专题07与圆有关的计算与证明（六大题型）【好题汇编】-2024年中考数学二模试题分类汇编（北京专用）

专题08 与圆有关的计算与证明 圆中的计算---求角度 1．（2024•大兴区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠ABC＝25°，则∠AOB的大小是（　　） A．130° B．120° C．100° D．50° 2．（2024•北京模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD＝CD．若∠CAB＝40°，则∠CAD＝（　　） A．20° B．35° C．30° D．25° 3．（2024•北京模拟）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．80° 4．（2024•东城区校级二模）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，则∠BDC＝　 　． 5．（2024•顺义区二模）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，OC的延长线与BA的延长线交于点E．若∠ABC＝20°，则∠E＝　 °． 6．（2024•海淀区二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，C在以AB为直径的半圆上．若点D在上，则∠BDC＝　 　°． 圆中的计算---求线段长 7．（2024•海淀区校级模拟）如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 8．（2024•大兴区二模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．若∠CAB＝30°，OA＝2，则CD的长是 　 　． 9．（2024•门头沟区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，如果，则⊙O的半径长为 　 　. 10．（2024•石景山区二模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，连接BC．若∠B＝22.5°，CD＝4，则⊙O的半径的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 11．（2024•海淀区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，△BDC内接于⊙O，tan∠BCD＝1，⊙O的半径是4，则弦BD的长是（　　） A． B． C． D． 12．（2024•西城区二模）如图，AB与⊙O相切于点C．点D，E分别在OA，OB上，四边形ODCE为正方形．若OA＝2，则DE＝　 　． 圆中的计算---求三角函数值 13．（2024•东城区校级模拟）如图，AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，OC⊥AB于点D．若，AB＝6，则tan∠AOD＝　 　． 14．（2024•海淀区二模）如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PO与⊙O交于点H，AH＝OH． （1）求证：△ABP是等边三角形； （2）过点A作PO的平行线，与⊙O的另一个交点为C，连接CP．若AB＝6，求⊙O的半径和tan∠CPB的值． 圆中的计算---求弧长或扇形面积 15．（2024•丰台区二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，，则的长为（　　） A． B．π C． D．2π 16．（2024•东城区校级二模）已知9°的圆周角所对的弧长是cm，则此弧所在圆的半径是 　 　． 17．（2024•海淀区校级模拟）已知扇形的圆心角为120°，半径6cm，那么扇形的面积为 　 　cm2． 18．（2024•海淀区校级模拟）半径为2且圆心角为90°的扇形面积为 　 　． 圆中的计算---求阴影部分的面积 19．（2024•顺义区二模）小红在手工课上制作的折扇，折扇展开是一个扇形，如图所示，已知扇形的半径是20cm，扇形的圆心角是120°，则扇形的面积是 　 　cm2． 20．（2024•北京模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，C为的中点，若∠CBD＝30°，⊙O的半径为12． （1）求∠BAD的度数； （2）求扇形OCD的面积． 21．（2024•大兴区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若BC＝2，∠BAC＝30°，求阴影部分的面积． 圆中证明与计算 22．（2024•海淀区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E． （1）求证：EC＝ED； （2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长． 23．（2024•朝阳区校级模拟）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D． （1）求证：DB＝DE； （2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径． 24．（2024•海淀区校级二模）如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD． （1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝9，BC＝6．求PC的长． 25．（2024•东城区校级模拟）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连接BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连接AE． （1）求证：∠AEB＝2∠C； （2）若AB＝5，tanB，求DE的长． 26．（2024•昌平区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若弦CD平分∠ACB，交AB于点E，过点C作⊙O的切线CF，交AB的延长线于点F． （1）求证：∠ECF＝∠FEC； （2）连接BD，若∠CDB＝30°，BF＝2，求⊙O半径的长． 