第02讲 一定是直角三角形吗（2个知识点+4种经典题型+习题试卷）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第02讲 一定是直角三角形吗 （2个知识点+4种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【例1】（2024春•荔城区校级期中）下列各组数据分别是线段，，的长，能组成直角三角形的是　　 A．7，2，9 B．4，5，6 C．3，4，5 D．5，10，13 【变式1】（2023秋•佛山期末）如图，在的小正方形网格中，点，为格点，另取一格点，使为直角三角形，则点的个数为　　 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式2】（2023秋•肥城市期末）如图，点、、分别在边长为1的正方形网格图顶点，则　　． 【变式3】（2023秋•南召县期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． （1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，时，一边的小明很快给出这块试验基地的面积．你求出的面积为 　　； （2）八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，（如图），你能帮助他们求出面积吗？ 知识点2．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 【例2】（2023秋•小店区校级月考）请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾股数：　　． 【变式1】（2024春•武威期中）下列各组数中，属于勾股数的是　　 A．，， B．8，15，17 C．3，4，6 D．0.9，1.2，1.5 【变式2】（2023秋•成都期末）定义：若三个正整数，，满足，，且，则称，，为“偶差”勾股数组．例如：，8，，，15，都是“偶差”勾股数组．令，将从小到大排列，分别记为，，，，为正整数），则的值为 　　． 【变式3】（2023秋•海门区期末）满足的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①　　，8，10 ②5，　　，13 ③8，15，　　． （2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数可以写成，，如，，．请你帮小敏证明这三个数，，是勾股数组． （3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求的值． 经典题型汇编 题型一.勾股定理的证明方法 1．（21-22八年级上·山西临汾·期末）勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类思想 C．函数思想 D．归纳思想 2．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 题型二.以弦图为背景的计算题 4．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成小正方形．已知为较长直角边，问，当正方形的面积是小正方形面积的倍时，两条直角边与的数量关系是（   ）． A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，那么的值为 ．    6．（22-23八年级上·四川成都·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请你利用这个图形，推导勾股定理：； 题型三.用勾股定理构造图形解决问题 7．（23-24·山东烟台·期末）一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为，倒下后树顶落在距树根部大约处．这棵大树离地面约（    ）米处折断 A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，一支铅管放在圆柱笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若铅笔长为，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的最小值是 ．    9．（23-24八年级上·河南南阳·期末）小明家有一块四边形地（如图），已知其周长为，其中，，且．请帮小明计算一下这块地的面积． 题型四.勾股定理与无理数 10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点O是原点，点A表示的数是2，在数轴上方以为边作长方形，以点C为圆心，的长为半径画弧，在原点右侧交该数轴于点P，则点P表示的数是（　　）    A．1 B． C． D． 11．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，数轴上的点表示的实数是 ． 12．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）在如图中画出边长为、、的三角形； （2）该三角形的面积为 ． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在数轴上点表示的实数是（　　）    A． B． C．-2 D． 2．（23-24八年级上·山西晋中·期末）论证几何，源于希腊数学家的一本数学著作，这部著作以公理和原始概念为基础推演出更多的结论．这种做法为人们提供了一种研究问题的方法(称为公理化方法)，这本数学著作是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为（    ） A．48 B．64 C．96 D．112 6．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．通过该图形，可以验证公式（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法： ①； ②； ③； ④． 其中说法正确的是( ) A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 8．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，以过原点的对角线为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·广东河源·期末）如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（    ）   A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）在学习勾股定理时，甲、乙两位同学给出了不同的方案，可以利用面积验证勾股定理的是（     ） 甲：由四个全等的直角三角形按图1所示的方式拼成一个大正方形 乙：如图2，分别以直角三角形的三条边为边向外作三个正方形 A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以 C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以 二、填空题 11．