作业01 平面向量及其应用（7大题型巩固提升练+能力培优练拓展突破练+仿真考场练）-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（苏教版2019必修第二册）

完成时间： 月 日 天气： 作业01 平面向量及其应用（7大题型巩固提升练+能力培优练拓展突破练+仿真考场练） 一、平面向量的线性运算及应用 1．向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)基本原则： 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． (2)求解策略： ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧． ②字符表示下线性运算的常用技巧： 首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝. 2.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题． 二、向量的数量积 1．向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等． 2.(1)向量数量积的两种计算方法 ①当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ； ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (2)利用向量数量积可以解决以下问题 ①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)； ②求向量的夹角和模的问题 设a＝(x1，y1)，则|a|＝. 两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ＝＝. 三、平面向量在几何中的应用 1．向量在平面几何中的应用是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题． 2．对于有些平面图形的问题，常建立平面直角坐标系，转化为代数运算解决．考查学生转化与化归和数形结合的能力． 3.把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性． 四、平面向量在物理中的应用 1．向量在物理中的应用是用向量的线性运算及数量积解决物理中的力、速度、功等问题． 2．对于有些物理问题，可以转化为数学中的向量问题解决，培养转化与化归和数形结合的能力． 3.(1)求力(向量)、速度(向量)常用的方法：一般是将向量几何化，借助向量加法的平行四边形法则求解． (2)把物理问题转化为数学问题，建立以向量为主体的数学模型求出数学模型的有关解，然后回到问题的初始状态，解释相关的物理现象，从而得出答案． 一．向量的概念与向量的模 1．（2023春•江苏月考）下列说法其中正确的说法为　　 A．若，，则 B．若，，分别表示，的面积，则 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 【分析】直接利用向量的传递性和向量的线性运算及三角形的面积特点以及向量共线的充要条件的应用判断、、、的结论． 【解答】解：对于，，且，故，故错误； 对于， 则点为三角形的重心，即，故正确； 对于：两个非零向量，，若，则与共线且反向，故正确； 对于：若，，则存在唯一实数使得，故错误； 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：向量的共线，向量的线性运算，向量的模，三角形的面积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 2．（2023春•高港区校级月考）已知，的坐标分别是和，若在直线上，且，则的坐标为 　或　． 【分析】设的坐标为，则，，分两种情况讨论：当在线段上时，；当在线段的延长线上时，，结合向量的坐标运算求解即可． 【解答】解：设的坐标为，则，， 当在线段上时，， ，，， 即，解得，即点的坐标为． 当在线段的延长线上时，， ，，， 即，解得，，即点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查向量的概念和向量的模，属于中档题． 3．（2023春•雨花台区校级期中）设、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 　　． 【分析】可求出，根据与平行可得出，从而得出，根据进行数量积的坐标运算即可求出最小值． 【解答】解：，且与互相平行， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行向量的坐标关系，向量坐标的减法和数量积的运算，向量数量积的计算公式，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题． 二．向量相等与共线 4．（2024春•建邺区校级期中）向量，，． （1）求满足的实数，； （2）若，求实数． 【分析】（1）由题意和向量的坐标运算求出的坐标，再由向量相等的条件列出方程组，求出和的值； （2）由题意和向量的坐标运算求出和的坐标，再由向量共线的条件列出方程．求出的值． 【解答】解：（1）由题意得，，，，， ，，，， 即，解得，， （2）由题意得，，，，， ，，，， ， ，解得． 【点评】本题考查了向量的坐标运算，向量相等的条件，以及向量共线的条件，属于基础题． 5．（2023春•六合区校级月考）设、是不共线的两个非零向量． （1）若，，，求证：、、三点共线； （2）若与共线，求实数的值． 【分析】（1）利用向量的运算和共线定理即可得出； （2）利用向量共线定理和向量基本定理即可得出． 【解答】（1）证明：，，， ， ， 、、三点共线； （2）解：与共线，存在实数，使得 ， 与不共线， ， ， ． 【点评】本题考查了向量的运算和共线定理、向量基本定理，属于中档题． 三．两向量的和或差的模的最值（共2小题） 6．（2023春•秦淮区校级月考）如图，在直角梯形中，，、．，是线段上的动点， 则的最小值为　　 A． B．5 C． D．7 【分析】以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，设，，写出，，的坐标，得到的坐标，再由向量的模求解． 【解答】解：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系， 设，， 由题意可得，，， 则，，， 可得，当且仅当，即时，取最小值为7． 故选：． 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量模的求法，是基础题． 