专题09几何探究综合题（三大题型）【好题汇编】-2024年中考数学二模试题分类汇编（北京专用）

专题09 几何探究综合题 三角形综合探究题 1．（2024•顺义区二模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D为AC上一点（不与点A、C重合），将线段DA绕点D顺时针旋转α，得到线段DE，连接BD并延长到点F，使DF＝BD，作射线FE，交射线BA于点G． （1）依题意补全图形； （2）求证：BG＝2DE； （3）在射线BA上取点H（不与点G重合），使AH＝AG，连接CH、CF，用等式表示线段CH与CF的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据题意，画出图即可． （2）线段DA绕点D顺时针旋转α，得到线段DE，得到，EF＝GE，即可得证． （3）过点F作FM∥AB，交AC于点M，证明△ADB≌△MDF（AAS），证明△HAC≌△CMF（SAS），即可解答． 【解答】（1）解：如图， （2）证明：线段DA绕点D顺时针旋转α，得到线段DE， ∴∠ADE＝α， ∵∠BAC＝α， ∴∠BAC＝∠ADE， ∴DE∥AB， ∴， ∵DF＝BD， ∴EF＝GE， ∴BG＝2DE． （3）解：CH＝CF，证明如下： 如图，过点F作FM∥AB，交AC于点M， ∴∠BAM＝∠FMA， ∵∠ADB＝∠FDM，DE＝BD， ∴△ADB≌△MDF（AAS）， ∴AB＝MF，AD＝MD， ∵AB＝AC， ∴AC＝MF， ∵BG＝2DE，AM＝2AD，且AD＝DE， ∴BG＝AM， ∴AB﹣AG＝AC﹣AM， 即AG＝CM， ∵AH＝AG， ∴AH＝CM， ∵FM∥AB， ∴∠HAC＝∠FMC， ∴△HAC≌△CMF（SAS）， ∴CH＝CF． 【点评】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握这些性质是解题的关键． 2．（2024•海淀区校级二模）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0＜α＜90°），点D为线段BC上一点，连接AD，作射线AE使得∠DAE＝90°﹣α．过点D作AD的垂线交AE于点F，连接CF，取CF中点M，连接BM，DM． （1）补全图形； （2）求证：∠BAC＝∠DAF； （3）①判断△MBD的形状，并证明． ②直接写出∠MDB的大小（用α表示）． 【分析】（1）依据题意，读懂题意即可作图； （2）依据题意，由∠ABC＝90°，∠ACB＝α，从而∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣α，又∠DAE＝90°﹣α，进而可以判断得解； （3）①依据题意，延长FD到点F'，使得DF'＝DF，连接AF'，F'C，延长CB到点C′，使得BC′＝BC，连接AC′，C'F．由M是CF中点，从而，，又AD⊥DF，从而AF'＝AF，可得∠FAF'＝180°﹣2∠AFF'＝180°﹣2α，同理可得，∠CAC'＝180°﹣2∠ACC'＝180°﹣2α，进而可得∠CAF'＝∠FAC'，证得△CAF'≌△C'AF（SAS），故CF'＝C'F即可判断得解； ②依据题意，由∠AF'D＝∠ACD，可得A、F'、C、D四点共圆，则∠ACF'＝∠ADF'＝90°，进而可得∠DCF'＝90°+α，从而∠DF'C+∠CDF'＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α，故∠MDB＝∠MDF+∠BDF＝∠DF'C+∠CDF'＝90°﹣α，最后可以判断得解． 【解答】（1）补全图形如图． （2）证明：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝α， ∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣α． ∵∠DAE＝90°﹣α， ∴∠BAC＝∠DAF． （3）①△MBD为等腰三角形，DM＝BM． 证明：延长FD到点F'，使得DF'＝DF， 连接AF'，F'C，延长CB到点C′，使得BC′＝BC，连接AC′，C'F． ∵M是CF中点， ∴，． 由题意，∵AD⊥DF， 又DF'＝DF， ∴AF'＝AF． ∴∠FAF'＝180°﹣2∠AFF'＝180°﹣2α． 同理可得，AC＝AC'． ∴∠CAC'＝180°﹣2∠ACC'＝180°﹣2α． ∴∠FAF'＝∠CAC'． ∴∠CAF'＝∠FAC'． ∴△CAF'≌△C'AF（SAS）． ∴CF'＝C'F． ∴MD＝MB． ∴△MBD为等腰三角形． ②∵∠AF'D＝∠ACD， ∴A、F'、C、D四点共圆． ∴∠ACF'＝∠ADF'＝90°． ∴∠DCF'＝90°+α． ∴∠DF'C+∠CDF'＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α． ∴∠MDB＝∠MDF+∠BDF＝∠DF'C+∠CDF'＝90°﹣α． ∴∠MDB＝90°﹣α． 【点评】本题主要考查了考查等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 3．（2024•北京二模）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，M为AB的中点，D为线段AB上的动点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接AE，CM． （1）如图1，点D在线段AM上，求证：AE＝MD； （2）如图2，点D在线段BM上，连接DE，取DE的中点F，连接AF并延长交CD的延长线于点G，若∠G＝∠ACE，用等式表示线段AE，AF，FG的数量关系，并证明． 【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠ECD＝60°，由直角三角形的性质可得ACAB＝AM，可证△ACM为等边三角形，可得∠ACM＝60°，CA＝CM，由“SAS”可证△CEA≌△CDM，可得AE＝MD； （2）由“SAS”可证△EAF≌△DHF，可得AE＝DH，∠EAF＝∠FHD，由角的数量关系可证∠G＝∠HDG，可得GH＝DH＝AE，即可求解． 