第01讲 二次根式（十一大题型）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第01讲 二次根式（十一大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（十一大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、 了解二次根式的概念，掌握二次根式的双重非负性； 2、 理解并掌握二次根式的性质； 3、 并会根据二次根式的性质进行化简求值． 一．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 二．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 三、二次根式的性质 ①≥0；a≥0（双重非负性）． ②性质1：；a拓展到实数范围内：＝|a|＝（算术平方根的意义） ③性质2：（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 题型1：二次根式的概念 1．下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，是二次根式的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2：二次根式有意义的条件 4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D．且 题型3：二次根式的性质1 7．的化简结果是（    ） A． B．2 C． D．4 8．用一个x的值来说明“”是错误的，则x的值可以是 ． 题型4：二次根式的性质2 9．________． 10．计算的结果是（    ） A． B． C． D．5 11．计算的结果为 ． 12．下列各式成立的是（    ）． A． B． C． D． 13．已知，那么a应满足什么条件 （　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a ＝0 D．a任何实数 题型5：化简二次根式 14．计算：    15．计算： ． 题型6：根据二次根式的化简结果求参数范围 16．若，则b满足的条件是( ) 17．若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型7：由参数范围化简二次根式 18．若，化简二次根式 ． 19．当时，代数式的值是 ． 20．当时，化简的结果是 ． 题型8：由数轴确定参数范围，从而化简二次根式 21．如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ．    22．如图，数轴上点A表示的数为a，化简： ． 题型9：二次根式非负性的代数应用 23．已知，则x+y的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 24．已知是有理数，且，则化简的结果为 ． 25．已知 则 的值为（    ） A． B． C． D．12 题型10：由二次根式的值确定参数（含最值问题） 26．已知二次根式的值为4，则 ． 27．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 28．已知是整数，则正整数n的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．8 题型11：二次根式的几何应用（挖掘几何中的隐含条件） 29．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简： 解：隐含条件，解得： ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：x______． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长． 化简：． 30．阅读理解： 我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题． 化简： 解：由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴． 启发应用： （1）按照上面的解法，化简：； 类比迁移： （2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简） 拓展延伸： （3）若，请直接写出的取值范围． 一、单选题 1．下列各式中，是二次根式有（　　） ①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥； ⑦（ab≥0）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若有意义，则的取值范围是（     ） A． ≤ B．≥ C．﹥0 D．<-1 3．二次根式的值是（    ） A．8 B． C．64 D．8或 4．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次根式的值为4，那么x的值是（    ） A．4 B．16 C． D． 6．下列各式中，正确的数有几个（    ） ①=，②=a，③=，④=x-2 A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知=0，则x为（   ） A．x>3 B．x<－3 C．x=－3 D．x的值不能确定 8．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．x< 9．若a、b、c为三角形的三条边，则+|b-a-c|=(   ). A．2b-2c B．2a C．2 D．2a-2c 10．当时，______． A．0 B．6 C． D． 二、填空题 11．当x 时，有意义；当x 时，有意义． 12．化简：＝ ． 13．若，则 ． 14．化简 ． 15．当m＝ 时，二次根式取到最小值． 16．已知与互为相反数，则的值为 ． 17．若，其中a，b均为整数，则 ． 18．观察下列各式的规律： ①； ②； ③若，则 ． 三、解答题 19．下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式? ，，,(x>0)，，-，，(x≥0，y≥0). 20．求下列二次根式中字母x的取值范围． (1)． (2)． (3)． (4)． 21．计算下列各式； （1）       （2）      （3）       （4） （5）     （6）         （7） 22．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 23．若实数a，b，c满足|a-|+=+． （1）求a，b，c； （2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长． 24．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 25．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． (1)当时，的周长__________（请直接写出答案）． (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简），并求出的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积为，则． 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式（十一大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（十一大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、 了解二次根式的概念，掌握二次根式的双重非负性； 2、 理解并掌握二次根式的性质； 3、 并会根据二次根式的性质进行化简求值． 一．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 二．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 三、二次根式的性质 ①≥0；a≥0（双重非负性）． ②性质1：；a拓展到实数范围内：＝|a|＝（算术平方根的意义） ③性质2：（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 题型1：二次根式的概念 1．