专题04 二元一次方程组（5大考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

专题04 二元一次方程组 【考点1： 】 二元一次方程 【考点2：】二元一次方程组 【考点3： 】 解二元一次方程组 【考点4：】三元一次方程组 【考点5： 】 用二元一次方程组解决问题 1、 二元一次方程 二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 二元一次方程的解： (1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：． (2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 二、二元一次方程组 组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例 也是二元一次方程组 三、解二元一次方程组 形式： （1）二元一次方程组的解是一组数对，必须同时满足方程组中每一个方程一般写成的形式． (2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个． 消元： 1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 2.消元的基本思路：未知数由多变少. 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 代入： (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形较简便； ③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便． 加减： (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； (2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； (3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 四、三元一次方程组 方法： （1）观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数； （2）利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组； （3）解这个二元一次方程组，求得两个未知数得值； （4）将这两个未知数得值代入原方程组中较简单得一个方程中，求出第三个未知数得值，从而得到原三元一次方程组得解。 五、二元一次方程解决问题 1、年龄问题 （1）两个人的年龄差是不变的； （2）两个人的年龄是同时增加或者同时减少的 （3）两个人的年龄的倍数是发生变化的。 常用的计算公式是： 成倍时小的年龄=大小年龄之差÷(倍数-1) 几年前的年龄=小的现年-成倍数时小的年龄 几年后的年龄=成倍时小的年龄-小的现在年 2、古文问题 只需看译文后即可，节约时间 3、倍分问题 增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量 总量＝倍数×倍量 4、几何问题 用未知数表示长与宽，用面积与周长构造等量关系 5、方案问题 在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案． 方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案． 6、行程问题 速度×时间=路程. 顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度 7、工程问题 工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量，设工作总量为“1”。 8、利润问题 商品利润＝商品售价－商品进价 9、数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 10、解决应用题方法与步骤 1.列方程组解应用题的基本思路 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 要点诠释： （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 考点剖析 【考点1：】 二元一次方程 1．下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是二元一次方程的解，则的值为（    ） A．11 B．5 C． D． 3．二元一次方程的非负整数解有 组． 4．若是二元一次方程的一组解，则的值为 ． 5．如果是关于x、y的二元一次方程，求m的值． 6．对于二元一次方程（其中a，b是常数，x，y是未知数）当时，x的值称为二元一次方程的“完美值”，例如：当时，二元一次方程化为，其“完美值”为． (1)求二元一次方程的“完美值”； (2)是二元一次方程的“完美值”，求m的值； (3)是否存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【考点2：】 二元一次方程组 1．已知二元一次方程组的解是，则☆表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．关于x、y的方程组的解是，则的值是（    ）． A．4 B．9 C．5 D．11 3．若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是 . 4．小刚解出了方程组，解为，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则 ． 5．解方程组时，小明本应该解出，由于看错了系数c，从而得到解，试求出的值 6．关于，的二元一次方程组，，是常数），，． (1)当时，求c的值； (2)若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解． 【考点3：】 解二元一次方程组 1．方程，用含y的代数式表示x为（    ） A． B． C． D． 2．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 3．若关于x， y的方程组 的解满足， 则的值为 ． 4．已知关于，的方程组的解的和是，则 ． 5．解方程组： (1) (2) 6．阅读探索： 知识累计：解方程组 解：设，，原方程组可变为， 解方程组得，即，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组： (2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解． 【考点4：】 三元一次方程组 1．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“□”的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 2．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 3．已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为 ． 4．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于 ． 5．解方程组：． 6．