复习06空间中的平行与垂直（八大考点）-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

复习06空间中的平行与垂直 一、直线与平面的平行 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 直线与平面的判定定理 直线与平面的性质定理 文字语言 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 简记为：线线平行⇒线面平行 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 简记为：线面平行⇒线线平行 图形语言 符号语言 且 作用 证明直线与平面平行 ①作为证明线线平行的依据． ②作为画一条直线与已知直线平行的依据. 2.平面与平面平行的判定定理与性质定理 平面与平面平行的判定定理 平面与平面平行的性质定理 文字语言 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 简记为：线面平行⇒面面平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 简记为：面面平行⇒线线平行 图形语言 符号语言 ， 作用 证明两个平面平行 证明线线平行 3．平行问题的转化关系 二、直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的判定定理和性质定理 直线与平面垂直的判定定理 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 简记为：线线垂直⇒线面垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行. 简记为：线面垂直⇒线线平行 图形语言 符号语言 ⇒ 作用 判断直线与平面垂直 ①证明两直线平行；②构造平行线. 2.平面与平面垂直的判定定理和性质定理 平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 简记为：线面垂直⇒面面垂直 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 简记为：面面垂直⇒线面垂直 图形语言 符号语言 作用 判断两平面垂直 证明直线与平面垂直 3.、垂直问题的转化关系 考点01 平行，垂直有关命题的判断 【例1】设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【例2】设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【变式1-1】设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1-2】（多选）设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【变式1-3】设m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 考点02 直线与平面、平面与平面平行的判定 【方法点拨】（1）利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤：①在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线；②证明已知直线平行于找到(作出的)直线；③由判定定理得出结论； （2）要证明面面平行,关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行,而要证明线面平行,还要通过线线平行来证明,注意这三种平行之间的转化. 【例3】如图，四棱锥中，底面为矩形，与平面垂直，E为的中点. (1)证明：平面； (2)若，，，求四棱锥的体积. 【例4】如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点. (1)求证：平面； (2)若为中点，求证：平面平面. 【变式2-1】如图，在高为的四棱锥中，四边形ABCD是正方形，M，N分别是PD和BC的中点，． (1)证明：∥平面PAB． (2)求三棱锥的体积． 【变式2-2】如图，在多面体中，是四边形的外接圆的直径，是与的交点，，．四边形是直角梯形，，平面，．    (1)求证：平面； (2)求多面体的体积． 【变式2-3】如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. (1)求证：； (2)若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 考点03 直线与平面平行的性质 【方法点拨】运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行. 【例5】如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（    ） A．与互相平行； B．与是异面直线； C．与相交，其交点在直线上； D．与相交，且交点在直线上． 【例6】如图，四棱锥的底面为平行四边形，设平面与平面的交线为m，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【变式3-1】如图所示，已知是平行四边形，点P是平面外一点，M是的中点，在上取一点G，过G和作平面交平面于，则与的位置关系是 ．    【变式3-2】如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)若平面平面l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论. 【变式3-3】如图，在四棱锥中，底面是矩形，点分别在棱上，其中E是的中点，连接．    (1)若M为的中点，求证：平面； (2)若平面，求点M的位置． 考点04 平面与平面平行的性质 【方法点拨】（1）利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,往往需要有三个平面,即有两平面平行,再构造第三个平面与两平行平面都相交. （2）两个平面平行的另一个重要性质是判断线面平行:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 【例7】如图，在正三棱台中，，，，分别是，的中点，为上一点.    (1)若是的中点，求证：平面； (2)若平面，求点的位置，并说明理由. 【例8】如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：.    