【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE， ∴CD＝CE，∠ECD＝60°． ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝60°，CAAB． ∵M为AB的中点， ∴MAAB， ∴MA＝CA， ∴△ACM为等边三角形， ∴∠ACM＝60°，CA＝CM， ∵∠ECA＝∠ECD﹣∠ACD＝60°﹣∠ACD， ∠DCM＝∠ACM﹣∠ACD＝60°﹣∠ACD， ∴∠ECA＝∠DCM． 在△CEA和△CDM中， ， ∴△CEA≌△CDM（SAS）， ∴AE＝MD； （2）解：FG＝AE+AF，理由如下： 如图，在FG上截取FH＝AF，连接DH， 在△EAF和△DHF中， ， ∴△EAF≌△DHF（SAS）， ∴AE＝DH，∠EAF＝∠FHD， ∴AE∥DH， ∵△ACM为等边三角形， ∴∠AMC＝∠ACM＝60°， ∴∠CMD＝120°． ∵△CAE≌△CMD， ∴∠CAE＝∠CMD＝120°，∠ACE＝∠MCD， ∴∠CAE+∠ACM＝180°， ∴AE∥CM， ∴CM∥DH， ∴∠MCD＝∠HDG． 又∵∠G＝∠ACE， ∴∠G＝∠HDG， ∴GH＝DH＝AE， ∴FG＝GH+FH＝AE+AF． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形的解题的关键． 4．（2024•海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD，AE⊥CD于点E，以点A为圆心，CD长为半径画弧，交AE于点F，连接DF． （1）依题意补全图形： ①设∠BCD＝α，则∠DFA的度数为 　 　；（用含α的式子表示） ②求证：DF∥BC； （2）探究DF、AF、BC之间的数量关系并证明． 【分析】（1）①根据题意画出图形，连接CF并延长交AB于点G，首先根据题意证明出△ABC是等腰直角三角形，然后证明出△CAF≌△BCD（SAS），进而得到△AGC是等腰直角三角形，然后证明出△AGF≌△CGD（HL），得到FG＝GD，∠AFG＝∠CDG＝∠BCD+∠B＝α+45°，然后利用∠DFA＝∠AFG+∠GFD求解即可； ②由①得到∠FDG＝45°，∠B＝45°，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可； （2）根据勾股定理和等腰直角三角形的性质得到，，然后利用勾股定理得到AG2+GF2＝AF2，然后代入求解即可． 【解答】（1）①解：如图所示，连接CF并延长交AB于点G， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠CAB＝∠B＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠BCD＝90°， ∵AE⊥CD， ∴∠ACE+∠CAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BCD＝α， ∵AC＝BC，AF＝CD， ∴△CAF≌△BCD（SAS）， ∴∠ACF＝∠B＝45°， ∵∠CAB＝45°， ∴∠AGC＝∠CGD＝90°， ∴△AGC是等腰直角三角形， ∴AG＝CG， 又∵AF＝CD， ∴△AGF≌△CGD（HL）， ∴FG＝GD，∠AFG＝∠CDG＝∠BCD+∠B＝α+45°， ∵∠FGD＝90°， ∴∠GFD＝∠GDF＝45°， ∴∠DFA＝∠AFG+∠GFD＝α+45°+45°＝α+90°， 故答案为：α+90°； ②证明：由①可得，∠FDG＝45°， ∵∠B＝45°， ∴∠B＝∠FDG， ∴DF∥BC； （2）解：BC2+DF2＝2AF2．理由如下： ∵△AGC是等腰直角三角形， ∴AG2+CG2＝AC2，AG＝CG， ∴2AG2＝AC2， ∴整理得， ∵AB＝AC， ∴， ∵△FGD是等腰直角三角形， ∴同理可得， ∵∠AGF＝90°， ∴AG2+GF2＝AF2， ∴， 整理得AC2+FD2＝2AF2， ∴BC2+DF2＝2AF2． 【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5．（2024•海淀区二模）在△ABC中，AB＝AC，∠A＜60°，点D在边AC上（不与点A，C重合），连接BD，平移线段BD，使点B移到点C，得到线段CE，连接DE． （1）在图1中补全图形，若∠BAC＝2∠E，求证：∠CBD与∠CDE互余； （2）连接AE，若AC平分∠BAE，用等式表示∠CBD与∠BAE之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据题干意思作出图形，通过倒角得出∠CBD与∠CDE互余； （2）利用全等，平行四边形性质，菱形性质等求出∠CBD与∠BAE之间的数量关系． 【解答】解：（1）如图，即为所求作的图形， ∴四边形BCED是平行四边形， ∴∠E＝∠CBD， 设∠E＝x＝∠CBD， ∵∠BAC＝2∠E， ∴∠BAC＝2x， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝90﹣x， ∵四边形BCED是平行四边形， ∴BC∥DE， ∴∠CDE＝∠ACB＝90﹣x， ∴∠CDE+∠CBD＝90°， ∴∠CBD与∠CDE互余； （2）∠CBD与∠BAE之间的数量关系为 ． 连接BE，交AC于点O，延长AC至F，使OF＝OA，连接EF， 由（1）可得，四边形BCED为平行四边形， 则 OB＝OE， ∵OA＝OF，∠BOA＝∠EOF， ∴△BOA≌△EOF， ∴AB＝FE，∠BAO＝∠EFO， ∵AC平分∠BAE， ∴， ∴∠EFO＝∠EAO， ∴AE＝FE， ∵OB＝OE， ∴AC⊥BE， ∴四边形BCED为菱形， ∴BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD， 在△BCD中，∠CBD+2∠BCD＝180°， 在△ABC中，∠BAC+2∠BCD＝180°， ∴∠BAC＝∠CBD， ∴． 【点评】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质吗，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握这些定理及性质是解题的关键． 6．