八年级数学下学期期末押题卷（南京专用）-【尖子生培优】2023-2024学年八年级数学下学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

八年级数学下学期期末押题卷（南京专用）（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共18分） 1．广西的白头叶猴是国家一级保护动物，为了了解某地区白头叶猴的数量，先捕捉了10只白头叶猴给它们做上标记，然后放走，待有标记的白头叶猴完全混合于猴群后，第二次捕捉20只白头叶猴，发现其中5只有标记，从而估计这个地区的白头叶猴约有（    ）只 A．20 B．25 C．40 D．45 2．已知数据，3.14，，，，其中无理数出现的频率是（    ） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ）    A． B． C． D．0 4．甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与平均行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．设，，则m，n的关系是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将一边长为15的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 二、填空题（每小题3分，共30分） 7．若，则 ． 8．观察下列一组分式：， ，，，…．根据你的发现，第8个分式是 ． 9．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计袋中的白球大约有 个． 10．已知四边形是正方形，以为边作等边，直线与对角线相交于点，连接，则的度数为 . 11．如图，正方形的边长为4，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 12．若分式的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是 ． 13．关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 14．如图，点，，若反比例函数的图像与线段有交点，则的取值范围是 ． 15．已知：，，则 ． 16．如图，点在反比例函数上，垂直轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，，若的面积为9，则 ． 三、解答题（满分52分） 17．计算： (1)； (2)． 18．已知，先化简，再求它的值． 19．如图，为轴正半轴上一点，过点作轴的垂线，交函数（）的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴的平行线，交于点，连结． (1)当点的坐标为时，求的面积． (2)当点的坐标为时，求的面积． 20．秦九韶（年年），南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积． (1)在三角形中，，用上面的公式计算三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为，求的值． 21．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：    （1）在这次研究中，一共调查了　 名学生；若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生共有　 　名； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是　 　； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是　 　． 22．综合与探究 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴、轴分别相交于点D，C，连接．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)在y轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．为有效落实双减政策，切实做到减负提质，学校在课外活动中增加了球类项目．学校计划用1200元购买篮球，在购买时发现，每个篮球的售价可以打八折，打折后购买的篮球总数量比打折前多5个． (1)求打折前每个篮球的售价是多少元？ (2)由于学生的需求不同，该学校决定增购篮球和足球共50个，每个足球售价为55元．且此次学校购买预算为2500元，则最多可以购买多少个足球？ 24．如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 25．【方法回顾】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为正方形，直线l经过点A，于点E，于点F，若点A的坐标为，，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为菱形，直线于点A交于点P，交l于点E，点F在上，且，若，，求点E，F的坐标； 【思维拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，直线l分为两部分，于点E，于点F，若点F的坐标为，直接写出点E的坐标． 26．如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 27．根据以下素材，完成任务 设计货船通过双曲线桥的方案 素材1 一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．              素材2 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式．                (1)建立平面直角坐标系如图3所示，显然，落在第一象限的角平分线上． 甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点落在时，______，可得点A的坐标为______，此时过点A的双曲线的函数表达式为______，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意； (2)①若设点坐标为，求出的值以及点所在双曲线的函数表达式； ②此时货船能不能通过该桥洞，若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物（直接写出答案）． 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学下学期期末押题卷（南京专用）（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共18分） 1．广西的白头叶猴是国家一级保护动物，为了了解某地区白头叶猴的数量，先捕捉了10只白头叶猴给它们做上标记，然后放走，待有标记的白头叶猴完全混合于猴群后，第二次捕捉20只白头叶猴，发现其中5只有标记，从而估计这个地区的白头叶猴约有（    ）只 A．20 B．25 C．40 D．45 【答案】C 【分析】本题主要考查用样本估计总体，用第一次捕捉的只数除以其占总数的比例即可． 【详解】解：由题意知，估计这个地区的白头叶猴约有（只）， 故选：C． 2．已知数据，3.14，，，，其中无理数出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求算术平方根，求立方根，无理数的定义，求频率，掌握以上知识是解题的关键． 