第02讲 正数与负数（3大核心考点）-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）

第02讲 正数与负数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过生活实例认识正数和负数； 2．会用正数、负数表示相反意义的量； 3. 知道整数、分数的分类。 1.读写正负数。 正、负数的读法与写法： “＋”号读作“正”．如 8。读作“正8”，“＋” 可以省略不写． “–”号读作“负”，如–13，读作“负13”，“–”号是不可以省略的． 实际上，日常生活中，许多具有相反意义的量都可以用正数、负数来表示．例如零上和 ，前进和 ，上升和下降,收入和支出，向东和向西，超过和不及等等。 2.认识正负数。 正数概念： ； 0既不是 ，也不是 . 请写出两个整数 ；两个负数 ；两个分数 ；两个负分数 ；两个非负数 ； 3.正整数、负整数、零统称为整数． 正分数、负分数统称为分数． 4.认识有理数 有理数概念： ； 因为整数、有限小数、无限循环小数能够写成分数形式，所以 都是有理数； 考点一：相反意义的量 例1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下记作（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利元记作元，那么亏本元记作（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1-2】如果把“盈利100元”记作“元”，那么“亏损80元”可记作 元． 【变式1-3】把下列具有相反意义的量用线连接起来． 前进米                      收入元 运出吨                     盈利元 上升C                        后退米 支出元                     运进吨 亏损元                      下降 考点二：有理数的分类 例2.在下列数，，，0，，，中整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-1】在，，0，，中分数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】在，9，，，0，，中，正数有 ，负数有 ， 既不是正数也不是负数． 【变式2-3】下列各数哪些属于非负数集合？哪些属于正整数集合？哪些是负分数集合？ ，，，，0，，， 非负数：{                                                    ，．．．} 正整数：{                                                    ，．．．} 负分数：{                                                    ，．．．} 考点三：分数与小数互化 例3.化成小数后，小数点后面第2000位上的数字是（    ）。 A．4 B．2 C．8 D．5 【变式3-1】、、、四个分数中，能化成有限小数的有（    ）个。 A．4 B．2 C．3 D．1 【变式3-2】在0.75、、、0.7四个数中，最大的数是 ，最小的数是 。 【变式3-3】把下列分数化成小数。（除不尽的保留三位小数） ＝( )   ＝( )    ＝( )    ≈( ) 1．随着商业的发展和技术的进步，手机支付已经成为常见的支付方式，若手机钱包收入元记作元，则元表示（    ） A．支出元 B．收入元 C．支出元 D．收入元 2．温度由变为，表示温度（    ） A．上升了 B．下降了 C．上升了 D．下降了 3．某品牌酸奶外包装上标明“净含量：”，现随机抽取四种口味的这种酸奶，它们的净含量如下表所示，其中，净含量不合格的是 口味的酸奶． 种类 原味 草莓味 香草味 巧克力味 净含量/mL 175 180 190 185 4．把下列的小数化成分数、分数化成小数。（除不尽的得数保留两位小数）。 0.875＝                 0.41＝             0.125＝ ＝                  ＝             ＝ 5．把下面的小数化成分数，把分数化成小数（除不尽的保留三位小数）。 0.091    1.7             6．某食品厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6 袋数 1 4 3 4 5 3 (1)这批样品的平均质量比标准质量重还是轻？重或轻多少克？ (2)若标准质量为每袋，则这批样品的总质量是多少？若该厂袋装面粉的合格标准，这批样品的合格率是多少？ 7．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向. (1)图中{______，______}， {______，______}： (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的最短路程； (3)若图中另有两个格点M、N，且，，则应记为什么？直接写出你的答案． 8．出租车司机小张某天在季华路（近似的看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：，，，，，，，，，（单位：千米） (1)小张将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问小张该如何行驶才能回到出发地？ (2)若汽车耗油量为升/千米，发车前油箱有升汽油，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 正数与负数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过生活实例认识正数和负数； 2．会用正数、负数表示相反意义的量； 3. 知道整数、分数的分类。 1.读写正负数。 正、负数的读法与写法： “＋”号读作“正”．如 8。读作“正8”，“＋” 可以省略不写． “–”号读作“负”，如–13，读作“负13”，“–”号是不可以省略的． 实际上，日常生活中，许多具有相反意义的量都可以用正数、负数来表示．例如零上和零下，前进和后退，上升和下降,收入和支出，向东和向西，超过和不及等等。 2.认识正负数。 正数概念：像3、+8这样的数;负数概念：像-1、-4____； 0既不是_正数________，也不是__负数________. 