专题06 轴对称与旋转（8大题型+优选提升题）-备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题06 轴对称与旋转（8大题型+优选提升题） 轴对称图形 1．（22-23七年级下·湖南永州·期末）下列图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（    ） A．    B．  C．   D．   2．（22-23七年级下·湖南岳阳·期末）在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学校徽内圆的图案是轴对称图形的是（ ） A．  B．  C．  D．   3．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）下列图形中，是轴对称图形的有 个． 4．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）给出下列图形：①角；②线段；③等边三角形；④圆；⑤正五边形．其中属于轴对称图形的有 ．(填序号) 5．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）观察下面网格中的图形，解答下列问题： (1)将网格中左图沿水平方向向右平移，使点A移至点处，作出平移后的图形： (2)（1）中作出的图形与左边原有的图形，组成一个新的图形，这个新图形是中心对称图形，还是轴对称图形？ 6．（21-22七年级下·湖南常德·期末）如图（1）～（10）所示的图案都是对称图形（其中（2）（5）（7）（9）表示两个图形），请观察并指出，哪些图案是轴对称图形？哪些图案成轴对称？    轴对称的性质 1．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   2．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（    ）    A．是等腰三角形 B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线、的交点不一定在上 3．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则 ． 4．（20-21七年级下·湖南长沙·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，则的度数为 ． 5．（21-22七年级下·湖南常德·期末）如图，与关于直线对称．与的交点在直线上． (1)指出与的对称点； (2)指出与中相等的线段和角； (3)图中还有能形成轴对称的两个三角形吗？ 6．（21-22七年级下·湖南常德·期末）如图，已知，点在的内部，点和点关于对称，点关于的对称点是，连接交于点，交于点．    (1)补全图形并保留作图痕迹； (2)求的度数； (3)若，求三角形的周长． 折叠问题 1．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别在M、N的位置上，与的交点为G，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·湖南郴州·期末）如图，在长方形中，将沿对角线对折，得到，与交于点F，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则 的度数为 ． 4．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别在M、N的位置上，与的交点为G，若，则 ． 5．（22-23七年级下·湖南娄底·期末）如图，长方形纸片，点分别在边上，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，则__________，__________，__________． (2)若，则（1）中的值是否改变？请说明你的理由． (3)将对折，点刚好落在处，且折痕与重合，求的度数．（提示，长方形的四个角都是） 6．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？ (1)如图（1），已知，填空： ∵是的平分线（已知） ∴________________________ (2)如图（2），已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，请你画出射线，射线一定平分．为什么？ 理由如下：∵是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， ∴________， ∴射线________是∠________的角平分线． 拓展应用 (3)如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在D处并且使过点C，折痕为．直接利用（2）的结论； ①若度，求的度数； ②若度，求的度数； ③的补角有________；的余角有________． 轴对称综合题 1．（21-22七年级下·湖南益阳·期末）如图，，是直线外两点，在上求作一点，使最小，其作法是（    ） A．连接并延长与的交点为 B．连接，并作线段的垂直平分线与的交点为 C．过点作的垂线，垂线与的交点为 D．过点作的垂线段，是垂足，延长到点，使，再连接，则与的交点为． 2．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）如图所示，四边形中， ,在上分别找一点,要使周长最小，此时的度数为（  ）    A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·湖北·期末）如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是 °． 4．（19-20七年级下·湖南张家界·期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，此时∠MAN的度数为 °. 5．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)若P为x轴上一点，画出点P，使得的值最小； (3)计算的面积． 6．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）在如图所示的的网格中，的三个顶点、、均在格点上． (1)如图1，作出关于直线对称的； (2)如图2，在直线上作一点，使的周长最小（仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）． 根据旋转的性质求解 1．（21-22七年级下·贵州黔西·期末）如图，将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上，若，则的长为（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 2．（22-23七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·湖南湘西·期末）如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转得到，则的度数为 ． 4．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角的度数为 度．    5．（21-22七年级下·湖南永州·期末）如图①，在中，，，点D、E分别在边、上（点D不与点A、B重合），且．连结． 问题原型：将图①中绕点A顺时针旋转，如图②． 求证：． 初步探究：在问题原型的条件下，延长交直线于点G，交直线于点F， 请利用图③探究与的关系，并说明理由． 简单应用：如图③，把图①中的绕点A顺时针旋转，连结和，延长交于点F．若，则______． 6．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，若是的内余角，则______； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线构成内余角时，请求出的值． 旋转与坐标 1．（20-21·七年级下湖南永州·期末）己知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（19-20七年级下·湖南邵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．如果将绕点按顺时针方向旋转得到，那么点对应点的坐标是（  ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·湖南永州·期末）已知点的坐标为，将点绕坐标原点顺时针旋转，得到点，则点的坐标为 ． 4．（20-21·七年级下湖南湘西·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 ． 5．（21-22七年级下·湖南湘西·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，画出绕点A按顺时针旋转90°后的，并写出点C的对应点的坐标． 6．