的顶点式，求解即可； （3）把x＝1.5代入关系式，计算出y的值与4.5比较即可． 【解答】解：（1）如图所示： （2）由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米； 根据图象设二次函数的解析式为y＝a（x﹣3）2+5.6， 将（0，2）代入y＝a（x﹣3）2+5.6得a＝﹣0.4， ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.4（x﹣3）2+5.6， 当y＝0时，0＝﹣0.4（x﹣3）2+5.6， 解得x＝3或3（舍去）， 所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为（3）米， 故答案为：2，（3）； （3）当x＝3﹣1.5＝1.5时，y＝﹣0.4×2.25+5.6＝4.7＞4.5， 答：游船没有被喷泉淋到的危险． 【点评】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型． 4．（2024•海淀区校级模拟）如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.3m的树，距离这棵树10m的N处有一面高2.2m的围墙．建立如图所示的平面直角坐标系．已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a＜0）. （1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下： x 0 2 6 10 12 14 16 y 0 0.88 2.16 2.80 2.88 2.80 2.56 ①根据上述数据．求这些数据满足的函数关系； ②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由． （2）某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04x2+bx．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式： （A）﹣0.04×82+8b＞2.3； （B）﹣0.04×182+18b＞2.2； （C）﹣0.04×182+18b＜2.2； （D） ． 其中正确的不等式是 　 　．（填上所有正确的选项） 【分析】（1）①由表格中数据，用待定系数法求出函数解析式即可； ②把x＝8代入①中解析式求出y的值与2.3比较即可； （2）根据题意可知当x＝8时y＞2.3，当x＝18时y＜2.2以及对称轴直线x＜9即可判断． 【解答】解：（1）①根据抛物线过原点，设抛物线解析式为y＝ax2+bx， 把x＝2，y＝0.88和x＝6，y＝2.16代入y＝ax2+bx得： ， 解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣0.02x2+0.48x； ②当x＝8时，y＝﹣0.02×82+0.48×8＝2.56， ∵2.56＞2.3， ∴喷水头喷出的水柱能越过这棵树； （2）∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树， ∴当x＝8时，y＞2.3， 即﹣0.04×82+8b＞2.3， 故A正确，符合题意； ∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外， ∴当x＝18时，y＜2.2， 解﹣0.04×182+18b＜2.2， 故B不正确，不符合题，C正确，符合题意； 抛物线对称轴为x， ∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外， ∴9， 故D不正确，不符合题意． 故答案为：A、C． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式和函数性质的应用． 5．（2024•海淀区校级模拟）如图1是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的跨度AB为12米，拱桥顶面最高处到水面的距离CD为4米． （1）在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点A，B，C，并用平滑曲线连接； （2）结合（1）中所画图象，求出该抛物线的表达式； （3）现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，顶棚到水面的高度为2.8米．当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于0.5米，请判断该游船能否安全通过此拱桥． 【分析】（1）过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系即可； （2）待定系数法求抛物线的表达式即可； （3）游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为 x﹣6．游船也关于直线x＝6 对称，宽度为4米，对称轴左右两边各2米，当 x﹣6﹣2＝4时，求出y的值，再进行比较即可 【解答】解：（1）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， （2）根据题意得：A（0，0），B（12，0）， 根据交点式，设抛物线的表达式为 y＝a（x﹣0）（x﹣12）＝ax2﹣12ax， 代入点C（6，4）得：36a﹣72a＝4， 解得a， ∴抛物线的表达式为 ； （3）能安全通过，理由如下： 游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为x＝6，游船也关于直线x﹣6对称， 宽度为4米，对称轴左右两边各2米， 当x﹣6﹣2＝4时，， ∵2.8≈0.76＞0.5， ∴该游船能安全通过此拱桥． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 6．（2024•西城区校级模拟）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米，下面的表中记录了d与h的五组数据： d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 根据上述信息，解决以下问题： （1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象； （2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝　 ； （3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 【分析】（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可； （2）观察图象即可得出结论； （3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可． 