请写出两个整数 0、1 ；两个负数 -1、-2 ；两个分数 1/2、2/3 ；两个负分数 -1/2、4/5 ；两个非负数 2、6 ； 3.正整数、负整数、零统称为整数． 正分数、负分数统称为分数． 4.认识有理数 有理数概念： 我们把能够写成分数形式的数叫做有理数 ； 因为整数、有限小数、无限循环小数能够写成分数形式，所以 整数 、 有限小数 、无限循环小数 都是有理数； 考点一：相反意义的量 例1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了正数和负数，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：若零上记作，则零下记作． 故选：D． 【变式1-1】中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利元记作元，那么亏本元记作（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量．熟练掌握相反意义的量是解题的关键． 根据相反意义的量进行判断作答即可． 【详解】解：∵盈利元记作元， ∴亏本元记作元， 故选：B． 【变式1-2】如果把“盈利100元”记作“元”，那么“亏损80元”可记作 元． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：“盈利100元”记作“元”，那么“亏损80元”可记作元， 故答案为：． 【变式1-3】把下列具有相反意义的量用线连接起来． 前进米                      收入元 运出吨                     盈利元 上升C                        后退米 支出元                     运进吨 亏损元                      下降 【答案】见详解 【分析】相反意义的量指的是：具有相反意义，有数量（数量可以相等，也可以不相等），成对出现，由此即可求解． 【详解】解：根据相反意义的量的含义得， 【点睛】本题主要考查相反意义的量，理解并掌握相反意义的量的定义是解题的关键． 考点二：有理数的分类 例2.在下列数，，，0，，，中整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类、整数的识别，逐个识别是否为整数，得出整数的个数即可，掌握“整数包含正整数、0、负整数”是解题的关键． 【详解】解：，，，0，，，中整数有：，0，，共3个， 故选：B． 【变式2-1】在，，0，，中分数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查有理数，根据分数的定义进行判断即可． 【详解】解：在，，0，，中，分数有， ，，共3个， 故选：C． 【变式2-2】在，9，，，0，，中，正数有 ，负数有 ， 既不是正数也不是负数． 【答案】 、9、 、、 0 【分析】本题主要考查了有理数的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．比0大的数叫正数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写；比0小的数叫做负数，负数用负号“”和一个正数标记．利用正数、负数和0的意义可得出答案． 【详解】解：在，9，，，0，，中， 正数有、9、，负数有、、，0既不是正数也不是负数． 故答案为：、9、；、、；0． 【变式2-3】下列各数哪些属于非负数集合？哪些属于正整数集合？哪些是负分数集合？ ，，，，0，，， 非负数：{                                                    ，．．．} 正整数：{                                                    ，．．．} 负分数：{                                                    ，．．．} 【答案】见解析 【分析】本题考查了非负数、正整数、负分数，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据有理数的分类填写：有理数包括整数（正整数、0和负整数）；非负数包括正数和0． 【详解】解：非负数：{，，0，} 正整数：{}； 负分数：{，}． 考点三：分数与小数互化 例3.化成小数后，小数点后面第2000位上的数字是（    ）。 A．4 B．2 C．8 D．5 【答案】B 【分析】化成小数后是，循环节是428571，有6位数，（个），所以小数部分的第2000位数字是333个循环节后的334个循环节上的第2个数字，循环节的第2个数字是2，据此解答。 【详解】（个） 化成小数后，小数点后面第2000位上的数字是2。 故答案为：B 【变式3-1】、、、四个分数中，能化成有限小数的有（    ）个。 A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】C 【分析】用分子除以分母，将分数化为小数，再看能化成有限小数的有几个即可。小数部分的位数是有限的小数是有限小数；小数部分的位数是无限的小数是无限小数。 【详解】 、、能化成有限小数，化成的是无限循环小数，所以能化成有限小数的有3个。 故答案为：C 【变式3-2】在0.75、、、0.7四个数中，最大的数是 ，最小的数是 。 【答案】 【分析】首先根据分数化为小数的方法：用分子除以分母，把、都化成小数。最后根据小数大小比较的方法判断即可。 【详解】＝7÷8＝0.875，＝2÷3≈0.67， 因为0.875＞0.75＞0.7＞0.67， 所以＞0.75＞0.7＞， 所以在0.75、、、0.7四个数中，最大的数是，最小的数是。 【变式3-3】把下列分数化成小数。（除不尽的保留三位小数） ＝( )   ＝( )    ＝( )    ≈( ) 【答案】 0.3 0.375 0.85 0.786 【分析】 根据分数化小数的方法，将分数改写成分子除以分母的形式，再按小数除法的计算方法计算并按要求保留小数位数即可。 【详解】＝3÷10＝0.3 ＝3÷8＝0.375 ＝17÷20＝0.85 ＝11÷14≈0.786 1．随着商业的发展和技术的进步，手机支付已经成为常见的支付方式，若手机钱包收入元记作元，则元表示（    ） A．支出元 B．收入元 C．支出元 D．收入元 【答案】A 【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量，正确理解正、负数的意义是解题的关键．