（20-21七年级下·湖南长沙·期末）如图，△ABC中A（，3），B（，1），C（，2）． （1）将△ABC绕原点O顺时针旋转180°，在坐标系中画出旋转后的△A1B1C1； （2）写出的△A1B1C1的顶点B1的坐标 ． 旋转综合题 1．（21-22七年级·湖南岳阳·期末）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=65°，则∠EFD的度数是(   ) A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·湖南益阳·期末）如图，O为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边在射线上．将图①中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），设旋转时间为t秒 （1）当时，则 （2）在旋转一周的过程中，所在直线恰好平分，则t的值为 ． 4．（20-21七年级下·湖南邵阳·期末）一副三角板如图放置，将三角板绕点顺时针旋转角度，使得三角板的一边所在的直线与所在的直线垂直，则的度数为 ． 5．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转． （1）直接写出∠DPC的度数． （2）如图②，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当PC与PB重合时，求旋转的时间是多少？ （3）在（2）的条件下，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请直接写出旋转的时间． 6．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板和直角三角板EDC，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒5°的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．    (1)如图2，当为的角平分线时，直接写出此时t的值； (2)当旋转至的内部时，求与的数量关系． (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边与平行时，请直接写出此时t的值． 平移综合题 1．（20-21·七年级下湖南怀化·期末）在平面直角坐标系中，有一点坐标为点向右平移 个单位后的坐标是（  ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，将点P（x，y）向左平移2个单位长度到点P，则点P的坐标为（　　） A．（x+2，y） B．（x﹣2，y） C．（x，y+2） D．（x，y﹣2） 3．（21-22七年级下·湖南·期末）在平面直角坐标系内，把点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到的点的坐标是 ． 4．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知点A(−1,0)和点B(0,2),把线段AB平移,使点B移动到点C(4,4)处，这时点A移动到点D处，则点D的坐标为 . 5．（21-22七年级下·湖南·期末）已知ABC 在平面直角坐标系中的位置如图（注： A、B、C 均在格点上） （1）请在图中作出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1 ，并直接写出A1B1C1 顶点的坐标； （2）求A1B1C1 的面积； （3）再将A1B1C1 向下平移 4 个单位长度，得到A2 B2C2 ，若点 M m, n 是ABC 上一点，请直接写出 M 在A2 B2C2 上对应点 M 2 的坐标． 6．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，将坐标为（0，0），（1，3），（2，0），（3，3）的点用线段依次连接起来得到一个图案N． (1)在图（1）中，分别画出图案N关于x轴和y轴对称的图案； (2)在图（2）中，将图案N先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出第二次平移后的图案； (3)在图（3）中，以原点为对称中心，画出与图案N成中心对称的图案． 1．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，将长方形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若∠FEC＝28°，则∠EAB度数的值为（    ） A．12° B．14° C．16° D．18° 2．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别在M、N的位置上，与的交点为G，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）如图，将三角形沿直线折叠后，使得点与点重合，折痕分别交，于点，．如果，的周长为，那么的长为（    ）    A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图（1）所示为长方形纸带，将纸带第一次沿折叠成图（2），再第二次沿折叠成图（3），继续第三次沿折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住，整个过程共折叠了11次，问图（1）中的度数是（  ）    A． B． C． D． 5．（21-22七年级下·湖南益阳·期末）如图，，是直线外两点，在上求作一点，使最小，其作法是（    ） A．连接并延长与的交点为 B．连接，并作线段的垂直平分线与的交点为 C．过点作的垂线，垂线与的交点为 D．过点作的垂线段，是垂足，延长到点，使，再连接，则与的交点为． 6．（21-22七年级下·湖南邵阳·期末）将一张长方形纸条沿折叠后，与交于点，若，则的度数是 ． 7．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如图，一张足够长的纸条，，．第1次折叠使与重合，折痕．将纸条展开后再第2次折叠，使与重合，折痕，将纸条展开后第3次折叠，使与重合，折痕…依此类推，第6次折叠后， ．    8．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）如图，点是长方形边上两点，点是边上的点，连接，，分别将沿翻折，点恰好都与对角线上的点重合，若，则 ．    9．（20-21七年级下·湖南长沙·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，则的度数为 ． 10．（21-22七年级下·贵州黔西·期末）如图，长方形纸片，点E在边上，点F、G在边上，连接，将对折，点B落在直线上的点处，得折痕，将对折，点A落在直线上的点处，得折痕，，则 ． 11．（21-22七年级下·贵州黔东南·期末）如图，在正方形网格图中，的三个顶点均为格点． (1)在网格图中作出关于直线m对称的； (2)在直线m上求作一点P，使得的值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 12．（22-23七年级下·贵州黔西·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，． (1)沿水平方向移动线段，使点A和点C的横坐标相同，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标； (2)将线段绕某一点旋转一定的角度，使其与线段重合（点与点C重合，点与点D重合），请作出旋转中心点P． 13．（22-23七年级下·湖南娄底·期末）如图，长方形纸片，点分别在边上，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，则__________，__________，__________． (2)若，则（1）中的值是否改变？请说明你的理由． (3)将对折，点刚好落在处，且折痕与重合，求的度数．（提示，长方形的四个角都是） 14．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？ (1)如图（1），已知，填空： ∵是的平分线（已知） ∴________________________ (2)如图（2），已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，请你画出射线，射线一定平分．为什么？ 理由如下：∵是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， ∴________， ∴射线________是∠________的角平分线． 拓展应用 (3)如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在D处并且使过点C，折痕为．直接利用（2）的结论； ①若度，求的度数； ②若度，求的度数； ③的补角有________；的余角有________． 15．