【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示： （2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为x＝2，此时最高， 即m＝1.5， 故答案为：1.5； （3）根据图象可设二次函数的解析式为：h＝a（d﹣2）2+1.5， 将（0，0.5）代入h＝a（d﹣2）2+1.5，得a， ∴抛物线的解析式为：hd2+d+0.5， 设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：hd2+d+0.5+n， 由题意可知，当横坐标为2时，纵坐标的值大于1.5+0.5＝2， ∴（）20.5+n≥2， 解得n， ∴水管高度至少向上调节米， ∴0.5（米）， ∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到米才能符合要求． 【点评】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型． 7．（2024•东城区校级二模）“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图1，北京地铁（BeijingSubway）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． （1）建立模型 ①收集数据 r（秒） 0 4 8 12 16 20 24 … s（米） 256 196 144 100 64 36 16 … ②建立平面直角坐标系 为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系． ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是 　　 函数的图象． ⑤求函数解析式 解：设s＝at2+bt+c（a≠0），因为t＝0时，s＝256，所以c＝256，则s＝at2+bt+256． 请根据表格中的数据，求a，b的值． 验证：把a，b的值代入s＝at2+bt+256中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式． （2）应用模型 列车从减速开始经过 　 　秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为 　 米． 【分析】（1）③按照对应值描点连线即可； ④根据图象可判断是二次函数； ⑤利用待定系数法求出二次函数解析式，再把其他数值代入即可； （2）把s＝0代入可得t的值，分别计算出第31秒和第32秒时s的值可得最后1秒滑行的距离． 【解答】解：（1）③如图， ④可能是二次函数图象， 故答案为：二次； ⑤设s＝at2+bt+c（a≠0）， 因为t＝0时，s＝256，所以c＝256，则s＝at2+bt+256． 把（4，196）和（8，144）代入可得， ， 解得：a，b＝﹣16， ∴st2﹣16t+256， 当t＝12时，s144﹣16×12+256＝100， 当t＝16时，s256﹣16×16+256＝64， 当t＝20时，s400﹣16×20+256＝36， 当t＝24时，s576﹣16×24+256＝16， ∴其余几组数值都在函数图象上，减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式为st2﹣16t+256； （2）应用模型： ∵St2﹣16t+256， ∴当s＝0时，0， 解得t＝32， 当t＝31时，s， 当t＝32时，s＝0， ∴0（m）． 故答案为：32，． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，利用待定系数法得出二次函数的解析式是解题关键． 二次函数的综合应用 8．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx． （1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式； （2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）； （3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围． 【分析】（1）将（2，0）代入解析式求解． （2）由抛物线对称轴为直线x求解． （3）根据抛物线开口方向及点A，B到对称轴的距离可得y2＞0，y1＜0，将两点坐标代入解析式求解． 【解答】解：（1）将（2，0）代入y＝x2﹣2bx得0＝4﹣4b， 解得b＝1， ∴y＝x2﹣2x． （2）∵y＝x2﹣2bx， ∴抛物线对称轴为直线xb． （3）∵y＝x2﹣2bx， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝b， ∵b﹣（b﹣1）＜b+2﹣b， ∴点A与对称轴距离小于点B与对称轴距离， ∴y2＞y1， ∵y1•y2＜0， ∴y2＞0，y1＜0， 将（b﹣1，y1）代入y＝x2﹣2bx得y1＝（b﹣1）2﹣2b（b﹣1）＝﹣b2+1＜0， 解得b＜﹣1或b＞1， 将（b+2，y2）代入y＝x2﹣2bx得y2＝（b+2）2﹣2b（b+2）＝﹣b2+4＞0， ∴﹣2＜b＜2， ∴﹣2＜b＜﹣1或1＜b＜2满足题意． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 9．（2024•海淀区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线，且经过点A（2，2）． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＞1时，对于x的每一个值，一次函数y＝kx+b（k≠0）的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）先根据两直线平行确定k值，再将A（2，2）代入求解； （2）分m＞0和m＜0两种情况，利用数形结合思想求解． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线， ∴， 将A（2，2）代入，得： ， 解得：b＝1， ∴这个一次函数的表达式为； （2）当m＞0时，的图象位于第一象限， 将x＝1代入，得， 将点代入，得， ∴； 当m＜0，x＞0时，的图象位于第四象限，一次函数的图象位于第一象限， ∴对于x的每一个值，一次函数的值大于函数的值， 综上可知，m的取值范围为：或m＜0． 【点评】本题考查求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练运用数形结合思想，第二问注意分情况讨论． 10．