有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题： (1)已知二元一次方程组则______，______． (2)某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？ 【考点5：】 用二元一次方程组解决问题 1．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺．下列符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 2．某班去看演出，甲种票每张25元，乙种票每张15元，如果38名学生购票恰好用去750元，设买了x张甲种票，y张乙种票，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 3．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用 张铁皮做盒身， 张铁皮做盒底，恰巧配套． 4．某元宵生产商家受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买价格不变，购进原料价格和数量如下表所示： 第一次 第二次 糯米粉/千克 10 12 黄油/千克 2 3 总金额/元 310 405 若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的总金额为 元． 5．长郡开福中学在今年3月29日组织了一场有声有色的“爱心义卖”活动．在这次活动中，学生会组织的“衫衫来了，爱心义卖”成为活动焦点.活动前一个月左右学生会购进黑白两种纯色文化衫共200件，组织学校美术爱好者进行手绘设计，计划设计好后全部在义卖活动中售出（颜料由学校提供，不计入成本），预计获利3360元． 已知每种文化衫的成本和售价如下表： 白色文化衫 黑色文化衫 成本（元/件） 10 12 售价（元/件） 26 30 (1)他们购进两种文化衫各多少件？ (2)由于活动时间有限，白色文化衫按原价售出后，剩余的七五折销售，黑色文化衫原价售出55件后，剩余的八折销售，最后全部卖出．他们将实际获利全部捐赠，求他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款多少元？ 6．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款100元，如图是甲、乙两公司员工的一段对话． (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)甲、乙两公司共捐款多少元？ (3)在第（2）问的情况下，现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱1500元，种防疫物资每箱1200元．若购买种防疫物资不少于20箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）． 过关检测 1．若关于x、y的方程的一组解是，则a的值为（    ） A． B． C． D． 2．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足三十五；人出七，余五，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差35钱；若每人出7钱，多余5钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（    ） A．110钱 B．80钱 C．125钱 D．135钱 4．如果方程组的解也是方程的解，那么m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．若关于x、y的方程组与有相同的解，则的值为（　　） A．2024 B． C．1 D． 6．若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 7．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 8．如图，四边形面积为，，，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 9．若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 10．二元一次方程的正整数解为 （写出一个即可） 11．已知关于x，y的方程组的解满足，则 ． 12．若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 ． 13．如图，在中，已知，点E，F分别在边上．将沿直线折叠，使点B落在点D处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接．若，则的值为 ．    14．如图，在中，D是边的中点，E、F分别是边上的三等分点，连接分别交于G、H点，若的面积为90，则四边形的面积为 ．    15．解方程组 (1)； (2)． 16．阅读：某同学在解方程组时，运用了换元法，方法如下：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组，解这个方程组得到它的解为．由，，求得原方程组的解为．请利用换元法解方程组：． 17．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 __________ (1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元； (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 18．把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组 【考点1： 】 二元一次方程 【考点2：】二元一次方程组 【考点3： 】 解二元一次方程组 【考点4：】三元一次方程组 【考点5： 】 用二元一次方程组解决问题 1、 二元一次方程 二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 二元一次方程的解： (1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：． (2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 二、二元一次方程组 组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例 也是二元一次方程组 三、解二元一次方程组 形式： （1）二元一次方程组的解是一组数对，必须同时满足方程组中每一个方程一般写成的形式． (2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个． 消元： 1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 2.消元的基本思路：未知数由多变少. 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 代入： (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形较简便； ③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便． 