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，若是的内余角，则______； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线构成内余角时，请求出的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 轴对称与旋转（8大题型+优选提升题） 轴对称图形 1．（22-23七年级下·湖南永州·期末）下列图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（    ） A．    B．  C．   D．   【答案】B 【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可． 【详解】A.斐波那契螺旋线不是轴对称图形，故选项不符合题意； B.笛卡尔心形线是轴对称图形，故选项符合题意； C.彭烈斯三角不是轴对称图形，故选项不符合题意； D.赵爽弦图不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（22-23七年级下·湖南岳阳·期末）在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学校徽内圆的图案是轴对称图形的是（ ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，使图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 3．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）下列图形中，是轴对称图形的有 个． 【答案】2 【分析】根据轴对称图形的定义分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，是轴对称图形的有： ∴是轴对称图形的有2个 故答案为：2． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形． 4．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）给出下列图形：①角；②线段；③等边三角形；④圆；⑤正五边形．其中属于轴对称图形的有 ．(填序号) 【答案】①②③④⑤ 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可．. 【详解】解：①角是轴对称图形； ②线段是轴对称图形； ③等边三角形是轴对称图形； ④圆是轴对称图形； ⑤正五边形是轴对称图形； ∴轴对称图形有①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形的定义是解题的关键． 5．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）观察下面网格中的图形，解答下列问题： (1)将网格中左图沿水平方向向右平移，使点A移至点处，作出平移后的图形： (2)（1）中作出的图形与左边原有的图形，组成一个新的图形，这个新图形是中心对称图形，还是轴对称图形？ 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查的是平移作图，轴对称图形，解题的关键是熟练掌握平移的性质和轴对称图形的定义， （1）数出点A与点相距的格数即为平移的距离，再根据平移的性质，分别作出另外三个点的对应点，再连线即可； （2）根据轴对称图形的定义即可解答 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：新图形是轴对称图形． 6．（21-22七年级下·湖南常德·期末）如图（1）～（10）所示的图案都是对称图形（其中（2）（5）（7）（9）表示两个图形），请观察并指出，哪些图案是轴对称图形？哪些图案成轴对称？    【答案】轴对称图形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；两个图形成轴对称的有（2）（5）（7）（9） 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：根据轴对称的定义可知，轴对称图形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；两个图形成轴对称的有（2）（5）（7）（9）． 轴对称的性质 1．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，依据两点之间，线段最短，将所求路线长转化为两定点之间的距离是解答本题的关键． 依题意，分析出所需管道最短，利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：如图， 画出点关于的对称点，则： 连接，交直线于点， ， 此时，最小， 故选：． 2．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（    ）    A．是等腰三角形 B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线、的交点不一定在上 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质即可解答． 【详解】解：由题意与关于直线对称，P为上任意一点， ∵对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等， ∴， ∴是等腰三角形，选项A正确，不符合题意； ∵轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分， ∴垂直平分，，选项B正确，不符合题意； ∵轴对称图形对应的角、线段都相等， ∴△ABC与是全等三角形，面积也必然相等，选项C选项正确，不符合题意； ∵直线、关于直线对称，因此交点一定在上． ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，轴对称图形对应的角、线段都相等，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等． 3．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则 ． 【答案】/60度 【分析】连接，，，根据对称的性质证明，，即可作答． 【详解】解：连接，，，如图， ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴平分， ∴， 同理可证明：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称的性质，掌握对称的性质是解答本题的关键． 4．（20-21七年级下·湖南长沙·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由题意和矩形的性质可求出．再由翻折可求出，进而利用平行线的性质（同旁内角互补），即可求出，最后再由翻折即可求出． 【详解】∵，四边形ABCD为长方形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴． ∵， ∴， 再由折叠的性质可知，即． 故答案为． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质．掌握并理解折叠的性质是解答本题的关键． 5．（21-22七年级下·湖南常德·期末）如图，与关于直线对称．与的交点在直线上． (1)指出与的对称点； (2)指出与中相等的线段和角； (3)图中还有能形成轴对称的两个三角形吗？ 【答案】(1) (2)， (3)与与也都关于直线成轴对称 【分析】本题考查的是轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据互相重合的点是对应点可得答案； （2）根据互相重合的角与边可得答案； （3）根据能够互相重合的三角形可得答案． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称． ∴对称点分别是：； （2）解：∵与关于直线对称． ∴， （3）解：图中与与也都关于直线成轴对称． 6．（21-22七年级下·湖南常德·期末）如图，已知，点在的内部，点和点关于对称，点关于的对称点是，连接交于点，交于点．    (1)补全图形并保留作图痕迹； (2)求的度数； (3)若，求三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）理由轴对称变换的性质证明即可； （3）证明的周长即可． 【详解】（1）解：图形如图所示：    （2），关于对称，，关于对称， ，， ． （3），关于对称，，关于对称， ，， 的周长． 【点睛】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 折叠问题 1．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别在M、N的位置上，与的交点为G，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握矩形对边互相平行，两直线平行，同旁内角互补，折叠前后对应角相等． 