（2024•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2． （1）若抛物线经过点（4，c）， ①求抛物线的对称轴； ②当x1+x2＞4时，比较y1，y2的大小，并说明理由； （2）设抛物线的对称轴为直线x＝t，若存在实数m，当t≤m时，x1＝m，x2＝m+1，都有|y1﹣y2|≥2，直接写出a的取值范围． 【分析】（1）①利用抛物线经过点（4，c）和点（0，c），函数值相等的两点连线的垂直平分线即为对称轴，即可得解； ②分当 x2＞x1≥2 时和当 x2＞2＞x1 时两种情况讨论，证明点 M（x1，y1） 比点 N（x2，y2） 离对称轴更近即可得解； （2）利用t≤m＜m+1，开口向上得出 y1＜y2 从而得到|＝y1﹣y2|＝2am+a+b，结合“存在实数m，当t≤m时，都有|y1﹣y2|≥2，得到|y1﹣y2|min≥2，根据当 时，|y1﹣y2|有最小值，得出 ，从而得解． 【解答】解：（1）①∵抛物线经过点（4，c）和点（0，c）， ∴抛物线的对称轴为直线 ， ②y1＜y2，理由如下： ∵a＞0， ∴离对称轴越近，函数值越小， ∵x1＜x2，x1+x2＞4， ∴2x2＞x1+x2＞4， x2＞2， 当 x2＞x1≥2 时，x2﹣2＞x1﹣2， 即点 M（x1，y1） 比点N （x2，y2） 离对称轴更近， ∴y1＜y2； 当 x2＞2＞x1 时， ∵x1+x2＞4， ∴x2﹣2＞2﹣x1， 即点 M（x1，y1） 比点 N（x2，y2） 离对称轴更近， ∴y1＜y2， 综上所述：y1＜y2； （2）∵t≤m＜m+1即 t≤x1＜x2，开口向上， ∴y1＜y2， ∴|y1﹣y2| ＝y2﹣y1 ＝a（m+1）2+b（m+1）+c﹣（am2+bm+c） ＝a（m+1）2﹣am2+b（m+1）﹣bm+c﹣c ＝a（2m+1）+b ＝2am+a+b， ∵2a＞0， ∴|y1﹣y2|随着m的增大而增大， 要使得存在实数m，当t≤m时，都有|y1﹣y2|≥2， 只需保证|y1﹣y2|min≥2，即当 时，， ∴a的取值范围是a≥2． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． 11．（2024•大兴区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（2，2）． （1）用含a的代数式表示b＝　 　； （2）若直线y＝x与抛物线y＝ax2+bx+2相交所得的线段长为，求a的值； （3）若抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于M（x1，0）和N（x2，0）两点（x1＜x2），且2x1+x2＞0，直接写出a的取值范围． 【分析】（1）将点A（2，2）代入抛物线y＝ax2+bx+2，可以推导出系数a，b直接的关系； （2）因为直线与抛物线有两个交点，所以利用两点之间的距离公式和韦达定理可以求出a的值； （3）抛物线与x轴有两个交点，所以首先利用根的判定公式可以推导出a的范围，在分类讨论a在不同取值范围内是否符合要求； 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2的图象经过点A（2，2）， ∴4a+2b+2＝2， ∴b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax+2， 故答案为：b＝﹣2a； （2）∵直线y＝x与抛物线y＝ax2+bx+2相交所得的线段长为， ∴ax2﹣2ax+2＝x， ∴ax2﹣（2a+1）x+2＝0， ∴设两个交点为C（m，m）和D（n，n），线段长为T， ∴m+n，mn， ∴T2＝2（m﹣n）2＝2（m+n）2﹣8mn， ∴（）2， ∴a＝2或者a， 答：a＝2或者a； （3）∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴有两个交点， ∴当ax2﹣2ax+2＝0时，Δ＝4a2﹣8a＞0， ∴a＜0或a＞2， ①当a＞2时， ∵抛物线y＝ax2+bx+2恒经过点A（2，2）和（0，2）， ∴x2＞x1＞0， ∴2x1+x2＞0恒成立， ②当a＜0时， ∵抛物线y＝ax2﹣2ax+2与x轴交于M（x1，0）和N（x2，0）两点， ∴x1+x2＝2，x1•x2， ∵2x1+x2＞0， ∴x1＞﹣2， ∵当x＝﹣2时，y＝8a+2＜0， ∴a， 答：a的取值范围为a或a＞2． 【点评】本题考查的重点是用待定系数法求二次函数的解析式，利用根与系数之间的关系解题． 12．（2024•黄埔区校级二模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，过抛物线的顶点D作DM⊥x轴于点M，点N在y轴正半轴上，∠NMO＝60°，点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，交x轴于点E，交直线MN于点F． （Ⅰ）若a＝﹣1，c＝3． ①求抛物线顶点D和点A的坐标； ②若点P在第一象限，过点P作PH垂直直线MN于点H，PH，求点E的坐标； （Ⅱ）若c＝﹣3a，（a＜﹣1），点P与点C关于抛物线的对称轴对称，射线PC交直线MN于点G，当2NCMF＝7时，求顶点D的坐标． 【分析】（Ⅰ）①将a＝﹣1，c＝3，抛物线函数表达式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，故顶点D（1，4），由0＝﹣x2+2x+3，可得A（﹣1，0），B（3，0）； ②设P（m，﹣m2+2m+3），其中0＜m＜3，求出M（1，0），N（0，）可得直线MN的解析式为yx，可知F（m，m），根据∠HFP＝∠EFM＝90°﹣∠FME＝30°，PF＝2PH＝2，可得﹣m2+2m+3﹣（m）＝2，解出m的值即得E（1，0）； （Ⅱ）由c＝﹣3a知y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，得抛物线对称轴为直线x＝1，顶点D（1，﹣4a），根据点P与点C关于抛物线的对称轴对称，得P（2，﹣3a），CP⊥DM，即得NC＝GN•cos∠GNCGN，又2NCMF＝7，可求出GN+MF＝7，即得GF＝GN+MN+MF＝9，PF＝GF•cos∠PFG，故F（2，﹣3a），代入yx得﹣3a2，a，从而可得D（1，）． 