（2024•北京市第十一中学二模）（1）如图1，平分分别在射线上，若，求证：; （2）如图2，在中，交边于点于点H．已知，求的面积； （3）如图3，在等边中，点D在边上，P为延长线上一点，E为边上一点，已知平分，求的长． 【分析】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）直接证明即可， （2）过C作于点D．通过导角证明，利用角平分线的性质定理得出，最后利用三角形面积公式即可求解； （3）在线段上取一点F，使，并连结．先证，求出相关边长度，再证，根据对应边成比例即可求解． 【解答】（1）证明：平分， ， 又， ， ； （2）解：如图，过C作于点D． ， ， 又， ， ，， ， ； （3）解：如图，在线段上取一点F，使，并连结． 平分， ， 又， ， ， ， ，， ， ，即 ． 7．（2024•朝阳区校级模拟）在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和ED，设EC＝k•BD（k≠0）． （1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明； （2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时： ①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由； ②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值． 【分析】（1）根据题意得到△ABC和△ADE都是等边三角形，证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质解答； （2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算； ②作EF⊥AC于F，设AD＝DE＝a，证明△CFE∽△CAD，根据相似三角形的性质求出EF，根据勾股定理求出AF，根据正切的定义计算即可． 【解答】解：（1）k＝1， 理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE， ∴△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAB＝∠EAC， 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS） ∴EC＝DB，即k＝1； （2）①k值发生变化，k， ∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE， ∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴，，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴，∠DAB＝∠EAC， ∴△EAC∽△DAB， ∴，即ECBD， ∴k； ②作EF⊥AC于F， 设AD＝DE＝a，则AEa， ∵点E为DC中点， ∴CD＝2a， 由勾股定理得，ACa， ∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA， ∴△CFE∽△CAD， ∴，即， 解得，EFa， ∴AFa， 则tan∠EAC． 【点评】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 8．（2024•东城区校级模拟）在等腰△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝BC，D是边AC中点，E是线段AD上一动点（可与点A，D重合），边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF． （1）如图1，若∠ABE＝15°，依题意补全图形，此时∠ABF＝　 　°． （2）如图2，依题意补全图后，延长FA，交射线BE于点G． ①用等式表示线段GF，AG，BG之间的数量关系，并证明． ②若，△BGF面积最大值是 　 　，此时AE的长是 　 　． 【分析】（1）根据题意画出图形，由轴对称的性质得到∠EBF＝∠EBC，再由∠ABF＝∠EBF﹣∠ABE即可求得答案； （2）①连接EF，过点B作BH⊥FG于点H，设∠BEF＝∠BEC＝α，由∠BAC＝∠C＝∠BFE＝30°，可得A、E、B、F四点共圆，得出∠BAF＝∠BEF＝α，推出∠G＝∠BEF﹣∠AFE＝α﹣（α﹣30°）＝30°，再根据解直角三角形即可得出答案； ②由题意可得点G在以BF为弦，所对的圆周角为30°的圆弧上运动，过点O作OH⊥BF于H，交优弧于点G′，连接OB，当BG＝GF时，即点G位于点G′时，△BFG的面积最大，利用解直角三角形可得△BGF面积最大值；过点E作EK⊥AB于K，则EKAE，AKAE，∠BFG＝∠FBG＝∠CBG＝75°，∠ABE＝∠ABC﹣∠CBG＝45°，得出BK＝EKAE，再由AK+BK＝AB，即可求得AE． 【解答】解：（1）补全图形如图所示： ∵∠ABC＝120°，∠ABE＝15°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝120°﹣15°＝105°， ∵边BC关于BE对称的线段为BF， ∴∠EBF＝∠EBC， ∴∠ABF＝∠EBF﹣∠ABE＝105°﹣15°＝90°， 故答案为：90． （2）①GFBG﹣AG．