下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，关键是正确理解二次根式的定义．根据“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”判断即可． 【解析】解：A、当时，无意义，故此选项不合题意； B、是二次根式，故此选项符合题意； C、，该代数式无意义，故此选项不合题意； D、的根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意； 故选：B． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，掌握其定义是解决此题的关键． 形如的代数式叫做二次根式，其中a叫做被开方数，据此逐项判断即可． 【解析】解：A、中的被开方数，故不是二次根式，不符合题意； B、中的a不一定大于等于0，故不是二次根式，不符合题意； C、是三次根式，故不是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，符合题意， 故选：D． 3．下列各式中，是二次根式的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解析】解：①是二次根式，故正确； ②，-3＜0，不是二次根式，故错误； ③是三次根式，故错误； ④是二次根式，故正确； 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 题型2：二次根式有意义的条件 4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件进行求解即可，明白“二次根式有意义的条件，根号内的式子要大于等于0”是解题的关键． 【解析】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 5．若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式要有意义，那么被开方数为非负数，解不等式即可． 【解析】解：若二次根式有意义，则， 解得， 故选：C． 6．式子有意义的条件是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意得，，求解作答即可． 【解析】解：由题意知，， 解得，， 故选：B． 题型3：二次根式的性质1 7．的化简结果是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式化简，掌握是解题的关键． 【解析】解：， 故选：B． 8．用一个x的值来说明“”是错误的，则x的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一，只要负数即可） 【分析】本题考查二次根式的性质，根据求解即可得到答案； 【解析】解：∵“”是错误的， ∴， 故答案为：（答案不唯一，只要负数即可）． 题型4：二次根式的性质2 9．________． 【答案】2024 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据化简即可． 【解析】解：． 故答案为：2024． 10．计算的结果是（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质，即可求解． 【解析】解：， 故选：D． 11．计算的结果为 ． 【答案】18 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握是正确解答的关键．根据即可得出答案． 【解析】解：， 故答案为：18 12．下列各式成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【解析】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 13．已知，那么a应满足什么条件 （　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a ＝0 D．a任何实数 【答案】B 【分析】分别求出与的被开方数中a的取值范围即可得到答案. 【解析】∵的被开方数a的取值范围是，的被开方数中a的取值范围是任意实数， 故a应满足的条件是， 故选：B. 【点睛】此题考查二次根式的性质：双重非负性，二次根式的被开方数满足大于等于零的条件. 题型5：化简二次根式 14．计算：    【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的加减法、二次根式的性质与化简，先根据题意判处出与3的大小关系，再根据二次根式的性质进行解题即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【解析】． 故答案为：． 题型6：根据二次根式的化简结果求参数范围 16．若，则b满足的条件是( ) 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根据的性质 ，即可得结果． 【解析】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：． 17．若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质：，得到关于的不等式，解不等式即可得到答案． 【解析】解：， ， ， 解得 故选：C． 题型7：由参数范围化简二次根式 18．若，化简二次根式 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的非负性是解题的关键．先将化成，再根据二次根式的非负性即可解答． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19．当时，代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，绝对值的性质，正确化简是解题关键．根据a的取值范围，可求出和的取值范围，再结合二次根式的性质化简即可． 【解析】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：1． 20．当时，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，根据二次根式的意义化简即可． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型8：由数轴确定参数范围，从而化简二次根式 21．如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简： ．    【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值；根据数轴可得，进而根据绝对值的意义，二次根式的性质化简，即可求解． 【解析】解：根据数轴可得， ∴， 故答案为：． 22．如图，数轴上点A表示的数为a，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质化简，先判定，再化简二次根式即可． 【解析】解：由数轴可得：， ∴． 故答案为：． 题型9：二次根式非负性的代数应用 23．已知，则x+y的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据非负数的性质可得关于x、y的方程，解方程即可求出x、y的值，然后代入所求式子计算即可． 【解析】解：∵，，， ∴1－x=0，2－y=0，解得：x=1，y=2，∴x+y=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了非负数的性质，属于常见题型，熟知完全平方式和二次根式的非负性是解题的关键． 24．已知是有理数，且，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出，从而得出，代入结合二次根式的性质进行化简即可． 【解析】解：由题意得：，， 解得：， 将代入得， ， 故答案为：． 25．已知 则 的值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件求出的值，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 题型10：由二次根式的值确定参数（含最值问题） 26．