（23-24八年级上·广东佛山·期末）如图，已知，点到数轴的距离为1，那么数轴上点所表示的数为 . 12．（22-23八年级上·四川达州·期末）如图，无盖的长方体盒子的长为15，宽为10，高为8，在顶点B处（盒子里面）有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在顶点A处，想从盒子的A点爬到盒子的B点，爬行的最短路程是 ． 13．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，标志着中国古代的数学成就．如图是弦图的示意图，四个直角三角形的直角边长均为，斜边长为．若比长2，每个直角三角形的面积为15，则斜边的长为 ． 14．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推4m至C处时（即水平距离）．踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 ．    15．（23-24八年级上·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 16．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为 ． 17．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，长方形的边长为3，长为1，在数轴上点A对应的数为，点B对应的数为2，以A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E,则E点表示的数为 ． 18．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为6，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c． 探究： （1）用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①小正方形的边长为c，大正方形的边长为______； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式______，整理得，从而验证勾股定理； 应用： （2）将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 20．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如何在数轴上画出表示，的点？ 21．（23-24八年级上·陕西西安·期末）在我国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，向门广几何＂大意如下：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，问门的宽度（两扇门宽度的和）为多少尺？ 22．（23-24八年级上·河南郑州·期末）佩奇一家在公园里荡秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度，当佩奇被推送至水平距离处时，秋千踏板离地面的垂直高度，求绳子的长度．    23．（23-24八年级上·四川乐山·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲！如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c． (1)请利用“赵爽弦图”证明：； (2)若大正方形的面积为20，小正方形面积为4，求其中一个直角三角形的面积． 24．（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按要求画下列图形． (1)在图1中画一个面积为8的正方形． (2)在图2的数轴上，画出表示实数的点（保留作图痕迹）． 25．（23-24八年级上·广西南宁·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法：______；方法：______； 根据以上信息，可以得到的等式是______； (2)如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系； (3)在（）的条件下，若，求斜边的值． 26．（23-24八年级上·福建宁德·期末）验证勾股定理： 课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？ (1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（，，（），）拼出如图2能验证勾股定理的图形（顶点A，E重合，顶点F在边上，连接，） 解：用两种方法计算四边形的面积， 方法1：四边形的面积_______， 方法2：四边形的面积_______， 因为这两种方法都表示四边形的面积，可得等式：_______． 化简可得：． (2)请你仿造小明的思路，用两个全等的直角三角形纸片拼出一个不同于图1，图2的能验证勾股定理的图形，画出示意图，写出验证过程．如果你没有思路，请利用图1进行验证． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一定是直角三角形吗 （2个知识点+4种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【例1】（2024春•荔城区校级期中）下列各组数据分别是线段，，的长，能组成直角三角形的是　　 A．7，2，9 B．4，5，6 C．3，4，5 D．5，10，13 【分析】据勾股定理的逆定理，逐项判定即可． 【解答】解：，所以7、2、9不能组成直角三角形； ，所以4、5、6不能组成直角三角形； ，所以3、4、5可以组成直角三角形； ，所以5、10、13不能组成直角三角形； 故选：． 【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形是解题的关键． 【变式1】（2023秋•佛山期末）如图，在的小正方形网格中，点，为格点，另取一格点，使为直角三角形，则点的个数为　　 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【分析】根据网格的特点，以及直角三角形的定义即可求解． 【解答】解：如图所示， 共有6个格点使为直角三角形． 故选：． 【点评】本题主要考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 【变式2】（2023秋•肥城市期末）如图，点、、分别在边长为1的正方形网格图顶点，则　　． 【分析】连接，利用勾股定理可分别求得、、的长，再利用勾股定理的逆定理可判定为直角三角形，，由即可求解． 【解答】解：正方形的边长为1， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ，， 故答案为：． 【点评】本题主要考查勾股定理，勾股定理的逆定理，利用勾股定理可分别求得、、的长是解题的关键． 【变式3】（2023秋•南召县期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． （1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，时，一边的小明很快给出这块试验基地的面积．