【变式4-1】在四棱锥中，底面是平行四边形，在上，且． (1)若为中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【变式4-2】如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上的点，且，为侧棱的中点． (1)求正四棱锥的表面积； (2)证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【变式4-3】已知四棱锥，底面为矩形，，，分别是，，的中点.证明： (1)平面平面； (2)平面. 考点05 直线与平面垂直的判定与性质 【方法点拨】（1）利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论； （2）要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而得出所需结论. 【例9】如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G，且取EF中点为O，则在这个空间图形中必有（    ） A． B． C． D． 【例10】如图，在直三棱柱中，，分别为线段，上的点，且平面． (1)求证：； (2)当为的中点，时，求证：． 【变式5-1】（多选）如图，在四棱锥中，PD⊥底面，且底面为正方形.，E，G，M，N分别是PA，PB，AB，CD的中点，过点E作EF⊥PB，垂足为F，则（　　） A． B．GN∥平面PAD C．PB⊥平面DEF D．平面GMN∥平面DEF 【变式5-2】如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，为PD的中点，，垂足为，且.    (1)求证:平面ACE; (2)求证:平面ABCD. 【变式5-3】已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证： (1)平面PBC； (2)． 考点06 平面与平面垂直的判定 【方法点拨】要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直 【例11】如图，四棱锥中，底面是矩形，，平面，下列叙述中错误的是（    ） A．∥平面 B． C． D．平面平面 【例12】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点. (1)求证：平面; (2)求证：平面平面; 【变式6-1】（多选）在三棱锥中，是斜边的等腰直角三角形，则以下结论：其中正确的是（    ） A．异面直线SA与BC所成的角为 B．直线平面 C．平面平面SAC D．点C到平面SAB的距离是 【变式6-2】正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点． (1)求三棱柱的全面积； (2)求证：∥平面； (3)求证：平面⊥平面． 【变式6-3】已知四棱锥，底面是菱形，，平面，点E为AB中点．证明：平面平面． 考点07 平面与平面垂直的性质 【方法点拨】（1）若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.在应用面面垂直的性质定理时,注意三点:①两个平面垂直,是前提条件;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线. （2）先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题. 【例13】在中，为边上的动点，沿将折起形成直二面角，当最短时， . 【例14】如图，已知四边形是矩形，将矩形沿对角线把折起，使 移到点，且在平面上的射影恰好在上.    (1)求证：； (2)求证：平面平面. 【变式7-1】如图所示，是四边形所在平面外的一点，G为边中点，四边形是且边长为的菱形．为正三角形，且平面⊥平面. 求证： (1)⊥平面； (2). 【变式7-2】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，，平面平面，，点在棱上，且平面 (1)求的长； (2)求三棱锥的体积. 【变式7-3】已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平面，E为的中点，，．    (1)求证：平面； (2)求证：⊥平面； (3)求三棱锥的体积． 考点08 补全条件，证明平行和垂直 【例15】已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面．在上是否存在一点，使得平面？ 【例16】如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可） 【变式8-2】如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式8-3】如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 一、单选题 1．已知表示不同的直线，表示不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）． A．截面与截面 B．截面与截面 C．截面与截面 D．截面与截面 3．已知在正方体中，，交于点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 4．如图所示，在三棱锥中，若，E是的中点，则下列说法中正确的是（    ） A．平面⊥平面； B．平面⊥平面； C．平面⊥平面，且平面⊥平面； D．平面⊥平面，且平面⊥平面． 5．棱长为1的正方体中，分别是的中点.下列说法不正确的是（    ） A．点在直线上运动时，三棱锥体积不变 B．点在直线上运动时，直线始终与平面平行 C．平面平面 D．三棱锥的体积为 二、多选题 6．如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（ ） A． B．当为中点时， C．存在点，使得平面平面 D．三棱锥的体积为定值 7．如图，四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，构成几何体，则在几何体中，下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 8．边长为4的正方形沿对角线折叠，使得平面平面，则关于四面体，下列结论正确的是（   ） A． B． C．四面体的体积为 D．四面体的体积 三、填空题 9．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，则与平面的关系是 ． 10．