【解答】解：（Ⅰ）①将a＝﹣1，c＝3，抛物线函数表达式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D（1，4）， 令x＝0，得y＝3， ∴C（0，3）， 令y＝0，得0＝﹣x2+2x+3， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； ∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），A的坐标为（﹣1，0）； ②如图： 由点P在第一象限，设P（m，﹣m2+2m+3），其中0＜m＜3， ∵DM⊥x轴于点M，由①知顶点D（1，4），A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴M（1，0），即MO＝1； ∵点N在y轴正半轴，∠NMO＝60°， ∴NO＝MO•tan∠NMO＝1×tan60°， ∴N（0，）， 设直线MN的解析式为：y＝kx+b'，把M（1，0），N代入得： ， 解得， ∴直线MN的解析式为yx， ∵PH⊥MN于点H，PE⊥x轴于点E，交MN于点F， ∴F（m，m），∠HFP＝∠EFM＝90°﹣∠FME＝30°， ∴PF＝2PH＝2， ∵点P在第一象限，P（m，﹣m2+2m+3）， ∴﹣m2+2m+3﹣（m）＝2， 解得m1或m＝3（舍去）， ∴E（1，0）； （Ⅱ）如图： 由c＝﹣3a知y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a， ∴抛物线对称轴为直线x＝1，顶点D（1，﹣4a） ∵点P与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴P（2，﹣3a），CP⊥DM， ∴CP⊥y轴， 同（Ⅰ）可得∠GNC＝30°， ∴NC＝GN•cos∠GNCGN， ∵2NCMF＝7， ∴2GNMF＝7， ∴GN+MF＝7， ∵MN＝2OM＝2×1＝2， ∴GF＝GN+MN+MF＝7+2＝9， 在Rt△GPF中，∠PFG＝∠MON＝30°， ∴PF＝GF•cos∠PFG， ∴F（2，﹣3a）， ∵F在直线MN：yx上， ∴﹣3a2， 解得a， ∴D（1，）． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，含30°的直角三角形三边关系，函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 13．（2024•海淀区校级三模）已知平面直角坐标系xOy，抛物线M1：y＝ax2+x+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4），把抛物线M1向下平移得到抛物线M2，设抛物线M2的顶点为D，与y轴交于点E，直线DE与x轴交于点P． （1）求抛物线M1的表达式； （2）当点P与点A重合时，求平移的距离； （3）联结AD，如果∠ADP与∠ACB互补，求点D的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题； （2）设平移的距离为d，对称轴直线x＝1交x轴于点H，则抛物线M2的表达式为y（x﹣1）2d，由tan∠EAO＝tan∠DAH，得，即，即可求得d＝3； （3）连接CF，过点A作AG⊥x轴于点A，交BC的延长线于点G，过点C作CK⊥FH于K，由平移可证得四边形CEDF是平行四边形，可得∠CED＝∠CFD，即tan∠CED＝tan∠CFD＝2，推出OP＝2OE，进而求得tan∠OPE，在Rt△OAC中，tan∠OCA，则∠OCA＝∠OPE，再结合∠ADP与∠ACB互补，得出∠GCA＝180°﹣∠ACB＝∠ADP，证得△GCA∽△ADP，得出∠DAP＝∠G＝45°，即可求得答案． 【解答】解：（1）∵抛物线M1：y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点C（0，4）， ∴， 解得：， ∴抛物线M1的表达式为yx2+x+4； （2）∵yx2+x+4（x﹣1）2， ∴抛物线M1的对称轴直线x＝1，顶点为F（1，）， 由题意，把抛物线M1向下平移得到抛物线M2，当点P与点A重合时，设平移的距离为d，对称轴直线x＝1交x轴于点H，如图， ∴抛物线M2的表达式为y（x﹣1）2d， ∴抛物线M2的顶点为D（1，d），H（1，0）， ∴DHd，AH＝1﹣（﹣2）＝3， 当x＝0时，y（0﹣1）2d＝4﹣d， ∴E（0，4﹣d）， ∴OE＝4﹣d，OA＝2， ∵∠AOE＝∠AHD＝90°，∠EAO＝∠DAH， ∴tan∠EAO＝tan∠DAH， ∴，即， 解得：d＝3， ∴当点P与点A重合时，平移的距离为3； （3）连接CF，过点A作AG⊥x轴于点A，交BC的延长线于点G，过点C作CK⊥FH于K，如图， ∵A（﹣2，0），F（1，），C（0，4），对称轴为直线x＝1， ∴OA＝2，AH＝3，OC＝4，FH，四边形COHK是矩形， ∴CK＝OH＝1，KH＝OC＝4，FK＝FH﹣KH4， ∴tan∠CFK2，即tan∠CFD＝2， ∵抛物线M1：yx2+x+4与x轴交于点A（﹣2，0）和点B， 当y＝0时，x2+x+4＝0， 解得：x＝﹣2或x＝4， ∴B（4，0）， ∴OB＝4， ∴OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵把抛物线M1向下平移得到抛物线M2，抛物线M2的顶点为D，与y轴交于点E， ∴CE＝FD， ∵抛物线的对称轴与x轴平行，即FD∥CE， ∴四边形CEDF是平行四边形， ∴∠CED＝∠CFD， ∴tan∠CED＝tan∠CFD＝2， ∴2， ∴OP＝2OE， ∴tan∠OPE， 在Rt△OAC中，tan∠OCA， ∴∠OCA＝∠OPE， ∵AG⊥x轴， ∴AG∥y轴， ∴∠OCA＝∠CAG，∠G＝∠OCB＝45°， ∴∠CAG＝∠DPA， ∵∠ADP与∠ACB互补，即∠ADP+∠ACB＝180°， ∴∠GCA＝180°﹣∠ACB＝∠ADP， ∴△GCA∽△ADP， ∴∠DAP＝∠G＝45°， ∴DH＝AH•tan∠DAP＝3×tan45°＝3， ∴D（1，﹣3）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平移的性质，锐角三角函数，等边对等角，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题关键． 14．（2024•海淀区校级三模）如图，平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2x+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A（3，0），OA＝OC，P是第一象限内二次函数图象上一动点，过点P作PG⊥AB于点G，交AC于点H． （1）求二次函数的表达式． （2）求PH+HC的最大值． （3）如图2，过点H作AC的垂线，交y轴于点M，交二次函数图象的对称轴l于点N，连接GM、GN，是否存在点P使得∠MGN＝45°？若存在，直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据OA＝OC求出点C的坐标，再把点A，C坐标代入y＝ax2+2x+c，求出a，c的值即可； （2）过点C作CT⊥PG于点T，求出直线AC的解析式，设P（m，﹣m2+2m+3），求出QH，PH的长，再根据二次函数的性质可得出PH的最大值； （3）根据勾股定理求出MG，MH，MN的值，证明△MGN∽△MHG，得MG2＝MN•MH，得一元二次方程，求出方程的解即可得出点P的横坐标． 