7．（2023春•鼓楼区期中）如图，在平面四边形中，，，，则的最小值为 　　． 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，，利用垂直关系和模的坐标公式可得，故可求模的最小值． 【解答】解：以为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 如图所示： 设，， 因为，且，故， 故，， 故， 而，故，故， 即， 所以 ， 当时，． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：直角坐标系，向量的坐标运算，向量的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 四．平面向量数量积的性质及其运算 8．（2023春•惠山区期中）如图所示，在等腰梯形中，，为线段的中点，，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】先取基向量组，，再用，表示和，最后求解． 【解答】解：取中点，连接、、， 因为是等腰梯形，，，， 所以，，所以四边形是菱形， 设，， 又因为为线段的中点，， 所以，， 所以， 故选：． 【点评】本题考查了平面向量数量积性质及其运算，属于中档题． 9．（2023春•如东县期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有　　 A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【分析】对，取的中点，连接，，结合奔驰定理可得到，进而即可判断；对，设内切圆半径为，从而可用表示出，，，再结合奔驰定理即可判断；对，设的外接圆半径为，根据圆的性质结合题意可得，，，从而可用表示出，，，进而即可判断；对，延长交于点，延长交于点，延长交于点，根据题意结合奔驰定理可得到，，从而可设，，则，，代入即可求解，进而即可判断． 【解答】解：对于，取的中点，连接，， 由，则， 所以， 所以，，三点共线，且， 设，分别为，的中点，同理可得，， 所以为的重心，故正确； 对于，由为的内心，则可设内切圆半径为， 则有，，， 所以， 即，故正确； 对于，由为的外心，则可设的外接圆半径为， 因为，， 则有，，， 所以，，， 所以，故错误； 对于，如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点， 由为的垂心，，则， 又，则，， 设，，则，， 所以，即， 所以，所以，故正确； 故选：． 【点评】本题主要考查了平面向量的数量积运算，考查了三角形的重心、内心、外心和垂心的性质，属于中档题． 10．（2023春•崇川区校级月考）已知向量，若为锐角，则实数可能的取值是　　 A． B．0 C． D．1 【分析】利用向量的减法法则及向量减法的坐标表示，根据已知条件及向量的数量积的坐标表示，结合向量共线的条件即可求解． 【解答】解：因为， 所以． 因为为锐角， 所以，解得． 当时，，解得． 当为锐角时，实数的取值范围是． 所以实数可能的取值是0，1． 故选：． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题． 11．（2023春•常州月考）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形中，若，则的值为 　　；若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为 　　． 【分析】对第一空，建系，根据向量坐标运算，建立方程，即可求解； 对第二空，分别延长与交于点，则根据向量数量积的几何定义与向量投影的概念可得：的最小值为，再计算即可得解． 【解答】解：对第一空，建系如图，设正八面体的中心到顶点的距离为1， 则，，，，，即，， ，，， 又， ，，，， ，解得， ； 对第二空，如图，分别延长与交于点， 则根据向量数量积的几何定义与向量投影的概念可得： 的最小值为， 又，三角形为等腰直角三角形， ， 的最小值为． 故答案为：；． 【点评】本题考查坐标法的应用，向量数量积的几何定义与向量投影的概念，方程思想，数形结合思想，属中档题． 12．（2023春•丹阳市校级月考）如图，在中，，圆为单位圆． （1）若点在圆上，，则　　． （2）若点在与圆的公共部分的圆弧上运动，则的取值范围为 　　． 【分析】（1）根据结合的运算律即可求出； （2）法一：根据，结合余弦函数的性质即可得解 法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系，设，再根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质即可得解． 【解答】解：（1）在中，，，，， 则， 即； （2） 法一： 因为，所以， 故的取值范围为． 法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系， 设，，， 所以，， 则， ，则，，， 即． 故答案为：（1）；（2）． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题． 13．（2024春•台州期中）如图，点，分别是矩形的边，上的两点，，． （1）若，，，求的范围； （2）若，求的最小值； （3）若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大．若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【分析】（1）借助向量的线性运算及数量积公式计算即可得； （2）建立平面直角坐标系后借助三角函数与基本不等式计算即可得 （3）建立平面直角坐标系后，将最大转化为最大，借助计算即可得． 【解答】解：（1）因为，，所以，， 则， 所以 ， 因为，所以； （2）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 设，， 则，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为； （3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，，，即， 假设存在点，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为0，此时不可能最大，故， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即存在，且． 【点评】本题考查平面向量的线性运算与数量积，属于中档题． 