先根据平行线的性质推出，则，即可解答． 【详解】解：∵长方形对边， ∴， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， 故选：C． 2．（22-23七年级下·湖南郴州·期末）如图，在长方形中，将沿对角线对折，得到，与交于点F，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将沿对角线对折，得到，所以，再结合，得，因为四边形是长方形，，，即可作答． 【详解】解：因为将沿对角线对折，得到， 所以， 因为， 所以， 因为四边形是长方形， 所以 因为， 故，， 因为四边形是长方形， 所以， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及折叠性质，知道是解题的关键． 3．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则 的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质及对顶角相等． 根据对顶角相等得出，再根据两直线平行同旁内角补角得出，然后根据折叠即可得出答案． 【详解】解：如图： 纸条的两边平行 折叠 故答案为：． 4．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别在M、N的位置上，与的交点为G，若，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据翻折的性质和平角的定义列式计算，即可求出． 【详解】解：∵长方形对边， ∴， ∴， 由翻折的性质得：， ∴． 故答案为：． 5．（22-23七年级下·湖南娄底·期末）如图，长方形纸片，点分别在边上，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，则__________，__________，__________． (2)若，则（1）中的值是否改变？请说明你的理由． (3)将对折，点刚好落在处，且折痕与重合，求的度数．（提示，长方形的四个角都是） 【答案】(1) (2)不变，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可求出和的值，进而可求出的值； （2）同（1）的步骤求解即可； （3）由对折得出，求出，由平行线的性质得出，由（2）得出，即可得出答案． 【详解】（1）将对折，点B落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得到折痕． ， ， ， 故答案为：； （2）若， 则（1）中的值不改变，理由如下： 同（1）得：， ； （3）长方形纸片， ， ， 将对折，点刚好落在处，且折痕与重合， ， ， ， 由（2）得：， ． 【点睛】本题考查了角的计算，对折的性质，以及平行线的性质等知识，熟练掌握对折和平行线的性质是解题的关键． 6．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？ (1)如图（1），已知，填空： ∵是的平分线（已知） ∴________________________ (2)如图（2），已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，请你画出射线，射线一定平分．为什么？ 理由如下：∵是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， ∴________， ∴射线________是∠________的角平分线． 拓展应用 (3)如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在D处并且使过点C，折痕为．直接利用（2）的结论； ①若度，求的度数； ②若度，求的度数； ③的补角有________；的余角有________． 【答案】(1)，， (2)，， (3)①；②；③；和 【分析】（1）根据角平分线的画法画出的平分线，再根据角平分线的定义进行解答； （2）根据图形反折不变性的性质可知，故可得出射线是的角平分线； （3）①根据图形反折变换的性质可知，，故可得出结论；②根据图形反折变换的性质可知，，故可得出结论；③根据补角及余角的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：如图所示： 是的平分线， ， 故答案为：，，； （2）如图所示： 是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， ， 射线是的角平分线， 故答案为：，，； （3）①由翻折而成，由翻折而成，， ，， ； ②由翻折而成，由翻折而成， ，， ； ③由②知，，， 的补角是； ， 的余角是和． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义及图形翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 轴对称综合题 1．（21-22七年级下·湖南益阳·期末）如图，，是直线外两点，在上求作一点，使最小，其作法是（    ） A．连接并延长与的交点为 B．连接，并作线段的垂直平分线与的交点为 C．过点作的垂线，垂线与的交点为 D．过点作的垂线段，是垂足，延长到点，使，再连接，则与的交点为． 【答案】D 【分析】利用两点之间线段最短求最短时的位置，则需要作点A关于直线的对称点，再连接对称点及B点即可 【详解】通过轴对称的性质作点A的对称点，再连接，利用两点之间线段最短的原理得到与的交点为 故选D 【点睛】本题考查轴对称的性质在最值问题中的应用，理解将军饮马模型并运用轴对称解题是关键． 2．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）如图所示，四边形中， ,在上分别找一点,要使周长最小，此时的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，作点A关于BC与CD对称点E、F，则AM=EM，AN=FN，E、M、N、F四点共线时△AMN的周长为最小值，延长DA至点H，则∠HAE=∠E+∠F，由∠AMN=2∠E，∠ANM=2∠F，即可求出答案. 【详解】解：根据题意，作点A关于BC与CD对称点E、F，则AM=EM，AN=FN，则E、M、N、F四点共线时△AMN的周长最小；如图：延长DA至点H，    ∵， ∴， ∴， ∵AM=EM，AN=FN， ∴∠MAE=∠E，∠NAF=∠F， ∴∠AMN=2∠E，∠ANM=2∠F， ∴； 故选：D. 【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的应用，三角形的外角性质，以及等边对等角，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，正确求出. 3．（21-22七年级下·湖北·期末）如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是 °． 【答案】100 【分析】设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP=P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数． 【详解】分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″． 由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB， ∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°， ∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°， 又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°， ∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°． 故答案为100． 【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，找点A与B的位置是关键，需灵活运用轴对称性解题． 4．（19-20七年级下·湖南张家界·期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，此时∠MAN的度数为 °. 【答案】40 【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝70°，进而得出∠MAB＋∠NAD＝70°，即可得出答案． 【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，如图： ∵∠DAB＝110°， ∴∠HAA′＝70°， ∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝70°， ∵∠MA′A＝∠MAB，∠NAD＝∠A″， ∴∠MAB＋∠NAD＝70°， ∴∠MAN＝110°−70°＝40°， 故答案为40． 