理由如下： 如图，连接EF，过点B作BH⊥FG于点H， ∵边BC关于BE对称的线段为BF， ∴BF＝BC，∠BFE＝∠C，∠BEF＝∠BEC， 设∠BEF＝∠BEC＝α， ∵∠BAC＝∠C＝∠BFE＝30°， ∴A、E、B、F四点共圆， ∴∠BAF＝∠BEF＝α， ∵BA＝BC， ∴BA＝BF， ∴∠BFA＝α， ∴∠AFE＝∠BFA﹣∠BFE＝α﹣30°， ∴∠G＝∠BEF﹣∠AFE＝α﹣（α﹣30°）＝30°， ∵BA＝BF，BH⊥AF， ∴AH＝FHAF， 在Rt△BGH中，BH＝BG•sinG＝BG•sin30°BG，GH＝BG•cosG＝BG•cos30°BG， 即AG+AHBG， ∴AHBG﹣AG， ∵GF＝AG+2AH＝AG+2（BG﹣AG）BG﹣AG， ∴GFBG﹣AG． ②由①知：∠BGF＝30°， ∵BF＝AB3， ∴点G在以BF为弦，所对的圆周角为30°的圆弧上运动，如图，过点O作OH⊥BF于H，交优弧于点G′，连接OB， 当BG＝GF时，即点G位于点G′时，△BFG的面积最大， ∵OH⊥弦BF， ∴BH＝FH，即OH垂直平分BH， ∴BG′＝FG′，∠BG′H∠BG′F∠G＝15°， ∵OG′＝OB， ∴∠OBG′＝∠OG′B， ∴∠BOH＝∠OBG′+∠OG′B＝30°， ∴OB＝2BH＝BF3，OH＝BH•tan∠BOHtan30°， ∴S△BFG′BF•G′H（3）×（3）， ∴△BGF面积最大值是； 此时，点E的位置如图所示，过点E作EK⊥AB于K， 则EKAE，AKAE，∠BFG＝∠FBG＝∠CBG＝75°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CBG＝120°﹣75°＝45°， ∴△BEK是等腰直角三角形， ∴BK＝EKAE， ∵AK+BK＝AB， ∴AEAE3， ∴AE＝2； 故答案为：，2． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，圆的性质，解直角三角形等，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．（2024•北京模拟）在等边△ABC中，点D为BC的中点，点E为AD上一点（不与A、D重合），连接EB、EC． 将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，使点F落在BA的延长线上，在图1中补全图形： （1）求∠CEF的度数； （2）探究线段AC，AE，AF之间的数量关系，并加以证明； （3）将线段EC绕点E旋转，在旋转过程中与边AB交于点H，连接CH，若AB＝5，当AE＝BH时，请写出CH+CE的最小值． 【分析】（1）可推出∠AFE＝∠ABE＝∠ACE，从而得出低昂A、E、C、F共圆，从而得出∠CEF＝∠CAF＝120°； （2）在AC上截取C＝AF，作EH⊥AC于H，可推出△AEF≌△GEC，从而AE＝EG，∠AEF＝∠CEG，进而得出∠AEG＝∠FEC＝120°，进一步可得出结果； （3）将AC绕点A顺时针旋转90°至AN，连接NE，连接CN，结合全等三角形的判定和性质进行分析求解． 【解答】解：（1）如图1， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴∠CAF＝120°， ∵点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵BE＝CE， ∴∠DBE＝∠DCE， ∴∠ABC﹣∠DBE＝∠ACB﹣∠DCE， ∴∠ABE＝∠ACE， 由旋转可知：BE＝EF， ∴∠ABE＝∠AFE， ∴∠AFE＝∠ABE， ∴点A、E、C、F共圆， ∴∠CEF＝∠CAF＝120°； （2）如图2， AC＝AFAE，理由如下： 在AC上截取CG＝AF，作EH⊥AC于H， 由（1）知：∠AFE＝∠ACE， ∵EF＝BE＝CE， ∴△AEF≌△GEC（SAS）， ∴AE＝EG，∠AEF＝∠CEG， ∴∠AEF+∠FEG＝∠CEG+∠FEG，AH＝HGAG ∴∠AEG＝∠FEC＝120°， ∴∠AEH＝∠GEH， ∴AH＝AE•sin∠AEH＝AE•sin60°AE， ∴AG＝2AH， ∴AC＝CG+AG＝AFAE． （3）如图，将AC绕点A顺时针旋转90°至AN，连接NE，连接CN， 则∠NAE＝90°﹣∠CAD＝60°，AN＝AC＝BC＝5， ∴∠NAE＝∠CBH＝60°， 又∵AE＝BH， ∴△NAE≌△CBH（SAS）， ∴CH＝EN， ∴CH+CE＝NE+EC≥CN， 当N、E、C三点共线时NE+EC最小， 在等腰直角△CAN中：CN， ∴CH+CE的最小值为5． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，等边三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 10．（2024•北京市广渠门中学二模）如图，，点在上，过点作的平行线，与的平分线交于点，为的中点，点在上，（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．    (1)①直接写出线段与之间的数量关系； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)连接并延长，分别交，于点，过点作的垂线，交于点．依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系． 【分析】（1）①由平行线的定义结合角平分线的定义得出，再由等角对等边即可得证；②由平行线的性质得出，推出，由旋转的性质可得：，，求出，证明，得出，再由为的中点得出，即可得证； （2）根据题意补全图形即可，在上截取，连接，证明得出，结合平行线的性质得出，由题意得出，在上截取，由（1）可得：，求出，证明，得出，推出垂直平分，即，从而得出，最后由平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【解答】（1）解：①由题意得：， ， 平分， ， ， ； ②，证明如下： 由题意得：， ， ， 由旋转的性质可得：，， ， ，即， ， ， ， 为的中点， ， ； （2）解：补全图形如图所示：     ，，理由如下： 在上截取，连接， 由（1）可得， ，， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在上截取， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分，即， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 四边形综合探究题 11．（2024•北京市房山区二模）如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点Q．    (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据正方形的性质得，，根据轴对称得，，，根据三角形的外角性质及角的和差可得根据同角的余角相等等量代换得出，得为等腰直角三角形，得， （3）过点C作交延长线于点H，证，，根据全等三角形的性质可得，，在中，，得结论． 