专题04 因式分解（7大题型+优选提升题）-备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题04 因式分解（7大题型+优选提升题） 公因式 1．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）下列各组多项式中，没有公因式的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）与的公因式是 ． 4．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）多项式的公因式是 ． 5．（21-22七年级下·湖南张家界·期末）把下列各式分解因式： (1)； (2)， 6．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）已知： (1)求的值． (2)求的值． 已知因式分解的结果求参数 1．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）若多项式可因式分解为，则的值为（　　） A．6 B． C． D．1 2．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如果可因式分解为，那么（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·湖南永州·期末）已知多项式因式分解后有一个因式为，则的值为 ． 4．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ． 5．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 6．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）【例题讲解】因式分解：． 为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成， 展开等式右边得：， 恒成立． 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即， 解得， ． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 (1)若，则________； (2)若有一个因式是，求的值及另一个因式． 平方差公式分解因式 1．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的式子是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）若且，则的值是（    ） A．12 B．24 C．6 D．14 3．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）已知x，y满足方程组，则 4．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）若分解因式：，则的值为 ． 5．（21-22七年级下·湖南常德·期末）分解因式：． 6．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）观察：利用平方差公式进行计算： 解：原式 (1)基础运用  计算：________． (2)拓展运用  计算：． 完全平方公式分解因式 1．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）已知，则的值是（　　） A．5 B． C．6 D． 2．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）已知a，b，c是三角形的三边长，且满足，则这个三角形的周长为 ． 4．（20-21·七年级下湖南邵阳·期末）因式分解： 5．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 6．（21-22七年级下·湖南永州·期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解答一些数学问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，因式分解，最值问题等都有着广泛的应用． 例1．用配方法因式分解：； 原式． 例2．若，利用配方法求的最小值． ； ∵，，∴当时，有最小值． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)若，则的最小值为______； (2)用配方法因式分解：； (3)已知，求的值． 因式分解在有理数简算中的应用 1．（22-23·七年级下湖南怀化·期末）小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022 2．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）计算的值为（    ）． A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）计算： ． 4．（20-21七年级下·湖南株洲·期末）小明将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小红将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值是 ． 5．（22-23七年级下·湖南永州·期末）利用因式分解计算： (1) (2) 6．（21-22七年级下湖南郴州·期末） 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如： ， ，；则8、16、24这三个数都是奇特数． (1)32这个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式． (2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此  规律拼叠到正方形ABCD，其边长为19，求阴影部分的面积． 十字相乘法 1．（21-22七年级下·湖南永州·期末）已知是因式分解的结果，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·湖南邵阳·期末）多项式可因式分解成，其中，均为整数，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2023 3．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）在对多项式进行因式分解时，M同学看错了b，分解为；N同学看错了a，分解为．（两人后面因式分解没有错误），则 ， ． 4．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）分解因式： 5．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得 ， ， 所以，解得． 所以另一个因式为，的值为． 提出问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，另一个因式是________； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 6．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 分组分解法 1．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 2．（19-20七年级下·湖南长沙·期末）若a、b为有理数，且a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝0，则a＋3b＝（    ） A．8 B．4 C．－4 D．－8 3．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）分解因式： ． 4．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）分解因式： ． 5．（21-22七年级下·湖南张家界·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)试用上述方法分解因式：． (2)利用分解因式说明：因式能被9整除． 6．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)填空： 解：原式（ ） （ ）（ ） = ． (2)因式分解；． 1．（21-22七年级下·湖南永州·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·湖南永州·期末）若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·湖南永州·期末）下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·湖南永州·期末）已知可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17 5．