专题01 一次函数（5大核心考点）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

专题01 一次函数 目录 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、一次函数有关的概念（定义、截距等） 2、一次函数的图像与性质 3、一次函数与方程、不等式 4、一次函数的实际应用 5、一次函数的几何应用 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 一次函数解析式、一次函数的图像 2021·上海·中考真题 一次函数解析式、一次函数的性质 2022·上海·中考真题 一次函数的实际应用 2021·上海·中考真题 一次函数的实际应用 2023·上海·中考真题 一、函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 二、一次函数的相关概念 　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数. 三、一次函数的图像及性质 1、函数的图像 　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像. 要点： 直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图像之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图像特征 掌握一次函数的图像及性质（对比正比例函数的图像和性质） 解析式 （为常数，且） 自变量取值范围 全体实数 图像 形状 过（0，）和（，0）点的一条直线 、的取值 示意图 位置 经过一、二、三象限 经过一、三、四象限 经过一、二、四象限 经过二、三、四象限 趋势 从左向右上升 从左向右下降 函数变化规律 随的增大而增大 随的增大而减小 要点： 理解、对一次函数的图像和性质的影响： （1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． （2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： 与相交； ，且与平行； ，且与重合； （3）直线与一次函数图像的联系与区别 一次函数的图像是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图像. 四、用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一、判断函数图象的步骤 1. 理清动点运动过程具体分为几个阶段，及各个阶段定义域； 2.(1)若能够求出各个阶段的解析式，则可根据各个阶段的函数解析式及其定义域判断函 数图象； (2)若无法求出各个阶段的解析式，则可根据动点的运动特点，结合选项中的函数图象判断(如特 殊点的值、其中一个阶段的运动时间等). 二、分析函数图象的关键因素 1.两轴：弄清楚横、纵坐标轴表示的函数变量，一般地，横轴是自变量，纵轴是自变量对应的函数值； 2.找起点：结合运动对象的运动路线在函数图象中找出相对应的点； 3.拐点：函数图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，反映了函数图象在这 一时刻开始发生变化； 4.水平线：水平线表示函数值不随自变量的变化而变化； 5.交点：交点表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等，这个交点是函数值大小关系的“分界点”; 6.线段陡缓：线段相对较陡表示函数值随自变量的变化而变化得快，线段相对较缓表示函数值随自变量的变化而变化得慢. 真题感知 1．（2022•上海）已知直线y＝kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：　 　． 2．（2021•上海）已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式 　 　． 3．（2021•上海）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元/千克，现以8元卖出，挣得 　 　元． 4．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． （1）他实际花了多少钱购买加油卡？ （2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）． （3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 提升专练 一、单选题 1．下列四个函数中，为一次函数的是（　　） A． B． C． D．（为常数） 2．已知一次函数的图像经过原点，则k的值为（  　  ） A．1 B． C．0 D． 3．要得到直线的图像，可把直线（    ） A．向下平移个单位 B．向上平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 4．反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图像是（    ） A．   B．   C．  D．   5．若一次函数的图象如图所示， 则下列说法正确的是（   ） A． B． C．y随x的增大而增大 D．当时， 6．甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲乙二人距离地面的高度y（米）关于甲出发时间x（分钟）的函数图像如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进．根据图像判断，以下说法正确的有几个？（    ）    （1）山的高度为340米 （2）甲乙二人不同时出发 （3）甲登顶的时间为自己出发后7分钟 （4）乙出发分钟后登顶 （5）甲出发5分钟后追上乙 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 7．直线的截距是 ． 8．当 时，是一次函数． 9．一次函数和相交于一点，该点的坐标为 ． 10．若直线经过点，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 11．已知一次函数的函数值随的值增大而增大，那么的取值范围是 ． 12．如果点、在直线上，那么．（填“>”或“<”）． 13．一次函数图象平行于直线，且与轴交于点，则这个函数的解析式是 ． 14．一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为 （不写定义域）． 15．含角的直和三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中、，则直线的表达式为 ．    16．