第01讲 放缩与相似形（六大题型）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第01讲 放缩与相似形（六大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（六大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、了解放缩运动的特点； 2、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 3、掌握相似多边形的性质。 一、知识引入 日常生活中，可以看到许多像这样形状相同、大小不一定相同的图形. 对于图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD,得到四边形A₁B₁C₁D₁;放大四边ABCD,得到四边形A₂B₂C₂D₂. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形 . 图中，四边形 A₁B₁C₁D₁和四边形A₂B₂C₂D₂ 都与四边形ABCD形状相同.我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形. 相似的图形，它们的大小不一定相同.对于大小不同的两个相似形，可以看作大的图形由小的图形放大而得到，或小的图形由大的图形缩小而得到.对于大小相同的两个相似形，它们可以重个这时它们是全等形. 二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形. 温馨提示： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等。 三、图形的放缩运动 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 四、知识探究 如图24-4,△A₁B₁C是△ABC通过放大后得到的图形，这两个三角形的形状相同，它们是相似形. 图24 - 4 问题;对△ABC和△A₁B₁C₁ 进行观察和测量，可以发现∠A₁与∠A、∠B₁与∠B、∠C₁与 ∠C分别有怎样的大小关系? A₁B₁与AB、B₁C₁与 BC、A ₁ C₁ 与 AC 这三组边的长度的比值之间有怎样的大小关系? 通过测量及计算，可以得：∠A₁与∠A、∠B₁与∠B、∠C₁与∠C对应相等； 由各组边的长度的对应比值相等，可知这两个三角形的边的长度对应成比例. △ABC 放大为△A₁B₁C₁后，△ABC的角的大小不变，而它的各边“同样程度”地放大了.我们说△A₁B₁C₁ 与△ABC的形状相同，就是指它们的角对应相等，边的长度对应成比例. 五、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形． 温馨提示： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 题型1：放缩运动 1．将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（   ） A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数 2．如图，将图形用放大镜放大，应该属于(    )． A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换 题型2：相似形的识别 3．下列说法不正确的是（    ） A．客机模型与客机相似 B．用放大镜看到的图形与原图形相似 C．亮亮4岁时的照片与16岁时的照片相似 D．一棵树与它在水中的倒影相似 4．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 5．下列给出的图形中，不是相似形的是（　　） A．由同一张底片印出来大小不同的照片 B．一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片 C．小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像 D．五星红旗上的大五角星和小五角星 6．在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ． 题型3：相似形的概念和特点 7．下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 8．相似的两个图形，它们的大小 (填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同． 题型4：几何图形中相似形的判断 9．下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 10．下列说法正确的是（　　） A．任意两个菱形都相似 B．任意两个正方形都相似 C．任意两个等腰三角形都相似 D．任意两个矩形都相似 11．下列各组图形中，不一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．各有一个角是50°的两个直角三角形 D．各有一个角是100°的两个等腰三角形 题型5：相似多边形的性质——对应关系的重要性（含图形） 12．如图，四边形四边形，若 ，，则（   ）    A． B． C． D． 13．若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．如图，四边形四边形，求角的大小和的长度． 15．如图，四边形四边形，，． (1)___________； (2)求边的长度． 题型6：相似多边形的性质——对应关系的重要性（数学语言描述） 16．已知五边形五边形，，，，，则 ． 17．已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，AB＝2，则A'B'＝ ． 18．已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，    ，，，，，求，的长和的度数． 19．已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 一、单选题 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个圆 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 2．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（    ） A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度 3．下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个梯形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 4．“相似的图形”是(   ) A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形 C．能够重合的图形 D．大小相同的图形 5．下列说法正确的个数有（  ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（　　） A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B．图形中线段的长度与角的大小都会改变 C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 7．