27．（2024•东城区校级二模）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F． （1）求证：BC＝DE； （2）P是上一点，AC＝6，，求BF的长度． 28．（2024•朝阳区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的直线EF∥BC，分别交AB，AC的延长线于点E，F． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若，BE＝2，求BC的长． 29．（2024•门头沟区二模）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，AC＝CF，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD． （1）求证：∠EBD＝∠EAB； （2）若AB＝4，CF＝3，求AF的值． 30．（2024•大兴区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BD＝BF． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若CF＝2，，求AD的长． 1．（2024•昌平区二模）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C为优弧AB上一点，若∠P＝80°，则∠ACB＝　 　°． 2．（2024•北京市第一中学二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为米，则点到弦所在直线的距离是（　　） A．1米 B．2米 C．米 D．米 3．（2024•东城区二模）一个圆锥的底面半径的长为3，母线的长为15，则侧面展开图的面积是（　　） A．6π B．9π C．45π D．54π 4．（2024•朝阳区校级二模）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，点O1，O2分别为两个正六边形的中心．则tan∠O2AC的值为 　 　． 5．（2024•房山去二模）如图，是的直径，点在上，且，连接并延长到点，连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 6．（2024•北京模拟）如图，AD是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，作PB，PD分别切⊙O于点B，D，连接AB，AC． （1）求证：AB∥OP； （2）连接PA，若PA＝4，tan∠BAD＝2，求线段AB的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 与圆有关的计算与证明 圆中的计算---求角度 1．（2024•大兴区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠ABC＝25°，则∠AOB的大小是（　　） A．130° B．120° C．100° D．50° 【分析】连接OC，根据圆周角定理即可得到结论． 【解答】解：连接OC， ∴∠AOC＝2∠ABC＝50°， ∵C是的中点， ∴∠AOB＝2∠AOC＝100°， 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 2．（2024•北京模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD＝CD．若∠CAB＝40°，则∠CAD＝（　　） A．20° B．35° C．30° D．25° 【分析】连接OD、OC，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠AOC＝100°，再根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠COD＝50°，然后根据圆周角定理得到∠CAD的度数． 【解答】解：连接OD、OC，如图， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∵AD＝CD， ∴， ∴∠AOD＝∠COD∠AOC＝50°， ∴∠CAD∠COD＝25°． 故选：D． 【点评】本题考查了圆周角定理，正确记忆在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题关键． 3．（2024•北京模拟）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．80° 【分析】根据以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，可知A、C、B、D四点共圆，再根据圆周角定理求解即可． 【解答】解：设AB的中点为O，连接OD，如图所示： ∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC， ∴A、C、B、D四点共圆， ∵量角器上点D对应的读数是100°， ∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°， ∴∠BCD∠BOD＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 4．（2024•东城区校级二模）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，则∠BDC＝　 　． 【分析】由圆周角定理求出∠ABD∠AOD＝64°，由三角形外角的性质得到∠BDC＝∠ABD﹣∠E＝24°． 【解答】解：∵∠ABD∠AOD，∠AOD＝128°， ∴∠ABD＝64°， ∵∠E＝40°， ∴∠BDC＝∠ABD﹣∠E＝64°﹣40°＝24°． 故答案为：24°． 【点评】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，关键是由圆周角定理得到∠ABD∠AOD． 5．（2024•顺义区二模）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，OC的延长线与BA的延长线交于点E．