【解答】（1）依题意补全图形，如图．    （2）解：四边形是正方形， ，． 点B，F是关于直线对称， ，，． ． ． ， ． ， ． ，即． （3）． 证明：过点C作交延长线于点H．     ． ， ． ． ， ． ． ． ． 在中，． ． 【点评】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 12．（2024•石景山区二模）在正方形ABCD中，E是边AD上的一动点（不与点A，D重合），连接BE，点C关于直线BE的对称点为F，连接FA，FB． （1）如图1，若△ABF是等边三角形，则∠ABE＝　 　°； （2）如图2，延长BE交FA的延长线于点M，连接CF交BE于点H，连接DM． ①求∠MFH的大小； ②用等式表示线段MB，MD，AB之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据正方形的性质及等边三角形的性质即可解答； （2）①根据正方形的性质及三角形内角和定理即可解答； ②过点A作AN⊥AM交BM于点N，连接BD，根据直角三角形的性质及正方形的性质，证明△AMD≌△ANB（SAS），利用勾股定理即可解答． 【解答】解：（1）∵正方形ABCD， ∴∠ABC＝90°， ∵△ABF是等边三角形， ∴∠ABF＝60°， ∵点C关于直线BE的对称点为F， ∴∠FBE＝∠CBE， ∴∠FBA+∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE， ∴60°+∠ABE＝90°﹣∠ABE， ∴∠ABE＝15°， 故答案为：15°． （2）①如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，BA＝BC， ∵点F与点C关于直线BE对称， ∴BF＝BC，∠MHF＝90°， ∴BF＝BA， 设∠1＝α， 在△BFC中，BF＝BC， ∴， 在△BFA中，BF＝BA， ∴． ∴． ②数量关系：MB2+MD2＝2AB2，证明如下： 过点A作AN⊥AM交BM于点N，连接BD，如图， 在Rt△FHM中，∠3＝45°， ∴∠HMF＝45°， ∴∠ANM＝∠AMN＝45°，∠ANB＝135°， ∴AM＝AN， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AD＝AB，， ∴∠4＝∠5， ∴△AMD≌△ANB（SAS）， ∴∠AMD＝∠ANB＝135°， ∴∠BMD＝∠AMD﹣∠AMN＝90°， 在Rt△BMD中，由勾股定理得MB2+MD2＝BD2， 即MB2+MD2＝2AB2． 【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，掌握这些性质是解题的关键． 13．（2024•海淀区校级三模）矩形ABCD中，，AD＝6．点E在边BC、CD上运动，连接AE，将射线AE绕点A逆时针旋转30°，交直线CD于点F． （1）如图1，当点F恰好与点C重合时，则∠FAD＝　 度； （2）过点E作EG⊥AF于点G，连接DG． ①如图2，当F落在线段CD上时．求∠GDC的度数； ②如图3，当F落在线段CD的延长线上且FD＝DG时，求． 【分析】（1）求出AC＝4，得AC＝2AB，据此知∠ACB＝30°，继而可得答案； （2）连接AC，在Rt△ACD中，由tan∠CAD知∠CAD＝30°，∠ACD＝60°，，由旋转知∠EAF＝30°，结合EG⊥AF得，可得，据此可证△EAC∽△GAD，得∠ADG＝∠ACE＝30°，继而可得答案； （3）连接AC，过点G作PQ∥BC交CD延长线于点P，交BA延长线于点Q，由（2）得△EAC∽△GAD，知ADG＝∠ACE＝60°，证四边形ADPQ是矩形，知PD＝AQ，∠AQG＝∠GPD＝∠PDA＝90°，∠AQG＝∠FPG，结合∠QGA＝∠FGP，知△QGA∽△PGF，得，在Rt△GPD中，可设，DG＝2a，知，知，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AB＝2，AD＝BC＝6， ∴AC4， ∴AC＝2AB， ∴∠ACB＝30°， 由AD∥BC知∠FAD＝∠ACB＝30°， 故答案为：30； （2）如图1，连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，AD＝BC＝6，∠ADC＝∠CBA＝90°， 在Rt△ACD中，， ∴∠CAD＝30°，∠ACD＝60°，， ∵AE绕点A逆时针旋转30°到AF， ∴∠EAF＝30°， ∵EG⊥AF， ∴在Rt△AGE中，， ∴， ∵∠CAD＝∠EAF＝30°， ∴∠CAD﹣∠CAF＝∠EAF﹣∠CAF，∠EAC＝∠DAF， ∴△EAC∽△GAD， ∴∠ADG＝∠ACE＝30°， ∴∠GDC＝∠ADC﹣∠ADG＝90°﹣30°＝60°； （3）如图2，连接AC，过点G作PQ∥BC交CD延长线于点P，交BA延长线于点Q， 由（2）得△EAC∽△GAD， ∠ADG＝∠ACE＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠CDA＝90°， ∴四边形ADPQ是矩形， ∴PD＝AQ，∠AQG＝∠GPD＝∠PDA＝90°， ∴∠FPG＝90°，∠GDP＝30°， ∴∠AQG＝∠FPG， ∵∠QGA＝∠FGP， ∴△QGA∽△PGF， ∴， 在Rt△GPD中，∠GPD＝90°，∠GDP＝30°， ∴， 设，DG＝2a， ∵FD＝DG＝2a，， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题是四边形的综合题，解题的关键是掌握旋转的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义． 新定义与圆的综合探究题 14．（2024•北京市海淀区二模）如图，是外一点，分别切于点，与交于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)过点作的平行线，与的另一个交点为，连接．若，求的半径和的值． 【分析】（1）连接，根据可得，根据切线的性质，切线长定理即可求得，由此即可求解； （2）作，根据等边三角形的判和性质可得是直径，可得是直角三角形，根据垂径定理，含角的直角三角形的性质可得半径，根据解直角三角形的方法即可求解． 