专题01 实数（4大核心考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

专题01 实数 目录 考点聚焦：核心考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根 2、无理数和实数的概念，在数轴上表示实数，实数与数轴上的点一一对应 3、n次方根、分数指数幂的运算 4、实数的运算 一、平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 二、次方根 如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根.当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根. 求一个数的次方根的运算叫做开次方，叫做被开方数，叫做根指数. 实数的奇次方根有且只有一个，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的次方根等于零. 三、实数 有理数和无理数统称为实数． 1.实数的分类 【规律方法】（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… 　 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 四、近似数及有效数字 1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数. 2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度. 【规律方法】精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字． 3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8． 五、分数指数幂 ，，其中为正整数，. 上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数. 整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 【规律方法】设为有理数，那么 （1）. （2）. （3）. 1.实数的概念辨析：有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式. 2.实数有关的小数点移动问题：一个数向左移动2位，它的平方根向左移动1位；一个数向右移动3位，它的立方根向右移动1位. 3.根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根. 提升专练 一、单选题 1．以下五个数中、、、、，无理数的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【解析】解： ，， 实数：、、、、，其中无理数有：、． 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限的小数或无限循环小数． 2．下列说法正确的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无限小数都是无理数 C．只有0的立方根是它本身 D．1的任何次方根都是1 【答案】A 【分析】根据实数的概念，立方根的概念，无理数的概念逐个求解即可． 【解析】解：选项A：实数分为有理数和无理数，故选项A正确； 选项B：无限不循环的小数是无理数，无限循环小数可以写成分数的形式，是有理数，故选项B错误； 选项C：立方根等于它本身的数有-1，0，1，故选项C错误； 选项D：1的平方根为±1，故选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查实数的分类，无理数的定义，立方根，平方根的性质，解题的关键是熟记这些基本概念． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．没有立方根 B．的立方根是 C．是的平方根 D．的立方根是 【答案】C 【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【解析】解：-8有立方根，它的立方根是-2，故选项A错误； 1的立方根是1，故选项B错误； 是2的平方根，故选项C正确； 3的立方根是，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查立方根、平方根，解答本题的关键是明确立方根和平方根的定义和它们的计算方法． 4．以下计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可以先求出的值，再求它的算术平方根；一个数的立方根只有一个；先算出的值，再添加号；负数的偶数次方等于正数． 【解析】A．=25，，不符合题意； B．，不符合题意； C．，，符合题意； D．，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方根和算术平方根，熟练掌握各自的定义是解题的关键． 5．下列各式正确的是（    ） A．=a B．a0=1 C．=-4 D．=-5 【答案】D 【分析】根据偶次方根，被开方数需满足非负性，而对于奇次方根，任意实数都可，进而问题可求解． 【解析】解：由于，则选项A、C排除，D正确，B需要加条件； 故选D． 【点睛】本题主要考查n次方根，熟练掌握n次方根的性质是解题的关键． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则，逐项分析判断． 【解析】A、非同类二次根式，不能合并，故错误； B、，原算式错误，故该选项错误， C、，正确； D、，原算式错误，故该项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的运算法则，比较基础，熟练掌握运算法则是关键． 7．下列说法中错误的个数有（    ） （1）用幂的形式表示的结果是；（2）是无理数；（3）实数与数轴上的点一一对应；（4）两个无理数的和、差、积、商一定是无理数． A．个； B．个； C．个； D．个． 【答案】B 【分析】根据分数指数幂的定义即可判断（1）；根据是无理数，即可判断（2）；根据实数与数轴上点的对应关系，即可判断（3）；根据实数的四则运算法则，即可判断（4）． 【解析】（1）用幂的形式表示的结果是，故（1）错； （2）因为是无理数，所以是无理数，故（2）对； （3）实数与数轴上的点一一对应，故（3）对； （4）两个无理数的积、不一定是无理数，例如，故（4）错； 故选：． 【点睛】本题主要考查分数指数幂的概念，实数的概念以及实数的运算法则，熟练掌握上述知识，是解题的关键． 8．在什么范围（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】C 【分析】根据，即可知道，接着即可求解． 【解析】解： 故答案选：C． 【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义． 9．若，则x和y的关系是(　　)． A．x＝y＝0 B．