若∠ABC＝20°，则∠E＝　 °． 【分析】由垂直的定义得到∠ADB＝90°，求出∠BAD＝90°﹣20°＝70°，由圆周角定理得到∠O＝2∠ABC＝40°，由三角形外角的性质得到∠E＝∠BAD﹣∠O＝30°． 【解答】解：∵OA⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝20°， ∴∠BAD＝90°﹣20°＝70°， ∵∠O＝2∠ABC＝40°， ∴∠E＝∠BAD﹣∠O＝30°． 故答案为：30． 【点评】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，关键是由圆周角定理得到∠O＝2∠ABC＝40°，由三角形外角的性质即可求出∠E的度数． 6．（2024•海淀区二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，C在以AB为直径的半圆上．若点D在上，则∠BDC＝　 　°． 【分析】根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，解直角三角形求出∠A＝45°，再根据“圆内接四边形的对角互补”求解即可． 【解答】解：如图，连接BC， ∵AB为半圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵BC2，AB＝4， ∴sinA， ∴∠A＝45°， ∵A，B，C，D在以AB为直径的半圆上， ∴∠A+∠BDC＝180°， ∴∠BDC＝135°， 故答案为：135． 【点评】此题考查了圆周角定理等知识，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°是解题的关键． 圆中的计算---求线段长 7．（2024•海淀区校级模拟）如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 【分析】过O作OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：过O作OC⊥AB于C， ∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°， ∴ABOA＝4， ∴OCAB＝2， 故选：C． 【点评】此题考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键． 8．（2024•大兴区二模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．若∠CAB＝30°，OA＝2，则CD的长是 　 　． 【分析】根据垂径定理求出，CE＝DECD，则∠BOD＝2∠CAB＝60°，解直角三角形求出DE，据此即可得解． 【解答】解：如图， ∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径， ∴，CE＝DECD， ∴∠BOD＝2∠CAB＝60°， 在Rt△ODE中，OA＝OD＝2，sin∠BOD， ∴DE， ∴CD＝2． 【点评】此题考查了垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键． 9．（2024•门头沟区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，如果，则⊙O的半径长为 　 　. 【分析】先根据CD⊥AB与AC＝CD得到CEAC，进而得到∠A＝30°，∠COE＝60°，再在Rt△COE中，利用锐角三角函数计算出OC长． 【解答】解：如图，连接OC， ∵CD⊥AB，AC＝CD，， ∴CE＝DECD，∠AEC＝90°， ∴CEAC， ∴sinA， ∴∠A＝30°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA＝30°， ∴∠COE＝60°， 在Rt△COE中，sin∠COE，即sin60°， ∴OC＝2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查垂径定理及锐角三角函数，解题关键是熟练应用垂径定理． 10．（2024•石景山区二模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，连接BC．若∠B＝22.5°，CD＝4，则⊙O的半径的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【分析】连接OC，由垂径定理得到CECD＝2，由圆周角定理得到∠COE＝2∠B＝45°，判定△COE是等腰直角三角形，求出OCCE＝2，于是得到⊙O的半径的长为2． 【解答】解：连接OC， ∵直径AB⊥CD于点E， ∴CECD4＝2， ∵∠B＝22.5°， ∴∠COE＝2∠B＝45°， ∴△COE是等腰直角三角形， ∴OCCE＝2， ∴⊙O的半径的长为2． 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，关键是由垂径定理求出CE＝2，由圆周角定理得到∠COE＝2∠B＝45°，判定△COE是等腰直角三角形． 11．（2024•海淀区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，△BDC内接于⊙O，tan∠BCD＝1，⊙O的半径是4，则弦BD的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，连接AD，由tan∠BCD＝1，∠DAB＝∠BCD得，再由勾股定理得AD2+BD2＝AB2即可求出结果． 【解答】解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵tan∠BCD＝1，∠DAB＝∠BCD， ∴tan∠DAB＝1， ∴， ∵AD2+BD2＝AB2，AB＝8， ∴BD2+BD2＝82， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，关键是圆周角定理的应用． 12．（2024•西城区二模）如图，AB与⊙O相切于点C．点D，E分别在OA，OB上，四边形ODCE为正方形．若OA＝2，则DE＝　 　． 【分析】根据切线的性质和正方形的性质证得∠A＝∠B，OF＝CF，DE∥AB，进而得到OA＝OB＝2，由勾股定理求出AB由平行线等分线段定理得到DE是△OAB的中位线，根据三角形中位线定理即可求出DE． 