如图四边形四边形，，，，则（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 8．下列图形中一定相似的一组是（ ） A．邻边对应成比例的两个平行四边形； B．有一个内角相等的两个菱形； C．腰长对应成比例的两个等腰三角形； D．有一条边相等的两个矩形 9．下列各组中两个图形不相似的是（    ） A． B． C． D． 10．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 二、填空题 11．如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是 ． 12．四边形和四边形是相似图形，点A、B、C、D分别与点、、、对应，已知，，，那么的长是 ． 13．四边形和四边形是相似图形，点分别与对应，已知，，，那么的长是 ． 14．如图，四边形四边形，则的长为 ． 15．如图，四边形四边形，，，，则 .    16．如图，四边形四边形，若，，则的度数为 ．    17．如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为 ． 18．如图，把一张矩形纸片沿着一条对称轴翻折，所得到的矩形与原矩形相似，已知原矩形纸片较短的边长为，那么其较长边用含的代数式表示为 ． 三、解答题 19．观察图中①～⑨的图形，其中哪些图形分别与(1)，(2)，(3)，(4)相似？ 20．设四边形与四边形是相似的图形，且与、与、与是对应点，已知，，求四边形的周长． 21．如图是两个相似的平行四边形，根据给出的条件，求，及边长m． 22．如图，四边形四边形，且，，，，，，． (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 23．已知四根木棒的长度分别为12cm，14cm，9cm，6cm，它们顺次拼成了四边形甲；另外有四根木棒的长度分别为6cm，7cm，4.5cm，3cm，它们顺次拼成了四边形乙．请问：四边形甲与四边形乙一定相似吗？为什么？如果是甲乙都是梯形呢？如果两组线段都顺次为上底、一腰、下底、另一腰呢？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 放缩与相似形（六大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（六大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、了解放缩运动的特点； 2、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 3、掌握相似多边形的性质。 一、知识引入 日常生活中，可以看到许多像这样形状相同、大小不一定相同的图形. 对于图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD,得到四边形A₁B₁C₁D₁;放大四边ABCD,得到四边形A₂B₂C₂D₂. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形 . 图中，四边形 A₁B₁C₁D₁和四边形A₂B₂C₂D₂ 都与四边形ABCD形状相同.我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形. 相似的图形，它们的大小不一定相同.对于大小不同的两个相似形，可以看作大的图形由小的图形放大而得到，或小的图形由大的图形缩小而得到.对于大小相同的两个相似形，它们可以重个这时它们是全等形. 二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形. 温馨提示： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等。 三、图形的放缩运动 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 四、知识探究 如图24-4,△A₁B₁C是△ABC通过放大后得到的图形，这两个三角形的形状相同，它们是相似形. 图24 - 4 问题;对△ABC和△A₁B₁C₁ 进行观察和测量，可以发现∠A₁与∠A、∠B₁与∠B、∠C₁与 ∠C分别有怎样的大小关系? A₁B₁与AB、B₁C₁与 BC、A ₁ C₁ 与 AC 这三组边的长度的比值之间有怎样的大小关系? 通过测量及计算，可以得：∠A₁与∠A、∠B₁与∠B、∠C₁与∠C对应相等； 由各组边的长度的对应比值相等，可知这两个三角形的边的长度对应成比例. △ABC 放大为△A₁B₁C₁后，△ABC的角的大小不变，而它的各边“同样程度”地放大了.我们说△A₁B₁C₁ 与△ABC的形状相同，就是指它们的角对应相等，边的长度对应成比例. 五、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形． 温馨提示： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 题型1：放缩运动 1．将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（   ） A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数 【答案】D 【分析】根据相似图形的性质解答． 【解析】解：将图形甲通过放大得到图形乙没有被放大的是角的度数， 故选：． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，正确理解图形的相似是解题的关键． 2．如图，将图形用放大镜放大，应该属于(    )． A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换 【答案】B 【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案． 【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换． 故选B． 【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出． 题型2：相似形的识别 3．下列说法不正确的是（    ） A．客机模型与客机相似 B．用放大镜看到的图形与原图形相似 C．亮亮4岁时的照片与16岁时的照片相似 D．一棵树与它在水中的倒影相似 【答案】C 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．根据相似图形的定义判断即可． 【解析】解：A．客机模型与客机相似，正确； B．用放大镜看到的图形与原图形相似，正确； C．因为亮亮4岁和16岁的长相是不完全相同的，所以不是相似图形，故不正确； D．一棵树与它在水中的倒影相似，正确； 故选C． 4．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可． 【解析】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 5．下列给出的图形中，不是相似形的是（　　） A．由同一张底片印出来大小不同的照片 B．一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片 C．小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像 D．