已知一次函数（其中是常数）的函数值随的值增大而增大，且这个函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上，那么的取值范围是 ． 17．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知为整数，若函数与的图像的交点是整数点，则的值为 ． 18．如图，点A的坐标为， 将沿x轴向右平移得到， 若点A的对应点落在直线上， 则点 B与其对应点间的距离为 ． 三、解答题 19．已知一次函数平行于直线，且与函数有一个交点，求： (1)一次函数的解析式． (2)此一次函数与两坐标轴围成的三角形面积． 20．如图，直线与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，其中点坐标是，且． (1)求的距离； (2)求直线的解析式． 21．如图，函数与的图象交于点． (1)求出，的值． (2)直接写出的解集． (3)求出的面积． 22．小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米）与时间（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)___________分，___________分，___________米/分： (2)若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是___________分，此时距图书馆的距离是___________米： (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是___________分． 23．若正比例函数的图象经过点．    (1)求出这个函数的解析式；并画出它的图象； (2)点B的坐标为，上述正比例函数图象上有一动点P，若点P在第二象限内，且设的面积为S，当S的值为2时，求出点P的坐标． 24．如图，在直角坐标系中，为原点，在轴的正半轴上，，把绕着点逆时针旋转后，点与点A重合．    (1)求点的坐标； (2)作的平分线交轴于点，求直线的解析式； (3)在直线上是否存在一个点，使得的面积等于面积的5倍？如果存在，请求出点的坐标． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一次函数 目录 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、一次函数有关的概念（定义、截距等） 2、一次函数的图像与性质 3、一次函数与方程、不等式 4、一次函数的实际应用 5、一次函数的几何应用 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 一次函数解析式、一次函数的图像 2021·上海·中考真题 一次函数解析式、一次函数的性质 2022·上海·中考真题 一次函数的实际应用 2021·上海·中考真题 一次函数的实际应用 2023·上海·中考真题 一、函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 二、一次函数的相关概念 　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数. 三、一次函数的图像及性质 1、函数的图像 　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像. 要点： 直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图像之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图像特征 掌握一次函数的图像及性质（对比正比例函数的图像和性质） 解析式 （为常数，且） 自变量取值范围 全体实数 图像 形状 过（0，）和（，0）点的一条直线 、的取值 示意图 位置 经过一、二、三象限 经过一、三、四象限 经过一、二、四象限 经过二、三、四象限 趋势 从左向右上升 从左向右下降 函数变化规律 随的增大而增大 随的增大而减小 要点： 理解、对一次函数的图像和性质的影响： （1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． （2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： 与相交； ，且与平行； ，且与重合； （3）直线与一次函数图像的联系与区别 一次函数的图像是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图像. 四、用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一、判断函数图象的步骤 1. 理清动点运动过程具体分为几个阶段，及各个阶段定义域； 2.(1)若能够求出各个阶段的解析式，则可根据各个阶段的函数解析式及其定义域判断函 数图象； (2)若无法求出各个阶段的解析式，则可根据动点的运动特点，结合选项中的函数图象判断(如特殊点的值、其中一个阶段的运动时间等). 二、分析函数图象的关键因素 1.两轴：弄清楚横、纵坐标轴表示的函数变量，一般地，横轴是自变量，纵轴是自变量对应的函数值； 2.找起点：结合运动对象的运动路线在函数图象中找出相对应的点； 3.拐点：函数图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，反映了函数图象在这 一时刻开始发生变化； 4.水平线：水平线表示函数值不随自变量的变化而变化； 5.交点：交点表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等，这个交点是函数值大小关系的“分界点”; 6.线段陡缓：线段相对较陡表示函数值随自变量的变化而变化得快，线段相对较缓表示函数值随自变量的变化而变化得慢. 真题感知 1．（2022•上海）已知直线y＝kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：　y＝﹣x+1（答案不唯一）　． 【分析】根据一次函数的性质，写出符合条件的函数关系式即可． 【解析】解：∵直线y＝kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小， ∴k＜0，b＞0， ∴符合条件的函数关系式可以为：y＝﹣x+1（答案不唯一）． 故答案为：y＝﹣x+1（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数的图象过第一、二、四象限，y随自变量x的值增大而减小是解答此题的关键． 2．（2021•上海）已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式 　y＝﹣2x　． 【分析】根据正比例函数的性质以及正比例函数图象是点的坐标特征即可求解． 【解析】解：∵函数y＝kx经过二、四象限， ∴k＜0． 