你求出的面积为 　30　； （2）八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，（如图），你能帮助他们求出面积吗？ 【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用三角形的面积公式即可求得答案； （2）过点作于，设，则，由勾股定理得出方程，解方程求出，再由勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可得出结果． 【解答】解：（1）， 三边长分别为、、的三角形构成直角三角形，其中的直角边是、， 此三角形的面积为． 故答案为：30； （2）过点作于，设，则， 在中，， 在中，， ， 解得， ， 的面积． 答：的面积是． 【点评】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用．解题的关键：（1）掌握勾股定理的逆定理的应用；（2）正确作出辅助线，并根据勾股定理列出方程． 知识点2．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 【例2】（2023秋•小店区校级月考）请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾股数：　6和10　． 【分析】根据勾股数的定义作答． 【解答】解：因为， 所以6、8、10是一组勾股数． 故答案为：6和10． 【点评】本题主要考查了勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数． 【变式1】（2024春•武威期中）下列各组数中，属于勾股数的是　　 A．，， B．8，15，17 C．3，4，6 D．0.9，1.2，1.5 【分析】勾股数是满足勾股定理的一组正整数，据此逐项分析即可作答． 【解答】解：、，，不是正整数，故该选项是错误的； 、8，15，17满足，且均为正整数，故该选项是正确的； 、3，4，6不满足，故该选项是错误的； 、0.9，1.2，1.5不是正整数，故该选项是错误的； 故选：． 【点评】本题考查了勾股数的定义，掌握勾股数定义是解题的关键． 【变式2】（2023秋•成都期末）定义：若三个正整数，，满足，，且，则称，，为“偶差”勾股数组．例如：，8，，，15，都是“偶差”勾股数组．令，将从小到大排列，分别记为，，，，为正整数），则的值为 　1012　． 【分析】根据“偶差”勾股数组的定义，发现，，之间的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， ， 又因为， 所以． 因为，，为正整数， 所以为偶数， 则为偶数． 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，，符合题意， 则． 当时，，，符合题意， 则． ， 依次类推， 第组“偶差”勾股数中的最小数为：； 当时，， 此时，． 所以． 故答案为：1012． 【点评】本题考查数字变化的规律，能根据题意得出，，之间的关系是解题的关键． 【变式3】（2023秋•海门区期末）满足的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①　6　，8，10 ②5，　　，13 ③8，15，　　． （2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数可以写成，，如，，．请你帮小敏证明这三个数，，是勾股数组． （3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求的值． 【分析】（1）根据勾股数的定义即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）先化简得：7，24，25，可得，，，依此可求，，再代入计算即可求解． 【解答】解：（1）①6，8，10； ②5.12，13；③8，15，17． 故答案为：6，12，17； （2）证明：， ， ， ，，是勾股数； （3）化简得：7，24，25， 偶数，，， ，， ． 【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 经典题型汇编 题型一.勾股定理的证明方法 1．（21-22八年级上·山西临汾·期末）勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类思想 C．函数思想 D．归纳思想 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：． 2．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 【答案】 【分析】 本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二.以弦图为背景的计算题 4．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成小正方形．已知为较长直角边，问，当正方形的面积是小正方形面积的倍时，两条直角边与的数量关系是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理；设，．则正方形ABCD的面积，根据正方形的面积是小正方形面积的倍，得出，即可求解． 【详解】解：由题意可知， ∵正方形的面积是小正方形面积的倍， ∴ ∴ ∴ 即 故选：C． 5．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，那么的值为 ．    【答案】29 【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到的值，由已知条件得到的值，根据完全平方公式即可求解．本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系． 【详解】解：大正方形的面积为16，得到它的边长为4， 即得， 由题意， ， 所以， 故答案为：29． 6．（22-23八年级上·四川成都·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请你利用这个图形，推导勾股定理：； (2)若直角三角形ABE的面积为54，，求小正方形EFGH的边长． 【答案】(1) (2)小正方形EFGH的边长为3 【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式，整体思想，面积法，掌握面积法以及整体思想是解题的关键． （1）将正方形的面积用四个全等的直角三角形的面积加正方形的面积表示，再整理即可； （2）根据直角三角形的面积为54，列出等式，再求出即可． 【详解】（1）解：正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，， ， 整理，得； （2）直角三角形的面积为54，， ，， ， 小正方形的面积， 小正方形的边长为3． 题型三.用勾股定理构造图形解决问题 7．（23-24·山东烟台·期末）一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为，倒下后树顶落在距树根部大约处．这棵大树离地面约（    ）米处折断 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意列出方程并解答即可；利用勾股定理列出方程是关键． 