如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且平面ABCD，则在、、、、及中，直角三角形有 个． 11．如图，在四面体中，平面平面，是边长为的等边三角形，，，则四面体的体积为 . 12．如图所示，已知两个正方形和不在同一平面内，，分别为，的中点.若，平面⊥平面，则线段的长为 ，线段的长为 . 四、解答题 13．如图，在正三棱柱中，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积 14．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 15．如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积． 16．如图①，在直角梯形ABCD中，，，，．沿DE将折起到的位置．连接，，M，N分别为，BE的中点，如图②． (1)求证：． (2)求证：平面． (3)在棱上是否存在一点G，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．如图，在正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点. (1)证明:平面. (2)证明:点在平面的投影为的垂心. 18．如图，在等腰梯形中，，，，平面，平面，，点P在线段上运动. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得平面？若存在，试求点P的位置；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习06空间中的平行与垂直 一、直线与平面的平行 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 直线与平面的判定定理 直线与平面的性质定理 文字语言 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 简记为：线线平行⇒线面平行 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 简记为：线面平行⇒线线平行 图形语言 符号语言 且 作用 证明直线与平面平行 ①作为证明线线平行的依据． ②作为画一条直线与已知直线平行的依据. 2.平面与平面平行的判定定理与性质定理 平面与平面平行的判定定理 平面与平面平行的性质定理 文字语言 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 简记为：线面平行⇒面面平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 简记为：面面平行⇒线线平行 图形语言 符号语言 ， 作用 证明两个平面平行 证明线线平行 3．平行问题的转化关系 二、直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的判定定理和性质定理 直线与平面垂直的判定定理 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 简记为：线线垂直⇒线面垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行. 简记为：线面垂直⇒线线平行 图形语言 符号语言 ⇒ 作用 判断直线与平面垂直 ①证明两直线平行；②构造平行线. 2.平面与平面垂直的判定定理和性质定理 平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 简记为：线面垂直⇒面面垂直 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 简记为：面面垂直⇒线面垂直 图形语言 符号语言 作用 判断两平面垂直 证明直线与平面垂直 3.、垂直问题的转化关系 考点01 平行，垂直有关命题的判断 【例1】设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，，则或与异面，即B错误； 对于C，若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C正确； 对于D，若，，，则与的关系为平行、相交或异面，故D错误； 故选：C 【例2】设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】对于A中，若，，，则相交或平行，所以A错误； 对于B中，若，，由线面平行的性质可得，所以 B正确； 对于C中，若，，，当两两相交时，两两相交，所以C错误； 对于D中，若，，则或，所以D错误. 故选：B. 【变式1-1】设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】A：若，，则或相交，故A错误； B：若，，由线面平行和垂直的性质可得，故B正确； C：若，，则或，故C错误； D：若，，则或或，故D错误； 故选：B. 【变式1-2】（多选）设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】AD 【详解】对于选项A，若，，则，所以A正确； 对于选项B，若，，，则与平行或异面，所以B不正确； 对于选项C，若，，则可能与平行，相交或在平面内，所以C不正确； 对于选项D，设直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为， 因为，，则是平面的一个法向量，是平面的一个法向量， 因为，所以，所以，所以D正确. 故选:AD. 【变式1-3】设m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】在A中，若，，则，可能相交或平行，故A错误： 在B中，若，，则m与n相交、平行或异面，故B错误： 在C中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故C正确； 在D中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故D错误. 故选：C. 考点02 直线与平面、平面与平面平行的判定 【方法点拨】（1）利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤：①在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线；②证明已知直线平行于找到(作出的)直线；③由判定定理得出结论； （2）要证明面面平行,关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行,而要证明线面平行,还要通过线线平行来证明,注意这三种平行之间的转化. 