【解答】（1）证明：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴，即是等边三角形， ∴， 在中，， ∴，则，且， ∴是等边三角形； （2）解：如图所示，延长交于点，连接并延长交于点，连接， 由（1）可知，， ∵， ∴，且， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴， ∵，且， ∴点三点共线，即点与点重合， ∴是的直径， ∴是直角三角形， ∵是等边三角形，，， ∴， ∴，， ∴中，， ∴，， ∴，即的半径为， ∴， 在中，， ∴， 综上所述，的半径为，． 【点评】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，含角的直角三角形的性质，解直角三角形的计算方法等知识是解题的关键． 15．（2024•北京二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB都是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”． （1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）． ①在点C1（﹣1，1），C2（﹣1，），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是 　 ； ②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出AC，OC的长． （2）已知直线与x轴，y轴分别交于点M，N，对于线段MN上一点T，存在⊙O的弦PQ，使得点T是弦PQ的“关联点”，记四边形OPTQ的面积为S，当点T在线段MN上运动时，直接写出S的最小值和最大值，以及相应的PQ长． 【分析】（1）求出OB1的关系式，再求出垂直于OB1的l的关系式，代入x＝﹣1即可； （2）同理求出OB2级CB2的关系式，代入x＝﹣1即可； （3）由点圆关系得，点离圆越近，离圆心的距离OT越短，切点之间的距离PQ越短，当OT⊥MN时，OT值最小，PQ最小，当点T在点M出时OM最大，PQ最大，此时S最大，利用等面积和全等求出相应线段即可解答此问． 【解答】解：（1）①连接OB1，过B1作OB1的垂线l，如图， 设OB1：y＝kx， 把B1（，）代入得k， ∴k， ∴yx， ∵l⊥OB1， ∴设l：yx+b， 把（，）代入得， k+b， ∴b， ∴l：yx， 把x＝﹣1代入得，y， ∴C2（﹣1，）是弦AB1的“关联点”， 故答案为：C2； （2）连接OB2，过B2作CB2⊥OB2，交x＝﹣1于点C， 同理求得OB2：yx，CB2：yx， 把x＝﹣1代入得，y， ∴AC， ∴OC＝2AC； （3）由点圆关系得，点离圆越近，离圆心的距离OT越短，切点之间的距离PQ越短， 如图，直线MN为yx+2， 当OT⊥MN时，OT值最小，PQ最小， ∵OT⊥PQ， ∴SOT•PQ， ∴此时S最小，由直线MN为yx+2得，∠ONM＝60°，∠OMN＝30°， ∴ON＝2，OM＝2，MN＝4， ∴OT＝2×24， ∵OQ＝1，∠OQT＝90°， ∴TQ， ∴QH＝1， ∴PQ＝2QH， ∴S； 如图，当点T在点M出时OM最大，PQ最大，此时S最大， ∵OM＝2，OQ＝1， ∴QM， ∴QH1×÷2， ∴QP＝2HQ， ∴S2． 综上，S的最小值为，PQ，S的最大值为，PQ． 【点评】本题考查了圆的综合，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，三角形相似及勾股定理的应用是本题的解题关键． 16．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，将图形W上除原点O外的每一点P变换为射线OP上的点P'，使OP⋅OP'＝4，称点P'是点P的“对应点”，P'构成的图形是图形W的“反形”．已知点S是满足OS＝r的动点，以点S为圆心作过点O的⊙S．点T在半径为4的⊙O上运动，过点T作⊙O的切线l． （1）如图，当r＝2时，对于s（2，0），在图中画出⊙S上的点P1（4，0），P2（2，2）的“对应点”P1′，P2′； （2）当点T运动至点（0，4）时，设Q'为切线l上一点的“对应点”，试求OQ'的最大值； （3）如果存在点S与点T，使⊙S的“反形”中存在一点M'，切线l的“反形”中存在一点N'，满足M'N'≤1，直接写出r的取值范围． 【分析】（1）由“对应点”定义，可求点P'1（1，0），点P'2（1，1），即可求解； （2）由题意可得OQ≥4，由对应点定义可得OQ'≤1，即可求解； （3）先确定点N'和点M'的轨迹，即可求解． 【解答】解：（1）∵点P1（4，0），1﹣10×0.035﹣0.15﹣0.05＝0.45， ∴OP1＝4，， ∵OP1⋅OP1′＝4， ∴OP1′＝1， 又∵OP1在x轴上， ∴点P'1（1，0）， ∵OP2⋅OP2′＝4， ∴， ∵OP2在直线y＝x上， ∴点P'2（1，1）； （2）∵点T（0，4）， ∴⊙O的切线解析式为y＝4， ∴点Q纵坐标为4， ∴OQ≥4， ∵OQ⋅OQ'＝4， ∴0＜OQ'≤1， ∴OQ'的最大值为1； （3）∵点N是⊙O的切线上， ∴ON≥4， ∴0＜ON'≤1， ∴点N'在以O为圆心，1为半径的圆内或圆上（原点除外）， ∵0＜M'N'≤1， ∴点M'在以O'为圆心，2为半径的圆内或圆上（原点除外）， ∴0＜OM'≤2， ∴OM≥2， ∴2r≥2， ∴r≥1． 【点评】本题是圆的综合题，切线的性质，理解新定义并运用是解题的关键． 17．（2024•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M，给出如下定义：若图形M上存在一点Q不与O重合，使点P关于直线OQ的对称点P′在图形M上，则称P为图形M的关联点． （1）如图，点A（﹣2，2），B（2，2）．