五．平面向量的基本定理 14．（2023春•东海县期中）在中，，点在线段上不与，点重合），，则实数　　 A． B． C． D． 【分析】设，得到，设，化简得到，结合，列出方程组，即可求解． 【解答】解：如图所示，设，因为，可得， 因为，，三点共线，设， 可得， 又因为， 可得，解得． 故选：． 【点评】本题考查向量的线性表示，考查向量相等，属于中档题． 15．（2023春•如东县期中）已知在中，，分别为边，上一点，且，，与交于，若，则为　　 A． B． C． D． 【分析】利用平面向量的基本定理可得，、分别为，的三等分点，将分别用两个线性运算表示，对应系数相等，即可求出答案． 【解答】解：设，， ， 又， ， 代入得：， 故选：． 【点评】本题考查的平面向量的基本定理，需要代设系数，属于中档题． 16．（2023春•海州区校级期中）如图，中，，点在线段上，与交于点，，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】选项，由已知可得，进而得；选项，设，，以为基底表示，可构造关于和的方程组，解之，即可作出判断；选项，根据向量的线性运算法则即可判断；选项，根据，利用三角形面积比即可判断． 【解答】解：对于：因为， 所以，即正确； 对于：设，， 由选项知，， 所以， 因为，即点是的中点， 所以， 所以，解得，， 所以，， 所以，即错误； 对于， ， ， 所以，即正确； 对于：由上可知，， 所以，即正确． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 17．（2023春•苏州期中）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形．若，则　　． 【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解． 【解答】解：如图，以为原点，分别以为，轴建立平面直角坐标系： 设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为， 可知，，，， 则，，即， 又， ， 即，即， 化简得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，考查了解析法的应用，属于中档题． 18．（2023春•阜宁县期中）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在该坐标系中，，则　　． 【分析】直接利用向量的坐标运算求出向量的数量积． 【解答】解：在坐标系中，，由于，， 故，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 19．（2023春•江苏月考）如图，三角形中，，，、相交于点，过点的直线交射线、分别于点、，且，则的最小值是 　　． 【分析】根据平面向量基本定理，结合图中点的关系，以为基础，将各个向量联系起来，得到与的关系式，然后用基本不等式求最值． 【解答】解：由，， 可得，， 设，， 则， 又， 由平面向量基本定理可得，解得， ， 又， ， 由，，三点共线，可得， 则 ， 即的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量线性运算与基本不等式的综合应用，属中档题． 20．（2024春•通州区月考）在等腰梯形中，，，，，，动点，分别在线段和上（不包含端点），和交于点，且，． （1）用向量，表示向量，； （2）求的取值范围； （3）是否存在点，使得．若存在，求；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据平面向量基本定理可解； （2）根据平面向量基本定理和模长公式以及的范围可解； （3）设，，其中，，再根据平面向量基本定理可解． 【解答】解：（1），， 由向量加法的三角形发展可得，， 整理得，． ， ； （2）由（1）得，， 又，，， ． ， 当时，有最大值61，当时，有最小值43， ，， 的取值范围是． （3）设，，，， 则， ， 由平面向量基本定理得，， 即，， 又，得， ， 或． ，则不合题意， ． 【点评】本题考查平面向量基本定理相关知识，属于中档题． 21．（2023春•姑苏区校级月考）如图，在梯形中，，、是的两个三等分点，，是的两个三等分点，线段上一动点满足．分别交、于，两点，记，． （1）当时，用，表示； （2）若，求的取值范围． 【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解， （2）利用三点共线得到，，，再利用，，得到，，，之间的关系，用表示，然后利用函数的单调性求解取值范围即可． 【解答】解：（1）当时，，则 ． 所以． （2）连接，，则，， 因为，，三点共线，，，三点共线， 设， 所以， ， 因为，所以，得， 因为，所以， 所以， ， 因为， 所以，即，代入， 得， 因为，所以解得， 因为，，令，则，， 因为在，上单调递减，所以， 所以， 所以的取值范围为． 【点评】本题考查了平面向量的综合应用，涉及了平面向量基本定理、三点共线、向量平行的应用，利用单调性求解函数取值范围的应用，考查了逻辑推理能力、化简运算能力与转化化归能力，属于中档题． 22．（2023春•海州区校级期中）已知中，点在线段上，且，延长到，使．设． （1）用表示向量； （2）若向量与共线，求的值． 【分析】（1）由是中点，得，从而算出，再由向量减法法则即可得到； （2）根据（1）的结论，可得关于向量的表示式，而，结合向量共线的充要条件建立关于的方程组，解之即可得到实数的值． 【解答】解：（1）为的中点，， 可得， 而 （2）由（1），得， 与共线，设 即， 根据平面向量基本定理，得 解之得，． 【点评】本题给出三角形中的向量，求向量的线性表示式并求实数的值．着重考查了向量加减法的运算法则和平面向量共线的条件等知识，属于基础题． 六．数量积表示两个向量的夹角 23．（2023春•海州区校级月考）已知，，，则向量与的夹角为　　 A． B． C． D． 【分析】转化为，可得，进而求解． 【解答】解：， ，即， ，， ，即， 设向量与的夹角为，，， 则，即， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于中档题． 24．（2023春•镇江期中）已知，，，则与的夹角是　　 A． B． C． D． 【分析】先利用向量的运算性质求出，，然后套用夹角公式求解． 【解答】解：由已知得， 而，故， 所以， 故， 由向量夹角范围是，， 故所求角为． 故选：． 【点评】本题考查平面向量数量积的概念、运算性质以及夹角的计算，属于中档题． 七．平面向量的综合题（共3小题） 25．（2023春•海州区校级月考）已知，，，，，，则的最小值　　． 