收入和支出相反，如果收入为正，那么负为支出，即可解决． 【详解】∵收入元记作元， ∴元表示支出元， 故选：A． 2．温度由变为，表示温度（    ） A．上升了 B．下降了 C．上升了 D．下降了 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的意义，根据温度由变为，得出温度上升了，即可作答． 【详解】解：∵温度由变为， ∴表示温度上升了， 故选：A． 3．某品牌酸奶外包装上标明“净含量：”，现随机抽取四种口味的这种酸奶，它们的净含量如下表所示，其中，净含量不合格的是 口味的酸奶． 种类 原味 草莓味 香草味 巧克力味 净含量/mL 175 180 190 185 【答案】香草味 【分析】本题主要考查了正数和负数等知识点，根据正数和负数的实际意义求得合格酸奶的重量范围，据此进行判断即可，理解正数和负数的实际意义是解决此问题的关键． 【详解】由题意可得：合格酸奶净含量的最小值为:，合格酸奶净含量的最大值为:， ∴合格酸奶的重量范围为， 则净含量不合格的是香草味， 故答案为：香草味． 4．把下列的小数化成分数、分数化成小数。（除不尽的得数保留两位小数）。 0.875＝                 0.41＝             0.125＝ ＝                  ＝             ＝ 【答案】；； 5.67；1.22；0.5625 【分析】小数化成分数，原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，再化简成最简分数。 真分数或假分数化成小数，用分子除以分母即可；带分数先转化成假分数，再化成小数。 【详解】0.875＝＝ 0.41＝ 0.125＝＝ ＝＝17÷3≈5.67 ＝11÷9≈1.22 ＝9÷16＝0.5625 5．把下面的小数化成分数，把分数化成小数（除不尽的保留三位小数）。 0.091    1.7             【答案】；1；1.667；0.96 【分析】小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分； 分数化成小数：用分母去除分子，能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位数；依此即可求解。 【详解】0.091＝   1.7＝1   ≈1.667   ＝0.96 6．某食品厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6 袋数 1 4 3 4 5 3 (1)这批样品的平均质量比标准质量重还是轻？重或轻多少克？ (2)若标准质量为每袋，则这批样品的总质量是多少？若该厂袋装面粉的合格标准，这批样品的合格率是多少？ 【答案】(1)这批样品的平均质量比标准质量重，重克 (2)这批样品的总质量是4024克，这批样品的合格率是80% 【分析】本题主要考查正负数及有理数加法在实际生活中的应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义，熟练掌握运算法则．（1）根据样本的平均质量减去标准的质量，可得答案；（2）根据有理数的加法，可得答案；找到所给数值中，绝对值小于或等于3的食品的袋数占总袋数的多少即可． 【详解】（1）解：(克)； (克)． 答:这批样品的平均质量比标准质量重，重克． （2）由题意，得：(克)． 由题意可知，与标准质量相差g的有袋， 所以， 答:这批样品的总质量是4024克，这批样品的合格率是． 7．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向. (1)图中{______，______}， {______，______}： (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的最短路程； (3)若图中另有两个格点M、N，且，，则应记为什么？直接写出你的答案． 【答案】(1)3，4；，0 (2)10 (3) 【分析】本题考查了正负数在网格线中的运动路线问题，数形结合，明确运动规则，是解题的关键． （1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负，分别写出各点的坐标即可； （2）分别根据各点的坐标计算总长即可； （3）将，对应的横纵坐标相减即可得出答案． 【详解】（1）解：图中， 故答案为：3，4；，0． （2）解：由已知可得：表示为，记为，记为， 则该甲虫走过的路程为：． （3）解：由，， 可知：，， ∴点A向右走4个格点，向上走3个格点到点N， ∴应记为． 8．出租车司机小张某天在季华路（近似的看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：，，，，，，，，，（单位：千米） (1)小张将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问小张该如何行驶才能回到出发地？ (2)若汽车耗油量为升/千米，发车前油箱有升汽油，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【答案】(1)小张向西行驶1千米才能回到出发地 (2)小张今天上午不需要加油，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的加法，正数和负数，熟练掌握有理数的加法是解答本题的关键． （1）根据题意，将小张所有行程按照向东为“正”，向西为“负”，依次相加，得到结果，判断小张最后地点距离出发地的距离，以此分析小张该如何行驶才能回到出发地． （2）根据题意，计算出小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地一共行驶的距离，然后计算行驶了这些距离耗的油量，最终得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， （千米）， 小张将最后一名乘客送达的目的距离出发地正东方向千米， 故小张向西行驶1千米才能回到出发地． 答：小张向西行驶1千米才能回到出发地． （2）不用加油，理由如下： 小张将最后一名乘客送达目的地一共行驶了：（千米）， 再返回出发地一共行驶了：（千米）， 汽车耗油：． 答：小张今天上午不需要加油． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$