先判断无理数的个数，然后根据频率等于频数除以总数即可求解． 【详解】解：数据，，，，， 其中，，是无理数，共2个， ∴无理数出现的频率， 故选：B． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ）    A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ =， 故选：A． 4．甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与平均行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实际问题的函数图象，根据路程、速度、时间之间的关系得到函数解析式，根据解析式判断其图象，即可解题． 【详解】解：由题意得（），所以函数图象大致是B， 故选：B． 5．设，，则m，n的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： 故选：D 【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 6．如图，将一边长为15的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】先过点作于点，利用三角形全等的判定得到，从而求出． 【详解】解：过点作于点， 由折叠得到， ， 又， ， ， ， 则，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的折叠问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 二、填空题（每小题3分，共30分） 7．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的性质，绝对值的非负性，二次根式的性质．熟练掌握不等式的性质，绝对值的非负性，二次根式的性质是解题的关键． 由题意知，，由，可得，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．观察下列一组分式：， ，，，…．根据你的发现，第8个分式是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式规律，对于分式规律，从三个方面：符号、分子和分母分别寻找，最终得到这组分式的规律是，当时，代入求解即可得到答案，准确找准分式的规律是解决问题的关键． 【详解】解：首先观察符号：奇数项为正、偶数项为负，则符号规律是； 观察分子，则分子规律为； 观察分母，则分母规律为 ； 这组分式的规律是， 当时，， 故答案为：． 9．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计袋中的白球大约有 个． 【答案】20 【分析】设白球个数为x个，由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，然后根据概率公式列方程求解即可． 【详解】结：设白球个数为x个， ∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右， ∴口袋中得到红色球的概率为0.2， ∴，解得：， 经检验是原方程的根， 故白球的个数为20个． 故答案为20． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 10．已知四边形是正方形，以为边作等边，直线与对角线相交于点，连接，则的度数为 . 【答案】或 【分析】此题考查正方形的性质，三角形的外角的性质、三角形全等，分两种情况同理，在正方形外和内部，证明，根据等边对等角以及三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：当在正方形外部时，如图所示， 四边形是正方形． ，， 又， ， ， ， ， ， ． ， ． 解：当在正方形内部时如图所示， 同理可得， ∵，， ∴ 又 ∴ 故答案为：或． 11．如图，正方形的边长为4，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长，却，连接，，，过点O作于点H，证明，得出，证明垂直平分，得出，证明，根据当、E、G三点共线时，最小，即最小，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】解：延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴， ， ， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当、E、G三点共线时，最小，即最小， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 12．若分式的值为5，当x和y都变为原来的3倍，那么分式的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式基本性质，将原分式中的x和y分别用和代替计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意，， ， 故答案为：． 13．关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解，解分式方程，根据分式方程的解法以及分式方程的增根的定义进行计算即可． 【详解】将关于的分式方程的两边都乘以，得 ， 解得， 由于分式方程的解为负数，即， 解得， 又分式方程的增根为， 当时，即， 解得， 所以分式方程有解，则， 因此的取值范围为且． 故答案为：且． 14．如图，点，，若反比例函数的图像与线段有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点的问题以及解一元一次不等式组，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 先根据图像及已知条件列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由已知可得：，解得：． 故答案为：． 15．已知：，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是完全平方公式，二次根式的运算，关键是对要求的式子进行变形．利用完全平方公式先把进行变形，得到，再把，的值代入即可求出答案． 【详解】解：，， ； 故答案为：4． 16．如图，点在反比例函数上，垂直轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，，若的面积为9，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查反比例函数中比例系数的几何意义，解题的关键是正确地作出辅助线． 过点作轴的垂线，得到矩形，连接，则矩形的面积是面积的2倍，所以只要根据的面积求出的面积即可． 【详解】解：如图，连接，作轴于点， ∵垂直轴，， ∴四边形为矩形， ， ， ， ，， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（满分52分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、乘法分式等知识点，掌握二次根式的运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先运用乘法公式及二次根式的乘法法则进行计算，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．