在点C1（1，0），C2（2，﹣2），C3（﹣2，0）中，线段AB的关联点是 　 ； （2）已知点D（﹣1，0），⊙D的半径为2，点P在直线上，若P为⊙D的关联点，求点P的横坐标xP的取值范围； （3）⊙T的圆心为（0，t），半径为3，x轴上存在⊙T的关联点，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）点C2关于直线OB的对称点是点A，点C3关于直线OA的对称点是线段AB的中点，故C2，C3是线段AB的关联点； （2）由题意得OP＝OP'，则以O为圆心，OP为半径的圆要与⊙D有公共点即P′，PP′的中垂线OQ与⊙D有交点即点Q，则|OP﹣2|≤1≤2+OP，即1≤OP≤3，①当点P在第一象限时，当OP＝1时，⊙D，⊙O内切于x轴正半轴，切点为点p，则OG＝xPOP；当OP＝3时，⊙D，⊙O内切于x轴负半轴，切点为点P′，则OG＝xPOP，因此xp，当点P在第三象限时，同理可求xp； （3）当OP，OQ与⊙T相切时，∠POP′最大，能让点P′落在x轴上，当点P′落在x轴负半轴时，设∠POT＝∠QOT＝α，则∠P′OQ＝2α，可得3α＝90°，则α＝30°，此时t＝6，当点P′落在x轴正半轴时，可求t＝﹣6，因此t的取值范围是﹣6≤t≤6． 【解答】解：（1）如图1，作直线OA，OB， 由图可知：点C2关于直线OB的对称点是点A1，点C3关于直线OA的对称点是线段AB上的点C， 所以线段AB的关联点是 C2、C3， 故答案为：C2，C3； （2）由题意得OP＝OP'，则以O为圆心，OP为半径的圆要与⊙D有公共点即P′，PP′的中垂线OQ与⊙D有交点即点Q， ∴满足|RO﹣RD|≤OD≤RD+RO， ∴|OP﹣2|≤1≤2+OP， 解得：1≤OP≤3； ①当点P在第一象限时， 当OP＝1时，⊙D，⊙O内切于x轴正半轴，切点为点P′，如图2：过点P作x轴的垂线，垂足为点G，设P（m，m）， 即OG＝m，PGm， ∴tan∠OPG， ∴∠OPG＝30°， ∴OG＝xPOP； 当OP＝3时，⊙D，⊙O内切于x轴负半轴，切点为点P′，如图3： OG＝xPOP， ∴当xp时，满足条件； ②当点P在第三象限时，同理可求xp， 综上所述，若P为⊙D的关联点，点P的横坐标xp的取值范围为：xp或﹣≤xp≤3； （3）t的取值范围为﹣6≤t≤6．理由如下： 由题意得∠POQ＝∠P′OQ，先定点Q和⊙T，当点P向下运动，点P′越靠近x轴，即∠POQ尽可能大，因此当OP与⊙T相切符合题意，如图4： ∵OP与⊙T相切时，点T到OP的距离最大，由OT不变，得到sin∠TOP最大，则∠TOP最大， ∴∠POQ最大， ∴第一个满足的约束条件是OP与⊙T相切，定点P和⊙T，则当点Q向下运动时，点P′越靠近x轴，即∠POQ要尽可能大，同上可得当OQ与⊙T 相切时，∠POQ最大， ∴第二个满足的约束条件是OQ与⊙T相切， ∴当OP，OQ与⊙T相切时，∠POP最大，当点p落在x轴负半轴时，如图6： ∵∠TQO＝∠TPO＝90°，TQ＝TP，OT＝OT， ∴Rt△OPT≌Rt△OQT（HL）， 设∠POT＝∠QOT＝α，则∠POQ＝2α， ∵3α＝90°， 解得：α＝30°， ∴OT＝t＝2TP＝6； 当点P′落在x轴正半轴时，如图7： 同理可求OT＝﹣t＝2TP＝6， ∴t＝﹣6， ∴t的取值范围为﹣6≤t≤6． 【点评】本题考查了新定义，轴对称图形的性质，直线与圆的位置关系，30° 角的直角三角形的性质，圆与圆的位置关系，解题的关键是将问题进行转化为直线与圆的位置关系，圆与圆的位置，难点在于“控制变量”，找出临界状态． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 几何探究综合题 三角形综合探究题 1．（2024•顺义区二模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D为AC上一点（不与点A、C重合），将线段DA绕点D顺时针旋转α，得到线段DE，连接BD并延长到点F，使DF＝BD，作射线FE，交射线BA于点G． （1）依题意补全图形； （2）求证：BG＝2DE； （3）在射线BA上取点H（不与点G重合），使AH＝AG，连接CH、CF，用等式表示线段CH与CF的数量关系，并证明． 2．（2024•海淀区校级二模）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0＜α＜90°），点D为线段BC上一点，连接AD，作射线AE使得∠DAE＝90°﹣α．过点D作AD的垂线交AE于点F，连接CF，取CF中点M，连接BM，DM． （1）补全图形； （2）求证：∠BAC＝∠DAF； （3）①判断△MBD的形状，并证明． ②直接写出∠MDB的大小（用α表示）． 3．（2024•北京二模）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，M为AB的中点，D为线段AB上的动点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接AE，CM． （1）如图1，点D在线段AM上，求证：AE＝MD； （2）如图2，点D在线段BM上，连接DE，取DE的中点F，连接AF并延长交CD的延长线于点G，若∠G＝∠ACE，用等式表示线段AE，AF，FG的数量关系，并证明． 4．（2024•海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD，AE⊥CD于点E，以点A为圆心，CD长为半径画弧，交AE于点F，连接DF． （1）依题意补全图形： ①设∠BCD＝α，则∠DFA的度数为 　 　；（用含α的式子表示） ②求证：DF∥BC； （2）探究DF、AF、BC之间的数量关系并证明． 5．（2024•海淀区二模）在△ABC中，AB＝AC，∠A＜60°，点D在边AC上（不与点A，C重合），连接BD，平移线段BD，使点B移到点C，得到线段CE，连接DE． （1）在图1中补全图形，若∠BAC＝2∠E，求证：∠CBD与∠CDE互余； （2）连接AE，若AC平分∠BAE，用等式表示∠CBD与∠BAE之间的数量关系，并证明． 6．（2024•北京市第十一中学二模）（1）如图1，平分分别在射线上，若，求证：; （2）如图2，在中，交边于点于点H．已知，求的面积； （3）如图3，在等边中，点D在边上，P为延长线上一点，E为边上一点，已知平分，求的长． 7．