【解答】解：（1）∵A（3，0）， ∴OA＝3， ∵OA＝OC， ∴OC＝3， ∴C（0，3）， 把A（3，0），C（0，3）代入 y＝ax2+2x+c，得： ， 解得， ∴二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图1，过点C作CT⊥PG于点T， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 把A（3，0），C（0，3）代入得：， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， 设P（m，﹣m2+2m+3）（0＜x＜3）， 则H（m，﹣m+3）， ∴PH＝﹣m2﹣2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∵OA＝OC，∠COA＝90°， ∴∠OCA＝∠CAO＝45°， ∴∠TCH＝∠AHG＝45°， ∴∠CHT＝45°， ∴△CTH为等腰直角三角形， ∴m， ∴ ， ∵﹣1＜0， ∴PH+CH最大值为 ； （3）存在点P使得∠MGN＝45°，此时点P的横坐标为1或， 理由如下： 如图2，过点C作CT⊥PG于点T，过点N作NQ⊥y轴于点Q，过点H作HR⊥y轴于点R， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∵PG⊥x轴， ∴∠AHG＝45°， ∴∠CHT＝45°， ∴∠HCT＝45°， ∴HT＝CT＝m＝OG，， 同理可得，MC＝2m， ∴MO＝MC﹣OC＝2m﹣3， 在Rt△MGO中，， ∵N在对称轴上， ∴NQ＝1， ∵NQ∥HR，∠HCR＝45°， ∴∠RHC＝45°， ∵∠MHC＝90°， ∴∠MHR＝45°， ∴∠MNQ＝∠QMN＝45° ∴，∠AHG＝45°，∠MHC＝90°， ∴∠GHM＝45°，∠GMN＝∠HMG，∠MGN＝∠GHM＝45°， ∴△MGN∽△MHG， ∴， ∴MG2＝MN•MH， ∴m2+（2m﹣3）2＝2m， 解得 ，x2＝1， ∴存在点P使得∠MGN＝45°，此时点P的横坐标为1或 ． 【点评】本题考查二次函数综合题，主要考查运用待定系数法求函数关系式，求函数的最值，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，求出MG，MH，MN的值是解答本题的关键． 15．（2024•西城区校级二模）如图，直线y与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点P在直线AB上，与x轴的交点为C，D，其中点C的坐标为（2，0），直线BC与直线PD相交于点E． （1）如图2，若抛物线经过原点O． ①求该抛物线的函数表达式； ②求的值． （2）连结PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明理由． 【分析】（1）①由抛物线经过原点O（0，0）、C（2，0），可得抛物线的顶点P（1，），利用待定系数法可得抛物线的函数表达式为yx2+3x； ②先求出A（﹣2，0），B（0，），运用待定系数法可得直线OP的解析式为yx，过点B作BF∥x轴交OP于点F，F（，），可得BF，再由BF∥OC，得出△BEF∽△CEO，进而可得； （2）分四种情形，分别作出图形求解即可． 【解答】解：（1）①∵抛物线经过原点O（0，0）、C（2，0）， ∴对称轴为直线x＝1， 当x＝1时，y1， ∴抛物线的顶点P（1，）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2，把C（2，0）代入，得a0， 解得：a， ∴y（x﹣1）2x2+3x， ∴该抛物线的函数表达式为yx2+3x； ②∵直线y与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴A（﹣2，0），B（0，）， 设直线OP的解析式为y＝kx，把P（1，）代入，得：k， ∴直线OP的解析式为yx， 如图，过点B作BF∥x轴交OP于点F，则点F的纵坐标与点B的纵坐标相同， ∴x， 解得：x， ∴F（，）， ∴BF， ∵BF∥OC， ∴△BEF∽△CEO， ∴， ∴的值为． （2）设点P的横坐标为t， ①如图2﹣1，当t＞2，存在∠CPE＝∠BAO， 设∠CPE＝∠BAO＝α，∠APC＝β，则∠APD＝α+β， ∵∠PCD＝∠PAO+∠APC＝α+β， ∵PC＝PD， ∴∠PDC＝∠PCD＝∠APD， ∴AP＝AD＝2t， 过点P作PF⊥x轴于点F，则AF＝t+2， 在Rt△APF中，cos∠BAO， ∴， ∴t＝6． ②如图2﹣2中，当0＜t≤2时，存在∠CPE＝∠BAO． 过点P作PF⊥x轴于点F， 同法cos∠BAO， ∴， ∴t． ③如图2﹣3中，当﹣2＜t≤0时，存在∠CPE＝∠BAO＝α， ∵PC＝PD， ∴∠CPEα， ∴∠BAO﹣∠PDCα， ∴∠APD＝∠PDA， ∴AD＝AP＝﹣2t， 同法cos∠BAO， ∴， ∴t． ④当t≤﹣2时，同法cos∠BAO， ， ∴t 综上所述．点P的横坐标为6或或或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数综合运用，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 函数的新定义的综合应用 16．（2024•门头沟区二模）对于关于x的一次函数y＝kx+b（k≠0），我们称函数为一次函数y＝kx+b（k≠0）的n级衍生函数（其中n为常数）． 例如，y＝﹣4x+1的3级衍生函数为：当x＜3时，y{x}＝﹣4x+1；当x≥3时，y{x}＝4x﹣1． （1）如果y＝x+1的4级衍生函数为y{4}， ①当x＝3时，y{4}＝　 　； ②当时，x＝　 　． （2）如果y＝2x+1的﹣2级衍生函数为y{﹣2}，求双曲线与y{﹣2}的图象的交点坐标； （3）如果以点A（0，t）为圆心，2为半径的⊙A与y＝﹣x+2的﹣1级衍生函数y{﹣1}的图象有交点，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）根据定义可得，①当x＝3时，代入x+1计算即可；②当时，分两种情况分别求解：当x＜4时和当x≥4时，再根据x的取值范围作进一步判断； （2）根据定义可得再分两种情况分别建立联立方程组求解即可： （3）根据题意可得，如图，直线y＝x﹣2与y轴于点C，与x轴于点D，过点M作MB⊥y于点B，确定M（﹣1，﹣3），C（0，﹣2），D（2，0），N（﹣1，3），得到OC＝OD＝2，∠OCD＝∠ODC＝45°，设⊙A沿y轴正方向移动，再分两种情况进行讨论：①当x≥﹣1时，如图，当点M刚好在⊙A上时，过点M作MB⊥y轴于点B，连接AM；如图，当⊙A与直线y＝x﹣2相切时，设切点为E，连接AE；②x＜﹣1时，如图，当点N刚好在⊙A上时，过点N作NF⊥y轴于点F，连接NA；如图，当⊙A与直线y＝﹣x+2相切时，设切点为G，连接AG，设直线y＝﹣x+2交y轴于点H，可得结论． 