加减： (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； (2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； (3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 四、三元一次方程组 方法： （1）观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数； （2）利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组； （3）解这个二元一次方程组，求得两个未知数得值； （4）将这两个未知数得值代入原方程组中较简单得一个方程中，求出第三个未知数得值，从而得到原三元一次方程组得解。 五、二元一次方程解决问题 1、年龄问题 （1）两个人的年龄差是不变的； （2）两个人的年龄是同时增加或者同时减少的 （3）两个人的年龄的倍数是发生变化的。 常用的计算公式是： 成倍时小的年龄=大小年龄之差÷(倍数-1) 几年前的年龄=小的现年-成倍数时小的年龄 几年后的年龄=成倍时小的年龄-小的现在年 2、古文问题 只需看译文后即可，节约时间 3、倍分问题 增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量 总量＝倍数×倍量 4、几何问题 用未知数表示长与宽，用面积与周长构造等量关系 5、方案问题 在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案． 方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案． 6、行程问题 速度×时间=路程. 顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度 7、工程问题 工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量，设工作总量为“1”。 8、利润问题 商品利润＝商品售价－商品进价 9、数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 10、解决应用题方法与步骤 1.列方程组解应用题的基本思路 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 要点诠释： （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 考点剖析 【考点1：】 二元一次方程 1．下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟悉掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：不是等式，故错误； B：是二元一次方程，故正确； C：，的次数为，故错误； D：，含有三个未知数，故错误； 故选：B． 2．已知是二元一次方程的解，则的值为（    ） A．11 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程，由题意得出，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：是二元一次方程的解， ， 解得：， 故选：B． 3．二元一次方程的非负整数解有 组． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键；先用x去表示出y，再分别讨论x的取值求解即可； 【详解】解：， ， ∵当时，； 当时，， ∴二元一次方程的非负整数解为：，共2组， 故答案为：2． 4．若是二元一次方程的一组解，则的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，代数式求值，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，据此利用整体代入法代值计算即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴， 故答案为：2021． 5．如果是关于x、y的二元一次方程，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的系数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴， ∴． 6．对于二元一次方程（其中a，b是常数，x，y是未知数）当时，x的值称为二元一次方程的“完美值”，例如：当时，二元一次方程化为，其“完美值”为． (1)求二元一次方程的“完美值”； (2)是二元一次方程的“完美值”，求m的值； (3)是否存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由题意可得，求出m即可； （3）由，得，由，得，再由，即可求n的值，进而求出完美值． 【详解】（1）∵有“完美值”， ∴， 解得， ∴二元一次方程的“完美值”为； （2）∵是二元一次方程的“完美值”， ∴， 解得； （3）存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同，理由如下： 由，得， 由，得， ∴， 解得， ∴， ∴“完美值”为． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【考点2：】 二元一次方程组 1．已知二元一次方程组的解是，则☆表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴， ∴， ∴， ∴，，，． 故☆表示的方程可能是． 故选C． 2．关于x、y的方程组的解是，则的值是（    ）． A．4 B．9 C．5 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组求出、的值是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 解得， 所以，． 故选：B． 3．若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，正确得出关于、的方程组是解题关键．根据已知得出关于、的方程组，进而得出答案． 【详解】解：关于关于、的二元一次方程组的解是， 方程组中， 解得：． 故答案为：． 4．小刚解出了方程组，解为，因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键． 将代入原方程组，解出和即可． 【详解】解：由题意得， 解得：，． ∴． 故答案为：8． 5．解方程组时，小明本应该解出，由于看错了系数c，从而得到解，试求出的值 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 将第一对x与y的值代入方程组第二个方程求出c的值，将两对x与y的值代入方程组中第一个方程，求出a，b的值即可． 【详解】解：把代入，得，解得， 把代入，得①， 把代入，得②， ①，②联立方程组，得 解得， ∴． 6．关于，的二元一次方程组，，是常数），，． (1)当时，求c的值； (2)若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）将，值代入方程，得到关于，，的方程求解． （2）先表示方程的解，再确定． 【详解】（1）解：代入方程得：， ，， ，， ． ； （2）证明：由题意，得， 整理得，①， 、均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ， 把代入①得，， ， 此时，，，，方程的正整数解是． 仅当时，该方程有正整数解． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键． 