【例3】如图，四棱锥中，底面为矩形，与平面垂直，E为的中点. (1)证明：平面； (2)若，，，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于F，由底面为矩形可知F为中点， 又E为的中点，利用三角形中位线的性质得， 因为平面，平面， 所以平面； （2）由，，，及棱锥体积公式可知： . 【例4】如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点. (1)求证：平面； (2)若为中点，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为底面是正方形，底面，且分别是的中点， 所以，且，， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）证明：因为为的中点，连接，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 由（1）可得平面，且平面， 所以平面平面. 【变式2-1】如图，在高为的四棱锥中，四边形ABCD是正方形，M，N分别是PD和BC的中点，． (1)证明：∥平面PAB． (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，取PA的中点E，连接EB，EM， 因为ME是△PAD的中位线，则∥，且 又因为N是BC的中点，则∥，且， 可得∥，且， 可知四边形MEBN是平行四边形，则∥， 且平面PAB，平面PAB，所以∥平面PAB． （2）在高为的四棱锥中，因为M为PD的中点， 可知三棱锥的高为， 且， 所以三棱锥的体积． 【变式2-2】如图，在多面体中，是四边形的外接圆的直径，是与的交点，，．四边形是直角梯形，，平面，．    (1)求证：平面； (2)求多面体的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：分别延长、交于点，如下图所示：    因为且，所以，，则， 故为的中点， 因为，，为四边形外接圆的直径， 所以，，且，故， 所以，，所以，，故为的中点， 所以，，即， 因为平面，平面，因此，平面. （2）解：因为、、、四点共圆，则， 由（1）可知，， 又因为，则，同理可得， 且， ， ， 因为平面，则， 因为，且四边形为直角梯形， 所以，， 因为平面，，则平面， 所以，， 因此，. 【变式2-3】如图所示，在三棱柱中，过BC的平面与上底面交于GH（GH与不重合）. (1)求证：； (2)若E，F，G分别是AB，AC，的中点，求证：平面平面BCHG. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）在三棱柱中， 平面平面，平面平面，平面平面， 故 （2）在三棱柱中， ，，分别是，，的中点， ， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面． 又，平面，平面， 平面． ，平面 平面平面． 考点03 直线与平面平行的性质 【方法点拨】运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行. 【例5】如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（    ） A．与互相平行； B．与是异面直线； C．与相交，其交点在直线上； D．与相交，且交点在直线上． 【答案】D 【详解】因为，， 所以四边形是梯形， 所以与共面，且不平行，AB错误； 则与相交， 对于C，因为平面，平面， 平面，平面， 所以平面，平面， 又平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，故C错； 对于D，若与平行，平面，平面， 则，又平面，且平面平面， 则，所以，与四边形是梯形矛盾， 所以与不平行， 又平面， 所以与相交，与不平行，平面， 所以与相交， 综上，与平面相交，且只有一个交点， 所以与相交，且交点在直线上，D正确. 故选：D 【例6】如图，四棱锥的底面为平行四边形，设平面与平面的交线为m，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） 取的中点，连接， 因为分别为的中点，底面为平行四边形， 则，且， 所以四边形为平行四边形，即， 显然平面，平面， 则平面； （2）易知，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面与平面的交线为m， 所以. 【变式3-1】如图所示，已知是平行四边形，点P是平面外一点，M是的中点，在上取一点G，过G和作平面交平面于，则与的位置关系是 ．    【答案】平行 【详解】连接交于，连结， 因为是平行四边形，所以为中点. 因为是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 因为平面， 又过和作平面交平面于，即平面平面，且平面， 所以. 故答案为：平行.    【变式3-2】如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)若平面平面l，判断BC与l的位置关系，并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【详解】（1）取中点，连接. 因为分别为的中点，故，， 又平面，平面，故平面，同理平面. 又平面，，故平面平面， 又平面，故平面. （2）因为四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面. 又平面平面l，平面，故. 【变式3-3】如图，在四棱锥中，底面是矩形，点分别在棱上，其中E是的中点，连接．    (1)若M为的中点，求证：平面； (2)若平面，求点M的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)点M为的中点 【详解】（1）证明：如图，取的中点N，连接， 因为分别为的中点，所以，且CD，    又底面是矩形，且E是的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面． （2）设过三点的平面与交于点N，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以， 因为底面是矩形，所以， 又平面平面，所以平面， 同理得，所以四边形为平行四边形， 所以， 又，且，所以， 且，所以点M为的中点．    