【解答】解：∵四边形ODCE为正方形， ∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∠AOB＝90°，OF＝CF，OC⊥DE， ∵AB与⊙O相切于点C， ∴∠ACO＝∠BCO＝90°， ∴DE∥AB， ∴AD＝OD，BE＝OE， ∴DE是△OAB的中位线， ∴DEAB， ∴∠A＝∠AOC＝45°，∠B＝∠BOC＝45°， ∴∠A＝∠B， ∴OA＝OB＝2， 在Rt△OAB中，AB2＝OA2+OB2＝8， ∴AB＝2， ∴DE． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，平行线等分线段定理，三角形中位线定理等知识，综合运用这些知识是解决问题的关键． 圆中的计算---求三角函数值 13．（2024•东城区校级模拟）如图，AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，OC⊥AB于点D．若，AB＝6，则tan∠AOD＝　 　． 【分析】先利用垂径定理得到AD＝3，再利用勾股定理计算出OD，然后根据正切的定义求解． 【解答】解：∵OC⊥AB， ∴∠AOD＝90°，AD＝BDAB＝3， 在Rt△AOD中，OD1， ∴tan∠AOD3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了解直角三角形． 14．（2024•海淀区二模）如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PO与⊙O交于点H，AH＝OH． （1）求证：△ABP是等边三角形； （2）过点A作PO的平行线，与⊙O的另一个交点为C，连接CP．若AB＝6，求⊙O的半径和tan∠CPB的值． 【分析】（1）连接OA，则OA＝OH，而AH＝OH，所以△AOH是等边三角形，则∠AOH＝60°，由切线长定理和切线的性质定理得PA＝PB，PA⊥OA，则∠OAP＝90°，所以∠OPB＝∠OPA＝30°，则∠APB＝60°，即可证明△ABP是等边三角形； （2）连接OB、OC，由PA＝PB＝AB＝6，∠OAP＝90°，∠OPA＝30°，得tan30°，则⊙O的半径OA＝2，再证明△POA≌△POB，得∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOP＝∠BOP＝60°，再证明∠AOC＝60°，则∠AOC+∠AOP+∠BOP＝180°，所以B、O、C三点共线，则BC＝4，求得tan∠CPB． 【解答】（1）证明：连接OA，则OA＝OH， ∵AH＝OH， ∴OA＝AH＝OH， ∴△AOH是等边三角形， ∴∠AOH＝60°， ∵PA，PB分别切⊙O于点A，B， ∴PA＝PB，PA⊥OA， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OPB＝∠OPA＝90°﹣∠AOH＝30°， ∴∠APB＝2∠OPA＝60°， ∴△ABP是等边三角形． （2）解：连接OB、OC， ∵PA＝PB＝AB＝6，∠OAP＝90°，∠OPA＝30°， ∴tan30°， ∴OB＝OC＝OAPA6＝2， ∵PA＝PB，OP＝OP，OA＝OB， ∴△POA≌△POB（SSS）， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOP＝∠BOP＝60°， ∵AC∥PO， ∴∠OAC＝∠AOP＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴∠AOC+∠AOP+∠BOP＝3×60°＝180°， ∴B、O、C三点在同一条直线上， ∴BC＝OB+OC＝224， ∴tan∠CPB， ∴⊙O的半径长为2，tan∠CPB的值为． 【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、切线的性质定理、切线长定理、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 圆中的计算---求弧长或扇形面积 15．（2024•丰台区二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，，则的长为（　　） A． B．π C． D．2π 【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理求出圆心角∠BOC，求出OB＝2，然后根据弧长公式求解即可． 【解答】解：连接OB、OC， ∵∠A＝45°， ∴∠BOC＝90°， ∵BC＝2， ∴OB＝OC＝2， ∴的长为π， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质及弧长计算公式，解题的关键是连接辅助线求出弧所对的圆心角度数． 16．（2024•东城区校级二模）已知9°的圆周角所对的弧长是cm，则此弧所在圆的半径是 　 　． 【分析】根据圆周角定理求出弧所对的圆心角，根据弧长公式计算，得到答案． 【解答】解：设此弧所在圆的半径为r， 弧所对的圆心角为：9°×2＝18°， 则， 解得，r＝2，即此弧所在圆的半径为2cm， 故答案为：2cm． 【点评】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键． 17．（2024•海淀区校级模拟）已知扇形的圆心角为120°，半径6cm，那么扇形的面积为 　 　cm2． 【分析】根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：扇形的面积为12π（cm2）， 故答案为：12π． 【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确计算的前提． 18．（2024•海淀区校级模拟）半径为2且圆心角为90°的扇形面积为 　 　． 【分析】根据扇形面积公式求出即可． 【解答】解：扇形的面积是π， 故答案为π． 【点评】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键． 圆中的计算---求阴影部分的面积 19．（2024•顺义区二模）小红在手工课上制作的折扇，折扇展开是一个扇形，如图所示，已知扇形的半径是20cm，扇形的圆心角是120°，则扇形的面积是 　 　cm2． 【分析】直接利用扇形的面积S求解即可． 