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，算出，由此将转化成关于的二次函数，结合二次函数的性质即可求出的最小值． 【解答】解：，， ，可解出 因此， 根据二次函数的性质，得当时， 取得最小值，最小值为 此时，， 故答案为： 【点评】本题给出向量的坐标和向量等式，求系数平方和的最小值，着重考查了向量线性运算的坐标表示、三元一次方程组的处理和二次函数的最值求法等知识，属于中档题． 26．（2023春•姑苏区校级月考）在边长为1的菱形中，，是线段上一点，满足，如图所示，设，． （1）用，表示； （2）在线段上是否存在一点满足？若存在，确定点的位置，并求；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据向量加、减法运算法则计算即可； （2）设，则，，，利用、及，计算即可． 【解答】解：（1）根据题意得：， ， ； （2）结论：在线段上存在使得的一点满足，此时． 理由如下： 设，则，， ， 在边长为1的菱形中，， ，， ， ， 解得，从而， ． 【点评】本题考查向量的加、减法运算法则，数量积运算，将线段垂直转化为向量垂直是解决本题的关键，属于中档题． 一．多选题 1．（2024春•新吴区校级期中）平行四边形中，，，．动点满足，，，，下列选项中正确的有　　 A．时，的取值范围是， B．时，存在使得 C．时，动点形成的轨迹的长为 D．且最大时，在上的投影向量为 【分析】当时，在线段上，从而判断；根据图形特征建立平面直角坐标系，若，则，通过解方程进而判断；通过从而得到动点轨迹方程进而判断；通过图形特征以及投影向量的相关概念判断． 【解答】解：对于，若，则在线段上（含端点）， 所以的取值范围是，，故正确； 在平行四边形中，作， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 则， 所以，则， 对于，，则， 所以，由，得到， 所以动点形成的轨迹的长为，故错误； 对于，若，则，所以，， 所以令，解得，符合题意， 所以时，存在使得，故正确； 对于，过点作，若，则在上， 又因为最大，所以与重合，作， 则在上的投影向量为， 由，则在上的投影向量为，故错误． 故选：． 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属难题． 2．（2024春•常熟市期中）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是　　 A．在上的投影向量为 B． C．的最大值为2 D．若在线段上（含端点），且，则的取值范围为 【分析】选项，延长，交的延长线于点，求出 在上的投影向量即可； 选项，由正八边形的几何性质知，，利用向量求夹角的余弦值即可； 选项，取中点，中点，根据，，求解即可； 选项，由，当点与点重合时，，当点由到时，递增，点位于点时，最大，求解即可． 【解答】解：对于延长，交的延长线于点，则， 所以 在 上的投影向量为，，选项错误； 对于，由正八边形的几何性质知，，所以，所以，选项正确； 对于，取中点，中点，则，， 所以，因为为的中点， 所以，因为是正八边形边上任意一点， 所以当点位于正八边形顶点时，最大，不妨设点与点重合， 此时， 即的最大值为，所以的最大值为，选项正确； 对于，，当点与点重合时，此时， 当点由到时，递增，当点位于点时，最大，设与交点为，与交点为， ，，所以，所以， 所以， 因为，， 三点共线，所以，即，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 3．（2024春•连云区校级期中）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有　　 A． B． C．存在最大值为9 D．的最小值为 【分析】对于、，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于、，以点为原点建立平面直角坐标系，设，，，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断． 【解答】解：对：因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上， 所以， 则，故正确； 对， 则，故正确； 对、：如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 则， 因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上， 所以点在单位圆上，且在轴的下半部分， 设，，， 则， 所以， 因为，，所以， 所以当时，取得最大值9，故正确； 因为， 所以， 即， 所以， 所以， 因为，，所以当时，取得最大值，故错误． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算律和平面向量的坐标表示及坐标运算，属于难题． 二．解答题 4．（2024春•徐州期中）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，求在，的值域； （2）若函数的“源向量”为，且以为圆心、为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； （3）在中，角、、的对边分别为、、，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 【分析】（1）由题意可知伴随函数的解析式，利用辅助角公式化积，结合的范围求解函数的值域； （2）由已知函数解析式求得的源向量，再由圆内切于正，可得，然后利用平面向量的基本运算求解为定值； （3）函数的“源向量”为，可得，求出，再由向量模的运算及余弦定理结合基本不等式求出的范围，然后利用换元法结合二次函数求最值得答案． 【解答】（1）解：由题意可知，函数的“源向量”为， 伴随函数， ，，， 则当时，，当时，， 函数的值域为； （2）证明： 的源向量为， 圆内切于正，， 又， ； （3）解：函数的“源向量”为，， 则， 则， 又，即， ， ，即，当且仅当时取等号， 又当顶点无限接近顶点时，边无限接近0，即无限接近0， ，令，则， 从而，其中， ， 即的取值范围，． 【点评】本题考查平面向量数量积的性质及应用，训练了利用换元法及二次函数求最值，考查运算求解能力，综合性较强，难度较大． 5．（2024春•连云区校级期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，，，作：，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为，；当，共线时，规定，． （Ⅰ）分别根据下列已知条件求， ①，；②，； （Ⅱ）若向量，，， 求证：，，，； （Ⅲ）若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，． （ⅰ）当时，求，，的最大值； （ⅱ）写出，，，的最大值．