【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题以及三角形外角的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键． 5．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)若P为x轴上一点，画出点P，使得的值最小； (3)计算的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了画轴对称图形、坐标与轴对称变换、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握轴对称变换是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，，，再顺次连接即可得； （2）先作点A关于x轴对称的点，再连接，与x轴的交点即为点P； （3）依据割补法即可求得的面积． 【详解】（1）解：即为所求，如图：   ； （2）解：作点关于x轴对称的点，    由两点之间线段最短得：当点、、共线时，取得最小值， 连接，则， 的值最小， 点P即为所求； （3）解： ． 6．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）在如图所示的的网格中，的三个顶点、、均在格点上． (1)如图1，作出关于直线对称的； (2)如图2，在直线上作一点，使的周长最小（仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出点、、的对应点、、，进行连接即可； （2）作点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点P，点P即为所求． 【详解】（1） 即为所求； （2） 点P即为所求． 【点睛】本题考查了轴对称的作图，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． 根据旋转的性质求解 1．（21-22七年级下·贵州黔西·期末）如图，将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上，若，则的长为（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据图形旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 2．（22-23七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，得到，进而得到，再利用平行线的性质，即可求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 3．（21-22七年级下·湖南湘西·期末）如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转得到，则的度数为 ． 【答案】/76度 【分析】此题考查了旋转的性质．注意找到旋转角是解此题的关键． 根据旋转的性质可求得，继而求得答案． 【详解】∵将绕点逆时针方向旋转得到 ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 4．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角的度数为 度．    【答案】110 【分析】先判断出旋转角最小是，根据直角三角形的性质计算出，再由旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上， 旋转角最小是， ，， ， 由旋转而成， ， ， 故答案为：110． 【点睛】此题考查是旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键． 5．（21-22七年级下·湖南永州·期末）如图①，在中，，，点D、E分别在边、上（点D不与点A、B重合），且．连结． 问题原型：将图①中绕点A顺时针旋转，如图②． 求证：． 初步探究：在问题原型的条件下，延长交直线于点G，交直线于点F， 请利用图③探究与的关系，并说明理由． 简单应用：如图③，把图①中的绕点A顺时针旋转，连结和，延长交于点F．若，则______． 【答案】问题原型：见解析；初步探究：，，理由见解析；简单应用：． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．问题原型：根据旋转的性质和已知，运用证明即可；初步探究：由问题原型中的结论：得出，，进而得到，从而得到与的位置关系；简单应用：由初步探究可知，，再由三角形内角和定理即可求的度数． 【详解】问题原型：证明：如图②，由旋转的性质可知，， 在和中， ， ∴； 初步探究： 解：． 理由如下：如图③， 由问题原型可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 简单应用： 解：由初步探究可知，， ∵， ∴． 6．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，若是的内余角，则______； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线构成内余角时，请求出的值． 【答案】(1) (2)的值为 (3)当射线构成内余角时，的值为秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． （1）根据内余角可求出的度数，再根据即可求解； （2）根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； （3）根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，列表求解即可． 【详解】（1）解：∵是的内余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：； （2）解：已知，绕点顺时针方向旋转一个角度得到，绕点顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，， ∴，， ∵是的内余角， ∴， ∴， 解得， ∴的值为； （3）解：根据题意可得，，三角板绕顶点以度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒， 当在内部时，如图所示， ∴，， ∴，， 若是的内余角时，得， ∴，无解， ∴当在内部时，射线不能构成内余角； 当在射线下方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； 当在上方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； 当在内部时，如图所示， ∴，，， ∴， 若是的内余角， ∴，无解， ∴当在内部时，射线不能构成内余角； 综上所述，当射线构成内余角时，的值为秒或秒． 旋转与坐标 1．（20-21·七年级下湖南永州·期末）己知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了图形的旋转，根据题意在坐标系中画出旋转后的图形，即可得到答案. 【详解】解：如图，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为， 故选：D 2．（19-20七年级下·湖南邵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．如果将绕点按顺时针方向旋转得到，那么点对应点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出旋转后的图象，根据点D的位置写出坐标即可． 【详解】解：旋转后的如图所示，观察图象可知D（4，4）． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转变换，解题的关键是理解题意，正确画出图形，属于中考常考题型． 3．（21-22七年级下·湖南永州·期末）已知点的坐标为，将点绕坐标原点顺时针旋转，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作抽于点，根据全等三角形的判定，即可求出点的坐标． 【详解】过点作轴于点，过点作轴于点 ∵， ∴， ∴ ∴在和中 ∴ ∴， ∴点的坐标为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是掌握图形旋转后大小不变． 4．（20-21·七年级下湖南湘西·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 ． 【答案】 【分析】首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，B′的横坐标等于OA+OB，而纵坐标等于OA． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出点，B（0，2）， 把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′， 所以点B'的横坐标是：， 点B′的纵坐标是：， 由于点B′在第一象限， 所以横坐标、纵坐标都是正号，则有：点B'的坐标是． 【点睛】本题主要考查对于图形旋转的理解，其中要考虑到点B和点B′位置的特殊性，以及点B'的坐标与OA和OB的关系． 5．（21-22七年级下·湖南湘西·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，画出绕点A按顺时针旋转90°后的，并写出点C的对应点的坐标． 【答案】图见解析，点的坐标是 【分析】选取合适的网格点使得，且即可，同理找到，画出图形问题得解． 【详解】选取合适的网格点使得，且，同理找到，连接、，AB2 绕点A按顺时针旋转后的为： 则点的对应点的坐标是 【点睛】本题考查了作图−旋转，属于基础题．关键是确定旋转后的对应点的位置． 6．（20-21七年级下·湖南长沙·期末）如图，△ABC中A（，3），B（，1），C（，2）． （1）将△ABC绕原点O顺时针旋转180°，在坐标系中画出旋转后的△A1B1C1； （2）写出的△A1B1C1的顶点B1的坐标 ． 【答案】（1）见解析；（2）（3，-1） 【分析】（1）根据旋转的性质即可将△ABC绕原点O旋转180°得到△A1B1C1； （2）结合（1）所画图形即可写出B1的坐标． 【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）B1的坐标为（3，-1）； 故答案为：（3，-1）． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 旋转综合题 1．（21-22七年级·湖南岳阳·期末）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=65°，则∠EFD的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用旋转的性质得CE=CF，∠ECF=∠BCD=90°，∠DFC=∠BEC=65°，则利用等腰直角三角形的性质得∠CFE=45°，然后计算∠DFC与∠CFE的差即可． 【详解】解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF， ∴CE=CF，∠ECF=∠BCD=90°，∠DFC=∠BEC=65°， ∴∠CFE=45°， ∴∠EFD=65°-45°=20°． 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 2．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 3．（21-22七年级下·湖南益阳·期末）如图，O为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边在射线上．将图①中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），设旋转时间为t秒 （1）当时，则 （2）在旋转一周的过程中，所在直线恰好平分，则t的值为 ． 【答案】 3或21 【分析】（1）根据旋转的性质，当时求出旋转角为，即可求解； （2）根据所在直线恰好平分，则或，结合图形列出方程求解即可． 【详解】解：（1）当时，旋转角为， ∴， 故答案为：； （2）当直线恰好平分时，如图， ∴或， ∴ ， 当射线恰好平分时，如图， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3或21． 【点睛】本题考查了角度的计算，一元一次方程的应用，考查了角平分线定义，周角度数，列出正确的方程是解本题的关键． 4．（20-21七年级下·湖南邵阳·期末）一副三角板如图放置，将三角板绕点顺时针旋转角度，使得三角板的一边所在的直线与所在的直线垂直，则的度数为 ． 【答案】15°或45° 【分析】分情况讨论：①；②画出图形即可求解． 【详解】解：分情况讨论： ①如图1，当时， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②如图2，当时， ∵， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键． 5．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转． （1）直接写出∠DPC的度数． （2）如图②，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当PC与PB重合时，求旋转的时间是多少？ （3）在（2）的条件下，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请直接写出旋转的时间． 【答案】（1）90°；（2）旋转的时间是30秒时PC与PB重合；（3）15秒或26.25秒或37.5秒时其中一条射线平分另两条射线的夹角． 【分析】（1）易得∠DPC=180°-∠APC-∠BPD即可求 （2）只需设旋转的时间是t秒时PC与PB重合，列方程解可得 （3）一条射线平分另两条射线的夹角，分三种情况：当PD平分∠BPC时；当PC平分∠BPC时；当PB平分∠DPC时，计算每种情况对应的时间即可． 【详解】解： （1）∠DPC=180°-∠APC-∠BPD=180°-60°-30°=90° 故答案为90° （2）设旋转的时间是t秒时PC与PB重合，根据题意列方程得 5t-t=30+90 解得t=30 又∵180÷5=36秒 ∴30＜36 故旋转的时间是30秒时PC与PB重合． （3）设t秒时其中一条射线平分另两条射线的夹角，分三种情况： ①当PD平分∠BPC时，5t-t=90-30，解得t=15 ②当PC平分∠BPC时，，解得t=26.25 ③当PB平分∠DPC时，5t-t=90-2×30，解得t=37.5 故15秒或26.25秒或37.5秒时其中一条射线平分另两条射线的夹角． 【点睛】此题考查了角平分线的性质及图形的旋转，要掌握图形的旋转特征，直角三角板旋转为常考题型 6．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板和直角三角板EDC，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒5°的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．    (1)如图2，当为的角平分线时，直接写出此时t的值； (2)当旋转至的内部时，求与的数量关系． (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边与平行时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)3 (2) (3)15或24或33 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，然后求出t的值即可； （2）根据旋转得：，表示出，，即可得出； （3）分三种情况进行讨论，分别画出图形，求出t的值即可． 【详解】（1）解：如图2，∵，，    ∴， ∵平分， ∴， ∴， 答：此时t的值是3； （2）解：当旋转至的内部时，如图3；    由旋转得：， ∴，， ∴； （3）解：分三种情况： ①当时，如图4，    此时与重合， ； ②当时，如图5，    ∵， ∴， ∴， ； ③当时，如图6，    综上，t的值是15或24或33． 故答案为：15或24或33． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，角平分线的计算，平行线的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 平移综合题 1．（20-21·七年级下湖南怀化·期末）在平面直角坐标系中，有一点坐标为点向右平移 个单位后的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向右平移横坐标加列式计算即可得解． 【详解】解：∵−4＋3＝−1， ∴点向右平移个单位后的坐标是． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 2．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，将点P（x，y）向左平移2个单位长度到点P，则点P的坐标为（　　） A．（x+2，y） B．（x﹣2，y） C．（x，y+2） D．（x，y﹣2） 【答案】B 【详解】试题分析：在平面直角坐标系中，将点P（x，y）向左平移2个单位长度到点P，则横坐标减2，纵坐标不变， 所以点P的坐标为（x﹣2，y）， 故选B． 点睛：本题考查了平移与坐标变化的规律，熟知沿横纵平移则横坐标变化，沿纵轴平移则纵坐标变化，沿正方向平移加，沿负方向平移减是解决此题的关键． 3．（21-22七年级下·湖南·期末）在平面直角坐标系内，把点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到的点的坐标是 ． 【答案】（-7，1）． 