【解答】解：（1）∵y＝x+1的4级衍生函数为y{4}， ∴， ①当x＝3时，y{4}＝3+1＝4， 故答案为：4； ②当时， 当x＜4时，得：， 解得：， 当x≥4时，得：， 解得：（舍去）， 故答案为：； （2）∵y＝2x+1的﹣2级衍生函数为y{﹣2}， ∴ 当x＜﹣2时， 联立方程组， ∴2x2+x+3＝0， ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×3＝﹣23＜0， ∴方程无解，即方程组无解， 此时两个函数图象之间没有交点； 当x≥﹣2时， 联立方程组， 解得：或， ∴双曲线与y{﹣2}的图象的交点坐标是和（1，﹣3）； （3） ∵y＝﹣x+2的﹣1级衍生函数为y{﹣1}， ∴ 如图，直线y＝x﹣2与y轴于点C，与x轴于点D， 当x＝﹣1时，得：y＝﹣1﹣2＝﹣3；当x＝0时，得：y＝0﹣2＝﹣2；当y＝2时，得：x＝0， ∴M（﹣1，﹣3），C（0，﹣2），D（2，0）， 当x＝﹣1时，得：y＝﹣（﹣1）+2＝3， ∴N（﹣1，3）， ∴OC＝OD＝2， ∵∠COD＝90°， ∴∠OCD＝∠ODC＝45°， ∵以点A（0，t）为圆心，2为半径的⊙A与y＝﹣x+2的﹣1级衍生函数y{﹣1}的图象有交点， 设⊙A沿y轴正方向移动， ①当x≥﹣1时， 如图，当点M刚好在⊙A上时，过点M作MB⊥y轴于点B，连接AM， ∴MA＝2，MB＝1， ∴， ∵∠MCB＝∠OCD＝45°， ∴， ∴， ∴此时； 如图，当⊙A与直线y＝x﹣2相切时，设切点为E，连接AE， ∴AE＝2，∠AEC＝90°， 在Rt△EAC中，， ∴， ∴此时， ∴t的取值范围是； ②x＜﹣1时， 如图，当点N刚好在⊙A上时，过点N作NF⊥y轴于点F，连接NA， ∴NA＝2，NF＝1，OF＝1， ∴， ∴， ∴此时； 如图4，当⊙A与直线y＝﹣x+2相切时，设切点为G，连接AG，设直线y＝﹣x+2交y轴于点H， ∴AG＝2，∠AGH＝90°， 对于直线y＝﹣x+2， 当x＝0时，得：y＝2；当y＝2时，得：x＝0， ∴H（0，2），且D（2，0）在直线y＝﹣x+2上， ∴OH＝OD＝2， ∵∠HOD＝90°， ∴∠OHD＝∠ODH＝45°， ∴∠AHG＝∠OHD＝45°， 在Rt△GAH中，， ∴， ∴此时， ∴t的取值范围是； 综上所述，t的取值范围是或． 【点评】本题考查函数的新定义，函数图象上点的坐标特征，一次函数与反比例函数图象的交点，点和圆的位置关系，切线的性质，等边对等角，解直角三角形等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握函数图象交点坐标的确定方法，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，解直角三角形是解题的关键． 17．（2024•东城区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，M为⊙O上一点，点N（0，﹣2）． 对于点P给出如下定义：将点P绕点M顺时针旋转90°，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P关于点M，N的“中旋点”． （1）如图1，已知点P（4，0），点Q为点P关于点M，N的“中旋点”． ①若点M（0，1），在图中画出点Q，并直接写出OQ的长度为 　 　； ②当点M在⊙O上运动时，直线y＝x+b上存在点P关于点M，N的“中旋点”Q，求b的取值范围； （2）点P（t，0），当点M在⊙O上运动时，若⊙O上存在点P关于点M，N的“中旋点”Q，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）①在图中依次画出点P'、Q，OQ的长度为； ②确定点Q在以O为圆心，以为半径的圆上运动，根据圆与直线y＝x+b有交点求b的范围； （2）确定点Q在以O'（0，﹣4+t）为圆心，以为半径的圆上运动，根据圆与⊙O有交点求t的取值范围． 【解答】解：（1）①连接MP，过点M作MP′⊥MP，使MP′＝MP， 则P′（﹣1，﹣3）， 连接P′N并延长至点Q，使NQ＝P′N， 则Q（1，﹣1）， 如图所示，点Q即为所求作的点； OQ， 故答案为：； ②取点H（0，﹣4），连接P'H、PH， ∵OP＝OH＝4， ∴△POH是等腰直角三角形， ∵∠MPO+∠OPP'＝45°，∠P'PH+∠OPP'＝45°， ∴∠MPO＝∠P'PH， ∵， ∴△MPO∽△P'PH， ∴， ∴P'H， ∵NP'＝NQ，NH＝NO＝2，∠P'NH＝∠QNO， ∴△P'NH≌△QNO（SAS）， ∴OQ＝P'H， 设点Q（x，y），则，即x2+y2＝2， 要使直线y＝x+b上存在点P关于点M，N的“中旋点”Q，需方程组有解， ∴x2+（x+b）2＝2， ∴2x2+2bx+b2﹣2＝0， ∴Δ＝（2b）2﹣4×2×（b2﹣2）≥0， ∴﹣2≤b≤2； （2）取点H（0，﹣t），作H关于N的对称点O'， ∵N（0，﹣2）， ∴O'（0，﹣4+t）， 由（1）②类似可得到OQ'＝P'H， 点Q在以O'为圆心，以为半径的圆上运动，若⊙O上存在点P关于点M，N的“中旋点”Q，⊙O与，⊙O'应有交点，则1≤OO'1，即1≤|t﹣4|1， ∴1≤t﹣41或1≤4﹣t|1， ∴3t≤5或3t≤5． 【点评】本题在新定义下考查了三角形全等，直线与圆及圆与圆的位置关系，中点坐标公式等知识点，关键是确定点Q在圆上运动． 18．（2024•海淀区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如下定义：线段MN关于直线l的对称线段为M′N′（M′，N′分别是M，N的对应点）．若MN与M′N′均与图形W（包括内部和边界）有公共点，则称线段MN为图形W关于直线l的“对称连接线段”． （1）如图1，已知圆O的半径是2，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，是⊙O关于直线y＝x﹣1的“对称连接线段”的是 　 　． （2）如图2，已知点P（0，1），以O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段OP是正方形ABCD关于直线y＝kx+2的“对称连接线段”，求k的取值范围． （3）已知⊙O的半径为r，点M（1，0），线段MN的长度为1．若对于任意过点Q（0，2）的直线l，都存在线段MN是⊙O关于l的“对称连接线段”，直接写出r的取值范围． 【分析】（1）分别求出线段的端点关于直线y＝x﹣1的对称点，进而得出结果； （2）根据轴对称的性质可得：点P和点P的对称点到（0，2）的距离相等，进而确定点P的对称点的位置，进一步得出结果； （3）点M关于过Q的直线的对称点在以Q为圆心，为半径的圆上运动，点N在以Q为圆心，半径是和的圆上运动，进一步得出结果． 