若函数y＝kx经过（﹣1，1），则1＝﹣k，即k＝﹣1， 故函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1）时，k＜0且k≠﹣1， ∴函数解析式为y＝﹣2x， 故答案为y＝﹣2x． 【点评】考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 3．（2021•上海）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元/千克，现以8元卖出，挣得 　k　元． 【分析】根据图象求出函数关系式，计算售价为8元时卖出的苹果数量，即可求解． 【解析】解：设卖出的苹果数量y与售价x之间的函数关系式为y＝mx+n， ， 解得：， ∴ykx+7k， x＝8时，yk×8+7kk， ∴现以8元卖出，挣得（8﹣5）kk， 故答案为：k． 【点评】此题主要考查了函数图象，能够得出卖出的苹果数量y与售价x之间的函数关系式是解题关键． 4．（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． （1）他实际花了多少钱购买加油卡？ （2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）． （3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 【分析】（1）根据打九折列出算式，计算即可； （2）根据每一升油，油的单价降低0.30元知：y＝0.9（x﹣0.30）； （3）当x＝7.30，可得y＝6.30，根据优惠后油的单价比原价便宜（x﹣y）元，计算求解即可． 【解析】解：（1）由题意知，1000×0.9＝900（元）， 答：实际花了900元购买会员卡； （2）由题意知，y＝0.9（x﹣0.30）， 整理得y＝0.9x﹣0.27， ∴y关于x的函数解析式为 y＝0.9x﹣0.27； （3）当x＝7.30时，y＝0.9×7.30﹣0.27＝6.30， ∵7.30﹣6.30＝1.00， ∴优惠后油的单价比原价便宜1.00元． 【点评】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用，解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析 式． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/22 20:38:58；用户：体验；邮箱：221104@xyh.com；学号：45594736 提升专练 一、单选题 1．下列四个函数中，为一次函数的是（　　） A． B． C． D．（为常数） 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据形如为一次函数，进行逐一分析作答． 【解析】解： A、，不符合，故该选项是错误的； B、，不符合，故该选项是错误的； C、，符合，故该选项是正确的； D、（为常数），不符合，故该选项是错误的； 故选：A． 2．已知一次函数的图像经过原点，则k的值为（  　  ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数中，当时函数图象经过原点是解答此题的关键．先根据一次函数的图象经过原点得出关于k的方程，解方程即可． 【解析】解：∵一次函数的图像经过原点， ∴， 解得：． 故选：B． 3．要得到直线的图像，可把直线（    ） A．向下平移个单位 B．向上平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图像平移变换，解题的关键是根据“左加右减、上加下减”的函数图像平移规律解答即可． 【解析】解：将直线的图像向下平移个单位即可得到直线的图像． 故选：A． 4．反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的图象和一次函数的图象，根据一次函数图象与反比例函数图象与系数的关系逐一判断即可求解，熟悉两函数图象的分布与其解析式中对应系数的关系是解题的关键． 【解析】解：A、由反比例函数得，由一次函数得，即，则正确，故符合题意； B、由反比例函数得，由一次函数得，即，则错误，故不符合题意； C、由反比例函数得，由一次函数得，即，则错误，故不符合题意； D、由反比例函数得，由一次函数得，即，则一次函数应交轴负半轴，则错误，故不符合题意； 故选A． 5．若一次函数的图象如图所示， 则下列说法正确的是（   ） A． B． C．y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据一次函数的图象和一次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解析】由图象可得， 一次函数图象过第一、二、四象限，则，故选项A错误，不符合题意； 令，则，故选项B错误，不符合题意； y随x的增大而减小，故选项C错误，不符合题意； 当时， ，故选项D正确，符合题意； 故选∶ D． 6．甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲乙二人距离地面的高度y（米）关于甲出发时间x（分钟）的函数图像如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进．根据图像判断，以下说法正确的有几个？（    ）    （1）山的高度为340米 （2）甲乙二人不同时出发 （3）甲登顶的时间为自己出发后7分钟 （4）乙出发分钟后登顶 （5）甲出发5分钟后追上乙 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】（1）由函数图象可直接判断； （2）由两函数图象与y轴的交点坐标作出判断； （3）由山的高度及甲的登山速度分析求解； （4）由函数图像分析乙的登山速度，从而求出其登山时间； （5）通过求函数解析式的交点坐标进行分析计算． 【解析】解：（1）由函数图象可得山的高度为340米，故此说法正确，符合题意； （2）由题意，甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，    由图象可得，， ∴甲出发时，乙已经距离地面米，即甲乙二人不同时出发，故此说法正确，符合题意； （3）由图象可得甲出发1分钟时，距离地面米， ∴甲在出发2分钟内的登山速度为米/分， 又∵已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶， ∴甲在出发2分钟后的登山速度为米/分， （分钟）， （分钟）， ∴甲登顶的时间为自己出发后7分钟，故此说法正确，符合题意； （4）由图象可得乙的登山速度为米/分 ∴乙的登山时间为（分），即乙出发42.5分钟后登顶，故此说法正确，符合题意； （5）设直线的函数解析式为，把，代入， ，解得， ∴直线的函数解析式为， 设直线的函数解析式为，把，代入， ，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得 ∴甲出发5分钟后追上乙，故此说法正确，符合题意， 正确的有5个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，关键是准确识图． 