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可． 平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：原来点的横坐标是-5，纵坐标是-2，向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位得到新点的横坐标是-5-2=-7，纵坐标为-2+3=1． 得到的点的坐标是（-7，1）． 故答案为（-7，1）． 【点睛】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 4．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知点A(−1,0)和点B(0,2),把线段AB平移,使点B移动到点C(4,4)处，这时点A移动到点D处，则点D的坐标为 . 【答案】(3，2) 【分析】先根据点B的平移判断出平移的方式，然后根据平移的方式确定点D的坐标. 【详解】∵B(0,2)，点B移动到点C(4,4)处， ∴应把点B向右平移4个单位，再向上平移2个单位， ∵A(−1,0)， ∴点A移动到点D处，则点D的坐标为(3，2). 故答案为(3，2). 【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 5．（21-22七年级下·湖南·期末）已知ABC 在平面直角坐标系中的位置如图（注： A、B、C 均在格点上） （1）请在图中作出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1 ，并直接写出A1B1C1 顶点的坐标； （2）求A1B1C1 的面积； （3）再将A1B1C1 向下平移 4 个单位长度，得到A2 B2C2 ，若点 M m, n 是ABC 上一点，请直接写出 M 在A2 B2C2 上对应点 M 2 的坐标． 【答案】（1）A1（2，3），B1（3，2），C1（1，1）； （2）；（3）（-m，n-4）． 【分析】（1）作出点A，B，C关于y轴的对称点，再顺次连接即可得； （2）根据割补法求三角形的面积公式计算可得； （3）根据平面直角坐标系中点的对称及平移变换的规律可得． 【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求， 由图知A1（2，3），B1（3，2），C1（1，1）； （2）△A1B1C1的面积为S矩形DC1FE-S△A1C1D-S△B1C1F-S△A1B1E=2×2-×1×2-×1×2-×1×1=； （3）M在△A2B2C2上对应点M2的坐标为（-m，n-4）． 【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换、平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换和平移变换的定义与性质、割补法求三角形的面积、点的平移变换的规律． 6．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，将坐标为（0，0），（1，3），（2，0），（3，3）的点用线段依次连接起来得到一个图案N． (1)在图（1）中，分别画出图案N关于x轴和y轴对称的图案； (2)在图（2）中，将图案N先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出第二次平移后的图案； (3)在图（3）中，以原点为对称中心，画出与图案N成中心对称的图案． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用轴对称变换的性质作出图形即可； （2）利用平移变换的性质作出图形即可； （3）利用中心对称变换的性质作出图形即可． 【详解】（1）图形如图所示： （2）图形如图所示： （3）图形如图所示． 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握轴对称变换，旋转变换，平移变换的性质． 1．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）如图，将长方形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若∠FEC＝28°，则∠EAB度数的值为（    ） A．12° B．14° C．16° D．18° 【答案】B 【分析解析】由折叠得到∠BEA=∠FEA，根据平角的定义可求∠AEB，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：折叠得到∠BEA＝∠FEA， ∵∠FEC＝28°， ∴∠AEB＝（180°﹣28°）÷2＝76°， ∴∠EAB＝90°﹣∠AEB＝14°． 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 2．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别在M、N的位置上，与的交点为G，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握矩形对边互相平行，两直线平行，同旁内角互补，折叠前后对应角相等． 先根据平行线的性质推出，则，即可解答． 【详解】解：∵长方形对边， ∴， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， 故选：C． 3．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）如图，将三角形沿直线折叠后，使得点与点重合，折痕分别交，于点，．如果，的周长为，那么的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用翻折变换的性质得出，进而利用得出即可． 【详解】解：∵将沿直线折叠后，使得点与点重合， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了翻折变换的性质，掌握翻折变换后对应线段相等是解题的关键． 4．（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图（1）所示为长方形纸带，将纸带第一次沿折叠成图（2），再第二次沿折叠成图（3），继续第三次沿折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住，整个过程共折叠了11次，问图（1）中的度数是（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，根据题意可知，折叠11次后恰好完全盖住，可得CF与GF重合，再依据平行线的性质，即可得到的度数． 【详解】解：设，则， 折叠11次后与重合， ， 如图（2），， ， ， ， 即． 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据折叠的性质找出相等的边角关系是解题关键． 5．（21-22七年级下·湖南益阳·期末）如图，，是直线外两点，在上求作一点，使最小，其作法是（    ） A．连接并延长与的交点为 B．连接，并作线段的垂直平分线与的交点为 C．过点作的垂线，垂线与的交点为 D．过点作的垂线段，是垂足，延长到点，使，再连接，则与的交点为． 【答案】D 【分析】利用两点之间线段最短求最短时的位置，则需要作点A关于直线的对称点，再连接对称点及B点即可 【详解】通过轴对称的性质作点A的对称点，再连接，利用两点之间线段最短的原理得到与的交点为 故选D 【点睛】本题考查轴对称的性质在最值问题中的应用，理解将军饮马模型并运用轴对称解题是关键． 6．（21-22七年级下·湖南邵阳·期末）将一张长方形纸条沿折叠后，与交于点，若，则的度数是 ． 【答案】/116度 【分析】利用翻折的性质，得，然后根据“两直线平行，内错角相等”，求得，，最后由等量代换求得的度数． 【详解】解：根据翻折的性质，得， ∵， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）等知识，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 7．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如图，一张足够长的纸条，，．第1次折叠使与重合，折痕．将纸条展开后再第2次折叠，使与重合，折痕，将纸条展开后第3次折叠，使与重合，折痕…依此类推，第6次折叠后， ．    【答案】/1度 【分析】由折叠的性质折叠n次可得，即可得到答案． 【详解】解： ∵，． ∴, 第1次折叠使与重合，折痕， ∴， 将纸条展开后再第2次折叠，使与重合，折痕， 则, …… 由折叠的性质知折叠n次可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是折叠的性质、平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解决此题关键． 8．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）如图，点是长方形边上两点，点是边上的点，连接，，分别将沿翻折，点恰好都与对角线上的点重合，若，则 ．    