暑假作业05 平面直角坐标系（知识梳理+五大题型专练+能力拓展练）-【暑假分层作业】2024年七年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 平面直角坐标系类型题精炼 知识点1．平面直角坐标系的定义 平面直角坐标系由两条互相垂直、原点重合的数轴组成，其中水平的数轴称为x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，通常取向上为正方向。两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 知识点2． 点的坐标表示 平面直角坐标系上的任意一点P，都可以用一对有序实数对(a, b)来表示其位置，其中a是点P到y轴的距离（即横坐标），b是点P到x轴的距离（即纵坐标）。 知识点3. 象限的划分与点的位置特点： 平面直角坐标系被坐标轴划分为四个象限，以及x轴和y轴本身。各象限内点的坐标符号特点如下： - 第一象限：(+, +)，即x和y均为正； - 第二象限：(-, +)，即x为负，y为正； - 第三象限：(-, -)，即x和y均为负； - 第四象限：(+, -)，即x为正，y为负。 - x轴上的点，其纵坐标为0，表示为(x, 0)； - y轴上的点，其横坐标为0，表示为(0, y)。 题型一：求点的坐标 1． “歼－20”是我国自主研制的第五代战斗机．如图，小明将一张“歼－20”一飞冲天的图片放入网格中，若图片上点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知点，若直线轴，则点B的坐标为 ． 3．已知点，解答下列问题． (1)若点A在y轴上，求出点A的坐标； (2)若点B的坐标为，且轴，求出点A的坐标． 题型二：点到坐标轴的距离 4．如图，已知点A的坐标为，则点A到x轴的距离为 ． 5．在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离相等，则a的值为 ． 6．已知：点Q的坐标，若点Q在第二象限且到两坐标轴的距离和等于10，求点Q的坐标． 7．已知点回答下列问题： (1)点在轴上，求出点 的坐标； (2)点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求 的值 8．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“龙沙点”，求的值： (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“龙沙点” 题型三：点坐标中的参数问题 9．已知，点在y轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如果点在y轴上，那么点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（23-24七年级下·青海西宁·期中）若点在第四象限，且，则 ． 12．若点在x轴上，则 ． 13．若第二象限内的点满足，，则点的坐标是 ． 14．在平面直角坐标系中，已知点． (1)当时，点m在第______象限； (2)若点M在x轴上，求m的值； (3)若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值． 题型四：图形与坐标 15．如图，在平面直角坐标系中，，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．和之间 D．和之间 16．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点在轴上，，，，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在图形“凹”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．平面直角坐标系中，点A、B坐标分别是，，点P是y轴上一点，三角形的面积为6，则点P坐标为 ． 18．在如图所示的平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)已知三点，分别在坐标系中找出它们，并连接得到三角形； (2)将三角形向上平移4个单位，得到三角形． 19．已知：，， (1)在坐标系中描出各点，画出． (2)求的面积； (3)设点P在y轴上，且与的面积相等，直接写出点P的坐标． 题型五：点坐标的规律探究 20．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，…则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 21．平面直角坐标系中，一蚂蚁从A出发，沿着循环爬行，其中A的坐标为，B的坐标为，C的坐标为，D的坐标为．当蚂蚁爬了2024个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（    ）． A． B． C． D． 22．如图，已知，……，按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 24．在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，规定以下三种变换： ①；②；③．按照以上变换，例如：，，则 ． 25．如图，在单位为1的方格纸上，，，，，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，则依图中所示规律，的坐标为 ． 26．（23-24七年级下·河南新乡·期中）下列命题：①若，则点在坐标轴上；②点一定在第四象限；③已知与点（），则直线轴；④已知点，轴，且，则点B的坐标一定是；⑤若点到x轴，y轴的距离相等，则m，n的关系一定为．其中是真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．如图，的两边分别在x轴、y轴上，点O与原点重合，点，点，长为6，将沿x轴向右翻滚，依次得到，，，…则的直角顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 28．如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 29．三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出下列各点的坐标：A______，B______，C______； (2)若三角形是由三角形平移得到的，点的位置如图9所示，画出三角形；点是三角形内部一点，则点P在三角形内的对应点的坐标为______． 30．如图，，点D在的延长线上，． (1)求证：； (2)求证：． 31．如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． (2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 32．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，．且a、b满足，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D．