考点04 平面与平面平行的性质 【方法点拨】（1）利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,往往需要有三个平面,即有两平面平行,再构造第三个平面与两平行平面都相交. （2）两个平面平行的另一个重要性质是判断线面平行:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 【例7】如图，在正三棱台中，，，，分别是，的中点，为上一点.    (1)若是的中点，求证：平面； (2)若平面，求点的位置，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)M为AC上靠近C的三等分点处，理由见解析. 【详解】（1）取AB中点N，连接，    由三棱台中，是的中点，N是的中点可得， 又，所以，平面，平面， 故平面，又，分别是，的中点， 所以，平面，平面，故平面， 又，平面，平面， 所以平面平面，又平面，所以平面； （2）在等腰梯形中，，，所以， 又平面，平面，故平面， 由平面，，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以，在中，，所以， 即M为AC上靠近C的三等分点处. 【例8】如图，在四棱锥中，，，，、分别是棱，的中点，且平面.证明：.    【答案】证明见解析 【详解】连接，如图，    ∵、分别是、中点， ∴为中位线，. 平面，平面，∴平面. 又∵平面，，，平面， ∴平面平面. 又∵平面平面，平面平面，∴. 【变式4-1】在四棱锥中，底面是平行四边形，在上，且． (1)若为中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【详解】（1） 如图所示，连接交于N，连接， 由题意可知为的中点，故， 又平面，平面， 所以平面； （2）存在点，使得平面，理由如下： 如图所示，作交直线于E点，过E作交于F， 过F作交于Q， 因为底面为平行四边形，所以C为的中点，则为中点， 又，即为的中点， 因为平面，平面， 所以平面，同理平面，平面, 又，平面， 所以平面平面， 同理平面平面， 因为平面平面，所以两平面重合， 即平面平面， 因为平面，所以存在一点，使得平面， 且． 【变式4-2】如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上的点，且，为侧棱的中点． (1)求正四棱锥的表面积； (2)证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)存在， 【详解】（1）因为正四棱锥中，，， 则侧面的高， 所以正四棱锥的表面积． （2）设，连接， 因为分别为的中点，则∥， 且平面，平面， 所以平面. （3） 在侧棱上存在一点，使平面，满足． 理由如下： 取中点为，因为，则， 过作的平行线交于，连接． 由于，即．则， 且平面，平面，所以平面， 由（2）可知：平面， 因为，平面，可得平面平面， 且平面，所以平面. 【变式4-3】已知四棱锥，底面为矩形，，，分别是，，的中点.证明： (1)平面平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：因为，，分别是，，的中点，所以,， 又因为底面为矩形，所以,所以, 又平面,平面， 所以面. 又因为平面,平面， 所以平面. 因为,平面, 所以平面平面. （2）证明：因为平面，平面平面， 所以平面. 考点05 直线与平面垂直的判定与性质 【方法点拨】（1）利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论； （2）要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而得出所需结论. 【例9】如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G，且取EF中点为O，则在这个空间图形中必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，平面，则平面， 而平面，因此，而不重合，C正确，A错误； 显然，B错误； 若，而，平面， 则平面，又平面，于是， 在中，为斜边的中点，，矛盾，D错误. 故选：C 【例10】如图，在直三棱柱中，，分别为线段，上的点，且平面． (1)求证：； (2)当为的中点，时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） 因为平面，平面，平面平面， 所以， 又在直三棱柱中，， 所以． （2）因为为的中点，且由（1）问可知， 所以为的中点， 又，所以， 因为三棱柱是直棱柱， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以． 【变式5-1】（多选）如图，在四棱锥中，PD⊥底面，且底面为正方形.，E，G，M，N分别是PA，PB，AB，CD的中点，过点E作EF⊥PB，垂足为F，则（　　） A． B．GN∥平面PAD C．PB⊥平面DEF D．平面GMN∥平面DEF 【答案】ABC 【详解】对于A，因为PD⊥底面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为分别为的中点，所以∥，所以，所以A正确， 对于B，连接，因为分别为的中点，所以∥，， 因为分别为的中点，∥，，所以∥，， 所以∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，所以B正确，    对于C，因为，为的中点，所以， 因为PD⊥底面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面，所以C正确， 对于D，因为分别为的中点，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 由选项B可知∥平面，因为，平面， 所以平面∥平面，因为平面平面， 所以平面与平面不可能平行，所以D错误， 故选：ABC 【变式5-2】如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，为PD的中点，，垂足为，且.    (1)求证:平面ACE; (2)求证:平面ABCD. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接，则， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）知且， 又，所以为的中点，因为， 所以为等腰三角形，则，又， 所以，连接，则， 又平面， 所以平面，而平面， 则. 因为，，所以，即， 又平面， 所以平面. 【变式5-3】已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，M，N分别是PD，BC的中点．