【解答】解：（1）如图1， 因为C1关于y＝x﹣1的对称点是（0，﹣2）在⊙O上，所以B1C1是⊙O关于直线y＝x﹣1的“对称连接线段”， 因为B2和C2关于y＝x﹣1的对称点是（2，﹣1）和（1，3）在⊙O外，所以B2C2不是⊙O关于直线y＝x﹣1的“对称连接线段”， 因为B3关于y＝x﹣1的对称点是（1，1）在⊙O内，所以B3C3是⊙O关于直线y＝x﹣1的“对称连接线段”， 故答案为：B1C1，B3C3； （2）如图2， 设直线y＝kx+2交y轴于A，根据轴对称的性质，点P和它的对称点到A的距离相等， 所以点P的对称点在以A为圆心，1为半径的圆上运动， 当点P的对称点在圆和正方形重合的部分时，满足条件， 过点P的对称点是（﹣1，2）和（1，2）时是临界，此时k的值分别是1和﹣1， ∴k≥1或k≤﹣1时； （3）如图3， 连接MQ，则MQ， ∴点M关于过Q的直线的对称点在以Q为圆心，为半径的圆上运动，点N在以Q为圆心，半径是和的圆上运动， 设半径是的圆交y轴于点W， ∴r1． 【点评】本题考查了圆的定义，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是灵活运用有关知识． 19．（2024•西城区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙G和线段AB给出如下定义：如果线段AB上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在⊙G外，则称线段AB为⊙G的“交割线段”． （1）如图，⊙O的半径为2，点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，0）． ①在△ABC的三条边AB，BC，AC中，⊙O的“交割线段”是 　 　； ②点M是直线OB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，若线段MN是⊙O的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围； （2）已知三条直线y＝3，y＝﹣x，y＝﹣2x+3分别相交于点D，E，F，⊙T的圆心为T（0，t），半径为2，若△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交割线段”，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）①先根据点A和点B的坐标得到⊙O与AB相切，则线段AB上没有点在⊙O外；再证明线段AC上没有点在⊙O外，线段BC上有点在⊙O内，也有点在⊙O内，即可得到结论； ②设直线OB在x轴上方与⊙O交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设T（t、t），利用勾股定理求出，由函数图象可知，当点M在BT之间（不包括端点），即时，线段MN是⊙O的“交割线段”；由对称性可得当时，线段MN是⊙O 的“交割线段”； （3）分图2﹣1，图2﹣2，图2﹣3，图2﹣4四种临界情况，求出此时t的值，再结合图形以及“交割线段”的定义即可得到答案． 【解答】解：（1）①如图1.1， ∵A（0，2），B（2，2）， ∴OA＝2，OA⊥AB， ∴点A在⊙O上， ∴⊙O与AB相切， ∴线段AB上没有点在⊙O外， ∴线段AB不是⊙O的“交割线段”， ∵OC＝1＜2，， ∴点C在⊙O内，点B在⊙O外， ∴线段AC上没有点在⊙O外，线段BC上有点在⊙O内，也有点在⊙O内， ∴线段AC不是⊙O的“交割线段”，线段BC是⊙O的“交割线段”， 故答案为：BC； ②如图1.2所示，设直线OB在x轴上方与⊙O交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设T（t、t）， ∴OH＝BH＝2，OG＝TG＝t， 此时点H网好在⊙O上，且此时BH与⊙O相切； ∵⊙O的半径为2， ∴OT＝2， ∴t2+t2＝22， 解得或 （舍去）， ∴由函数图象可知，当点M在BT之间（不包括端点），即时，线段MN是⊙O的“交割线段”； 由对称性可得：当时，线段MN是⊙O的“交割线段”； 综上所述，当或时，线段MN是⊙O的“交割线段”； （2）或；理由如下： 联立， 解得：， ∴E（﹣3，3）， 同理可得D（0，3），F（3，﹣3）； 如图2.1所示，当⊙T恰好经过点D时， ∴TD＝2， ∴t＝2+3＝5； 如图2.2所示，当⊙T恰好与EF相切于H时，连接TH， ∵E（﹣3，3），D（0，3）， ∴DE＝OD＝3，DE⊥OD， ∴∠DOE＝45°， 由切线的性质可得∠THO＝90°， ∴△TOH是等腰直角三角形， ∵， ∴当时，DE，DF是⊙T的“交割线段”，EF不是⊙T的“交割线段”； 如图2.3所示，当⊙T恰好经过点D时， ∴TD＝2， ∴t＝3﹣2＝1； 如图2.4所示， 当⊙T恰好与DF相切于P时，连接TP，设直线DF与x轴交于Q， ∴， ∴， ∴； 由切线的性质可得∠TPD＝90°，TP＝2， ∴， ∴， ∴， ∴t＝3﹣2， ∴当3﹣2t≤1时，EF，DF是⊙T的“交割线段”，DE不是⊙T的“交割线段”； 综上所述，当3t≤1或2t＜5时，△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交割线段”． 【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了切线的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确理解“交割 线段”的定义，以及求出临界情况下的临界值． 20．（2024•大兴区校级模拟）在平面上任取一个△ABC，则可以定义面积坐标：对平面内任一点P，记S1＝S△PAB，S2＝S△PAC，S3＝S△PBC（若点P恰好在△ABC的某条边所在的直线上，则记相应三角形的面积为0），则点P的面积坐标记为{s1，s2，s3}．已知：在△ABC中，B（﹣3，0），C（3，0）． （1）如图1，若点A的坐标为（0，3）． ①写出点D（1，0）的面积坐标 　 　； ②已知几个点的面积坐标分别为：E{3，3，3}，F{0，2，7}，G{5，5，1}，H{2，2，5}，则其中不在△ABC内部的点是 　F、G　； （2）把平面内一点M（x，y）的面积坐标记为{m1，m2，m3}． ①如图2，当点A的坐标为（﹣3，3）时，若m1＝m3，试探究y与x之间的关系； ②当点A的坐标为（0，3）时，点M在以点T（3，t）为圆心，半径为1的圆上运动，若点M的面积坐标始终满足|m1+m2﹣m3|＝9，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）①分别计算出△DAB，△DAC和△PBC的面积，进而得出结果； ②只需验证三个面积之和是否等于△ABC的面积且没有一个为0即可； （2）①根据三角形面积公式表示m1和m3，列出方程，从而得出结果； ②发现当⊙T∠BAC的外部时，满足条件，进一步求得结果． 