（只需写出结果） 【分析】（1）由求解； （2）由证明； （3）设，由求解；求解． 【解答】（1）解：因为， 且， 所以； 又， 是； （2）因为向量， 且向量， 则， 所以， 同理． 所以； （3）设，因为， 所以， 所以， ． 当，即时， 取得最大值； 的最大值为． 【点评】本题考查向量的综合应用，考查学生的运算能力，属于难题． 6．（2024春•姑苏区校级月考）在中，满足：，是的中点． （Ⅰ）若，求向量与向量的夹角的余弦值； （Ⅱ）若是线段上任意一点，且，求的最小值； （Ⅲ）若点是内一点，且，求的最小值． 【分析】利用向量的数量积公式得到，利用向量的数量积公式展开，求出向量．与向量的夹角的余弦值； 通过解三角形求出的长，设，则，利用向量的平行四边形法则得到而 ，利用向量的数量积公式将表示成关于的二次函数，通过求二次函数的最值求出最小值． 设，将已知条件利用向量的数量积公式表示成关于的三角函数，将平方转化为关于的三角函数，然后利用基本不等式求出其最小值． 【解答】解：设向量．与向量的夹角为 ， 令 ， 设，则， 而 当且仅当时，的最小值是 设 当且仅当 【点评】解决向量的夹角问题，一般利用的是向量的数量积公式．是一道综合题． 7．（2024春•盐城期中）已知 （Ⅰ）若点，，不能构成三角形，求的值； （Ⅱ）若点，，构成的三角形为直角三角形，求的值． 【分析】将三点不能构成三角形转化为三点共线，再将三点共线转化为由三点为始点、终点的两个向量共线，利用向量共线的充要条件列出方程，求出的值． 三角形为直角三角形根据哪一个角是直角分三种情况讨论，利用向量垂直的充要条件列出方程，求出的值． 【解答】解：若点，，不能构成三角形，则，，三点共线 由， 则有 （Ⅱ）若点，，构成的三角形为直角三角形，则 ①若，则有； ②若，又， 则有 ③若，则有 解得 【点评】解决三点共线问题常转化为以三点为始点、终点的两个向量共线，利用向量共线的充要条件找等量关系；解决直线垂直问题，常借助两个向量垂直的充要条件来找关系． 8．（2023春•海安市校级月考）已知函数，，的图象如图所示，点，，为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数的相邻两条对称轴之间的距离为2，且其在处取得最小值． （1）求参数和的值； （2）若，求向量与向量夹角的余弦值； （3）若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围． 【分析】（1）由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出，利用在处取得最小值求出； （2）由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可； （3）设，利用向量数量积的坐标表示出，观察取最小值时点位置，然后根据最小值大于等于1可得的取值范围． 【解答】解：（1）因为的相邻两条对称轴之间的距离为2， 所以， ， 又时，取最小值， 则，， ，， 又，则， 即，； （2）因为，所以， 则，，， 则， 则， 即向量与向量夹角的余弦值为； （3）因为是上动点，，，， 又恒成立， 设， 则，， 则， 易知在或处有最小值，在或处有最大值， 所以当或时，有最小值， 即当在或时，有最小值，此时或， 当为时，，，，得， 又，则， 当为时，，， ，解得， 综上，， 即的取值范围为． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数的性质，属难题． 9．（2023春•广陵区校级月考）已知向量，，若函数的最小正周期为． （1）求的单调递增区间； （2）若函数在有零点，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数解析式，求出函数的周期，得到，然后求得函数解析式； （2）将函数在闭区间，上有零点的问题，转化为关于变量的方程在，上有解的问题来处理，需经几次换元，注意范围． 【解答】（1）解：由，， 可得， 因为且函数的最小正周期为，则，解得， 所以，， 当时，单调递减，单调递增， 解得， 所以，函数的单调递增区间为． （2）解：由（1）可得： ， ， ， 由函数在有零点可知： 方程， 即在，上有解， 因为，则， 设， ，， 原方程化为，整理得， 方程等价于在，有解，设， 当时，方程化为，解得，故； 当时，在，上有解在，上有解， 问题转化为求函数上的值域， 设，则，，，， 设，则，，， 当时，， 当时，， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 即的取值范围是， 由原方程在，上有实数解可得，解得或， 即． 【点评】本题考查函数与方程的应用，考查分类思想的应用，转化思想及计算能力，属难题． 10．（2023春•苏州期中）设正的边长为1，为的外心，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点． （1）当时，求的值； （2）当时； （ⅰ）求的值（用，表示）； （ⅱ）求的最大值与最小值． 【分析】（1）根据，，共线，将 用， 表示，求和后再求模长； （2）根据数量积定义计算； 将用，，表示，依次视为，， 的函数讨论单调求最值． 【解答】解：（1）当时，，，，， 所以， 所以， 又因为是等边三角形，且边长为1，为外接圆的圆心， 所以，且，， 所以， 所以， 所以； （2） 因为是等边三角形，为外接圆的圆心，所以， 所以，，，， 由，则，分别为，的5等分点，又， 所以，， 所以 ． 因为， 所以 ， 同理得：，， 所以， 设， ①当时， 时，， 因为，所以时取最大值，则， 时，， 因为，所以时取最小值，则， 当时，； ②当时， 时，， ，时取最大值，则， 时，， ，时取最小值，则， 则当时，， 综上，的最大值为，最小值为． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算法则、数量积公式、函数的单调性等基础知识，也考查了运算求解能力，是难题． 11．（2024春•相城区校级月考）已知中，，，，是边（含端点）上的动点． （1）若，点为与的交点，请用，表示； （2）若点使得，求的取值范围． 【分析】（1）由已知可得，再由、、三点共线，令，而可得，然后由、、三点共线，可求出，从而可求得结果； （2）由（1）得，设，则，由，得，化简后可表示出，利用函数的单调性可求出其范围． 