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）若多项式能用完全平方公式分解因式，则m的值是（　 ） A． B． C． D． 6．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）若，，则的值为 ． 7．（22-23七年级下·湖南永州·期末）若能用完全平方公式因式分解，则k的值为 ． 8．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）已知，代数式的值是 ． 9．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）我们所学的多项式因式分解的方法主要有：①提公因式法；②平方差公式法；③完全平方公式法．现将多项式进行因式分解，使用的方法有 ．（填写所有正确的序号） 10．（22-23七年级下·湖南张家界·期末）已知，，，则多项式的值为 ． 11．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）（1）因式分解 （2）简便运算并计算出结果： 12．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）因式分解： (1)； (2)． 13．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 14．（21-22七年级下·湖南永州·期末）阅读题． 材料一：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，，，，则都是“完美数”；再如，，（是整数），所以也是“完美数”． 材料二：任何一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且）．如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并且规定．例如，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有． 请解答下列问题： (1)8　　　．（填写“是”或“不是”）一个完美数，　　　　． (2)如果和都是“完美数”，试说明也是“完美数”． 15．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）仔细阅读下面的例题，仿照例题解答“问题”，阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式进行因分解的过程． 解：设， 原式（第一步）        （第二步）          （第三步）     （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（    ） A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 (2)老师说．小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后 结果 ： (3)请你用换元法对多项式进行因式分解 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 因式分解（7大题型+优选提升题） 公因式 1．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是提公因式的方法，掌握公因式的确定方法成为解题的关键． 确定公因式的方法“找出数字的最大公约数，找出相同字母的最低次数”据此即可解答. 【详解】解： 每一项的公共因式为：． 故选：D． 2．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）下列各组多项式中，没有公因式的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题主要考查公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键．逐一分析找出公因式即可得到答案． 【详解】解：A、，故两多项式的公因式为：，故此选项不合题意； B、和，故两多项式的公因式为：，故此选项不合题意； C、和，故两多项式的公因式为：，故此选项不合题意； D、和，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）与的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是提公因式，解题关键是熟练掌握提公因式法．对和进行因式分解，完全找到公共因式后即可得到答案． 【详解】解：， ， 与的公因式是． 故答案为：． 4．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）多项式的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】根据找公因式的方法找出公因式即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公因式的定义，能熟记找公因式的方法（①系数找系数的最大公因数，②相同字母找最低次幂）是解此题的关键． 5．（21-22七年级下·湖南张家界·期末）把下列各式分解因式： (1)； (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法因式分解； （1）直接提取公因式进行因式分解； （2）先变形，再提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）； （2）． 6．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）已知： (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分解因式后再整体代入求解； （2）根据完全平方公式的变形解答． 【详解】（1）∵， ∴； （2）∵， ∴． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解和完全平方公式，正确变形是关键． 已知因式分解的结果求参数 1．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）若多项式可因式分解为，则的值为（　　） A．6 B． C． D．1 【答案】B 【分析】将计算后求得，的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：， ，， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键． 2．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如果可因式分解为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了根据因式分解的结果求参数，熟练掌握整式的乘方与因式分解的关系是解题的关键． 3．（21-22七年级下·湖南永州·期末）已知多项式因式分解后有一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，设多项式的一个因式为，则，再根据多项式乘多项式法则展开合并，即可作答． 【详解】解：设多项式的一个因式为， ∵多项式因式分解后有一个因式为， ∴ 则 ∴ 则 故答案为：． 4．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案． 【详解】解：设， ， ， 解得，或 或． 故答案为：或． 5．（21-22七年级下·湖南长沙·期末）完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1) (2)9，5 (3)另一个因式为，的值为12． 【分析】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出和的值及另一个因式． 【详解】（1）解：， ， 解得：； 故答案为：； （2）解：， ， ； 故答案为：9，5； （3）解：设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，的值为12． 6．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）【例题讲解】因式分解：． 为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成， 展开等式右边得：， 恒成立． 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即， 解得， ． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 (1)若，则________； (2)若有一个因式是，求的值及另一个因式． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将展开，再根据题干的方法即可求解； （2）设多项式另一个因式为，利用题干给出的待定系数法求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设多项式另一个因式为， 则 ，，， ，， ，即另一个式子为：． 【点睛】本题主要考查了多项式的乘法，因式分解等知识，掌握题干给出的待定系数法，是解答本题的关键． 平方差公式分解因式 1．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式符合，进行逐一判断即可． 【详解】解：A. ，不能用平方差公式因式分解，故该选项不符合题意； B. ，能用平方差公式因式分解，故该选项符合题意；     C. ，不能用平方差公式因式分解，故该选项不符合题意；     D. ，不能用平方差公式因式分解，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）若且，则的值是（    ） A．12 B．24 C．6 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；根据题意及平方差公式可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 3．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）已知x，y满足方程组，则 【答案】10 【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式及整体代入的数学思想是解决问题的关键． 先利用平方差公式把分解因式，再整体代入进行计算，即可得出答案． 【详解】解：∵， 化简得， ， 故答案为：10． 4．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）若分解因式：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 5．（21-22七年级下·湖南常德·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】利用平方差公式即可进行因式分解． 【详解】原式． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解．观察式子的形式特点，选择正确的因式分解方法是解题关键． 6．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）观察：利用平方差公式进行计算： 解：原式 (1)基础运用  计算：________． (2)拓展运用  计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式乘以，然后根据平方差公式进行计算即可求解； （2）原式乘以，然后根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 完全平方公式分解因式 1．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）已知，则的值是（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，把原式化为，可得，，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； 故选D 2．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 【详解】解：A、，能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B、不能用完全平方公式分解因式，符合题意； C、，能用完全平方公式分解因式，不符合题意； D、，能用完全平方公式分解因式，不符合题意； 故选：B． 3．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）已知a，b，c是三角形的三边长，且满足，则这个三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用完全平方公式分解因式以及非负数的性质，熟练根据完全平方公式对原式进行变形是解题关键．根据一次项的系数将原式中常数项50拆分，分别与二次项构成完全平方式，从而分别配成完全平方，结合非负性分别求解即可． 【详解】解： 即： ． ∴这个三角形的周长为； 故答案为12 4．（20-21·七年级下湖南邵阳·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，原式直接运用完全平方公式进行因式分解即可 【详解】解：， 故答案为： 5．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解； （1）根据完全平方公式因式分解，即可求解； （2）根据平方差公式因式分解，即可求解； （3）提公因式，再提公因式，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： 6．（21-22七年级下·湖南永州·期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解答一些数学问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，因式分解，最值问题等都有着广泛的应用． 例1．用配方法因式分解：； 原式． 例2．若，利用配方法求的最小值． ； ∵，，∴当时，有最小值． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)若，则的最小值为______； (2)用配方法因式分解：； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）类比例题求的最小值即可； （）类比例题进行分解因式即可； （）根据配方法把等式配成的形式，根据，具有非负性，，即可求出答案. 本题主要考查了配方法的运用，正确理解题意、明确求解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴当时，有最小值， 故答案为：； （2）， ， ， ； （3）∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴． 因式分解在有理数简算中的应用 1．（22-23·七年级下湖南怀化·期末）小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022 【答案】B 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案． 【详解】解： ∴能被2022，2023，2024整除， 故选B． 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 2．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 3．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）计算： ． 【答案】4 【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，解决本题的关键是要熟练掌握完全平方公式． 4．（20-21七年级下·湖南株洲·期末）小明将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小红将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值是 ． 【答案】4041 【分析】根据（2020x+2021）2=（2020x）2+2×2021×2020x+20212得到c1＝20212，同理可得 c2＝20202，所以c1-c2=20212-20202，进而得出结论． 【详解】解：∵（2020x+2021）2=（2020x）2+2×2021×2020x+20212， ∴c1=20212， ∵（2021x-2020）2=（2021x）2-2×2020×2021x+20202， ∴c2=20202， ∴c1-c2=20212-20202=（2021+2020）×（2021-2020）=4041， 故答案为：4041． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，解决本题的关键是要熟悉公式的结构特点． 5．（22-23七年级下·湖南永州·期末）利用因式分解计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行求解即可； （2）根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 6．