【解答】解：（1）①∵A（0，3），B（﹣3，0），C（3，0），D（1，0）， ∴S1＝S△DAB4×3＝6，S2＝S△DAC2×3＝3，S3＝S△PBC＝0， ∴点D（1，0）的面积坐标为{6，3，0}， 故答案为：{6，3，0}； ②∵E{3，3，3}， ∴S△EAB＝S△EAC＝S△EBC＝3， ∴点E是△ABC的重心，即E（0，1）， ∴点E在△ABC内部； ∵F{0，2，7}， ∴S△FAB＝0， ∴点F在边AB所在直线上； ∵G{5，5，1}， ∴S△GAB＝5，S△GAC＝5，S△GBC＝1， ∴G（0，）不在△ABC内部； ∵H{2，2，5}， ∴S△HAB＝2，S△HAC＝2，S△HBC＝5， ∴H（0，）在△ABC内部； 故答案为：F、G； （2）①∵A（﹣3，3），B（﹣3，0），C（3，0），M（x，y）， ∴AB＝3，BC＝6， ∴m1＝S△MAB3|x﹣（﹣3）||x+3|，m3＝S△MBC6|y|＝3|y|， ∵m1＝m3， ∴|x+3|＝3|y|， ∴|y||x+3|， ∴yx或yx； ②如图， 当⊙O在∠CAB内部时， S△MAB+S△MBC﹣S△MAC＝S△ABC＝9， 即m1+m3﹣m2＝9， ∴当⊙T不在∠CAB的内部时，满足条件，如图2， 在Rt△CDT中，∠DCT＝30°，DT＝1， ∴CT＝2， 同理可得：CT′＝2+6， ∴t≥2+6或t≤﹣2． 【点评】本题是阅读型题，考查了理解能力，等边三角形的性质，三角形面积公式，圆的切线性质等知识，解决问题的关键紧扣定义，数形结合，尝试验证． 21．（2024•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，以AB为边作平行四边形ABCD．对于平行四边形ABCD和弦AB，给出如下定义：若边CD所在直线是⊙O的切线，则称四边形ABCD是弦AB的“弦切四边形”． （1）若点A（0，﹣1），C（1，0），四边形ABCD是弦AB的“弦切四边形”，在图中画出“弦切四边形”ABCD，并直接写出点D的坐标； （2）若弦AB的“弦切四边形”为正方形，求AB的长； （3）已知图形M和图形N是弦AB的两个全等的“弦切四边形”，且均为菱形，图形M与N不重合．P，Q分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，记PQ的长为t，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）因为四边形ABCD是弦AB的“弦切四边形”故CD是⊙O的切线，因为C（1，0），四边形ABCD是平行四边形，故线段CD是在直线x＝1上，且垂直于x轴，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，所以AB垂直x轴，因为AB是⊙O的一条弦，B在⊙O上，A（0，﹣1），由图象可得B点坐标为 （0，1），所以AB＝2，因为AB＝CD＝2，AB∥CD，C（1，0），所以由图象可得点D的坐标为（1，﹣2）． （2）当弦AB的“弦切四边形”为正方形时，则以AB为边作出的四边形ABCD为正方形，可得线段CD 与⊙O相切，交点为点E，连接OE并延长交AB于点G，故可得出正方形ABCD，因为线段CD与⊙O相切，交点为点E，O为⊙O的圆心，所以GE⊥CD，因为AB∥CD，所以GE⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，四边形ABDC为矩形，设OG为m，因为0E＝0B＝1，所以GE＝BD＝AB＝m+1，又因为OB＝OA，OG⊥AB，所以点G是AB的中点，即，故在Rt△OGB 中，OB2＝OG2+BG2，代入数值求值，即可解答． （3）分情况讨论：①由题意可得，圆上任意点A（与x轴y轴交点除外），关于y轴的对称点B，作菱形分别为菱形ABUT和菱形ABCD，且TU和CD与圆相切于点N，P，Q分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，连接PQ交y轴于点G，连接AB，交y轴于点M，连接OB；②当点A在圆上与x轴y轴交点上时，分别求解即可解答． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是弦AB的“弦切四边形”， ∴CD是⊙O切线， ∵C（1，0），四边形ABCD是平行四边形， 故线段CD是在直线x＝1上，且垂直于x轴， 根据平行四边形的性质可得AB∥CD， ∴AB垂直x轴， ∵AB是⊙O 的一条弦，B在⊙O上，A（0，﹣1）， 由图象可得B点坐标为（0，1）， ∴AB＝2， ∵AB＝CD＝2，AB∥CD，C（1，0）， ∴由图象可得点D的坐标为（1，﹣2）． （2）当弦AB的“弦切四边形”为正方形时，则以AB为边作出的四边形ABCD为正方形，可得线段CD与⊙O相切，交点为点E，连接OE并延长交AB于点G，故可得出正方形ABCD，如图所示： ∵线段CD与⊙O相切，交点为点E，O为⊙O的圆心， ∴GE⊥CD， ∵AB∥CD， ∴GE⊥AB， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， 设OG为m， ∵OE＝OB＝1， ∴GE＝BD＝AB＝m+1， 又∵OB＝OA，OG⊥AB， ∴点G是AB的中点， 即， 在Rt△OGB中，OB2＝OG2+BG2， 即， 解得或m＝﹣1（舍）， ∴． （3） ①由题意可得，圆上任意点A（与x轴y轴交点除外），关于y轴的对称点B，作菱形分别为菱形ABUT和菱形ABCD，且TU和CD与圆相切于点N，P，Q分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，连接PQ交y轴于点G，连接AB，交y轴于点M，连接OB，故△OMB是直角三角形，如图所示： 设OM＝x， ∵ON＝1， ∴MN＝1﹣x， ∵AB⊥ON，UD⊥ON，Q和P分别是AU和BD的中点，QP⊥ON，QG＝GP，MG＝NG，， ∵AB＝AD，M和P分别是AB和BD的中点， ， ∵OB＝1，OM＝x， ， 在Rt△MGP中，PG2＝PM2+MG2， 即， 当时，， ∵， ∴PG＞0，即， ∵PQ＝t＝2PG， ； ②当点A在圆上与x轴y轴交点上时，如图所示，关于x轴的对称点B，作菱形ABC1D1和菱形ABC4D4，P1，Q2分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时P1Q2的长为圆的直径，即P1Q2＝2，即t＝2； 同理可得作菱形ABC2D2和菱形ABC3D3，P2，Q1分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时P2Q1的长为圆的直径，即P2Q1＝2，即t＝2； 同理可得作菱形ABC1D2和菱形ABC3D3，P1，P2分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时，即t＝1； 同理可得作菱形ABC1D1和菱形ABC2D2，P1，Q1分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时，即． 综上所述，t的取值范围为或t＝2． 【点评】本题考查了圆的综合应用，主要考查平行四边形的性质、菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、平面直角坐标系、矩形的性质，二次函数的实际应用、切线的性质定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！54 学科网（北京）股份有限公司 $$