【解答】解：扇形面积为：π（cm2）， 故答案为：π． 【点评】此题考查了扇形面积的就是，掌握扇形的面积公式（S）是解题的关键． 20．（2024•北京模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，C为的中点，若∠CBD＝30°，⊙O的半径为12． （1）求∠BAD的度数； （2）求扇形OCD的面积． 【分析】（1）根据题意可得2，进而可得∠BAD＝∠COD，∠BAD＝2∠CBD，再由条件∠CBD＝30°可得∠BAD的度数； （2）根据圆周角定理可得∠COD＝60°，再根据扇形的面积公式可得答案． 【解答】解：（1）∵C是为的中点， ∴2， ∴∠BAD＝∠COD， ∵， ∴∠COD＝2∠CBD， ∴∠BAD＝2∠CBD， ∵∠CBD＝30°， ∴∠BAD＝60°； （2）∵， ∴∠COD＝2∠CBD， ∵∠CBD＝30°， ∴∠COD＝60°， 则S扇形OCD24π． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，以及扇形的面积计算，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 21．（2024•大兴区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若BC＝2，∠BAC＝30°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）先由AC是⊙O的直径证明∠ADC＝90°，则∠BDC＝90°，由E为BC的中点得DEBC＝BE＝CE，则∠B＝∠EDB，可证明∠CED＝2∠B，∠COD＝2∠A，则∠CED+∠COD＝2∠B+2∠A＝180°，则∠ODE＝360°﹣90°﹣180°＝90°，即可证明DE是⊙O的切线； （2）题中的条件是∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，则AB＝2BC＝4，可由勾股定理求出AC的长，再求△ABC的面积，可证明S四边形OCEDS△ABC，求出S四边形OCED，再由圆周角定理求得∠COD＝2∠BAC＝60°，而OCAC，可求出扇形COD的面积，则可求出阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°， ∵E为BC的中点， ∴DEBC＝BE＝CE， ∴∠B＝∠EDB， ∵OD＝OA＝OC， ∴∠A＝∠ODA， ∴∠CED＝∠B+∠EDB＝2∠B，∠COD＝∠A+∠ODA＝2∠A， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∴∠CED+∠COD＝2∠B+2∠A＝2（∠B+∠A）＝2×90°＝180°， ∴∠ODE＝360°﹣90°﹣180°＝90°， ∵DE经过半径OD的端点D，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2， ∴AB＝2BC＝4， ∴AC2， ∴S△ABC2×22， ∵CE＝BEBC，OC＝OAAC， ∴S△DCES△BCD，S△DCOS△ACD， ∴S四边形OCED＝S△DCE+S△DCOS△BCDS△ACDS△ABC2， ∵∠COD＝2∠BAC＝2×30°＝60°，OCAC2， ∴S扇形COD， ∴S阴影＝S四边形OCED﹣S扇形COD， ∴阴影部分的面积为． 【点评】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、扇形面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 圆中证明与计算 22．（2024•海淀区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E． （1）求证：EC＝ED； （2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长． 【分析】（1）连接OC，由切线的性质可证得∠ACE+∠A＝90°，又∠CDE+∠A＝90°，可得∠CDE＝∠ACE，则结论得证； （2）先根据勾股定理求出OE，OD，AD的长，证明Rt△AOD∽Rt△ACB，得出比例线段即可求出AC的长． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径， ∴OC⊥CE， ∴∠OCA+∠ACE＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA， ∴∠ACE+∠A＝90°， ∵OD⊥AB， ∴∠ODA+∠A＝90°， ∵∠ODA＝∠CDE， ∴∠CDE+∠A＝90°， ∴∠CDE＝∠ACE， ∴EC＝ED； （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE， ∴∠CDE+∠ECF＝90°， ∵∠CDE+∠F＝90°， ∴∠ECF＝∠F， ∴EC＝EF， ∵EF＝3， ∴EC＝DE＝3， ∴OE5， ∴OD＝OE﹣DE＝2， 在Rt△OAD中，AD2， 在Rt△AOD和Rt△ACB中， ∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD， ∴Rt△AOD∽Rt△ACB， ∴， 即， ∴AC． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质． 23．（2024•朝阳区校级模拟）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D． （1）求证：DB＝DE； （2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径． 【分析】（1）欲证明DB＝DE，只要证明∠DEB＝∠DBE； （2）作DF⊥AB于F，连接OE．只要证明∠AOE＝∠DEF，可得sin∠DEF＝sin∠AOE，由此求出AO即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AO＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵BD是切线， ∴OB⊥BD， ∴∠OBD＝90°， ∴∠OBE+∠EBD＝90°， ∵EC⊥OA， ∴∠CAE+∠CEA＝90°， ∵∠CEA＝∠DEB， ∴∠EBD＝∠BED， ∴DB＝DE． （2）作DF⊥AB于F，连接OE． ∵DB＝DE，AE＝EB＝6， ∴EFBE＝3，OE⊥AB， 在Rt△EDF中，DE＝BD＝5，EF＝3， ∴DF4， ∵∠AOE+∠A＝90°，∠DEF+∠A＝90°， ∴∠AOE＝∠DEF， ∴sin∠DEF＝sin∠AOE， ∵AE＝6， ∴AO． ∴⊙O的半径为． 