已知二次根式的值为4，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的化简运算，根据题意建立等式求解，即可解题． 【解析】解：由题知，， ， ， ． 故答案为：5． 27．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【解析】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 28．已知是整数，则正整数n的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据是整数，即可求解． 【解析】解：， 当时， ，是整数， 故正整数的最小值为． 故选C． 题型11：二次根式的几何应用（挖掘几何中的隐含条件） 29．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简： 解：隐含条件，解得： ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：x______． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长． 化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的意义： （1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围； （2）根据（1）所求结合二次根式的性质化简可得答案； （3）由三角形三边间的关系得出、、，再利用二次根式的性质化简可得答案． 【解析】解：（1）∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0， ∴隐含条件， 解得：， （2）∵， ， ∴ ； （2）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，， ∴，，， ∴ ． 30．阅读理解： 我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题． 化简： 解：由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴． 启发应用： （1）按照上面的解法，化简：； 类比迁移： （2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简） 拓展延伸： （3）若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质和二次根式有意义的条件是解题的关键； （1）先根据二次根式有意义的条件求出m的范围，再根据二次根式的性质化简即可； （2）先根据二次根式有意义的条件求出的范围，再根据二次根式的性质化简即可； （3）先根据二次根式有意义的条件求出x的范围，再分类讨论，根据二次根式的性质化简即可； 【解析】解：（1）由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴， （2）由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为；               （3）由题意可知隐含条件，解得：， 当时，， 则，符合题意， 当时，， 则，不符合题意， 综上所述，的取值范围为． 一、单选题 1．下列各式中，是二次根式有（　　） ①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥； ⑦（ab≥0）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，进行逐一判断即可 【解析】解：①是二次根式，符合题意；②不是二次根式，不符合题意；③不是二次根式，不符合题意；④（x≤3）是二次根式，符合题意；⑤不一定是二次根式，不符合题意；⑥不是二次根式，不符合题意； ⑦（ab≥0）是二次根式，符合题意， ∴二次根式一共有3个， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 2．若有意义，则的取值范围是（     ） A． ≤ B．≥ C．﹥0 D．<-1 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解． 【解析】解：由题意可得：3x-1≥0， 解得：x≥， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键． 3．二次根式的值是（    ） A．8 B． C．64 D．8或 【答案】A 【分析】利用二次根式的性质进行化简即可． 【解析】解：， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键． 4．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质进行计算即可求解． 【解析】A、，故选项A不正确； B、，故选项B不正确； C、，故选项C不正确； D、，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 5．已知二次根式的值为4，那么x的值是（    ） A．4 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】二次根式的值为4，说明被开方数等于16，由此得到，解得． 【解析】依题意得，则，解得． 故答案选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解一元二次方程，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 6．下列各式中，正确的数有几个（    ） ①=，②=a，③=，④=x-2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据二次根式的化简方法及要求，可进行正确的计算并判断． 【解析】解：①=，故正确； ②，故错误； ③=，故正确； ④，故错误； 故选B． 【点睛】本题考查了根据二次根式的性质与化简．二次根式规律总结：当a≥0时，=a，当a＜0时，=-a． 7．已知=0，则x为（   ） A．x>3 B．x<－3 C．x=－3 D．x的值不能确定 【答案】C 【解析】试题解析：由=0，得 解得 故选C． 8．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．x< 【答案】C 【分析】由题意利用二次根式的性质，进而去绝对值讨论即可得出x的取值范围. 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 9．若a、b、c为三角形的三条边，则+|b-a-c|=(   ). A．2b-2c B．2a C．2 D．2a-2c 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系可知，，再利用算术平方根和绝对值非负性进行化简即可解答. 【解析】根据三角形的三边关系可知， ∴ ∴ 故选B 【点睛】本题考点涉及三角形的三边关系，算术平方根和绝对值的非负性以及化简，熟练掌握相关知识点是解题关键. 10．当时，______． A．0 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】先化简原式得，然后代值计算即可． 【解析】解：∵， ∴当x=-2时，原式， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式，绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 二、填空题 11．当x 时，有意义；当x 时，有意义． 【答案】 【分析】二次根式有意义：被开方数为非负数；分式有意义：分母不为零；根据分式与二次根式有意义列不等式，再解不等式从而可得答案. 【解析】解：由有意义，可得： ＞ ＜ 由有意义，可得：＞ ＞ 故答案为：＜＞ 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握被开方数为非负数与分母不为零是解题的关键. 12．化简：＝ ． 