求证： (1)平面PBC； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）如图，取的中点，连结， 因为M是PD的中点， 所以，， 又，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC； （2）连结， 因为，N是BC的中点， 所以， 在中，，，， 所以， 由条件，所以， 又N是BC的中点，所以， 因为DN，平面PDN，， 所以平面PDN， 因为平面PDN，所以． 考点06 平面与平面垂直的判定 【方法点拨】要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直 【例11】如图，四棱锥中，底面是矩形，，平面，下列叙述中错误的是（    ） A．∥平面 B． C． D．平面平面 【答案】C 【详解】对于选项A：在矩形中，∥，平面，平面， ∥平面，故选项A正确； 对于选项B：平面，平面，， 在矩形中，，，平面， 所以平面，而平面，，故选项B正确； 对于选项C：因为平面，而平面，所以， 所以，而， ， 在一般矩形中，与不垂直，所以，即，与不垂直，故选项C不正确； 对于选项D：平面，平面，所以平面平面，故选项D正确． 综述：只有选项C不正确． 故选：C. 【例12】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点分别为和的中点. (1)求证：平面; (2)求证：平面平面; 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） 取中点，连接，由为的中点，为的中点， 所以， 又， 则，因此四边形为平行四边形， 于是， 而平面，平面， 所以平面； （2） 过作于点，连接， 由，得≌， 则，即， 因为底面是边长为2的菱形，是等边三角形， 所以， 从而， 所以， 又因为，平面，平面， 则平面， 又因为平面， 所以平面平面. 【变式6-1】（多选）在三棱锥中，是斜边的等腰直角三角形，则以下结论：其中正确的是（    ） A．异面直线SA与BC所成的角为 B．直线平面 C．平面平面SAC D．点C到平面SAB的距离是 【答案】BCD 【详解】由条件根据异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【解答】 对于A，B，依题意，， 而平面，则平面， 又平面，于是， 由，得， 又，平面，则平面， 又平面，所以， 又因为，所以不垂直于平面， 所以异面直线SA与BC所成的角不可能为，故A错误，B正确； 对于C，由平面，平面，得平面平面，故C正确； 对于D，取中点，连接，由，得， 由平面，平面，得平面平面， 而平面平面平面，于是平面， 又，则，即点C到平面的距离是，故D正确. 故选：BCD. 【变式6-2】正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点． (1)求三棱柱的全面积； (2)求证：∥平面； (3)求证：平面⊥平面． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱，且棱长均为2，所以底面是正三角形，侧面均为正方形， 故三棱柱的全面积为； （2）在正三棱柱中，因为分别是的中点， 可知，又∥， 所以四边形是平行四边形，故∥， 又平面，平面， 所以∥平面． （3）连，设与相交于，则由侧面为正方形，可知与互相平分． 在中，，在中，，故， 连，则． 又，，连，则， 又与相交于，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【变式6-3】已知四棱锥，底面是菱形，，平面，点E为AB中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析. 【详解】 在四棱锥中，连接BD，由是菱形，且，得为正三角形，， 由E是的中点，得，由平面，平面，得， 而平面，，因此平面，又平面， 所以平面平面． 考点07 平面与平面垂直的性质 【方法点拨】（1）若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.在应用面面垂直的性质定理时,注意三点:①两个平面垂直,是前提条件;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线. （2）先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题. 【例13】在中，为边上的动点，沿将折起形成直二面角，当最短时， . 【答案】 【详解】作于点，连接， 设，则，所以， 在中，由余弦定理可得， ， 因为为直二面角，所以面，所以， 则， 当最短时，，所以，即此时为的角平分线， 由角平分线定理可得，. 故答案为：. 【例14】如图，已知四边形是矩形，将矩形沿对角线把折起，使 移到点，且在平面上的射影恰好在上.    (1)求证：； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【详解】（1）证明：连接，由在平面上的射影在上， 可得平面，平面，所以， 又由为矩形，，且平面，， 所以平面，因为平面，所以. （2）证明：因为四边形为矩形，所以， 由（1）知，，且平面， 所以平面， 又由平面，所以平面平面.    【变式7-1】如图所示，是四边形所在平面外的一点，G为边中点，四边形是且边长为的菱形．为正三角形，且平面⊥平面. 求证： (1)⊥平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）如图，连接， ∵四边形是菱形且， ∴△是正三角形，∵G为的中点，∴. 又平面⊥平面，且平面∩平面，平面， ∴平面. （2）由（1）可知， ∵△为正三角形，为的中点， ∴，又平面， ∴平面， 又平面，∴. 【变式7-2】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，，平面平面，，点在棱上，且平面 (1)求的长； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于平面，平面，平面平面， 所以，由于是中点，所以是的中点， 平面平面，且两平面交线为， 又，，故，平面， 由面面垂直的性质知平面，平面，故， 由于底面是菱形，，，故, 所以, 因此. （2）由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半， 所以. 【变式7-3】已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平面，E为的中点，，．    (1)求证：平面； (2)求证：⊥平面； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：取中点F，连， 因为E为的中点， 所以且， 又，， 所以且， 故四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面；    （2）证明：由题意：，． ∵， ∴⊥， 又平面⊥平面，平面平面，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴PD⊥AB， ∵为等腰直角三角形， ∴⊥， ∵，平面， ∴⊥平面；                        （3）∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵⊥平面，平面， ∴⊥， 又，故， 由（2）得，⊥平面，又为的中点， 所以. 考点08 补全条件，证明平行和垂直 【例15】已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面．在上是否存在一点，使得平面？ 【答案】为的中点时，平面. 【详解】 当点为的中点时，平面，证明如下： 由已知， 所以四边形为矩形， 所以，， 已知，点为的中点，则， 又，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 所以在上存在一点，使得平面. ’ 【例16】如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以，， 因此，因为D是的中点， 所以，且，在直三棱柱ABC一中，平面， 而平面，所以，因为， 平面，所以平面，而平面， 因此，在直角三角形中，， 当时，即， 此时，而，即， 即，而，平面， 因此平面，此时， 故选：C 【变式8-1】如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可） 【答案】（或，等都可） 【详解】解：可填， 由为菱形，则， ∵平面，平面， 所以， 又， ∴平面， 又平面， ∴， 又，， 所以平面MBD， 又因平面PCD， 所以平面MBD⊥平面PCD. 故答案为：.（或，等都可） 【变式8-2】如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面． 因为平面，所以. 因为是等边三角形，D为的中点，所以. 因为，平面，且， 所以平面． （2）如图，取的中点，连接，，则， 则是异面直线与CD所成的角或补角. 设，则，，，， 故， 即异面直线与CD所成角的余弦值为. （3）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. 【变式8-3】如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明见解析 【详解】（1）过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下： 取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 一、单选题 1．已知表示不同的直线，表示不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A：若且，则或与相交，故A错误； 对于B：若，则或，又， 当，则与平行或相交或异面， 当，则与平行或异面，故B错误； 对于C：若，，则或，又，所以或与相交（不垂直）或，故C错误； 对于D：若，则或，又，所以，故D正确. 故选：D 2．在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）． A．截面与截面 B．截面与截面 C．截面与截面 D．截面与截面 【答案】B 【详解】如图，选项A、B、C、D分别对应图1、图2、图3、图4． 对于A，与相交，截面与相交，A不是； 对于B， 截面与平行． 由，得四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，则平面， 同理可证平面，，平面， 所以平面平面，B是； 对于C，截面与有公共点D，截面与相交，C不是； 对于D，与相交，截面与相交，D不是. 故选：B 3．已知在正方体中，，交于点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 【答案】C 【详解】连接，作出图形如图所示， 因为且，所以为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面， 同理可证，即可证明平面， 又，平面，所以平面平面， 故平面，故C正确； 对于A，因为，平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，而与不平行，所以不垂直于平面，故A错误； 对于B，同理可证平面，而与不平行，所以不垂直于平面，故B错误； 对于D，易知，而，，共面且与不平行，所以不垂直于，故D错误． 故选：C． 4．如图所示，在三棱锥中，若，E是的中点，则下列说法中正确的是（    ） A．平面⊥平面； B．平面⊥平面； C．平面⊥平面，且平面⊥平面； D．平面⊥平面，且平面⊥平面． 【答案】C 【详解】C选项，因为，E是的中点，所以， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面， 同理平面，所以平面⊥平面，C正确； AB选项，由于平面⊥平面，而平面平面，故平面与平面不垂直，同理可得平面与平面不垂直，AB错误； D选项，平面与平面不一定垂直，D错误. 故选：C 5．棱长为1的正方体中，分别是的中点.下列说法不正确的是（    ） A．点在直线上运动时，三棱锥体积不变 B．点在直线上运动时，直线始终与平面平行 C．平面平面 D．三棱锥的体积为 【答案】D 【详解】选项A：因为点在直线上运动时，的面积为矩形的面积的一半，到平面的距离不变， 又，所以三棱锥的体积不变，故A说法正确； 选项B，点在直线上运动时，由分别是的中点，可得，， 又，，平面，平面， 所以平面平面，又平面，始终与平面平行，故B说法正确； 选项C，因为在正方体中，，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面，故C说法正确； 选项D，， 利用等体积法知，故D说法错误，      故选：D 二、多选题 6．如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（ ） A． B．当为中点时， C．存在点，使得平面平面 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【详解】对于A，由于分别是的中点，故. 而，所以，故A正确； 对于B，当是的中点时，由于，故，而，所以，故B正确； 对于C，假设平面平面，则两平面没有公共点，从而两直线没有公共点，又由于两直线都在下底面内，故. 