二、填空题 7．直线的截距是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数截距的概念，熟悉截距的概念是解题的关键．直线与y轴相交于点，b叫做直线在y轴上的截距，简称截距．根据定义求解即可． 【解析】解： 与y轴的交点为， 直线的截距是． 故答案为：． 8．当 时，是一次函数． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义可得，，解之即可得到答案． 【解析】解：函数是一次函数， ∴，， 解得：， 当时，函数是一次函数， 故答案为：1． 9．一次函数和相交于一点，该点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求出一次函数的交点坐标，解方程组，可得交点坐标． 【解析】解：联立， 解得：， ∴该点坐标为：． 故答案为：． 10．若直线经过点，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数；先将点代入解析式，求出m的值，再分别求出直线与两坐标轴的交点，即可求出三角形的面积． 【解析】将点代入，得，解得： ∴ 当时， 当时， ∴该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 故答案为：2． 11．已知一次函数的函数值随的值增大而增大，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．对于一次函数，当时，y随x的增大而增大，解不等式即可． 【解析】 的函数值y随x的值增大而增大， 解得． 故答案为：． 12．如果点、在直线上，那么．（填“>”或“<”）． 【答案】> 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数增减性是关键． 根据随增大而减小判断即可． 【解析】解：∵，， ∴随增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 13．一次函数图象平行于直线，且与轴交于点，则这个函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了两函数图象平行问题，关键是掌握两函数图象平行值相等．首先设它的函数解析式为，根两函数图象平行值相等可得，再把代入函数解析式可得答案． 【解析】解：设它的函数解析式为， ∵平行于直线， ∴， ∴， ∵图象与轴交于点， ∴， 解得：， ∴函数解析式为， 故答案为：． 14．一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为 （不写定义域）． 【答案】 【分析】本题主要考查由实际问题列一次函数的解析式，解题的关键是理解题意．根据题意先求出蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），即可直接进行求解． 【解析】解：由题意可得：蜡烛长30厘米，经过50分钟其长度恰为原长的一半， 经过50分钟蜡烛燃烧的长度为15厘米， 蜡烛燃烧的速度为（厘米/分）， 蜡烛的长为蜡烛燃烧前长度减去燃烧的长度， ， 故答案为：． 15．含角的直和三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中、，则直线的表达式为 ．    【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数的解析式．先求得，，证明，推出，，求得，再利用待定系数法求解即可． 【解析】解：作轴于点，如图，    ∵、， ∴，， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 16．已知一次函数（其中是常数）的函数值随的值增大而增大，且这个函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，图象与轴的交点坐标为．由题意得出，，求解即可得出答案． 【解析】解：一次函数（其中是常数）的函数值随的值增大而增大，且这个函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上， ，， 解得：， 故答案为：． 17．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知为整数，若函数与的图像的交点是整数点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】联立两个函数，用含的代数式表示出、，再根据、均为整数，找出符合条件的值即可． 【解析】解：联立，解得：， 函数与的图像的交点是整数点， 、均为整数， 当、时，、均为整数，符合题意， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，正确表示出、，并找出符合条件的值是解题关键． 18．如图，点A的坐标为， 将沿x轴向右平移得到， 若点A的对应点落在直线上， 则点 B与其对应点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将代入一次函数解析式中求出点的坐标是解题的关键．先求出点的坐标，然后再根据平移的性质进行求解即可． 【解析】解：把代入得：， 解得：， ∴点的坐标为， 沿x轴向右平移个单位得到， ∴点B与其对应点间的距离为． 故答案为：． 三、解答题 19．已知一次函数平行于直线，且与函数有一个交点，求： (1)一次函数的解析式． (2)此一次函数与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数与坐标轴围成的图形面积． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求解即可． 【解析】（1）解：∵一次函数平行于直线， ∴， 把代入得：， ∴， ∵一次函数与函数有一个交点， ∴把代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为． （2）解：令，则，解得：， 令，则， ∴一函数与y轴的交点为，与x轴的交点为， ． 20．如图，直线与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，其中点坐标是，且． (1)求的距离； (2)求直线的解析式． 【答案】(1)2； (2)． 【分析】本题考查勾股定理和待定系数法求一次函数的解析式，掌握勾股定理和待定系数法是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用待定系数法求一次函数的解析式即可． 【解析】（1）解：， ∴， 又∵ ∴； （2）由（1）可知：， ， ∴设直线解析式，将点，代入得： ∴， 解得， 直线解析式． 