（2024•朝阳区校级模拟）在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和ED，设EC＝k•BD（k≠0）． （1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值，并给予证明； （2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时： ①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由； ②如图3，当D，E，C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值． 8．（2024•东城区校级模拟）在等腰△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝BC，D是边AC中点，E是线段AD上一动点（可与点A，D重合），边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF． （1）如图1，若∠ABE＝15°，依题意补全图形，此时∠ABF＝　 　°． （2）如图2，依题意补全图后，延长FA，交射线BE于点G． ①用等式表示线段GF，AG，BG之间的数量关系，并证明． ②若，△BGF面积最大值是 　 　，此时AE的长是 　 　． 9．（2024•北京模拟）在等边△ABC中，点D为BC的中点，点E为AD上一点（不与A、D重合），连接EB、EC． 将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，使点F落在BA的延长线上，在图1中补全图形： （1）求∠CEF的度数； （2）探究线段AC，AE，AF之间的数量关系，并加以证明； （3）将线段EC绕点E旋转，在旋转过程中与边AB交于点H，连接CH，若AB＝5，当AE＝BH时，请写出CH+CE的最小值． 10．（2024•北京市广渠门中学二模）如图，，点在上，过点作的平行线，与的平分线交于点，为的中点，点在上，（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．    (1)①直接写出线段与之间的数量关系； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)连接并延长，分别交，于点，过点作的垂线，交于点．依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系． 四边形综合探究题 11．（2024•北京市房山区二模）如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点Q．    (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 12．（2024•石景山区二模）在正方形ABCD中，E是边AD上的一动点（不与点A，D重合），连接BE，点C关于直线BE的对称点为F，连接FA，FB． （1）如图1，若△ABF是等边三角形，则∠ABE＝　 　°； （2）如图2，延长BE交FA的延长线于点M，连接CF交BE于点H，连接DM． ①求∠MFH的大小； ②用等式表示线段MB，MD，AB之间的数量关系，并证明． 13．（2024•海淀区校级三模）矩形ABCD中，，AD＝6．点E在边BC、CD上运动，连接AE，将射线AE绕点A逆时针旋转30°，交直线CD于点F． （1）如图1，当点F恰好与点C重合时，则∠FAD＝　 度； （2）过点E作EG⊥AF于点G，连接DG． ①如图2，当F落在线段CD上时．求∠GDC的度数； ②如图3，当F落在线段CD的延长线上且FD＝DG时，求． 新定义与圆的综合探究题 14．（2024•北京市海淀区二模）如图，是外一点，分别切于点，与交于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)过点作的平行线，与的另一个交点为，连接．若，求的半径和的值． 15．（2024•北京二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB都是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”． （1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）． ①在点C1（﹣1，1），C2（﹣1，），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是 　 ； ②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出AC，OC的长． （2）已知直线与x轴，y轴分别交于点M，N，对于线段MN上一点T，存在⊙O的弦PQ，使得点T是弦PQ的“关联点”，记四边形OPTQ的面积为S，当点T在线段MN上运动时，直接写出S的最小值和最大值，以及相应的PQ长． 16．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，将图形W上除原点O外的每一点P变换为射线OP上的点P'，使OP⋅OP'＝4，称点P'是点P的“对应点”，P'构成的图形是图形W的“反形”．已知点S是满足OS＝r的动点，以点S为圆心作过点O的⊙S．点T在半径为4的⊙O上运动，过点T作⊙O的切线l． （1）如图，当r＝2时，对于s（2，0），在图中画出⊙S上的点P1（4，0），P2（2，2）的“对应点”P1′，P2′； （2）当点T运动至点（0，4）时，设Q'为切线l上一点的“对应点”，试求OQ'的最大值； （3）如果存在点S与点T，使⊙S的“反形”中存在一点M'，切线l的“反形”中存在一点N'，满足M'N'≤1，直接写出r的取值范围． 17．（2024•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M，给出如下定义：若图形M上存在一点Q不与O重合，使点P关于直线OQ的对称点P′在图形M上，则称P为图形M的关联点． （1）如图，点A（﹣2，2），B（2，2）．在点C1（1，0），C2（2，﹣2），C3（﹣2，0）中，线段AB的关联点是 　 ； （2）已知点D（﹣1，0），⊙D的半径为2，点P在直线上，若P为⊙D的关联点，求点P的横坐标xP的取值范围； （3）⊙T的圆心为（0，t），半径为3，x轴上存在⊙T的关联点，直接写出t的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$