【解答】解：（1）已知中，，，，是边（含端点）上的动点， ， ， 又、、三点共线， 令， ， ， 而、、三点共线， ， ， ； （2）由已知可得：， 又因为， 设， 则， 由，可得， 即， 所以， 即， 整理得， 因为，，在，上单调递增， 故， 即的取值范围为． 【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，重点考查了平面向量数量积的运算及平面向量共线定理的应用，属难度较大的题型． 12．（2023春•无锡期中）如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点， （1）延长交于点（图，求的值； （2）过点的直线与边，分别交于点，（图，设，． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）设的面积为，的面积为，求的最小值． 【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由，，三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值； （2）根据题意，将作为基底表示，由，，三点共线可知，的系数之和为1，即可求出为一定值；根据题意，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可． 【解答】解：（1）依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为，，三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； （2）证明：根据题意， 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为，，三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； 根据题意，， ， 所以， 由可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时． 【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，属于难题． 13．（2024春•阜宁县期中）已知向量，，，，函数，，，． （1）当时，求的值； （2）若的最小值为，求实数的值； （3）是否存在实数，使函数，，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可． （2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可． （3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可． 【解答】解：（1），，， 当时，， 则； （2），， ， 则， 令，则， 则，对称轴， ①当，即时， 当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍， ②当，即时， 当时，函数取得最小值此时最小值，得， ③当，即时， 当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍， 综上若的最小值为，则实数． （3）令，得或， 方程或在，上有四个不同的实根， 则，得，则， 即实数的取值范围是． 【点评】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度． 一．选择题（共6小题） 1．（2023•北京）已知向量，满足，，则　　 A． B． C．0 D．1 【分析】根据向量的坐标运算，向量的模公式，即可求解． 【解答】解：，， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的模公式，属基础题． 2．（2023•甲卷）向量，，且，则，　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，用、表示，利用模长公式求出，，再计算与的数量积和夹角余弦值． 【解答】解：因为向量，，且，所以， 所以， 即，， 解得，， 所以， 又，， 所以， ， 所以，． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长夹角的计算问题，是基础题． 3．（2023•甲卷）已知向量，，则，　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，求出和的坐标，进而求出、和的值，进而由数量积的计算公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，向量，， 则，， 则有，，， 故，． 故选：． 【点评】本题考查向量的夹角，涉及向量的数量积计算，属于基础题． 4．（2023•全国）设向量，，若，则　　 A．5 B．2 C．1 D．0 【分析】利用向量垂直的性质直接求解． 【解答】解：向量，，， ，可得， ． 故选：． 【点评】本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则　　 A． B． C． D． 【分析】由已知求得与的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解． 【解答】解：，， ，， 由，得， 整理得：，即． 故选：． 【点评】本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题． 6．（2023•乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则　　 A． B．3 C． D．5 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解． 【解答】解：正方形的边长是2，是的中点， 所以，，，， 则． 故选：． 【点评】本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于基础题． 二．填空题（共4小题） 7．（2023•上海）已知向量，，则　　． 【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可． 【解答】解：因为向量，， 所以，，． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题． 8．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则　　． 【分析】根据向量数量积的性质及方程思想，即可求解． 