连接． (1)求点C，D的坐标及三角形面积； (2)若点E在y轴负半轴上，连接，如图2，请判断的数量关系？并说明理由； (3)在x轴正半轴或y轴正半轴上是否存在点M，使三角形的面积是三角形BCD面积的？若存在，请求出点M的坐标：若不存在，试说明理由． 33．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，满足． (1)______，______，______． (2)如图1，若点为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点，是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若将线段向上平移2个单位长度，点为轴上一点，点为第一象限内的一动点，连接，，，，若的面积等于由，，，四条线段围成的图形的面积，求点的横坐标的值（用含的式子表示）． 34．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段向上平移个单位，再向右平移1个单位得到线段（点与点对应，点与点对应），此时四边形为平行四边形，且面积为． (1)求点的坐标； (2)连接与轴交于点，求的值； (3)若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动，若射线交轴于点，设与的面积差为，问：是否定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 35．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，已知点，若将线段平移至，其中点，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．3 36．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是(    )    A． B． C． D． 37．（2023·山东日照·中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 38．（2023·江苏连云港·中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为 ．    39．（2023·湖北武汉·中考真题）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（    ） A．266 B．270 C．271 D．285 试卷第30页，共31页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 平面直角坐标系类型题精炼 知识点1．平面直角坐标系的定义 平面直角坐标系由两条互相垂直、原点重合的数轴组成，其中水平的数轴称为x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，通常取向上为正方向。两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 知识点2． 点的坐标表示 平面直角坐标系上的任意一点P，都可以用一对有序实数对(a, b)来表示其位置，其中a是点P到y轴的距离（即横坐标），b是点P到x轴的距离（即纵坐标）。 知识点3. 象限的划分与点的位置特点 平面直角坐标系被坐标轴划分为四个象限，以及x轴和y轴本身。各象限内点的坐标符号特点如下： - 第一象限：(+, +)，即x和y均为正； - 第二象限：(-, +)，即x为负，y为正； - 第三象限：(-, -)，即x和y均为负； - 第四象限：(+, -)，即x为正，y为负。 - x轴上的点，其纵坐标为0，表示为(x, 0)； - y轴上的点，其横坐标为0，表示为(0, y)。 题型一：求点的坐标 1． “歼－20”是我国自主研制的第五代战斗机．如图，小明将一张“歼－20”一飞冲天的图片放入网格中，若图片上点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 根据点的坐标为，点的坐标为建立平面直角坐标系，得出点的坐标即可． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴建立如图所示的平面直角坐标系， ∴点的坐标为，故A正确． 故选：A． 2．已知点，若直线轴，则点B的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：直线轴， ， 即， ， 故点B的坐标为 3．已知点，解答下列问题． (1)若点A在y轴上，求出点A的坐标； (2)若点B的坐标为，且轴，求出点A的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为 (2)点A的坐标为 【详解】（1）解：∵点A在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为； （2）∵点B的坐标为，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 题型二：点到坐标轴的距离 4．如图，已知点A的坐标为，则点A到x轴的距离为 ． 【答案】3 【详解】解：点的坐标为，则点到轴的距离为． 故答案为：3． 5．在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离相等，则a的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 6．已知：点Q的坐标，若点Q在第二象限且到两坐标轴的距离和等于10，求点Q的坐标． 【答案】 【详解】解∶∵点在第二象限且到两坐标轴的距离和等于10， ∴， 解得， ∴， ∴点Q的坐标为． 7．已知点回答下列问题： (1)点在轴上，求出点 的坐标； (2)点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求 的值 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在轴上 解得： （2）点到轴和轴距离相等 在第二象限 解得： 8．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点是“龙沙点”，求的值： (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“龙沙点” 【答案】(1) (2)或 (3)说明见解析 【详解】（1）∵点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”， ∴点到轴的距离为：；到轴的距离为， ∴点的“长距”为． 故答案为：． （2）∵点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”， ∴当点是“龙沙点”，， ∴， 当，解得：； 当，解得：； ∴或． （3）∵点的长距为， ∴， 解得：或； ∵在第二象限内， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴点， ∵， ∴点是“龙沙点”． 题型三：点坐标中的参数问题 9．已知，点在y轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特点，根据轴上的点的横坐标为0，可得，求解得到m的值，从而得到点P的坐标． 