五星红旗上的大五角星和小五角星 【答案】C 【分析】利用相似图形的定义分别分析得出符合题意的图形即可． 【解析】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是相似图形，不合题意； B、一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片，是相似图形，不合题意； C、小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像，不是相似图形，符合题意； D、五星红旗上的大五角星和小五角星，相似图形，不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，相似图形的定义，正确把握定义是解题关键． 6．在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ． 【答案】 （3），（5），（6） （1），（2），（4） 【分析】根据形状相同的图形是相似图形逐一判断即可． 【解析】解：根据相似图形的定义可知： （3），（5），（6）是相似图形， （1），（2），（4）不是相似图形． 故答案为：（3），（5），（6）；（1），（2），（4） 【点睛】本题主要考查相似图形的识别，掌握相似图形的定义是关键． 题型3：相似形的概念和特点 7．下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 【答案】B 【分析】根据相似形的性质逐一判断即可． 【解析】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误； B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确； C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误； D：全等形是相似形的特例，故选项D错误． 【点睛】本题考查相似形的性质，解题的关键是熟练掌握相似形的相关知识． 8．相似的两个图形，它们的大小 (填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同． 【答案】不一定 【分析】根据相似图形的定义判断即可． 【解析】相似的两个图形形状相同，但大小不一定相等，只有两个图形全等时大小才相等，全等是相似的一种特殊情况． 故答案为：不一定． 【点睛】本题考查相似图形，明确相似图形的定义是解题的关键． 题型4：几何图形中相似形的判断 9．下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据“对应角相等，对应边成比例的图形相似”逐个判断即可． 【解析】解：A、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意． B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意； D、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； 故选C． 10．下列说法正确的是（　　） A．任意两个菱形都相似 B．任意两个正方形都相似 C．任意两个等腰三角形都相似 D．任意两个矩形都相似 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，对应的角相等，对应边的比相等对每个命题进行判断． 【解析】解：A任意两个菱形满足四条边对应成比例，但不一定满足四个角分别对应相等，所以不一定相似，故A不符合题意； B任意两个正方形既满足四条边对应成比例，也满足四个角对应相等，所以任意两个正方形都相似，故B符合题意； C任意两个等腰三角形不一定满足有两个角对应相等，所以不一定相似，故C不符合题意； D任意两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以不一定相似,，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握相似多边形各自的判定方法是解题的关键． 11．下列各组图形中，不一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．各有一个角是50°的两个直角三角形 D．各有一个角是100°的两个等腰三角形 【答案】A 【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断． 【解析】解：A. 两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故符合题意； B. 两个等腰直角三角形，对应边成比例，对应角相等，符合定义，一定相似，故不符合题意； C. 各有一个角是50°的两个直角三角形，都有一个直角，根据两角对应相等，两三角形相似，故不符合题意； D. 各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角一定是顶角，其余两角一定相等，故一定相似，故不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了相似图形，掌握相似图形的定义是解题的关键． 题型5：相似多边形的性质——对应关系的重要性（含图形） 12．如图，四边形四边形，若 ，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似多边形的性质得到，然后根据四边形的内角和计算的度数即可． 【解析】解：四边形四边形， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，也考查了四边形的内角和． 13．若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于计算即可． 【解析】解：∵两个四边形相似， ∴， ∵四边形的内角和等于， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等是解题的关键． 14．如图，四边形四边形，求角的大小和的长度． 【答案】，，． 【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和，利用相似多边形的性质：对应边的比相等，对应角相等，即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【解析】解：∵四边形四边形， ∴，，， ∴， 解得， 在四边形中，． 15．如图，四边形四边形，，． (1)___________； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形的性质； （1）根据相似多边形的性质得出对应角相等，根据四边形内角和定理求得； （2）由四边形四边形，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将，代入，计算即可求出边的长． 【解析】（1）解：∵四边形四边形， ∴ ∴ 故答案为： （2）解：∵四边形四边形 ∴ ∵， ∴ 解得： 题型6：相似多边形的性质——对应关系的重要性（数学语言描述） 16．已知五边形五边形，，，，，则 ． 【答案】 【分析】首先根据相似多边形的性质得到，，然后根据五边形的内角和为即可解答． 【解析】解：∵五边形五边形， ∴，， 又∵五边形的内角和为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题关键是掌握相似多边形的对应角相等． 17．