【考点3：】 解二元一次方程组 1．方程，用含y的代数式表示x为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数，将其中一个未知数当成常数，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 2．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，先将方程组变形为，再根据题意得到，即可求出最后结果． 【详解】解：方程组可变为：， ∵关于x．y的方程组的解为， ∴， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴方程组的解是， 故选：B． 3．若关于x， y的方程组 的解满足， 则的值为 ． 【答案】/0.125 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同底数幂除法计算，幂的乘方和幂的乘方的逆运算，负整数指数幂，先利用加减消元法得到，进而得到，再推出，据此根据同底数幂除法计算法则求解即可． 【详解】解：， 得， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ， 故答案为：． 4．已知关于，的方程组的解的和是，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组、已知二元一次方程组的解的情况求参数、解一元一次方程，解二元一次方程组得出，结合题意得出，再解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：， 由得：， 解得：， 关于，的方程组的解的和是， ， 解得：， 故答案为：． 5．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1） 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2） 方程整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 6．阅读探索： 知识累计：解方程组 解：设，，原方程组可变为， 解方程组得，即，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组： (2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点， （1）根据换元法设，，进行求解计算即可； （2）根据换元法设，，进行求解计算即可． 熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 【详解】（1）解：设，， ∴原方程组可变为：， 解得：， 即， 解得：； （2）设，， ∴所求方程组可变为： ∴可得， ∴解得：． 【考点4：】 三元一次方程组 1．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“□”的个数为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答． 【详解】解：设1个“”， “”，“”的质量分别为， ∴， ∴， ∴， 即：与1个“”质量相等的“”的个数为2； 故选C． 2．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解本题的关键，先消去未知数可得，从而可得答案． 【详解】解：， ②③得：即， ③①得：， ∴， 故选A 3．已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意，先推断出S取最大值与最小值时的x、y、z的值，再求S的最大值与最小值的和． 【详解】解：要使S取最大值，最大，z最小， ∵x、y、z是三个非负整数， ∴， 解方程组 ， 解得：， ∴S的最大值； 要使S取最小值， 联立得方程组 ， 得， ， 得，， ∴， 把，代入， 整理得，，当x取最小值时，S有最小值， ∵x、y、z是三个非负整数， ∴x的最小值是0， ∴， ∴S的最大值与最小值的差：； 故答案为：1 4．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设长方体木块长、宽，桌子的高为，根据图①和图②列出方程组求解即可． 【详解】解：设长方体木块长、宽，桌子的高为， 由题意得，， 解得， ∴桌子的高度等于， 故答案为：． 5．解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 方程组前两个方程相加消去得到与的方程，与第三个方程联立求出与的值，进而求出的值即可． 【详解】解： ①②得：④， ④③得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， 则方程组的解为． 6．有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题： (1)已知二元一次方程组则______，______． (2)某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？ 【答案】(1)4，2 (2)45元 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． （1）用整体的思想求解即可； （2）先列出三元一次方程组，再由“整体思想”即可得解． 【详解】（1）， 得：， 得：， ∴， 故答案为：4，2； （2）购买1支铅笔需a元，1块橡皮需b元，1本日记本共需c元， 由题意得：， 得：， ∴． 答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需45元． 【考点5：】 用二元一次方程组解决问题 1．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺．下列符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，以及将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，列出方程组即可． 【详解】解：设绳索长x尺，竿长y尺，由题意，得： ； 故选B． 2．某班去看演出，甲种票每张25元，乙种票每张15元，如果38名学生购票恰好用去750元，设买了x张甲种票，y张乙种票，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键． 分别利用有38名学生以及购票恰好用去750元，得出等式求出答案． 【详解】解：设买了张甲种票，张乙种票， 根据题意可得：． 故选：C． 3．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用 张铁皮做盒身， 张铁皮做盒底，恰巧配套． 【答案】 15 20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．根据题意可知，本题中的相等关系是（1）盒身的个数盒底的个数；(2)制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数，列方程组求解即可． 【详解】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意，得， 解得， 故答案为：15，20． 4．