【解答】解：，， ，， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查向量数量积的性质及方程思想，属基础题． 9．（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 　　；若，则的最大值为 　　． 【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算及基本不等式的应用求解即可． 【解答】解：在中，，，点为的中点，点为的中点，，， 则； 设，， 由余弦定理可得：， 又， 即，当且仅当时取等号， 又， 则， 则 ， 即的最大值为． 故答案为：；． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算及基本不等式的应用，属中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业01 平面向量及其应用（7大题型巩固提升练+能力培优练拓展突破练+仿真考场练） 一、平面向量的线性运算及应用 1．向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)基本原则： 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． (2)求解策略： ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧． ②字符表示下线性运算的常用技巧： 首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝. 2.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题． 二、向量的数量积 1．向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等． 2.(1)向量数量积的两种计算方法 ①当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ； ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (2)利用向量数量积可以解决以下问题 ①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)； ②求向量的夹角和模的问题 设a＝(x1，y1)，则|a|＝. 两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ＝＝. 三、平面向量在几何中的应用 1．向量在平面几何中的应用是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题． 2．对于有些平面图形的问题，常建立平面直角坐标系，转化为代数运算解决．考查学生转化与化归和数形结合的能力． 3.把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性． 四、平面向量在物理中的应用 1．向量在物理中的应用是用向量的线性运算及数量积解决物理中的力、速度、功等问题． 2．对于有些物理问题，可以转化为数学中的向量问题解决，培养转化与化归和数形结合的能力． 3.(1)求力(向量)、速度(向量)常用的方法：一般是将向量几何化，借助向量加法的平行四边形法则求解． (2)把物理问题转化为数学问题，建立以向量为主体的数学模型求出数学模型的有关解，然后回到问题的初始状态，解释相关的物理现象，从而得出答案． 一．向量的概念与向量的模 1．（2023春•江苏月考）下列说法其中正确的说法为　　 A．若，，则 B．若，，分别表示，的面积，则 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 2．（2023春•高港区校级月考）已知，的坐标分别是和，若在直线上，且，则的坐标为 　 　． 3．（2023春•雨花台区校级期中）设、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 　 　． 二．向量相等与共线 4．（2024春•建邺区校级期中）向量，，． （1）求满足的实数，； （2）若，求实数． 5．（2023春•六合区校级月考）设、是不共线的两个非零向量． （1）若，，，求证：、、三点共线； （2）若与共线，求实数的值． 三．两向量的和或差的模的最值 6．（2023春•秦淮区校级月考）如图，在直角梯形中，，、．，是线段上的动点， 则的最小值为　　 A． B．5 C． D．7 7．（2023春•鼓楼区期中）如图，在平面四边形中，，，，则的最小值为 　　． 四．平面向量数量积的性质及其运算 8．（2023春•惠山区期中）如图所示，在等腰梯形中，，为线段的中点，，，，则　　 A． B． C． D． 9．（2023春•如东县期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有　　 A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 10．（2023春•崇川区校级月考）已知向量，若为锐角，则实数可能的取值是　　 A． B．0 C． D．1 11．（2023春•常州月考）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形中，若，则的值为 　　；若正八边形的边长为2，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为 　　． 12．（2023春•丹阳市校级月考）如图，在中，，圆为单位圆． （1）若点在圆上，，则　　． （2）若点在与圆的公共部分的圆弧上运动，则的取值范围为 　　． 13．（2024春•台州期中）如图，点，分别是矩形的边，上的两点，，． （1）若，，，求的范围； （2）若，求的最小值； （3）若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大．若存在，求的长；若不存在，说明理由． 五．平面向量的基本定理 14．（2023春•东海县期中）在中，，点在线段上不与，点重合），，则实数　　 A． B． C． D． 15．（2023春•如东县期中）已知在中，，分别为边，上一点，且，，与交于，若，则为　　 A． B． C． D． 16．（2023春•海州区校级期中）如图，中，，点在线段上，与交于点，，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 17．（2023春•苏州期中）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形．若，则　　 ． 18．