（21-22七年级下湖南郴州·期末） 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如： ， ，；则8、16、24这三个数都是奇特数． (1)32这个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式． (2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此  规律拼叠到正方形ABCD，其边长为19，求阴影部分的面积． 【答案】(1)32是奇特数， (2)两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据即可求解； （2）利用平方差公式进行计算，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数； （3）利用阴影部分面积为：，根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴32是奇特数， （2）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数， 理由： ； ∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数． （3） ． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键． 十字相乘法 1．（21-22七年级下·湖南永州·期末）已知是因式分解的结果，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解与多项式相乘的关系，注意正确计算多项式的乘法，然后系数对应相等．把多项式相乘展开，再根据对应项系数相等求解即可． 【详解】∵， ∴ ∴． 故选：A． 2．（22-23七年级下·湖南邵阳·期末）多项式可因式分解成，其中，均为整数，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2023 【答案】B 【分析】先分解因式，求出、的值，再结合有理数的乘方进行计算，即可得到答案． 【详解】解：， 又多项式可因式分解成， ，或，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解、有理数的乘方，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题关键． 3．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）在对多项式进行因式分解时，M同学看错了b，分解为；N同学看错了a，分解为．（两人后面因式分解没有错误），则 ， ． 【答案】 6 9 【分析】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 分别根据甲乙因式分解的结果确定出与的值，即可作答． 【详解】解：依题意，由甲的结果得：， 由乙的结果得：， 可得，， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）分解因式： 【答案】 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握十字相乘法分解因式． 5．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得 ， ， 所以，解得． 所以另一个因式为，的值为． 提出问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，另一个因式是________； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 【答案】(1) (2)另一个因式为，的值为85 【分析】（1）设另一个因式为，由题意得，从而得到，进行计算即可得到答案； （2）设另一个因式为，由题意得： ，从而得到，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设另一个因式为， 由题意得：， 则， ， 解得：， 另一个因式为， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为， 由题意得：， 则， ， 解得：， 另一个因式为，的值为85． 【点睛】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，解二元一次方程组，正确设出另一个因式是解题的关键． 6．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；（1）；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解在几何图形中的应用，十字相乘法分解因式： 观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此求解即可； 说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可； （1）仿照题意分解因式即可； （2）把看作一个整体仿照题意分解因式即可． 【详解】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即， 故答案诶：； 说理验证：由题意得， 故答案为：，，，； （1） ； （2） ． 分组分解法 1．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组． 2．（19-20七年级下·湖南长沙·期末）若a、b为有理数，且a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝0，则a＋3b＝（    ） A．8 B．4 C．－4 D．－8 【答案】D 【分析】根据已知，将其a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝0变形为，利用非负数的性质，求出a和b，最后代入即可. 【详解】解：a2－2ab＋2b2＋4b＋4＝a2－2ab＋b2＋b2＋4b＋4＝ a-b=0  b+2=0   a+3b=  故选择D 【点睛】本题考查了利用公式进行变形，其次是平分的非负性，利用这个性质求得a,b的值是关键. 3．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】先根据平方差公式，然后再提公因式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式，． 4．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】先利用乘法公式展开、合并得到原式，再进行分组得到完全平方公式，所以原式，然后再把括号内分组分解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解——分组分解，理解分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，并灵活运用整体代入思想解答是解题的关键． 5．（21-22七年级下·湖南张家界·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)试用上述方法分解因式：． (2)利用分解因式说明：因式能被9整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查因式分解．掌握分组分解法，是解题的关键． （1）利用分组分解法进行求解即可； （2）利用平方差公式法进行因式分解，根据结果进行说明即可． 【详解】（1）解： ； （2） ∴因式能被9整除． 6．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)填空： 解：原式（ ） （ ）（ ） = ． (2)因式分解；． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法分解因式，通过观察进行正确的分组是解题关键． （1）按照题目提示分组，分别提取公因式即可求解； （2）将原式按照“三一分组”：，即可利用公式法进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 故答案为： （2）解：原式 1．（21-22七年级下·湖南永州·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个多项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，不是整式的乘法运算，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意； 、，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意； 、，属于因式分解，符合题意； 、，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意； 故选：． 