某元宵生产商家受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买价格不变，购进原料价格和数量如下表所示： 第一次 第二次 糯米粉/千克 10 12 黄油/千克 2 3 总金额/元 310 405 若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的总金额为 元． 【答案】675 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设糯米粉每千克的单价为元，黄油每千克的单价为元，根据题意列得二元一次方程组，求得和的值，再代入，计算即可求解． 【详解】解：设糯米粉每千克的单价为元，黄油每千克的单价为元， 依题意得， 解得， ∴（元）， 故答案为：675． 5．长郡开福中学在今年3月29日组织了一场有声有色的“爱心义卖”活动．在这次活动中，学生会组织的“衫衫来了，爱心义卖”成为活动焦点.活动前一个月左右学生会购进黑白两种纯色文化衫共200件，组织学校美术爱好者进行手绘设计，计划设计好后全部在义卖活动中售出（颜料由学校提供，不计入成本），预计获利3360元． 已知每种文化衫的成本和售价如下表： 白色文化衫 黑色文化衫 成本（元/件） 10 12 售价（元/件） 26 30 (1)他们购进两种文化衫各多少件？ (2)由于活动时间有限，白色文化衫按原价售出后，剩余的七五折销售，黑色文化衫原价售出55件后，剩余的八折销售，最后全部卖出．他们将实际获利全部捐赠，求他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款多少元？ 【答案】(1)购进白色文化衫件，黑色文化衫件 (2)捐款元 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，准确列出方程组是解题的关键． （1）利用题中条件以及表格，列出对应的二元一次方程组即可进行解题； （2）根据题意列出算式计算解题即可． 【详解】（1）解：设购进白色文化衫件，黑色文化衫件，列方程组得： ， 解得：， 答：购进白色文化衫件，黑色文化衫件． （2）解：元， 答：他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款元． 6．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款100元，如图是甲、乙两公司员工的一段对话． (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)甲、乙两公司共捐款多少元？ (3)在第（2）问的情况下，现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱1500元，种防疫物资每箱1200元．若购买种防疫物资不少于20箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）． 【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人； (2)甲、乙两公司共捐款36000元； (3)共有2种购买方案，方案1：购买8箱种防疫物资，20箱种防疫物资；方案2：购买4箱种防疫物资，25箱种防疫物资． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲公司有人，则乙公司有人，根据“甲公司的人数比乙公司少30人，且甲、乙两公司的捐款总数相同”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用甲、乙两公司的捐款总数甲公司的人均捐款数甲公司的人数乙公司的人均捐款数乙公司的人数，即可求出结论； （3）设购买箱种防疫物资，箱种防疫物资，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数且，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设甲公司有人，则乙公司有人， 根据题意得：， 解得：． 答：甲公司有150人，乙公司有180人； （2）解： （元． 答：甲、乙两公司共捐款36000元； （3）解：设购买箱种防疫物资，箱种防疫物资， 根据题意得：， ． 又，均为正整数，且， 或， 共有2种购买方案， 方案1：购买8箱种防疫物资，20箱种防疫物资； 方案2：购买4箱种防疫物资，25箱种防疫物资． 过关检测 1．若关于x、y的方程的一组解是，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握二元一次方程的解，把，代入，即可． 【详解】∵方程的一组解是， ∴， 解得：． 故选：A． 2．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了代入法解二元一次方程组的关键一步“代入消元”，通过这一步，使二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程来解答，典型地体现了数学转化思想．将方程①代入②，然后去括号即可． 【详解】解：将方程①代入②中，得， 故选D． 3．《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足三十五；人出七，余五，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差35钱；若每人出7钱，多余5钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（    ） A．110钱 B．80钱 C．125钱 D．135钱 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设合伙人有人，羊的价格为钱，根据每人出5钱，还差35钱；若每人出7钱，多余5钱，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设合伙人有人，羊的价格为钱，由题意，得： ，解得：； 故羊的价格为135钱， 故选D． 4．如果方程组的解也是方程的解，那么m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌了二元一次方程组的解法是解题的关键． 先根据同解方程将运用加减消元法求出方程组解，再将解代入方程①得到一个关于的等式，求解即可． 【详解】解：∵方程组的解也是方程的解， ∴，得， 将代入②，得， 将，代入①得， 解得， 故选：B． 5．若关于x、y的方程组与有相同的解，则的值为（　　） A．2024 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识，能求出两方程组的相同的解是解此题的关键．先求出的解，然后将方程组的解代入含a、b的方程中组成二元一次方程组，求解出含a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：由题意，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②得 ， ∴， 解得； 将代入，得， ，得， 解得：， 把代入④得， 解得： ． ， 故选：C． 6．若关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊运算，熟悉掌握如何联立系数是解题的关键． 由两方程组的系数相同，联立两方程组后运算求解即可． 【详解】解：由可变形为， ∵的解为，且与的系数相同， ∴联立与的可得： ，解得： 故选：B． 7．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 可得， 即， 故k的值为， 故选：A． 8．