【详解】解：∵点P在y轴上， ∴， 解得， ∴P点的坐标为． 故选：A． 10．如果点在y轴上，那么点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，即在第四象限， 故选：D． 11．（23-24七年级下·青海西宁·期中）若点在第四象限，且，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ， ∵点在第四象限， ， ， ， 故答案为：． 12．若点在x轴上，则 ． 【答案】 根据轴上点的纵坐标为零，可得方程，再解方程，可得答案． 【详解】解：由点在轴上，得： ， 解得∶． 故答案为：． 13．若第二象限内的点满足，，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∵点第二象限内， ∴，， ∴点的坐标是． 故答案为：． 14．在平面直角坐标系中，已知点． (1)当时，点m在第______象限； (2)若点M在x轴上，求m的值； (3)若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值． 【答案】(1)二(2)(3) 【详解】（1）当时，为，此时M在第二象限 （2）∵点M在x轴上， ∴ 解得：； （3）∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， 解得：． 题型四：图形与坐标 15．如图，在平面直角坐标系中，，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A， ∴点A的横坐标介于和之间， 故选：C． 16．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点在轴上，，，，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在图形“凹”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，结合，，，， ，，， 图形“凹”的边长为， 综上所述，也就是说图形“凹”一圈是个单位长度， ，即从出发，经过，从而确定细线另一端所在位置的点在中点位置， 细线另一端所在位置的点的坐标为， 故选：A． 17．平面直角坐标系中，点A、B坐标分别是，，点P是y轴上一点，三角形的面积为6，则点P坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：点是轴上一点， 设点的坐标为， 点、坐标分别是，，三角形的面积为6， ， 解得， 点的坐标为或， 故答案为：或． 18．在如图所示的平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)已知三点，分别在坐标系中找出它们，并连接得到三角形； (2)将三角形向上平移4个单位，得到三角形． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所作 （2）解：如图，即为所作， 19．已知：，， (1)在坐标系中描出各点，画出． (2)求的面积； (3)设点P在y轴上，且与的面积相等，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见详解(2)4(3)点的坐标为或 【详解】（1）如图所示： （2）如图，作轴于轴于． （3）当点在轴上时，的面积， 即， 解得：． ∴点的坐标为或． 题型五：点坐标的规律探究 20．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，…则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由、、可得规律：， ∵， ∴， 故选：C． 21．平面直角坐标系中，一蚂蚁从A出发，沿着循环爬行，其中A的坐标为，B的坐标为，C的坐标为，D的坐标为．当蚂蚁爬了2024个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知：，，，， ∴蚂蚁爬行一周的路程为：（单位）， （圈）（单位），即离起点差4个单位， 即蚂蚁爬行2024个单位时，所处的位置是点的位置， ∴其坐标为． 故选：B． 22．如图，已知，……，按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的横坐标为 的纵坐标每个一循环， 的横坐标为， 的纵坐标为， 故的纵坐标为， 故的坐标为，， 故选：A． 23．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第2024次旋转结束时，完成了506次循环，又回到了原来的位置， 的坐标为． 故选：C． 24．在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，规定以下三种变换： ①；②；③．按照以上变换，例如：，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， 则， ∴， 故答案为：． 25．如图，在单位为1的方格纸上，，，，，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，则依图中所示规律，的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：观察点的坐标变化发现，当脚码为偶数时的点的坐标，得到规律： 当脚码是2，6，10，…时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半， 当脚码是4，8，12，…时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半的相反数， 因为2024能被4整除，所以横坐标为2，纵坐标为． 故答案为：． 26．（23-24七年级下·河南新乡·期中）下列命题：①若，则点在坐标轴上；②点一定在第四象限；③已知与点（），则直线轴；④已知点，轴，且，则点B的坐标一定是；⑤若点到x轴，y轴的距离相等，则m，n的关系一定为．其中是真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：若，则或，所以点坐标轴上，所以①为真命题； ，点一定在第四象限或x轴上，所以②为假命题； 已知点与点，，均不为0，则直线平行轴，所以③为真命题； 已知点，轴，且，则点的坐标为或，所以④为假命题； 若点到x轴，y轴的距离相等，则m，n的关系一定为或，所以⑤为假命题， 所以真命题有2个． 故选：B． 27．如图，的两边分别在x轴、y轴上，点O与原点重合，点，点，长为6，将沿x轴向右翻滚，依次得到，，，…则的直角顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，每翻滚3次为一周，， 的形状如同， 的直角顶点的纵坐标为0， ，，， ， 的直角顶点的横坐标为：， 的直角顶点坐标为， 故选B． 28．如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 第5次滚动点的坐标为， …， 每滚动4次一个循环， ，，，， ， ， 即， 故选：B． 29．