【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、垂径定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24．（2024•海淀区校级二模）如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD． （1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝9，BC＝6．求PC的长． 【分析】（1）过C点作直径CE，连接EB，由CE为直径得∠E+∠BCE＝90°，由AB∥DC得∠ACD＝∠BAC，而∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD，所以∠E＝∠BCP，于是∠BCP+∠BCE＝90°，然后根据切线的判断得到结论； （2）根据切线的性质得到OA⊥AD，而BC∥AD，则AM⊥BC，根据垂径定理有BM＝CMBC＝3，根据等腰三角形性质有AC＝AB＝9，在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM＝6； 设⊙O的半径为r，则OC＝r，OM＝AM﹣r＝6r，在Rt△OCM中，根据勾股定理计算出r，则CE＝2r，OM＝6，利用中位线性质得BE＝2OM，然后判断Rt△PCM∽Rt△CEB，根据相似比可计算出PC． 【解答】解：（1）PC与圆O相切，理由为： 过C点作直径CE，连接EB，如图， ∵CE为直径， ∴∠EBC＝90°，即∠E+∠BCE＝90°， ∵AB∥DC， ∴∠ACD＝∠BAC， ∵∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD． ∴∠E＝∠BCP， ∴∠BCP+∠BCE＝90°，即∠PCE＝90°， ∴CE⊥PC， ∴PC与圆O相切； （2）∵AD是⊙O的切线，切点为A， ∴OA⊥AD， ∵BC∥AD， ∴AM⊥BC， ∴BM＝CMBC＝3， ∴AC＝AB＝9， 在Rt△AMC中，AM6， 设⊙O的半径为r，则OC＝r，OM＝AM﹣r＝6r， 在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，即32+（6r）2＝r2，解得r， ∴CE＝2r，OM＝6， ∴BE＝2OM， ∵∠E＝∠MCP， ∴Rt△PCM∽Rt△CEB， ∴， 即， ∴PC． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质． 25．（2024•东城区校级模拟）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连接BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连接AE． （1）求证：∠AEB＝2∠C； （2）若AB＝5，tanB，求DE的长． 【分析】（1）根据切线的性质证明即可； （2）连接AD，根据三角函数解答即可． 【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线， ∴∠BAC＝90°． ∵点E是BC边的中点， ∴AE＝EC． ∴∠C＝∠EAC， ∵∠AEB＝∠C+∠EAC， ∴∠AEB＝2∠C； （2）连接AD． ∵AB为⊙O直径， ∴∠ADB＝90°． ∵AB＝5，tanB， ∴BD＝3． 在Rt△ABC中，AB＝5，tanB， ∴BC， ∵点E是BC边的中点， ∴BE． ∴DE＝BE﹣BD． 【点评】此题考查了圆周角定理，切线的性质，关键是根据切线性质和三角函数解答． 26．（2024•昌平区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若弦CD平分∠ACB，交AB于点E，过点C作⊙O的切线CF，交AB的延长线于点F． （1）求证：∠ECF＝∠FEC； （2）连接BD，若∠CDB＝30°，BF＝2，求⊙O半径的长． 【分析】（1）由余角的性质推出∠FCB＝∠ACO，由等腰三角形的性质推出∠A＝∠ACO，由角平分线定义得到∠ACE＝∠BCE，由三角形外角的性质即可证明∠ECF＝∠FEC； （2）由圆周角定理得到∠BOC＝2∠D＝60°，由含30度角的直角三角形的性质推出OF＝2OC＝OB+BF，得到OB＝BF＝2， 【解答】（1）证明：连接OC， ∵FC切圆于C， ∴OC⊥FC， ∴∠FCB+∠OCB＝90°， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠OCB＝90°， ∴∠FCB＝∠ACO， ∵OC＝OA， ∴∠A＝∠ACO， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE， ∵∠FEC＝∠A+∠ACE，∠FCE＝∠FCB+∠BCE， ∴∠ECF＝∠FEC； （2）解：∵∠CDB＝30°， ∴∠BOC＝2∠D＝60°， ∵∠OCF＝90°， ∴OF＝2OC＝2OB＝OB+BF， ∴OB＝BF＝2， ∴⊙O半径的长是2． 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形，关键是由余角的性质推出∠FCB＝∠ACO，由含30度角的直角三角形的性质得到OF＝2OC． 27．（2024•东城区校级二模）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F． （1）求证：BC＝DE； （2）P是上一点，AC＝6，，求BF的长度． 【分析】（1）由垂径定理推出，得到，推出BC＝DE； （2）由锐角的正切求出BC＝8，由勾股定理求出AB10，由垂径定理得到DFDE＝4由勾股定理求出OF3，即可得到BF＝OB﹣OF＝5﹣3＝2． 