已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，AB＝2，则A'B'＝ ． 【答案】2 【分析】利用相似多边形的性质解决问题即可． 【解析】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4， ∴， ∵AB＝2， ∴A′B′＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型． 18．已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，    ，，，，，求，的长和的度数． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质可求出，的长；根据四边形内角和求出，再根据相似图形的性质可得的度数． 【解析】解：∵四边形和四边形是相似的图形， ∴，即， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，熟知相似图形的形状完全相同，相似图形各内角对应相等，各边对应成比例是解题的关键． 19．已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多边形相似的性质：对应角相等，求解即可； （2）根据多边形相似的性质：对应边成比例，进行求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴； （2）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 一、单选题 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个圆 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似图形的识别，对应边成比例，对应角相等的图形叫相似图形，据此逐一判断即可． 【解析】解：A、两个平行四边形不一定相似，例如没有内角是直角的菱形和矩形不相似，不符合题意； B、两个圆一定相似，符合题意； C、两个菱形不一定相似，例如没有内角是直角的菱形和正方形不相似，不符合题意； D、两个等腰三角形不一定相似，例如等腰直角三角形和等边三角形不相似，不符合题意； 故选B． 2．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（    ） A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相关结论即可解答． 【解析】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了， 每个内角的度数保持不变， 故选：C． 3．下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个梯形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可． 【解析】因为两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例，可知两个矩形不一定相似，所以A不符合题意； 因为两个梯形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个梯形不一定相似，所以B不符合题意； 因为两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个等腰三角形不一定相似，所以C不符合题意； 因为两个等边三角形的对应角相等，对应边成比例，可知两个等边三角形相似，所以D符合题意． 故选：D． 4．“相似的图形”是(   ) A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形 C．能够重合的图形 D．大小相同的图形 【答案】A 【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可． 【解析】相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同， 故选A． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解相似图形是形状相同的图形． 5．下列说法正确的个数有（  ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等的两个图形相似，根据相似图形的定义，对各小题分析判断后利用排除法求解即可得出答案． 【解析】解：①所有正方形对应角相等，对应边一定成比例，所以一定都相似，故①符合题意， ②矩形的每个角都等于，即对应角相等，但对应边不一定成比例，故②不符合题意， ③菱形的四条边相等，即对应边成比例，但对应角不一定相等，故③不符合题意， ④等腰三角形的对应角不一定相等，故④不符合题意， 综上所述，符合题意的只有一个， 故选：． 6．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（　　） A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B．图形中线段的长度与角的大小都会改变 C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 【答案】D 【解析】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，可知对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变， 故选D． 点睛：本题主要考查相似图形的性质.理解相似图形的性质是解题的关键. 7．如图四边形四边形，，，，则（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．根据相似多边形的性质列出对应边成比例即可求解． 【解析】解：四边形四边形， ， ，，， ， ． 故选：． 8．下列图形中一定相似的一组是（ ） A．邻边对应成比例的两个平行四边形； B．有一个内角相等的两个菱形； C．腰长对应成比例的两个等腰三角形； D．有一条边相等的两个矩形 【答案】B 【解析】分析：利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 解答：解：A、邻边对应成比例的两个平行四边形，对应的角不一定相等，因而不一定相似，故本选项错误； B、有一个内角对应相等的两个菱形相似，故本选项正确； C、腰长对应对应成比例的等腰三角形不一定相似，故本选项错误； D、有一条边相等的两个矩形不一定相似，故本选项错误． 故选B． 9．下列各组中两个图形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义进行分析即可． 【解析】我们把形状相同的图形叫相似图形，其特征是对应角相等，对应边成比例，观察图形得知，B图对应边的比不全相等，故不相似． 故选：B． 【点睛】此题考查了相似图形的判断，解题的关键是理解相似图形的定义． 10．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误． 【解析】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：B． 二、填空题 11．如图是两个形状相同的举重图案，则x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 根据相似多边形的性质：对应线段的比等于相似比列式求解即可． 