x和y互为相反数 C．x和y相等 D．不能确定 【答案】B 【解析】分析：先移项，再两边立方，即可得出x=-y，得出选项即可． 详解： ∵, ∴, ∴x=-y， 即x、y互为相反数， 故选B． 点睛：考查了立方根，相反数的应用，解此题的关键是能得出x=-y． 10．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】先判断得到再代入代数式进行计算即可． 【解析】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ， 故选：A 【点睛】本题考查的是不等式的性质，无理数的估算，二次根式的乘法运算，熟练的求解a，b的值是解本题的关键． 二、填空题 11．比较大小： ， 0.5（填“＞”或“＜”） 【答案】 ＞ ＜ 【分析】根据立方根、算术平方根的定义解题． 【解析】解： ； 故答案为：＞，＜． 【点睛】本题考查实数的大小比较、无理数的估算、立方根、算术平方根等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 12．把表示成幂的形式是 ． 【答案】 【分析】根据分数指数幂及负指数幂运算法则进行计算即可得出答案． 【解析】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分数指数幂，熟练掌握分数指数幂的法则进行计算是解决本题的关键． 13．的四次方根是 ． 【答案】 【分析】根据分数指数幂的定义直接求解即可 【解析】解：∵ ∴的四次方根是： 故答案为： 【点睛】本题考查开方运算的概念，乘方与开方的关系，熟练进行乘方的计算是关键 14．在数轴上，点、点对应的数分别是和，则 ． 【答案】 【分析】直接利用数轴上两点之间的距离求法得出答案． 【解析】∵点A、点对应的数分别是和， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，正确掌握数轴上两点距离的求法是解题关键． 15．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】两个非负数的和为0，两个非负数必同为0，取绝对值的式子被开方的式子都为0，解简单方程，求得a、b的值 【解析】∵，且，， ∴，， ∴a+2=0，b-1=0， ∴a=-2，b=1， ∴a+b=-2+1=-1 故答案为-1 【点睛】本题考查了非负数，熟练掌握几个非负数的和等于0，必它们同等于0，是解决此类问题的关键 16．一个棱长为1dm的正方体，要使它保持正方体形状但体积增加1倍，则这个新正方体的棱长是 dm. 【答案】 【分析】首先根据题意求出正方体的体积，再求立方根即可得出结果． 【解析】∵2×13=2(dm3)， ∴新正方体的棱长是dm3． 故答案为. 【点睛】本题考查了正方体的体积、立方根；熟练掌握立方根的概念，根据题意求出正方体的体积是解决问题的关键． 17．根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的为36时，输出的值是多少即可． 【解析】解：当输入x为36时，， 是有理数，， 是无理数， ∴当输入的为36时，输出的值是． 故答案为：． 18．我们知道，负数没有平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“开心组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数为“开心组合数”．若三个数，，是“开心组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，求一个数的算术平方根，正确理解新定义是解题的关键．分，，两种情况求出m的值，看是否符合题意即可． 【解析】当时，则， 解得， ∵，，且10，15，30都是整数， ∴此时满足是“完美组合数”； 当时，则， 解得，不符合题意； 综上所述，． 故答案为：． 三、解答题 19．计算∶． 【答案】 【分析】根据零指数幂，完全平方公式和平方差公式进行化简，求解即可． 【解析】解： 【点睛】此题考查了零指数幂，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关运算性质． 20．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数混合运算，以及开方，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则， 根据开方和实数的运算法则解答即可； 【解析】解： 21．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，原式利用负整数指数幂，分数指数幂，乘方的意义计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【解析】解： ． 22．利用幂的运算性质计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是分数指数幂的混合运算，掌握分数指数幂的含义以及幂的运算法则是解本题的关键，先把运算式化为分数指数幂的形式，再按照从左至右的顺序计算即可． 【解析】解： ； 23．已知立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了数的开方，熟记“如果一个数的平方等于a那么这个数叫做a的平方根；正数a的正平方根加a的算术平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根”是解题关键． 【解析】解：立方根是3，的算术平方根是4， ， 解得：， ， ， 的整数部分是3， ， ， 的平方根是． 24．已知一个正方体的棱长是，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的倍，求新做的正方体的棱长． 【答案】新正方体的棱长为 【分析】根据正方体体积的计算方法，求一个数的立方根的方法即可求解． 【解析】解：正方体的棱长是， ∴该正方体的体积为， ∵新做的正方体的体积是原正方体的体积的倍， ∴新正方体的体积为， ∴设新正方体的棱长为， ∴， ∴，即， ∴新正方体的棱长为． 【点睛】本题主要考查求一个数的立方根，掌握正方体的体积的计算方法，求一个数的立方根的运算方法是解题的关键． 25．如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和的点分别为点A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C表示的数为x． (1)求x的值； (2)求(x－)2的立方根． 【答案】（1）x=﹣1；（2）1． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值； （2）把x的值代入所求代数式进行计算即可． 【解析】解：（1）∵点A、B分别表示1，， ∴AB＝－1，即x＝－1； （2）∵x＝－1， ∴原式＝(x−)2＝(−1−)2＝1， ∴的立方根为1． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，立方根，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键． 