【答案】2π﹣6/6﹣2π 【分析】先写成绝对值的形式，再判断6-2π的大小，根据绝对值的性质求出结果． 【解析】解： ＝|6-2π| ＝2π-6； 故答案为：2π-6． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解决此题的关键． 13．若，则 ． 【答案】3 【分析】根据非负数的性质，可得，，解方程求出x、y的值，然后代入代数式，计算即可求得答案． 【解析】解：， ，， 解得，， 原式． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，熟知“几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0”是解题的关键． 14．化简 ． 【答案】-2x 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【解析】解：， 故答案为：-2x． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，要牢牢掌握，化简时注意符号． 15．当m＝ 时，二次根式取到最小值． 【答案】2 【分析】根据二次根式的非负性即可解答． 【解析】解：∵≥0， ∴当m﹣2＝0，即m＝2时，有最小值0． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查二次根式的非负性，解题的关键是熟知≥0． 16．已知与互为相反数，则的值为 ． 【答案】7 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【解析】解：与互为相反数， ， ，， 解得，， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 17．若，其中a，b均为整数，则 ． 【答案】0，2，4 【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解 【解析】解：∵，其中a，b均为整数， 又∵， ①当，时， ∴， ∴ ②当，时， ∴或， ∴或 ③当，时， ∴或， ∴或 故答案为：4或2或0 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想． 18．观察下列各式的规律： ①； ②； ③若，则 ． 【答案】 【分析】利用已知得出各式变化规律，二次根式下分数的分母等于分子的平方减，且分数前面的数字就是分数的分子，进而得出的值． 【解析】解：由题意可得：，，，即二次根式下分数的分母等于分子的平方减，且分数前面的数字就是分数的分子， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，理解题意，找出变化规律是解题关键． 三、解答题 19．下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式? ，，,(x>0)，，-，，(x≥0，y≥0). 【答案】,(x>0),,-,(x≥0,y≥0)是二次根式；,,不是二次根式 【分析】根据二次根式的概念即可逐一判定. 【解析】解:根据二次根式的概念可判定,是二次根式的有,(x>0),,-,(x≥0,y≥0), ,,. 【点睛】此题主要考查二次根式的概念，解题的关键是被开发数为非负数. 20．求下列二次根式中字母x的取值范围． (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)； (2)x为任意实数； (3)； (4)． 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0 ，即可求解． 【解析】（1）解：根据二次根式有意义的条件得：， 解得：； （2）解：根据二次根式有意义的条件得：， 解得：x为任意实数； （3）解：根据二次根式有意义、分式有意义的条件得：且， 解得； （4）解：根据二次根式有意义的条件得：， 解得． 【点睛】本题考查了二次分式的性质和分式有意义的条件，解题的关键是要熟练掌握相关的性质． 21．计算下列各式； （1）       （2）      （3）       （4） （5）     （6）         （7） 【答案】（1）18；（2）6；（3）；（4）-9；（5）36；（6）-；（7） 【分析】根据二次根式的性质计算即可求解． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4） （5）； （6） ； （7） 【点睛】本题主要考查了二次根式性质的运用，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 22．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【解析】解析：结合实数a、b在数轴上的位置判断出，，，然后化简求解即可． 答案：解：结合实数a、b在数轴上的位置，可判断出，，， 则有 ． 题型解法：根据点在数轴上的位置判断出二次根式被开方数的正负性，将二次根式去根号，再进行化简． 23．若实数a，b，c满足|a-|+=+． （1）求a，b，c； （2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1）a=，b=2， c=3；（2）. 【分析】（1）利用二次根式的性质进而得出c的值，再利用绝对值以及二次根式的性质得出a，b的值； （2）利用等腰三角形的性质分析得出答案． 【解析】解：（1）由题意可得：c-3≥0，3-c≥0， 解得：c=3， ∴|a-|+=0， 则a=，b=2； （2）当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和：+=2＜3，不能构成三角形，舍去； 当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形， 则等腰三角形的周长为：+3+3=+6， 综上，这个等腰三角形的周长为：+6． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及等腰三角形的性质，正确得出c的值是解题关键． 24．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3)10 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）（2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【解析】（1）∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的． 故答案为：小亮； （2）错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：． 故答案为：； （3）， ． 原式， 当时， 原式． 25．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． (1)当时，的周长__________（请直接写出答案）． (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简），并求出的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积为，则． 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1) (2)（）， 【分析】（1）利用分别计算三条边的长度，然后求和即可获得答案； （2）依据二次根式有意义的条件可得的取值范围，进而化简得到的周长；由于为整数，且要使取得最大值，所以的值可以从大到小依次验证，即可得出的面积． 【解析】（1）解：当时，，，， ∴． 故答案为：； （2）根据题意，可得，解得， ∴ ∴ ； ∵为整数，且有最大值， ∴或3或2或1或0或， 当时，三角形三边长分别为，，， ∵， ∴此时不满足三角形三边关系，故， 当时，三角形三边长分别为，，， 满足三角形三边关系， 可设，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简、三角形三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三角形三边关系求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$