（2023春•阜宁县期中）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在该坐标系中，，则　　． 19．（2023春•江苏月考）如图，三角形中，，，、相交于点，过点的直线交射线、分别于点、，且，则的最小值是 　　 ． 20．（2024春•通州区月考）在等腰梯形中，，，，，，动点，分别在线段和上（不包含端点），和交于点，且，． （1）用向量，表示向量，； （2）求的取值范围； （3）是否存在点，使得．若存在，求；若不存在，说明理由． 21．（2023春•姑苏区校级月考）如图，在梯形中，，、是的两个三等分点，，是的两个三等分点，线段上一动点满足．分别交、于，两点，记，． （1）当时，用，表示； （2）若，求的取值范围． 22．（2023春•海州区校级期中）已知中，点在线段上，且，延长到，使．设． （1）用表示向量； （2）若向量与共线，求的值． 六．数量积表示两个向量的夹角 23．（2023春•海州区校级月考）已知，，，则向量与的夹角为　　 A． B． C． D． 24．（2023春•镇江期中）已知，，，则与的夹角是　　 A． B． C． D． 七．平面向量的综合题（共3小题） 25．（2023春•海州区校级月考）已知，，，，，，则的最小值　　． 26．（2023春•姑苏区校级月考）在边长为1的菱形中，，是线段上一点，满足，如图所示，设，． （1）用，表示； （2）在线段上是否存在一点满足？若存在，确定点的位置，并求；若不存在，请说明理由． 一．多选题 1．（2024春•新吴区校级期中）平行四边形中，，，．动点满足，，，，下列选项中正确的有　　 A．时，的取值范围是， B．时，存在使得 C．时，动点形成的轨迹的长为 D．且最大时，在上的投影向量为 2．（2024春•常熟市期中）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是　　 A．在上的投影向量为 B． C．的最大值为2 D．若在线段上（含端点），且，则的取值范围为 3．（2024春•连云区校级期中）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有　　 A． B． C．存在最大值为9 D．的最小值为 二．解答题 4．（2024春•徐州期中）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，求在，的值域； （2）若函数的“源向量”为，且以为圆心、为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； （3）在中，角、、的对边分别为、、，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 5．（2024春•连云区校级期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，，，作：，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为，；当，共线时，规定，． （Ⅰ）分别根据下列已知条件求， ①，；②，； （Ⅱ）若向量，，， 求证：，，，； （Ⅲ）若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，． （ⅰ）当时，求，，的最大值； （ⅱ）写出，，，的最大值．（只需写出结果） 6．（2024春•姑苏区校级月考）在中，满足：，是的中点． （Ⅰ）若，求向量与向量的夹角的余弦值； （Ⅱ）若是线段上任意一点，且，求的最小值； （Ⅲ）若点是内一点，且，求的最小值． 7．（2024春•盐城期中）已知 （Ⅰ）若点，，不能构成三角形，求的值； （Ⅱ）若点，，构成的三角形为直角三角形，求的值． 8．（2023春•海安市校级月考）已知函数，，的图象如图所示，点，，为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数的相邻两条对称轴之间的距离为2，且其在处取得最小值． （1）求参数和的值； （2）若，求向量与向量夹角的余弦值； （3）若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围． 9．（2023春•广陵区校级月考）已知向量，，若函数的最小正周期为． （1）求的单调递增区间； （2）若函数在有零点，求实数的取值范围． 10．（2023春•苏州期中）设正的边长为1，为的外心，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点． （1）当时，求的值； （2）当时； （ⅰ）求的值（用，表示）； （ⅱ）求的最大值与最小值． 11．（2024春•相城区校级月考）已知中，，，，是边（含端点）上的动点． （1）若，点为与的交点，请用，表示； （2）若点使得，求的取值范围． 12．（2023春•无锡期中）如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点， （1）延长交于点（图，求的值； （2）过点的直线与边，分别交于点，（图，设，． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）设的面积为，的面积为，求的最小值． 13．（2024春•阜宁县期中）已知向量，，，，函数，，，． （1）当时，求的值； （2）若的最小值为，求实数的值； （3）是否存在实数，使函数，，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 一．选择题（共6小题） 1．（2023•北京）已知向量，满足，，则　　 A． B． C．0 D．1 2．（2023•甲卷）向量，，且，则，　　 A． B． C． D． 3．（2023•甲卷）已知向量，，则，　　 A． B． C． D． 4．（2023•全国）设向量，，若，则　　 A．5 B．2 C．1 D．0 5．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则　　 A． B． C． D． 6．（2023•乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则　　 A． B．3 C． D．5 二．填空题（共4小题） 7．（2023•上海）已知向量，，则　　． 8．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则　　． 9．（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 　　；若，则的最大值为 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$