【解析】解：由题意得， ∴． 故答案为：． 12．四边形和四边形是相似图形，点A、B、C、D分别与点、、、对应，已知，，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质即可得． 【解析】四边形和四边形是相似图形，且点分别与点对应， ， 又，，， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形的性质是解题关键． 13．四边形和四边形是相似图形，点分别与对应，已知，，，那么的长是 ． 【答案】1.6 【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题． 【解析】∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴CD：C′D′=BC：B′C′， ∵BC=3，CD=2.4，B'C′=2， ∴C′D′=1.6， 故答案为：1.6． 【点睛】本题考查相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质． 14．如图，四边形四边形，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式是解题的关键．由四边形四边形，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将代入，计算即可求出边的长． 【解析】解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 15．如图，四边形四边形，，，，则 .    【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的对应角相等求解即可． 【解析】解：∵四边形四边形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 16．如图，四边形四边形，若，，则的度数为 ．    【答案】100 【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可． 【解析】∵四边形四边形， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】考查了相似多边形的性质，解题的关舞是了解相似多边形的对应角相等，难度不大． 17．如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为 ． 【答案】15cm 【分析】根据相似多边形的性质求解即可． 【解析】解：∵四边形ABCD与另一个四边形相似， ∴设另一个四边形的最短边的长度为x， ∴，解得：． ∴这个四边形的最短边的长度为15cm． 故答案为：15cm． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．相似多边形的对应边成比例，对应角相等． 18．如图，把一张矩形纸片沿着一条对称轴翻折，所得到的矩形与原矩形相似，已知原矩形纸片较短的边长为，那么其较长边用含的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【解析】解：设较长边为b， ∵所得到的矩形ABCD与原矩形相似， ∴， 整理得，， 解得，b=， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 三、解答题 19．观察图中①～⑨的图形，其中哪些图形分别与(1)，(2)，(3)，(4)相似？ 【答案】与(1)相似的图形是⑥；与(2)相似的图形是①⑦；与(3)相似的图形是②④；与(4)相似的图形是⑨ 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．根据相似图形的定义判断即可． 【解析】解：与(1)相似的图形是⑥；与(2)相似的图形是①⑦；与(3)相似的图形是②④；与(4)相似的图形是⑨． 20．设四边形与四边形是相似的图形，且与、与、与是对应点，已知，，求四边形的周长． 【答案】38 【分析】四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A1B1C1D1的其它边的长，就可求得周长． 【解析】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形， ∴， 又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8， ∴， ∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6， ∴四边形A1B1C1D1的周长=8+12+12+6=38． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比相等． 21．如图是两个相似的平行四边形，根据给出的条件，求，及边长m． 【答案】，． 【分析】根据两个平行四边形相似，求出，再利用相似平行四边形的边长比相等，求解出m的值. 【解析】∵两个平行四边形相似，∴，，解得． 【点睛】本题考查了相似平行四边形的运用，掌握相似平行四边形的对应角相等以及相似平行四边形的边长比相等是解题的关键. 22．如图，四边形四边形，且，，，，，，． (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 【答案】(1)83 (2)， 【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和360度解决问题即可． （2）利用相似多边形的对应边成比例，解决问题即可． 【解析】（1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 故答案为：83． （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，灵活运用所学知识解决问题． 23．已知四根木棒的长度分别为12cm，14cm，9cm，6cm，它们顺次拼成了四边形甲；另外有四根木棒的长度分别为6cm，7cm，4.5cm，3cm，它们顺次拼成了四边形乙．请问：四边形甲与四边形乙一定相似吗？为什么？如果是甲乙都是梯形呢？如果两组线段都顺次为上底、一腰、下底、另一腰呢？ 【答案】不一定相似；因为多边形相似不仅要对应边成比例，还要对应角相等，梯形可能，但是如果按照题中的顺序则不可能 【分析】根据相似多边形的定义进行判断即可． 【解析】解：（1）四边形甲与四边形乙不一定相似，理由如下： 因为四边形没有“稳定性”，即使四条边对应成比例，对应角也不一定相等，所以不一定相似； （2）甲、乙都是梯形可能相似，理由如下： 对于长为12cm，14cm，9cm，6cm的木棒依次连接，不能构成两底为9cm和12cm的梯形，因为14，12－9＝3，6不能构成三角形； 但是两底是14cm和6cm时可以构成梯形，如图边长为9cm，8cm，12cm的三角形是确定的，所以梯形是确定的，大小两个梯形，边成比例对应角相等，是相似的，所以甲、乙都是梯形可能相似； （3）如果两组线段都顺次为上底、一腰、下底、另一腰不可能相似，因为上底12cm、一腰14cm、下底9cm、另一腰6cm不能构成两底为9cm和12cm的梯形，因为14，12－9＝3，6不能构成三角形． 【点睛】本题考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形的定义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$