而，这意味着和重合，矛盾，故C错误； 对于D，设到平面的距离和到直线的距离分别为和，则，从而三棱锥的体积，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于C选项对线面平行和线线平行定义的运用. 7．如图，四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，构成几何体，则在几何体中，下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】AD 【详解】, ,又平面⊥平面， 且平面平面，平面， 又面，， ，且平面， 平面，又平面， 平面平面, 故选：AD. 8．边长为4的正方形沿对角线折叠，使得平面平面，则关于四面体，下列结论正确的是（   ） A． B． C．四面体的体积为 D．四面体的体积 【答案】BD 【详解】 取中点，连接，，则，， 而，，则， 又平面平面，平面平面，平面， 于是平面，平面，则， 所以，，AC错误，BD正确. 故选：BD 三、填空题 9．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，则与平面的关系是 ． 【答案】平行 【详解】取的中点，连接． 分别为中点，， 又四边形为平行四边形，为中点，， ，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面. 故答案为：平行. 10．如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且平面ABCD，则在、、、、及中，直角三角形有 个． 【答案】5 【详解】平面ABCD，平面ABCD，则，，， 故，，是直角三角形； 平面ABCD，平面ABCD，则，又，， 平面，故平面，平面，故， 故是直角三角形，同理可得为直角三角形； 中，设，，则，， ，故不是直角三角形. 综上所述：共有个直角三角形. 故答案为：. 11．如图，在四面体中，平面平面，是边长为的等边三角形，，，则四面体的体积为 . 【答案】/ 【详解】平面平面，平面平面，，平面， 平面，， 是边长为的等边三角形，， 又，. 故答案为：. 12．如图所示，已知两个正方形和不在同一平面内，，分别为，的中点.若，平面⊥平面，则线段的长为 ，线段的长为 . 【答案】 【详解】因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以， 所以在中，，因此； 再取的中点，连接，，因为、为正方形，且边长为， 所以，，，，所以平面， 又平面，所以， 所以. 故答案为：； 四、解答题 13．如图，在正三棱柱中，点为的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）连接交于点E，连接， 由题知为矩形，所以E为的中点， 又点为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，所以， 因为， 所以，即. 14．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接， 因为为的中点，当时， 所以为的中点，所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以， 则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又，此时， 当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为. 15．如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)64 【详解】（1）设与交于点，则为的中点，连接， 则在中，则DE是的中位线，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）在中，由，，， 由余弦定理，得， 则，即，为直角三角形，． 又平面，平面，， 又，平面， 平面， 平面，． （3）在中过点作，垂足为， 平面平面，且平面平面，平面 易知，， ，． 16．如图①，在直角梯形ABCD中，，，，．沿DE将折起到的位置．连接，，M，N分别为，BE的中点，如图②． (1)求证：． (2)求证：平面． (3)在棱上是否存在一点G，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）∵在直角梯形ABCD中，，沿DE将折起到的位置， ∴，． ∵，平面， ∴平面， 又平面，∴． （2）取CD中点H，连接NH，MH，如图． ∵M，N分别为，BE的中点， ∴，． 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又，NH，平面MNH，平面，平面， ∴平面平面MNH，又平面MNH ∴平面． （3）取的中点G，连接EG，如图． 在直角梯形ABCD中，，， 所以，又，所以DCBE是矩形，所以， 因为，所以即是折后的， ∴， 由（1）知平面， 又∵，∴平面， 又平面，∴， 又，平面，∴平面． 故棱上存在中点G，使得平面，且此时． 17．如图，在正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点. (1)证明:平面. (2)证明:点在平面的投影为的垂心. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【详解】（1）因为在正方形中，， 以折起后，可得. 因为，面， 所以平面. （2）设点在平面的投影为，则平面，得. 连接并延长与交于点，连接并延长与交于点. 因为在正方形中，，所以折起后，可得 又因为平面，所以平面 因为平面，所以， 又平面，所以平面 又平面所以. 同理由题意可知，正方形折起后，可得 是面内两条相交直线，所以面， 又面，所以 又是面内两条相交直线，所以面 面, 综上，点在平面的投影为的垂心. 18．如图，在等腰梯形中，，，，平面，平面，，点P在线段上运动. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得平面？若存在，试求点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）证明：在等腰梯形ABCD中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵平面，平面， ∴. 又∵，，平面， ∴平面. ∵平面， ∴. （2）在线段上存在P且,使得平面. 证明如下：由已知可得四边形为矩形，连接交于O，连接， 由（1）知在中，，，. ∵， ∴， ∴. 当时，且， 则四边形为平行四边形， 则. 又平面，平面， 所以平面. 综上可知，在线段上存在P，使得平面，且. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$