【详解】解：如图，由题意知：， 设， ， ， ， 解得：， ∴这棵大树离地面约， 故选：C． 8．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，一支铅管放在圆柱笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若铅笔长为，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度． 【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：； 故答案为：． 9．（23-24八年级上·河南南阳·期末）小明家有一块四边形地（如图），已知其周长为，其中，，且．请帮小明计算一下这块地的面积． 【答案】这块地的面积是． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．连接，根据勾股定理先求出，再利用周长求出，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形即可解答． 【详解】解：连接， ，， 在中，根据勾股定理，得 ， 四边形的周长为， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形， ， 答：这块地的面积是． 题型四.勾股定理与无理数 10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点O是原点，点A表示的数是2，在数轴上方以为边作长方形，以点C为圆心，的长为半径画弧，在原点右侧交该数轴于点P，则点P表示的数是（　　）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理，根据长方形的性质得到，由此，利用勾股定理求出长度即可． 【详解】连接，    ∵长方形，， ∴， ∴， ∴， ∴点P表示的数是， 故选：D． 11．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，数轴上的点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，先根据勾股定理求出圆弧半径，再用减去半径即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得， 圆弧半径为， 则点表示的实数为． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）在如图中画出边长为、、的三角形； （2）该三角形的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】本题考查作图﹣复杂作图、勾股定理与网格问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合勾股定理画图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求． （2）△ABC的面积为． 故答案为：． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在数轴上点表示的实数是（　　）    A． B． C．-2 D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径即可求解． 【详解】解：设原点表示的点为， 由图可得：， ∵， ∴点表示的实数是， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理与无理数．注意计算的准确性． 2．（23-24八年级上·山西晋中·期末）论证几何，源于希腊数学家的一本数学著作，这部著作以公理和原始概念为基础推演出更多的结论．这种做法为人们提供了一种研究问题的方法(称为公理化方法)，这本数学著作是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了数学著作．熟练掌握《几何原本》中公理化思想是解题的关键． 根据《几何原本》体现了公理化思想进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，数学著作为《几何原本》， 故选：C． 3．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义．结合题意，根据小三角形的面积可以得出，再根据勾股定理即可得出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，每个小三角形的面积为， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为是解本题的关键．利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可． 【详解】解：，，， ， 少走的路长为， 故选：D． 5．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为（    ） A．48 B．64 C．96 D．112 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形的面积公式，阴影部分由四个全等的三角形组成，求出三角形面积即可． 【详解】解：由题意得，阴影部分四个直角三角形是全等的，且两条直线边的长分别为和6， ∴阴影部分的面积为：； 故选A． 6．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．通过该图形，可以验证公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明，关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形，根据面积相等的关系证明勾股定理．利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等即可得答案． 【详解】解：大正方形的面积表示为：， 又可以表示为：， ， ， 故选：C． 7．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法： ①； ②； ③； ④． 其中说法正确的是( ) A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积可判断②③正确；根据①③可知即可判断④不正确． 【详解】解：①大正方形的面积是，则其边长是7，利用勾股定理可得，故式①正确； ②小正方形面积为，则其边长是2， 因为是四个全等三角形，所以有，所以，故式②正确； ③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即，化简得，故式③正确； ④因为，所以，故式④不正确． 综上，①②③正确． 故选：B． 8．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，以过原点的对角线为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和数轴的应用．根据勾股定理计算的长度，再由点A的位置，确定点A的符号，从而得出即可． 【详解】解：∵以数轴的单位长线段为边作一个正方形， ∴正方形边长为1， ∴对角线长为， ∵以过原点的对角线为半径作弧，与数轴正半轴交于点A， ∴点A为， 故选：D． 9．