21．如图，函数与的图象交于点． (1)求出，的值． (2)直接写出的解集． (3)求出的面积． 【答案】(1)，； (2)； (3)的面积为． 【分析】（1）将代入，求解n的值，再代入，求解m的值即可； （2）根据图象求解即可； （3）求得A、B的坐标，根据三角形的面积公式即可求解． 【解析】（1）解：将代入得，， 解得， 将代入得，， 解得， ∴m，n的值分别为，； （2）解：∵， ∴由图象知，不等式的解集为； （3）解：令，则，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，两直线交点求不等式解集．解题的关键在于熟练掌握一次函数的图象与性质．体会数形结合的思想． 22．小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米）与时间（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)___________分，___________分，___________米/分： (2)若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是___________分，此时距图书馆的距离是___________米： (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是___________分． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，函数图象获取信息，一元一次方程的应用，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据速度路程时间，求出的值，进而求出的值，再根据速度路程时间，求出的值即可； （2）由图象可知，小明在途中与爸爸第二次相遇在段，分别求出段和段的关系时，求出路程相等时的值，进而求出行驶的路程，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当爸爸和小明第二次相遇前相距米；②当爸爸和小明第二次相遇后相距米，分别列方程求解即可． 【解析】（1）解：由题意可知，折线为爸爸行驶的路程与时间的关系图，线段为小明行驶的路程与时间的关系图， 分钟， 分钟， 米/分， 故答案为：，，； （2）解：由图象可知，小明在途中与爸爸第二次相遇在段， 设段的关系式为， 将点和代入，得： ，解得：， 段的解析式为， 小明的速度是120米/分， 段的关系式为， ，即， 解得：，即小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是分， 此时行驶的路程， 距图书馆的距离是米， 故答案为：，； （3）解：①当爸爸和小明第二次相遇前相距米， 则， 解得：； ②当爸爸和小明第二次相遇后相距米， 则， 解得：， 即爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是或分， 故答案为：或 23．若正比例函数的图象经过点．    (1)求出这个函数的解析式；并画出它的图象； (2)点B的坐标为，上述正比例函数图象上有一动点P，若点P在第二象限内，且设的面积为S，当S的值为2时，求出点P的坐标． 【答案】(1)，图象见解析 (2)或 【分析】（1）将点A代入函数解析式，求出k值，可得解析式，再根据正比例函数的特征画图即可； （2）设，分点P在点A右侧，点P在点A左侧两种情况，根据点的坐标和三角形面积公式列出方程，求出a值即可得解． 【解析】（1）解：∵正比例函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴， 画图如下：    （2）由题意可设：， 当点P在点A右侧时， ， 解得：； 此时； 当点P在点A左侧时， 解得：； 此时； 综上：点P的坐标为或．    【点睛】本题考查了求一次函数解析式，画一次函数图象，三角形的面积，解决问题的关键是掌握三角形面积的计算方法，分情况讨论问题． 24．如图，在直角坐标系中，为原点，在轴的正半轴上，，把绕着点逆时针旋转后，点与点A重合．    (1)求点的坐标； (2)作的平分线交轴于点，求直线的解析式； (3)在直线上是否存在一个点，使得的面积等于面积的5倍？如果存在，请求出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）由题意得到是等边三角形，求得，过点A作于，求得，根据勾股定理得到，于是得到A点的坐标为； （2）根据角平分线的定义得到，根据勾股定理得到，求得，，设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为； （3）设点的坐标为，根据已知条件得到，①当在的左侧时，如图1，过作于，②当在的右侧时，过作轴于，过A作轴于，根据题意列方程即可得到结论． 【解析】（1）解：由题意知，，， 是等边三角形， ， 过点作于， ， ， 在中，， 点的坐标为； （2）是的平分线， ， 在中，，，， ， 解得：，   ，， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为； （3）设点的坐标为， ， ， ①当在的左侧时，如图1，过作于， ，   ， 解得：，， ； ②当在的右侧时，过作轴于，过A作轴于，   ， ， 解得：，， ； 综上所述：或， 在直线上存在一个点，使得的面积等于面积的5倍，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，三角形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，4或或或8 【分析】（1）在中，当时，；当时，；即可得出答案；求出点，代入直线即可得出答案； （2）求出，则，；①设，则，过作于，由三角形面积S与t之间的函数关系式； ②过作于，则，，由勾股定理求出；分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可． 【解析】（1）解在中，当时，； 当时，； ，； 点在直线上， ， 又点也在直线上， ， 解得：； （2）解：在中，当时，， ， ， ， ， ； ①设，则，过作于，如图1所示： 则， ∴， ②存在，理由如下： 过作于，如图1所示： 则，， ， ； 、当时，， ， ； 、当时，如图2所示： 则， ，， ，或； 、当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， 与重合，， ， ； 综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数的应用、坐标与图形性质、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握一次函数的应用和等腰三角形的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$