【答案】 【分析】由长方形可得，由折叠的性质得：，，从而得到，进而得到，最后即可得到答案． 【详解】解：四边形是长方形， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 9．（20-21七年级下·湖南长沙·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由题意和矩形的性质可求出．再由翻折可求出，进而利用平行线的性质（同旁内角互补），即可求出，最后再由翻折即可求出． 【详解】∵，四边形ABCD为长方形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴． ∵， ∴， 再由折叠的性质可知，即． 故答案为． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质．掌握并理解折叠的性质是解答本题的关键． 10．（21-22七年级下·贵州黔西·期末）如图，长方形纸片，点E在边上，点F、G在边上，连接，将对折，点B落在直线上的点处，得折痕，将对折，点A落在直线上的点处，得折痕，，则 ． 【答案】110°或70° 【分析】本题考查折叠问题．掌握折痕为角平分线，是解题的关键，分点G在点F的右侧和点G在点F的左侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点G在点F的右侧， ∵折叠， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点G在点F的左侧， ∵折叠， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为110°或70°， 故答案为：110°或70°． 11．（21-22七年级下·贵州黔东南·期末）如图，在正方形网格图中，的三个顶点均为格点． (1)在网格图中作出关于直线m对称的； (2)在直线m上求作一点P，使得的值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见详解； (2)见详解 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称线段和最短问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点即可； （2）连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件． 【详解】（1）解：找到关于的对称点，连接，，，如图： （2）解：连接交于，如图： ∵在网格可知：， ∴， ∴点即为所求的点，使得最小． 12．（22-23七年级下·贵州黔西·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，． (1)沿水平方向移动线段，使点A和点C的横坐标相同，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标； (2)将线段绕某一点旋转一定的角度，使其与线段重合（点与点C重合，点与点D重合），请作出旋转中心点P． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)见解析 【分析】（1）利用C点的横坐标为2，把向右平移2个单位即可； （2）作与的垂直平分线，它们的交点为P． 【详解】（1）如图，线段为所作，点的坐标为； （2）如图，点P为所作． 【点睛】本题考查了平移作图，以及旋转中心的确定方法：把旋转前后重合的点看成是两图的对应点；找出两组对应点，分别连接每组对应点并作连线的垂直平分线，交点就是旋转中心． 13．（22-23七年级下·湖南娄底·期末）如图，长方形纸片，点分别在边上，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，则__________，__________，__________． (2)若，则（1）中的值是否改变？请说明你的理由． (3)将对折，点刚好落在处，且折痕与重合，求的度数．（提示，长方形的四个角都是） 【答案】(1) (2)不变，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可求出和的值，进而可求出的值； （2）同（1）的步骤求解即可； （3）由对折得出，求出，由平行线的性质得出，由（2）得出，即可得出答案． 【详解】（1）将对折，点B落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得到折痕． ， ， ， 故答案为：； （2）若， 则（1）中的值不改变，理由如下： 同（1）得：， ； （3）长方形纸片， ， ， 将对折，点刚好落在处，且折痕与重合， ， ， ， 由（2）得：， ． 【点睛】本题考查了角的计算，对折的性质，以及平行线的性质等知识，熟练掌握对折和平行线的性质是解题的关键． 14．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？ (1)如图（1），已知，填空： ∵是的平分线（已知） ∴________________________ (2)如图（2），已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，请你画出射线，射线一定平分．为什么？ 理由如下：∵是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， ∴________， ∴射线________是∠________的角平分线． 拓展应用 (3)如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点B落在D处并且使过点C，折痕为．直接利用（2）的结论； ①若度，求的度数； ②若度，求的度数； ③的补角有________；的余角有________． 【答案】(1)，， (2)，， (3)①；②；③；和 【分析】（1）根据角平分线的画法画出的平分线，再根据角平分线的定义进行解答； （2）根据图形反折不变性的性质可知，故可得出射线是的角平分线； （3）①根据图形反折变换的性质可知，，故可得出结论；②根据图形反折变换的性质可知，，故可得出结论；③根据补角及余角的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：如图所示： 是的平分线， ， 故答案为：，，； （2）如图所示： 是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， ， 射线是的角平分线， 故答案为：，，； （3）①由翻折而成，由翻折而成，， ，， ； ②由翻折而成，由翻折而成， ，， ； ③由②知，，， 的补角是； ， 的余角是和． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义及图形翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 15．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，若是的内余角，则______； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线构成内余角时，请求出的值． 【答案】(1) (2)的值为 (3)当射线构成内余角时，的值为秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． （1）根据内余角可求出的度数，再根据即可求解； （2）根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； （3）根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，列表求解即可． 【详解】（1）解：∵是的内余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：； （2）解：已知，绕点顺时针方向旋转一个角度得到，绕点顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，， ∴，， ∵是的内余角， ∴， ∴， 解得， ∴的值为； （3）解：根据题意可得，，三角板绕顶点以度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒， 当在内部时，如图所示， ∴，， ∴，， 若是的内余角时，得， ∴，无解， ∴当在内部时，射线不能构成内余角； 当在射线下方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； 当在上方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； 当在内部时，如图所示， ∴，，， ∴， 若是的内余角， ∴，无解， ∴当在内部时，射线不能构成内余角； 综上所述，当射线构成内余角时，的值为秒或秒． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$