三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出下列各点的坐标：A______，B______，C______； (2)若三角形是由三角形平移得到的，点的位置如图9所示，画出三角形；点是三角形内部一点，则点P在三角形内的对应点的坐标为______． 【答案】(1)；； (2)作图见详解； 【详解】（1）解：根据题意得； 故答案为：；；； （2）由题图可知：三角形向左平移4个单位，再向下平移5个单位得三角形，画图如图所示： ∴三角形内部的点向左平移4个单位，再向下平移5个单位得三角形内部的对应点， 故答案为：． 30．如图，，点D在的延长线上，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ， ， ， ， ∴， ∴， 即； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． (2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：4， ∴点的坐标为：． 又∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4． 故的坐标为：． 由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 32．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，．且a、b满足，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D．连接． (1)求点C，D的坐标及三角形面积； (2)若点E在y轴负半轴上，连接，如图2，请判断的数量关系？并说明理由； (3)在x轴正半轴或y轴正半轴上是否存在点M，使三角形的面积是三角形BCD面积的？若存在，请求出点M的坐标：若不存在，试说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 (3)存在，， 【详解】（1）∵， ， ∴，， ∴，， 将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：， 理由如下：如图，过点E作，    ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）∵三角形的面积是三角形面积的 ∴的面积， 当点M在x轴正半轴上时，设点， ∴， ∴， ∴，且点， ∴点或点(不合题意舍去)， 当点M在y轴正半轴上时，设点， 如图，点M在线段上时，    ∵ ∴ ∴(不合题意舍去)， 如图，点M在线段的延长线上，    ∵ ∴ ∴， ∴点 综上所述：当点或时，使三角形的面积是三角形面积的 33．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，满足． (1)______，______，______． (2)如图1，若点为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点，是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若将线段向上平移2个单位长度，点为轴上一点，点为第一象限内的一动点，连接，，，，若的面积等于由，，，四条线段围成的图形的面积，求点的横坐标的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)，，(2)(3)或 【详解】（1）∵， ∴， ∴ 故答案为：，，； （2）连接交y轴于点M，作于点H， ∵， ∴， ∴． ∵的面积等于的面积， ∴． ∵， ∴， ∴ 设， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）延长交x轴于点N，连接，设点， 由平移的性质得点，点， ∵点 ∴， ∵ ， ∴， 解得， ∴点， ∵， ∴四边形的面积， 设， ， ∴， 解得 ， 设点 G的横坐标为x，则|， 解得或． 34．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段向上平移个单位，再向右平移1个单位得到线段（点与点对应，点与点对应），此时四边形为平行四边形，且面积为． (1)求点的坐标； (2)连接与轴交于点，求的值； (3)若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动，若射线交轴于点，设与的面积差为，问：是否定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，(2)(3)的值是定值3 【详解】（1）解：∵点，，， ∴， ∵由平移性质可知，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：解法1：∵和同底， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵和同高， ∴； 解法2：∵， ∴，即 ∴， ∴， ∴； （3）解：结论：的值是定值3，理由如下： ①如图，当点在线段上时，连接． 设运动时间为秒， 由题意： ∴， ， ∴， ∴， ∴ ②如图，当点在上时，连接． 由①可知， ∴ 综上所述，的值是定值3． 35．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，已知点，若将线段平移至，其中点，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】解：线段由线段平移得到， 且，，，， ． 故选：B． 36．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图得，，… 点C的位置每4个一循环， ， ∴在第三象限，与，，，… 符合规律， ∴坐标为． 故选：A． 37．（2023·山东日照·中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：第1圈有1个点，即，这时； 第2圈有8个点，即到； 第3圈有16个点，即到，； 依次类推，第n圈，； 由规律可知：是在第23圈上，且，则即，故A选项不正确； 是在第23圈上，且，即，故B选项正确； 第n圈，，所以，故C、D选项不正确； 故选B． 38．（2023·江苏连云港·中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为 ．    【答案】 【详解】解：根据图形可得在第三个圆上，与正半轴的角度， ∴点的坐标可以表示为 故答案为：． 39．（2023·湖北武汉·中考真题）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（    ） A．266 B．270 C．271 D．285 【答案】C 【详解】如图所示，    ∵，， ∴， ∵上有31个格点， 上的格点有，，，，，，，，，，共10个格点， 上的格点有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个格点， ∴边界上的格点个数， ∵， ∴， ∴解得． ∴内部的格点个数是271． 故选：C． 试卷第30页，共31页 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