如图，四边形面积为，，，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设，，根据已知得出①，进而得出，可得②，解方程组，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    设， ∵ ∴，， ∵， ∴，即 整理得① ∵，则 ∴ ∴即解得② 联立①②得 ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形面积公式，得出是解题的关键． 9．若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元解二元一次方程组，根据题意得，进而可得，即可求解． 【详解】解： 得， ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 10．二元一次方程的正整数解为 （写出一个即可） 【答案】或或 【分析】本题考查求二元一次方程的整数解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵均为正整数， ∴或或； 故答案为：或或． 11．已知关于x，y的方程组的解满足，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查根据方程组的解的情况，求参数，将两个方程相加后，整体代入法得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 12．若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 ． 【答案】6 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义运算法则，列出三元一次方程组并利用整体思想求解是关键． 根据新定义运算列出方程组，然后用加减法及整体思想计算求解． 【详解】解：∵， ，可得：， ， ， 故答案为：6． 13．如图，在中，已知，点E，F分别在边上．将沿直线折叠，使点B落在点D处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接．若，则的值为 ．    【答案】12 【分析】由折叠的性质和平移的性质可得、、，再根据可得，再结合可得，最后代入即可解答． 【详解】解：由折叠的性质可得：； 由平移的性质可得：，， ∴， ∴ ∵，即， ∴，， ∴． 故答案为12． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平移的性质等知识点，理解折叠和平移的性质是解答本题的关键． 14．如图，在中，D是边的中点，E、F分别是边上的三等分点，连接分别交于G、H点，若的面积为90，则四边形的面积为 ．    【答案】 【分析】如图: 连接，设，，根据“等底同高的三角形面积相等”可得、、、、，进而列出二元一次方程组求解可得；同理：连接，设，，可得，最后根据即可解答． 【详解】解： 如图: 连接，设，，   E、F分别是边上的三等分点，的面积为90， ∴，，， ∵D是边的中点， ∴， ∵,即，，即 ∴，解得：，即； 如图: 连接，设，，    ∴， ∵,即，，即 ∴，解得：； ∴, . ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了三角形中线、三角形的等分点、解二元一次方程组等知识点，通过做辅助线、明确各三角形之间的面积关系是解答本题的关键． 15．解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． 16．阅读：某同学在解方程组时，运用了换元法，方法如下：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组，解这个方程组得到它的解为．由，，求得原方程组的解为．请利用换元法解方程组：． 【答案】． 【分析】本题考查了换元法解方程组．设，，则原方程组可变形为二元一次方程组，求得二元一次方程组的解，据此求解即可． 【详解】解：设，，则原方程组可变形为关于m，n的方程组， 解这个方程组得到它的解为． 由，得， 由，得， 经检验，，是原方程的解， ∴原方程组的解为． 17．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表： 牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元 方案一 20 10 1100 方案二 30 15 __________ (1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 __元； (2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元； ①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？ ②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）． 【答案】(1)1650 (2)①牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；②6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意得：，再由，即可求解； （2）①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意列出方程组，求解即可；②设牛奶与咖啡总箱数为箱，则打折的牛奶箱数为箱，设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，由题意列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， （元）， 故答案为：1650； （2）解：①①设牛奶一箱元，咖啡一箱元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元； ②设牛奶与咖啡总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱， 打折牛奶价格为：（元，打折咖啡价格为：（元）， 即打折咖啡价格与牛奶原价相同， 设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱， 由题意得：， 整理得：， ∴ 、均为正整数， ∴是正整数， ∴a必须是20的倍数， ，或， ， ，， 即此次按原价采购的咖啡有6箱， 故答案为：6． 18．把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． 【答案】(1) (2)，； (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解第3问的关键是时，图③中阴影部分的面积也为480． （1）利用平移的性质知，阴影部分的周长就是大长方形的周长，据此求解即可； （2）由，代入，再结合图形即可求解； （3）由图②中阴影部分的面积为480，求得；根据时，图③中阴影部分的面积也为480，得到，再将，代入，通过计算即可求解． 【详解】（1）解：利用平移的性质得， 图②中阴影部分的周长为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即，， 即，； （3）解：∵图②中阴影部分的面积为480，且， ∴，即， 又时，图③中阴影部分的面积也为480， ∴， 将代入得， 整理得， 再将和，代入得， 整理得， 再将代入得， 解得，， ∴，解得， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$