已知，先化简，再求它的值． 【答案】， 【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质和分式的化简求值，根据完全平方公式的特点将变形为，再根据非负数的性质得到，的值，然后根据分式的运算法则和公式将代数式化简，最后将，的值代入计算即可．确定，的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， 当，时，原式． 19．如图，为轴正半轴上一点，过点作轴的垂线，交函数（）的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴的平行线，交于点，连结． (1)当点的坐标为时，求的面积． (2)当点的坐标为时，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质及坐标，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键。 （）分别求出，，即可得解； （）分别求出，，利用面积公式即可得解。 【详解】（1）解：∵，轴， ∴， 把代入中得：， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 把代入中得：， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积， 答：的面积为； （2）解：∵，轴， ∴， 把代入中得：， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 把代入中得：， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积， 答：的面积为． 20．秦九韶（年年），南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积． (1)在三角形中，，用上面的公式计算三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据“海伦一秦九韶公式” 即可解答； （）将，代入得到，再利用即可解答． 【详解】（1）解：∵三角形中，， ∴“海伦一秦九韶公式”中的，， ∴， ； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，勾股定理解直角三角形，等腰直角三角形的性质，明确题意熟练掌握海伦一秦九韶公式是解题的关键． 21．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：    （1）在这次研究中，一共调查了　 名学生；若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生共有　 　名； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是　 　； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是　 　． 【答案】（1）；（2）补全条形统计图，见解析；阅读部分圆心角是108°，（3）选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为. 【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数；利用样本估计总体即可估计全校爱好运动的学生人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用360°乘以爱好阅读的人数所占百分比； （3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 【详解】（1）爱好运动的人数为，所占百分比为 共调查人数为：人， 爱好运动的学生人数所占的百分比为， 全校爱好运动的学生共有：人； 故答案为； （2）∵爱好上网人数为：人， ∴爱好上网的人数所占百分比为， 爱好阅读人数为：人， 补全条形统计图，如图所示，    阅读部分圆心角是， 故答案为； （3）爱好阅读的学生人数所占的百分比， 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为； 故答案为． 【点睛】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息，本题属于中等题型． 22．综合与探究 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴、轴分别相交于点D，C，连接．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)在y轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)9 (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）先求一次函数解析式，再求反比例函数解析式； （2）根据求解即可； （3）先求出，然后分和两种情况求解即可． 【详解】（1）∵，在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （2）对于， 当时，；当时，， ∴，． ∴ ； （3）∵， ∴． 当时， 则或． 当时，作于点H，    ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法，坐标与图形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理，三角形的面积公式，数形结合是解题的关键． 23．为有效落实双减政策，切实做到减负提质，学校在课外活动中增加了球类项目．学校计划用1200元购买篮球，在购买时发现，每个篮球的售价可以打八折，打折后购买的篮球总数量比打折前多5个． (1)求打折前每个篮球的售价是多少元？ (2)由于学生的需求不同，该学校决定增购篮球和足球共50个，每个足球售价为55元．且此次学校购买预算为2500元，则最多可以购买多少个足球？ 【答案】(1)打折前每个篮球的售价是元 (2)最多可以购买个足球 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，涉及解分式方程、解一元一次不等式等知识，读懂题意，根据等量关系及不等关系列出方程及不等式求解是解决问题的关键． （1）根据题意，设打折前每个篮球的售价是元，由打折后购买的篮球总数量比打折前多5个，列分式方程求解即可得到答案； （2）根据题意，设最多可以购买个足球，则购买篮球个，由此次学校购买预算为2500元，列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设打折前每个篮球的售价是元，则 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：打折前每个篮球的售价是元； （2）解：设最多可以购买个足球，则购买篮球个， ， 解得， 为正整数， 最大可取， 答：最多可以购买个足球． 24．如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由三角形中位线定理得，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长，再根据为中点即可求答案． 【详解】（1）证明：点D、E分别为，的中点，点G、F分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， 为中点， 即线段的长度为． 25．