2．（21-22七年级下·湖南永州·期末）若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的值与提公因式，由，得，然后整体代入即可求解，熟练掌握利用整体代入进行求解代数式的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ， ， ， 故选：． 3．（22-23七年级下·湖南永州·期末）下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； B、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； C、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键． 4．（22-23七年级下·湖南永州·期末）已知可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17 【答案】D 【分析】把因式分解即可看出可以被10至20之间的哪两个整数整除. 【详解】 ∴可以被10至20之间的17和15两个整数整除. 故选D. 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键. 5．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）若多项式能用完全平方公式分解因式，则m的值是（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两平方确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵多项式能用完全平方公式分解因式， 又∵， ∴， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，特别注意积的2倍的符号，避免漏解． 6．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，首先把化为，然后把，代入，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：，， 故答案为： ． 7．（22-23七年级下·湖南永州·期末）若能用完全平方公式因式分解，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值． 【详解】解：能用完全平方公式因式分解， ， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查因式分解——运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 8．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）已知，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值和平方的非负性，得到，可得，代入即可解答． 【详解】解：由题意：， 所以， 由①得， 将代入②，得：， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用公式法因式分解，能根据绝对值和平方的非负性得到方程是解题的关键． 9．（22-23七年级下·湖南益阳·期末）我们所学的多项式因式分解的方法主要有：①提公因式法；②平方差公式法；③完全平方公式法．现将多项式进行因式分解，使用的方法有 ．（填写所有正确的序号） 【答案】①②/②① 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解． 【详解】解：， ∴使用的方法有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了因式分解，在因式分解时，能提公因式的要先提取公因式，再考虑用公式法继续分解，在因式分解时注意要分解彻底． 10．（22-23七年级下·湖南张家界·期末）已知，，，则多项式的值为 ． 【答案】3 【分析】根据题意可得，，，再利用提公因式法原式可变形为，再利用完全平方公式可变形为，然后代入，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴ 故答案为：3 【点睛】本题是因式分解的应用，解题的关键是利用因式分解把所求代数式进行变形． 11．（21-22七年级下·湖南郴州·期末）（1）因式分解 （2）简便运算并计算出结果： 【答案】（1）；（2）400 【分析】本题考查了公式法和提公因式法分解因式，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先提公因式，再利用完全平分公式分解进行计算即可； （2）利用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ． 12．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】（1） （2）解： ； 13．（21-22七年级下·湖南岳阳·期末）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；（1）；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解在几何图形中的应用，十字相乘法分解因式： 观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此求解即可； 说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可； （1）仿照题意分解因式即可； （2）把看作一个整体仿照题意分解因式即可． 【详解】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即， 故答案诶：； 说理验证：由题意得， 故答案为：，，，； （1） ； （2） ． 14．（21-22七年级下·湖南永州·期末）阅读题． 材料一：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，，，，则都是“完美数”；再如，，（是整数），所以也是“完美数”． 材料二：任何一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且）．如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并且规定．例如，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有． 请解答下列问题： (1)8　　　．（填写“是”或“不是”）一个完美数，　　　　． (2)如果和都是“完美数”，试说明也是“完美数”． 【答案】(1)是， (2)见解析 【分析】本题考查了多项式乘以多项式和分解因式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用“完美数”的定义和最佳分解的定义可得； （2）根据完全平方公式配方变形，可证明是“完美数”； 【详解】（1）∵ ∴8是完美数， ， ； （2）设，，其中a，b，c，d均为整数， 则 ∵a，b，c，d均为整数 ∴与也是整数，即是“完美数”． 15．（21-22七年级下·湖南株洲·期末）仔细阅读下面的例题，仿照例题解答“问题”，阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式进行因分解的过程． 解：设， 原式（第一步）        （第二步）          （第三步）     （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（    ） A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 (2)老师说．小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后 结果 ： (3)请你用换元法对多项式进行因式分解 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解-换元法、公式法等知识点，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式的特点即可判定； （2）再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）根据材料，用换元法进行分解因式即可． 【详解】（1）解：根据第二步到第三步的因式分解可知是运用了完全公式法． 故选C． （2）解：原式． 故答案为． （3）解：设， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$