【解答】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∵弦DE⊥AB， ∴， ∴， ∴BC＝DE； （2）解：连接OD， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝∠P， ∴tanA＝tanP， ∴， ∵AC＝6， ∴BC＝8， ∴AB10， ∵AB⊥DE， ∴DFDEBC＝4， ∵ODAB＝5， ∴OF3， ∴BF＝OB﹣OF＝5﹣3＝2． 【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，关键是由垂径定理推出，得到；由勾股定理求出OF的长． 28．（2024•朝阳区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的直线EF∥BC，分别交AB，AC的延长线于点E，F． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若，BE＝2，求BC的长． 【分析】（1）连接OD，只要证明OD⊥EF即可； （2）先根据正弦设AC＝3x，AB＝5x，则BC＝4x，OB＝OD＝2.5x，根据平行线的性质得∠E＝∠ABC，由三角函数列等式可解答． 【解答】（1）证明：如图1，连接OD， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°； ∵EF∥BC， ∴∠AFE＝∠ACB＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA； 又∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴OD∥AF， ∴∠ODE＝∠AFD＝90°， 即OD⊥EF， 又∵EF过点D， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：∵sin∠ABC， ∴设AC＝3x，AB＝5x， ∴BC＝4x，OB＝OD＝2.5x， ∵BC∥EF， ∴∠ABC＝∠E， 在Rt△OED中，sin∠E＝sin∠ABC， ∵BE＝2， ∴， ∴x， ∴BC＝4x＝4． 【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点的综合运用，利用等角的三角函数列等式是解决本题的关键． 29．（2024•门头沟区二模）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，AC＝CF，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD． （1）求证：∠EBD＝∠EAB； （2）若AB＝4，CF＝3，求AF的值． 【分析】（1）由切线的性质得AC⊥AB，而AB是⊙O的直径，则∠E＝∠BAC＝90°，所以∠EBD+∠EFB＝90°，∠EAB+∠CAF＝90°，再证明∠EFB＝∠CAF，则∠EBD＝∠EAB； （2）由∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝CF＝3，根据勾股定理求得BC＝5，则BF＝2，再证明△EBF∽△EAB，得，所以EFEB，EA＝2EB，由ABEB＝4，求得EB，EF，EA，所以AF＝EA﹣EF． 【解答】（1）证明：∵AC切⊙O于点A， ∴AC⊥AB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠E＝∠BAC＝90°， ∴∠EBD+∠EFB＝90°，∠EAB+∠CAF＝90°， ∵AC＝CF， ∴∠CFA＝∠CAF， ∵∠CFA＝∠EFB， ∴∠EFB＝∠CAF， ∴∠EBD＝∠EAB． （2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝CF＝3， ∴BC5， ∴BF＝BC﹣CF＝5﹣3＝2， ∵∠EBF＝∠EAB，∠BEF＝∠AEB， ∴△EBF∽△EAB， ∴， ∴EFEB，EA＝2EB， ∵ABEB＝4， ∴EB， ∴EF，EA＝2， ∴AF＝EA﹣EF， ∴AF的长是． 【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、等腰三角形的性质、等角的余角相等、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠EFB＝∠CAF及证明△EBF∽△EAB是解题的关键． 30．（2024•大兴区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，且BD＝BF． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若CF＝2，，求AD的长． 【分析】（1）连接OE，求出OE∥BF推出∠AEO＝90°，根据切线的判定推出即可； （2）连接BE，解直角三角形求出CE＝4，根据圆周角定理求出∠DEB＝∠FEB＝90°，进而求出∠FBE＝∠CEF，解直角三角形求出BC＝8，则BF＝BC+CF＝10，BD＝BF＝10，OE＝5，解直角三角形求解即可． 【解答】（1）证明：连接OE， ∵OD＝OE， ∴∠ODE＝∠OED， ∵BD＝BF， ∴∠BDF＝∠F， ∴∠OED＝∠F， ∴OE∥BF， ∴∠AEO＝∠ACB＝90°， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：如图，连接BE， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECF＝180°﹣∠ACB＝90°， 在Rt△ECF中， ∵CF＝2，tan∠CEF， ∴CE＝4． ∵BD是直径， ∴∠DEB＝90°＝∠FEB， ∴∠CEF+∠CEB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠FBE+∠CEB＝90°， ∴∠FBE＝∠CEF， ∴， ∴BC＝8． ∴BF＝BC+CF＝10． ∴BD＝BF＝10． ∴OE＝5． 在Rt△AEO中，， 在Rt△ACB中，， ∴． ∴． 【点评】此题是圆的综合题，考查了切线的判定、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练运用切线的判定、圆周角定理、锐角三角函数定义并作出合理的辅助线是解题的关键． 1．（2024•昌平区二模）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C为优弧AB上一点，若∠P＝80°，则∠ACB＝　 　°． 