（23-24八年级上·广东河源·期末）如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．首先利用勾股定理解得图中直角三角形的另一直角边长，进而可得所需购买红地毯的总长度，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理，可得另一直角边长为， 则需购买红地毯的长为， 又因为红地毯的宽，即台阶的宽为， 所以共需购买红地毯． 故选：A． 10．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）在学习勾股定理时，甲、乙两位同学给出了不同的方案，可以利用面积验证勾股定理的是（     ） 甲：由四个全等的直角三角形按图1所示的方式拼成一个大正方形 乙：如图2，分别以直角三角形的三条边为边向外作三个正方形 A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以 C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，掌握数形集合思想是解题的关键． 甲：分别用两种方法表示大正方形的面积，然后化简即可判断；乙：先算出三个正方形的面积，看是否满足即可判断． 【详解】解：甲：大正方形的面积可以表示为：或，即； 先根据正方形的面积计算出，即可； 所以甲、乙均可验证． 故选A． 二、填空题 11．（23-24八年级上·广东佛山·期末）如图，已知，点到数轴的距离为1，那么数轴上点所表示的数为 . 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数； 利用勾股定理求出，然后根据数轴可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴数轴上点所表示的数为， 故答案为：． 12．（22-23八年级上·四川达州·期末）如图，无盖的长方体盒子的长为15，宽为10，高为8，在顶点B处（盒子里面）有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在顶点A处，想从盒子的A点爬到盒子的B点，爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查勾股定理的应用及几何体的展开图，根据题意，分三种情况进行分析：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面，第二种情况：如图2，把我们看到的左面与底面组成一个长方形，第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和底面组成一个长方形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是25和8， 则所走的最短线段； 第二种情况：如图2，把我们看到的左面与底面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是23和10， 所以走的最短线段； 第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和底面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是15和18， 所以走的最短线段； 三种情况比较而言，第三种情况最短． 故答案为：． 13．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，标志着中国古代的数学成就．如图是弦图的示意图，四个直角三角形的直角边长均为，斜边长为．若比长2，每个直角三角形的面积为15，则斜边的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查勾股定理的应用．由直角三角形的面积可求出，再把两边平方得，再结合勾股定理可知，从而可求出结论． 【详解】解：∵每个直角三角形的面积为15， ∴， ∴， 由题意得， ∴， 整理得，， 又， ∴， 解得，或（负值舍去）， 故答案为：8． 14．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推4m至C处时（即水平距离）．踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 ．    【答案】/米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．本题设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， 设的长为，则， ∴． 在中， 由勾股定理，得：， 即 解得：． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得． 【详解】解：①长方形的面积：， ②， ③， 整理，得， ④， 整理，得， 故答案为：③④． 16．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】53 【分析】根据全等三角形的性质可得，，再根据四边形的面积等于的面积与的面积的和，列出算式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出，，以及由图形得到四边形的面积等于的面积与的面积的和． 17．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，长方形的边长为3，长为1，在数轴上点A对应的数为，点B对应的数为2，以A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E,则E点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，数轴上表示数，两点间的距离，正确运用性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】∵长方形的边长为3，长为1，在数轴上点A对应的数为，点B对应的数为2， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为6，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为 ． 【答案】32 【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解．利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积． 【详解】解：如图， 由题意得，，是直角三角形， 则大正方形面积， 面积， 阴影部分的面积， 故答案为：32 三、解答题 19．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c． 探究： （1）用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①小正方形的边长为c，大正方形的边长为______； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式______，整理得，从而验证勾股定理； 应用： （2）将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【答案】（1）①②（2）见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握利用数形结合的思想，证明勾股定理． （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可； （2）利用等积法进行证明即可． 