【方法回顾】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为正方形，直线l经过点A，于点E，于点F，若点A的坐标为，，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为菱形，直线于点A交于点P，交l于点E，点F在上，且，若，，求点E，F的坐标； 【思维拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，直线l分为两部分，于点E，于点F，若点F的坐标为，直接写出点E的坐标． 【答案】（1）；（2）点E，F的坐标分别是，；（3）点E的坐标是或 【分析】（1）由正方形的性质得到，利用勾股定理求出，证明，得到，即可求解； （2）由菱形的性质得到，证明，得到，设，则，，利用勾股定理求出，即可求出，根据，求出，再利用勾股定理即可求出，进而求出，即可得出结果； （3）连接，过点作轴，垂足为H，过点E作，垂足分别为点G，点P，根据题意，分为和，两种情况，结合（1）（2）方法求解即可． 【详解】解：（1）四边形为正方形，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：四边形为菱形，， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ，即， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：四边形为矩形， ， 直线l分为两部分， ， ①如图，连接，过点作轴，垂足为H，过点E作，垂足分别为点G，点P，当时， 则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，连接，过点作轴，垂足为H，过点E作，垂足分别为点G，点P，当时， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； 综上，点E的坐标是或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，正方形，菱形，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理等，正确作出辅助线，证明三角形全等，运用分类讨论的思想是解题的关键． 26．如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)为，理由见解析 (3) 【分析】（1）当，，三点共线时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可得出答案； （2）过点作于点，则，证出，则可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，则，证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵将沿翻折， ∴，，， ∵，即， ∴当，，三点共线时，有最小值， 此时， 如图，设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；    （2）为． 理由如下： 过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折，使点落在点处， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴；    （3）． 理由如下： 过点作，交的延长线于点，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即．    【点睛】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 27．根据以下素材，完成任务 设计货船通过双曲线桥的方案 素材1 一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．              素材2 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米，米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度（米）与货船增加的载重量（吨）满足函数表达式．                (1)建立平面直角坐标系如图3所示，显然，落在第一象限的角平分线上． 甲说：点可以在第一象限角平分线的任意位置． 乙说：不对吧？当点落在时，______，可得点A的坐标为______，此时过点A的双曲线的函数表达式为______，而点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意； (2)①若设点坐标为，求出的值以及点所在双曲线的函数表达式； ②此时货船能不能通过该桥洞，若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物（直接写出答案）． 【答案】(1)12，， (2)①；②2吨 【分析】（1）过点C作轴于点G，在中，运用勾股定理求得，而，则；过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理求得，即可求出点A的双曲线的函数表达式； （2）①可表示，，则 ，而， 代入得：，解方程即可求出，继而求出点C坐标以及过点C的反比例函数解析式； ②设，，其中，则，，可得，由，，可得，，可得，再根据矩形的性质可得，即可判断此时货船不能通过；运用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得直线与双曲线的交点，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点C作轴于点G， ∵点落在时， 则，而， ∴为等腰直角三角形，则， 则在中，，而， ∴； 设直线表达式为：， 代入得：， ∴第一象限角平分线为直线， 落在第一象限的角平分线上， 、关于对称，即、关于第一象限角平分线对称， 点是的中点，， 过点、分别作轴、轴的平行线交于，过点作于，如图， ∴， ∴， ∴ 则、是等腰直角三角形， ， 设， 则在中，由勾股定理得：， 解得， ， ， ， ，同理可求：， ∴， 设反比例函数解析式为：， 将点A代入得：， 点在双曲线上， 点所在双曲线的函数表达式为显然不符合题意． （2）解：①由题意得， 由（1）得，， ∴，， ∴ ，而， 代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴经过点C的双曲线表达式为：； ②设，，其中，则，如图， 点在直线上， ，即， ∴，， ，， ∴，即， ∵，与x轴正方向夹角为， ∴线段的水平距离和铅锤距离均为， ∴， ， ， ， ∴反比例函数解析式为， 由，解得：，， ∴，， 四边形是矩形， ，， ∵， ∴， 同理可求， 即， ， ∴同理可求 即：， ， 此时货船不能通过该桥洞； ∵， ∴， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得：， 直线的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ， ，即， ， ， 故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞． 【点睛】本题是反比例函数应用题，考查了待定系数法，一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的性质等，解题关键是关键是根据坐标系列出相应的函数解析式． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$