【分析】连接OA，OB，由切线的性质定理得到∠PAO＝∠PBO＝90°，求出∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，由圆周角定理得到∠ACB∠AOB＝50°． 【解答】解：连接OA，OB， ∵PA，PB分别切圆于A、B， ∴半径OA⊥PA，半径OB⊥PB， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵∠P＝80°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°， ∴∠ACB∠AOB＝50°． 故答案为：50． 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由切线的性质定理得到∠PAO＝∠PBO＝90°，由圆周角定理得到∠ACB∠AOB． 2．（2024•北京市第一中学二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为米，则点到弦所在直线的距离是（　　） A．1米 B．2米 C．米 D．米 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用．连结，交于，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【解答】解：连接交于， 由题意得：米，， ∴（米），， 由勾股定理得，（米）， ∴米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 3．（2024•东城区二模）一个圆锥的底面半径的长为3，母线的长为15，则侧面展开图的面积是（　　） A．6π B．9π C．45π D．54π 【分析】根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：∵圆锥的底面半径的长为3， ∴圆锥的底面周长的长为6π， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为6π， ∴扇形弧长为：6π×15＝45π， ∴圆锥侧面展开图的面积为45π， 故选：C． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键． 4．（2024•朝阳区校级二模）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，点O1，O2分别为两个正六边形的中心．则tan∠O2AC的值为 　 　． 【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【解答】解：如图，连接O2C，过O2点作O2E⊥BC，垂足为E，设正六边形的边长为a，则O1A＝O1B＝O2C＝a， 在Rt△O2CE中，O2C＝a，∠CO2E＝30°， ∴ECO2Ca＝BE，O2EO2Ca， ∴AE＝2aaa， ∴tan∠O2AC． 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 5．（2024•房山去二模）如图，是的直径，点在上，且，连接并延长到点，连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【分析】（1）如图1，连接，则，，，由，可得，则，即，进而结论得证； （2）由，可得，则，，由，可得，如图2，过点作于点，则，，，根据，求解作答即可． 【解答】（1）证明：如图1，连接，           图1 ∵是的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图2，过点作于点，         图2 ∴，， ∴， ∴， ∴的长度为． 【点评】本题考查了直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，正弦，正切，余弦等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，正弦，正切，余弦是解题的关键． 6．（2024•北京模拟）如图，AD是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，作PB，PD分别切⊙O于点B，D，连接AB，AC． （1）求证：AB∥OP； （2）连接PA，若PA＝4，tan∠BAD＝2，求线段AB的长． 【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得∠OBP＝∠ODP＝90°，从而证明Rt△OBP≌Rt△ODP，进而可得∠BOP＝∠DOP∠BOD，然后根据圆周角定理可得∠BAD∠BOD，从而可得∠BAD＝∠DOP，最后利用平行线的判定即可解答； （2）连接BD，利用（1）的结论可得tan∠BAD＝tan∠DOP＝2，然后在Rt△DOP中，利用锐角三角函数的定义可得DP＝2OD，从而可得DP＝AD，进而在等腰直角三角形ADP中求出DP，AD的长，最后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义可得BD＝2AB，再利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：连接OB， ∵PB，PD分别切⊙O于点B，D， ∴∠OBP＝∠ODP＝90°， ∵OB＝OP，OP＝OP， ∴Rt△OBP≌Rt△ODP（HL）， ∴∠BOP＝∠DOP∠BOD， ∵∠BAD∠BOD， ∴∠BAD＝∠DOP， ∴AB∥OP； （2）解：连接BD， ∵∠BAD＝∠DOP， ∴tan∠BAD＝tan∠DOP＝2， 在Rt△DOP中，tan∠DOP2， ∴DP＝2OD， ∵AD＝2OD， ∴DP＝AD， ∵PA＝4， ∴AD＝DP4， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∵tan∠BAD2， ∴BD＝2AB， ∵AB2+BD2＝AD2， ∴AB2+4AB2＝16， ∴AB或AB（舍去）， ∴线段AB的长为． 【点评】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，以及解直角三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！39 学科网（北京）股份有限公司 $$