【详解】解：（1）①由图和题意可知：大正方形的边长为； 故答案为：； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式； 故答案为：； （2）用两种不同的方法表示出梯形的面积，可得：， ∴， ∴． 20．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如何在数轴上画出表示，的点？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了在数轴上表示无理数，勾股定理的应用，数轴上两点之间的距离，熟练掌握利用勾股定理构造无理数并在数轴上表示出来是解题的关键． ①由，如图1，记点表示的数为，作垂直于数轴且，以A为圆心，以长为2的线段为半径画弧交数轴正半轴于点C，则，由勾股定理得，，则点C表示的数为，即，点C即为所求；②如图2，记点表示的数为2，点表示的数为1，作垂直于数轴且，由勾股定理得，，以C为圆心，以长为半径画弧交点C左侧数轴于点D，则，点D表示的数为，点D即为所求． 【详解】解：如图1，点C表示的数为； 如图2，点D表示的数为． 21．（23-24八年级上·陕西西安·期末）在我国古代数学著作《九章算术》的“勾股”章中，有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，向门广几何＂大意如下：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，问门的宽度（两扇门宽度的和）为多少尺？ 【答案】尺 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 设寸， 则寸，寸，寸． 在中，，即， 解得寸， 寸尺． 答：门的宽度（两扇门宽度的和）为尺． 22．（23-24八年级上·河南郑州·期末）佩奇一家在公园里荡秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度，当佩奇被推送至水平距离处时，秋千踏板离地面的垂直高度，求绳子的长度．    【答案】绳子的长度为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，四边形是矩形，，设绳子的长度为，则，再由勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，根据勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，，四边形是矩形， ， ， 设绳子的长度为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：绳子的长度为． 23．（23-24八年级上·四川乐山·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲！如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c． (1)请利用“赵爽弦图”证明：； (2)若大正方形的面积为20，小正方形面积为4，求其中一个直角三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理以及完全平方公式是解题的关键． （1）根据小正方形的面积加上四个直角三角形的面积等于大正方形的面积即可证明； （2）根据（1）中得到的计算即可． 【详解】（1）解：直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c， 小正方形的面积四个直角三角形的面积大正方形的面积， ， ， ； （2）解：由题意可得：， 即， ， 故一个直角三角形的面积为． 24．（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按要求画下列图形． (1)在图1中画一个面积为8的正方形． (2)在图2的数轴上，画出表示实数的点（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． （1）画出边长为的正方形即可； （2）若直角三角形直角边分别为则斜边为，图2中，以为圆心，以为半径向右画弧与数轴交于一点，这一点即为表示的点． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图所示 直角三角形直角边分别为， 斜边为， 25．（23-24八年级上·广西南宁·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法：______；方法：______； 根据以上信息，可以得到的等式是______； (2)如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系； (3)在（）的条件下，若，求斜边的值． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到； （）把代入到（）中的关系式中计算即可求解； 本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：方法：， 方法：， 可以得到的等式是：， 故答案为：，，； （2）解：方法：， 方法：， ∴， ∴； （3）解：把代入得， ， ∴． 26．（23-24八年级上·福建宁德·期末）验证勾股定理： 课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？ (1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（，，（），）拼出如图2能验证勾股定理的图形（顶点A，E重合，顶点F在边上，连接，） 解：用两种方法计算四边形的面积， 方法1：四边形的面积_______， 方法2：四边形的面积_______， 因为这两种方法都表示四边形的面积，可得等式：_______． 化简可得：． (2)请你仿造小明的思路，用两个全等的直角三角形纸片拼出一个不同于图1，图2的能验证勾股定理的图形，画出示意图，写出验证过程．如果你没有思路，请利用图1进行验证． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法的探究，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）根据三角形的面积公式直接解答即可； （2）先构建图形，如图所示，由全等的性质推出，，，求得；可得；结合且，可得，即可证明勾股定理． 【详解】（1）解：用两种方法计算四边形的面积， 方法1：四边形的面积， 方法2：四边形的面积， 因为这两种方法都表示四边形的面积，可得等式：． 化简可得：． （2）如图，将两个全等的直角三角形和，如图所示那样摆放，且．点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接． 求证：， 证明：由题意得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． ∵， 即且， ∴ = ， ∴，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$