26．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，…… 小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01 【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果； （3）归纳总结得到规律，写出即可； （4）利用得出的规律计算即可得到结果． 【解析】解：（1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位． 故答案为：两；右；一； （2）已知，，则；； 故答案为：12.25；0.3873； （3），，，…… 小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位； （4）∵，， ∴， ∴， ∴y=-0.01． 【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 实数 目录 考点聚焦：核心考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根 2、无理数和实数的概念，在数轴上表示实数，实数与数轴上的点一一对应 3、n次方根、分数指数幂的运算 4、实数的运算 一、平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 二、次方根 如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根.当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根. 求一个数的次方根的运算叫做开次方，叫做被开方数，叫做根指数. 实数的奇次方根有且只有一个，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的次方根等于零. 三、实数 有理数和无理数统称为实数． 1.实数的分类 【规律方法】（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… 　 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 四、近似数及有效数字 1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数. 2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度. 【规律方法】精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字． 3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8． 五、分数指数幂 ，，其中为正整数，. 上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数. 整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 【规律方法】设为有理数，那么 （1）. （2）. （3）. 1.实数的概念辨析：有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式. 2.实数有关的小数点移动问题：一个数向左移动2位，它的平方根向左移动1位；一个数向右移动3位，它的立方根向右移动1位. 3.根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根. 提升专练 一、单选题 1．以下五个数中、、、、，无理数的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列说法正确的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无限小数都是无理数 C．只有0的立方根是它本身 D．1的任何次方根都是1 3．下列说法中，正确的是（    ） A．没有立方根 B．的立方根是 C．是的平方根 D．的立方根是 4．以下计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．下列各式正确的是（    ） A．=a B．a0=1 C．=-4 D．=-5 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．下列说法中错误的个数有（    ） （1）用幂的形式表示的结果是；（2）是无理数；（3）实数与数轴上的点一一对应；（4）两个无理数的和、差、积、商一定是无理数． A．个； B．个； C．个； D．个． 8．在什么范围（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 9．若，则x和y的关系是(　　)． A．x＝y＝0 B．x和y互为相反数 C．x和y相等 D．不能确定 10．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 二、填空题 11．比较大小： ， 0.5（填“＞”或“＜”） 12．把表示成幂的形式是 ． 13．的四次方根是 ． 14．在数轴上，点、点对应的数分别是和，则 ． 15．若，则的值为 ． 16．一个棱长为1dm的正方体，要使它保持正方体形状但体积增加1倍，则这个新正方体的棱长是 dm. 17．根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 18．我们知道，负数没有平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“开心组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数为“开心组合数”．若三个数，，是“开心组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，那么 ． 三、解答题 19．计算∶． 20．计算： 21．计算：． 22．利用幂的运算性质计算：． 23．已知立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．求的平方根． 24．已知一个正方体的棱长是，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的倍，求新做的正方体的棱长． 25．如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和的点分别为点A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C表示的数为x． (1)求x的值； (2)求(x－)2的立方根． 26．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，…… 小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$